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6.4 数列之证明-归纳法与数列放缩
6.4.1 数列证明-数学归纳法
知识点梳理
1.数学归纳方法使用范围：关于正整数n 的命题（例如数列、不等式、整除问题
等），可以考虑使用数学归纳法进行证明.
2.第一数学归纳法：假设当n=k 时命题成立，在结合其他条件证明当n=k+1 时命题也
成立即可.证明的步骤如下：
（1）归纳验证：验证当n=n0（n0是满足条件的最小整数）时，命题成立；
（2）归纳假设：假设当n=k 或n≤k（k≥n0，n∈N）时命题成立，证明当n=k+1 时，
命题也成立；
（3）归纳结论：得到结论当n≥n0，n∈N 时，命题均成立.
典型例题
例1.证明：1−1
2 + 1
3 −1
4 +⋯+
1
2n−1 −1
2n =
1
n+1 +
1
n+2 +⋯+ 1
2n
.
例2.已知数列{an}的首项a1= 1
2，且1
an+1
= 1
2 (an+ 1
an
)，n∈N
∗，证明：0<an<1.
随堂演练
1.若各项均为正数的数列{xn}对一切n∈N
∗均满足xn+ 1
xn+1
<2，证明：xn>1−1
n.
2.已知公比q 大于1 的等比数列{an}满足a2+a4=10，a3= 4.
（1）求数列{an}的通项公式.
（2）若数列{bn}各项均大于1，证明：(1+b1)(1+b2)⋯(1+bn)
b1b2⋯bn+1
≤an
.
3.已知数列{an}，a1=2，an+1=(❑√2−1)(an+2).
（1）求数列{an}的通项公式.
（2）在数列{bn}中，b1=2，bn+1= 3bn+ 4
2bn+3
，证明：❑√2<bn≤a4 n−3
.
4.已知数列{an}满足a1=0，a2=1，an+2=an+1+an(n∈N
∗)，证明：数列{an}的第4 m+1
项（m∈N
∗）能被3 整除.
5.设数列 {an) 满足 a1=3, an+1=3an−4 n，计算 a2
, a3
, 猜想 {an) 的通项公式并加以证
明.
6.4.2 数列放缩-裂项和拆项
知识点梳理
1.对于通项公式已经给出（或容易直接求出）的数列不等式问题，我们通常需要对通
项进行适当放缩或变形，在进行求和与转化.
2.常用的放缩、裂项和拆项的结论：
（
1
）
1
n
2 <1
n
2−n
=1
n
1
−
−1
n ,1
n
2 <1
n
2
1
−
=1
2(
1
n
1
−
−1
n+1),1
n
2 <1
n
2−1
4
=2(
1
2n
1
−
−1
2n+1);
或
1
n
2 =4
4n
2 <4
4n
2
1
−
=2(
1
2n
1
−
−1
2n+1)或
1
(2n+1)
2 =1
4n
2+4n+1
<1
4 ×1
n
2+n
=1
4 (
1
n −1
n+1).
（2）1
n
3 <1
n(n+1)(n
1)
−
=1
2[
1
n(n
1)
−
−1
n(n+1))(n≥2).
（3）2
n
(2
n
1
−)
2 <2
n
(2
n
1)(
−
2
n
2)
−
=1
2
n
1
−
1
−
−1
2
n
1
−
(n≥2).
（
4
）
1
❑√n =2
❑√n+ ❑√n <2
❑√n+ ❑√n
1
−=2(❑√n−❑√n
1
−)，
1
❑√n =2
❑√n+ ❑√n <2
❑√n+1
2 + ❑√n−1
2
= ❑√2(❑√2n+1−❑√2n
1
−).
（5）1
n+1 +1
n+2 +1
n+3 +
+
⋯1
2n ≤1
n+1 +1
n+1 +
+
⋯1
n+1 =n
n+1 <1,
或1
n+1 +1
n+2 +1
n+3 +
+
⋯1
2n ≥1
2n +1
2n +
+
⋯1
2n =n
2n =1
2
.
（
6
）
指
数
型
：
1
a
n−b
n ≤1
a
n
1
−(a−b)
(a>b≥1)，
1
a
n−b
≤1
a
n
1
−(a−b)
(a>b≥1).
（7）❑√n+1−❑√n
2
<1
4 ❑√n <
❑√n+1
2 −❑√n−1
2
2
<
❑√n−❑√n
1
−
2
.
（
8
）
1
n ❑√n =2
❑√n×❑√n(❑√n+ ❑√n) <2
❑√n ❑√n
1
−(❑√n+ ❑√n
1
−) =2(
1
❑√n
1
−−1
❑√n)(n≥2)；
1
n ❑√n =2
❑√n×❑√n(❑√n+ ❑√n) <2
❑√n+1❑√n
1
−(❑√n+1+ ❑√n
1
−) =1
❑√n
1
−−1
❑√n+1
；
1
n ❑√n =2
❑√n×❑√n(❑√n+ ❑√n) <2
❑√n+1
2
❑√n−1
2(
❑√n+1
2 + ❑√n−1
2)
=2(
1
❑√n−1
2
−1
❑√n+1
2)
.
