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专题01 三次函数的图象和性质
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 三次函数的单调性问题
1. 标准三次函数
，求导得二次导函数
；
2. 单调性判定核心看导函数判别式
：
①
：
恒不变号，
全程单调递增，
全程单调递减，无极值；
②
：
有两不同实根
；
：
递增，
递减；
：
递减，
递增；
③
：导函数仅有一重零点，函数在
上单调；
3. 含参单调恒成立：区间上单调递增
恒成立；单调递减
恒成立，转化二次
函数恒成立判别式/分离参数；
4. 复合三次型：结合同增异减，同时保证内层、外层定义域；
5. 分段三次：分段各自单调+分段点左段函数值≤(增)/≥(右段)函数值。
1．（2026 高三·广东广州·阶段检测）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先对函数求导，再由导数可得到函数的单调递增区间.
【详解】函数
的定义域为
，求导得
，
根据导数与函数单调性的关系，令
， 整理得
，解得
，
因此函数的单调递增区间为
.
2．（2026 高三·全国·期末）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
,
，
B．
,
C．
,
，
D．
,
【答案】B
【详解】函数
的定义域为
，求导得
，
由
，即
，解得
，
因此函数
在
上单调递减，所以
的单调递减区间为
.
3．（2026 高三·上海·期末）若函数
在
上是严格增函数，则
的取值范围是
__________．
【答案】
【分析】由题意，得
对于
恒成立，进而分
、
两种情况讨论求解即
可.
【详解】由题意，得
对于
恒成立，
当
时，
对于
恒成立，满足题意；
当
时，函数
在
上是严格增函数，
则
，即
，解得
（舍去）或
.
综上所述，
的取值范围是
.
4．（2026 高三·江苏扬州·期末）已知函数
在
上单调递增，则实数
的最大
值为_____．
【答案】
【分析】根据函数单调性与导函数的关系，求出导函数，条件可转化为导函数大于等于
在区间
上恒
成立，根据恒成立的解法，求出参数范围.
【详解】由题意得
，
因为函数
在
上单调递增，所以
在
上恒成立，
当
时，
，变形得
，
令
，
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
在
处
取得最小值，
，
当
在
上恒成立，可得
，
所以实数a 的最大值为
.
5．（2026 高三·河南·阶段检测）已知函数
（
且
）在区间
上单调递减，
则
的取值范围是________．
【答案】
【分析】已知函数为对数型复合函数，外层为对数函数
，内层为含绝对值的三次函数
，需根据对数底数
和
两种情况分类讨论，结合复合函数“同增异减”的单调性规律，
以及内层函数的单调区间、真数恒正的条件列不等式组求解.
【详解】设
，令
，解得
或
或
，且
，令
，解
得
或
.
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减．
作出函数
大致图象如下：
①当
时，
在区间
上单调递减，因为函数
在
上的单调递减区间
为
，
所以
，解得
．
②当
时，
在区间
上单调递增，因为函数
在
上的单调递减区
间为
，
．
所以
，解得
．
综上，
的取值范围是
．
【点睛】方法点睛：本题属于对数型复合函数单调性求参问题，核心解题方法为“同增异减”原则，即内外
层函数单调性相同则复合函数为增函数，单调性相反则复合函数为减函数；遇到底数含参数的对数函数，
必须对底数分
和
两类讨论.
6．（2026 高三·北京·阶段检测）已知
，设函数
在
上是增函数，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据分段函数在
上单调递增的三个条件：两段分别单调递增、左段在分段点处的函数值不大于
右段在分段点处的函数值，列不等式求解
的取值范围.
【详解】分段函数
在
上为增函数，需同时满足以下三个条件：
当
时，二次函数
单调递增：
该二次函数开口向下，对称轴为
，
需对称轴位于区间
的右侧，即
，解得
；
当
时，
单调递增：
对
求导得
，需
对任意
恒成立，
即
对
恒成立，故
；
分段点
处，左段的极限函数值不大于右段的函数值：
左段在
时的函数值为
，
右段在
处的函数值为
，
故
，解得
；
综上：实数
的取值范围是
.
7．（2026 高三·四川眉山·期末）已知函数
，若
，
，
，都有
，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】B
【分析】首先将题干中割线斜率大于
的条件变形，可以构造新函数
，将原不等式转化
为
在
上单调递增的问题.因为可导函数在定义域上单调递增的充要条件是其导函数恒大于等于
，
所以对
求导，得到关于
的二次函数
恒大于等于
的条件;利用二次函数恒非负的判别式准则，
建立关于
的不等式，求解即可得到
的取值范围，进而得到最大值.