典型例题
例1.等差数列 {an} 各项均为正数, a1=3, 前 n 项和为 Sn. 等比数列 {bn} 中, b1=1,
且 b2S2=64, b3 S3=960.
（1）求 an 与 bn；
（2）证明:1
S1
+1
S2
+…+1
Sn
<3
4 .
例2.若n≥2 且n∈N*，证明不等式：❑√2−
2
❑√n+1 < 1
❑√2
3 + 1
❑√3
3 +⋯+ 1
❑√n
3 <2.
随堂演练
1.记Sn为数列{an}的前n项和, 已知a1=1, {
Sn
an)
是公差为1
3
的等差数列.
(1) 求{an}的通项公式;
(2) 证明: 1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an
<2.
2.
已知数列{an}
满足a1=1,an+1=3an+1.
（1）证明 {an+1
2 } 是等比数列, 并求 {an} 的通项公式;
（2）证明: 1
a1
+1
a2
+…+1
an
<3
2 .
3.正项数列{an}的前n项和Sn
满足:Sn
2
(
−n
2+n
1)
−
Sn
(
−n
2+n)=0.
（1）求数列{an}的通项公式an;
（2）令bn=n+1
(n+2)
2an
2 ，数列{bn}的前n项和Tn，证明: 对于任意的n∈N
∗，都有Tn<5
64
.
4.证明：1+ 1
2 + 1
3 +⋯+
1
2
n−1
> n
2.
5.在数列{an}中，已知1
an+1
= 1
2an
+ 1
2，a1= 4.
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若bn=an
2−an
，Sn
为bn
的前n 项和，证明：12≤Sn≤15.
6.已知数列{an}是各项都为正数的数列，Sn为其前n 项和，且a1=1，Sn= 1
2 (an+ 1
an
).
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）证明：1
2S1
+ 1
3 S2
+⋯+
1
(n+1)Sn
<2(1−1
Sn+1
).
6.4.3 数列不等式-函数放缩法
知识点梳理
1.分式型函数的放缩：
分式型不等式：b+m
a+m > b
a (a>b>0，m>0).因为函数f ( x)= b+ x
a+ x (a>b>0，x>0)
为增函数，所以上述不等式成立，此不等式也叫糖水不等式.
2.三角函数型的放缩：sinx< x<tanx ( x∈(0, π
2 )).
3.指数、对数型函数的放缩：
x≥lnx+1，
e
x≥x+1，1−1
x ≤lnx≤x
1
−，
lnx≤1
2(x−1
x) (x≥1)，
lnx≤❑√x−1
❑√x (x≥1)等常见函数的放缩.
典型例题
例1.已知数列{an}满足a1= 2
3
，an+1= an−2
2an−3 (n∈N
∗).
（1）证明：{
1
an−1}
是等差数列，并求出{an}的通项公式；
（2）证明：a1a2a3⋯an<
1
❑√n+1
.
例2.已知函数{an}满足a1= 1
2
，an+1=sin(
π
2 an) ， (n∈N
∗).
（1）证明：1
2 ≤an<an+1<1.
（2）设Sn是数列{an}前n 项和，证明：Sn>n−3
2
.
例3.已知正项数列{an}, a1=1, an+1= 1
2 ln(an+1), n∈N +. 证明:
（1）an+1<an;
（2）an−2an+1<an⋅an+1;
（3）1
2
n <an≤1
2
n−1.
随堂演练
1.已知数列{an)满足: a1=1, an+1= ln(1+an)(n∈N
∗), 设数列{
1
an)
的前n项和为T n
, 证
明:
（1）an>0(n∈N
∗);
（2）an+1≤3an
an+3 (n∈N
∗);
（3）n
2+5n
6
≤T n≤n
2+5n
4
(n∈N
∗).
2.已知函数f ( x)= 2 x
ax +b
，f (1)=1，f ( 1
2 )= 2
3
，令x1= 1
2
，xn+1= f ( xn).
（1）求数列{an)的通项公式；
（2）证明：x1 x2⋯xn> 1
2e
.
3.已知数列{xn}, x1=1, xn= xn+1+ ln(1+ xn+1)， n∈N +
. 证明:
（1）0< xn+1< xn;
（2）2 xn+1− xn≤xn⋅xn+1
2
;
（3）1
2
n−1 ≤xn≤1
2
n−2.
4.已知数列{an)满足a1=1, an+1= n
2an
n
2+1
(n∈N
∗)，证明：an> 1
4
.
5.数列{an}满足a1=1且an+1=(1+1
n
2+n)an+1
2
n (n≥1).
（1）用数学归纳法证明: an≥2(n≥2);
（2 ）已知不等式ln(1+ x)<x对x>0成立, 证明: an<e
2(n≥1), 其中无理数
e=2.71828⋯