【详解】
，都有
，
不妨设
，不等式两边同乘正数
，不等号方向不变，
可得：
移项整理得：
故函数
是
上的单调递增函数，
因为
,
,
要满足
在
上单调递增，就要求：
恒成立,
是开口向上的二次函数，要使其在
上恒大于等于0，
只需二次函数的判别式
即可,即4 m
2−36≤0 ⟹m
2≤9 ⟹−3≤m≤3
所以
的取值范围是
，因此实数
的最大值为.
8．（天津市宝坻区2025-2026 学年第二学期期末练习高三数学试卷）已知函数
，则不等式
的解集为__________．
【答案】
【分析】通过求导，确定函数单调性，由单调性将不等式转换成
，求解即可.
【详解】由
，定义域为R，
求导得：
恒成立，
即
在R 上单调递增，
所以
等价于
，
即
，解得
，
故不等式
的解集为
.
9．（2026 高三·山西·期末）已知函数
的部分图象如图所示，
为函数
的导函数，则关于
的不等式
的解集为_________．
【答案】
【详解】由图知函数
的单调递减区间为
和
，单调递增区间为
，
所以
时，
；
时，
；
由
，得
或
，
所以
．
10．（2026 高三·河北承德·期末）已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，求函数
在区间
上的最大值．
【答案】(1)当
时，函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；当
时，函
数
在
上单调递增；当
时，函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
(2)当
时，最大值为
；当
时，最大值为2
【分析】（1）求导后，分
、
及
进行讨论即可得；
（2）结合函数单调性，分
及
进行讨论即可得.
【详解】（1）因为
，所以
，
令
，解得
或
，
当
时，
恒成立，所以函数
在
上单调递增；
当
时，
，所以当
或
时，
，
当
时，
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
，所以当
或
时，
，
当
时，
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
综上，当
时，函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
（2）由（1）可知，当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
，所以函数
在
上单调递减，
所以函数
在区间
上的最大值为
；
当
时，
，所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
在区间
上的最大值为
和
中的较大者，
因为
，
，
解
，得
，解
，得
，
所以当
时，函数
在区间
上的最大值为
；
当
时，函数
在区间
上的最大值为
；
综上，当
时，函数
在区间
上的最大值为
；
当
时，函数
在区间
上的最大值为2．
题型02 三次函数的极值问题
1. 极值存在前提：导函数二次方程有两个不等实根
；
2. 判定规则：
在零点左右符号改变才是极值点；左正右负为极大值点，左负右正为极小值点；
3. 已知极值/极值点求参：
①极值点满足
；
②极值点对应函数值等于给定极值，联立方程，事后检验左右导数符号，排除重根无极值情况；
4. 极值点韦达：两根之和
，可快速求极值点之和；
5. 方程有三解：极大值
且极小值
；
6. 切线与极值结合：切点导数为斜率，极值点切线水平。
11．（2026 高三·湖北武汉·期末）函数
的极大值点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求导，利用导数判断函数
的单调性，利用单调性分析极大值点.
【详解】因为函数
的定义域为
，且
，
令
，解得
或
；令
，解得
；
可知函数
在
内单调递减，在
，
内单调递增，
所以函数
的极大值点为
.
12．（2026 高三·广东深圳·期末）三次函数
在
处的切线方程为
.
(1)求
，
的值；
(2)求
的单调区间和极值.
【答案】(1)
，
(2)在区间
和
上单调递增，在区间
递减，极大值是
，极小值是
.
【分析】（1）根据题意，结合导数的几何意义即可求解；
（2）根据题意，求出函数
的导数
，利用
和
即可求解.
【详解】（1）由题意可知，函数
，则
，
可得
，
，
所以在
处的切线方程为
，
即
，
解得
，
.
（2）由（1）可得函数
，则
，
令
，即
，解得
或
，
令
，即
，解得
，
所以
在区间
和
上单调递增，在区间
递减，
则函数
的极大值是
，函数
的极小值是
.
13．（2026 高三·广东深圳·期末）已知函数
在
处取得极小值．
(1)求
；
(2)若关于
的不等式
在
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
的取值范围是
【分析】（1）先对三次函数求导，利用极值点处导数为
列方程解出
的两个候选值，再分别代入导数分
析左右单调性，检验
是否为极小值点，舍去不符合条件的
得到结果；
（2）将
代入函数，利用区间内
分离参数
，构造关于
的二次函数，通过换元确定新变量取
值区间，求出函数在区间上的最大值，由恒成立条件得到
的取值范围．
【详解】（1）
的定义域为
，则
，
由函数
在
处取得极小值，得
，解得
，
，
若
，则
，令
，得
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
是
的极小值点，符合题意，
若
，则
，令
，得
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
是
的极大值点，不符合题意，
综上，
；
（2）由（1）得
，
，
不等式
在
恒成立，
即不等式
在
恒成立，
令
，
，
由
，得
，则
，故
，
所以
时，
取最大值，
所以
，即
的取值范围是
．
14．（重庆市九龙坡区2025-2026 学年高三学期期末学业质量测评数学试题）函数
的所有极值点之和为_____.
【答案】
【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的极值即得．
【详解】∵
，∴
令
得
或
，
所以当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
为
的极大值点，
为
的极小值点.
函数
的所有极值点之和为
.
15．【多选】（2026 高三·云南楚雄·期末）已知
是函数
的极大值点，则（ ）
A．
B．
C．
有两个零点
D．
是奇函数
【答案】ACD
【分析】利用导数，极值和零点定义，即可判断ABC，用奇函数的判断方法可判断D.
【详解】函数
的导数为
，
已知
是函数
的极大值点，
所以
，解得
或
，
A：当
时
，
若
或
时，
，则
在
，
上单调递增，
若
时，
，则
在
上单调递减，
显然
是函数的极大值点，A 正确；
B：当
时
，
若
或
时，
，则
在
，
上单调递增，
若
时，
，则
在
上单调递减，
显然
是函数的极小值点，B 错误；
C：令
，解得
或
，显然有2 个零点，C 正确；
D.：
，
设
，定义域为
且
，所以
是奇函数，D 正确.
16．（2026 高三·天津武清·阶段检测）设函数
在
及
时取得极值．
(1)求出a，b 的值；
(2)若当
时，关于
的方程
有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)通过极值点的定义对函数求导来求解.
(2)根据函数单调性判断函数极值来求解取值范围.
【详解】（1）
，
因为
在
和
取极值，所以
是
的两个根，
韦达定理：
，
解得
．
（2）由
，得
，
，
时，
单调递增；
时，
单调递减；
时，
单调递增，
，
因此
，
解得
.
17．（2026 高三·天津和平·期末）已知函数
在
处取得极小值2．
(1)求
，
的值；
(2)求函数在区间
上的最大值与最小值．
【答案】(1)
，
(2)最大值为
，最小值为
【分析】（1）根据导数与单调性及极值的关系列方程求解即可.
（2）根据导数与单调性及最值的关系求解即可.
【详解】（1）
，则
.
由题意知
，即
，解得
.
此时
，
当
时，
；当
时，
；
所以
在
处取得极小值，满足题意.
综上，
，
.
（2）由（1）得
，
.
，
令
，即
，解得
(
舍去).
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
所以当
时，
在
处取得最小值，为
.
又
，
.
综上，函数在区间
上的最大值为10，最小值为2.
18．（2026·安徽·模拟预测）已知函数
的极小值点为3，则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由函数的极小值点为3，求得
，利用导数确定函数的单调性及极值，作出图象，结合图象求
解即可.
【详解】因为
，
所以
，
令
，解得
或
，
当
时，
，
此时当
时，
；当
时，
；
当
时，
；
所以函数在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数在
处取极小值，不满足题意；
当
时，
，
函数在R 上单调递增，不存在极小值，不满足题意；
当
时，
，
当
时，
；当
时，
；
当
时，
；
所以函数在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
且函数的极小值点为3，所以
，
所以
，
所以函数在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
所以
的解集为
.
19．【多选】（2026 高三·辽宁辽阳·阶段检测）已知函数
，
，则（ ）
A．曲线
过定点
B．
有2 个极值点
C．
在区间
上单调递减
D．
【答案】ABD
【分析】对于A，当
时，参数
取任意实数时，都有
，可得曲线
过定点
；对
于选项B 与选项C，通过求导，讨论导函数的零点分布即可判断；对于D，由函数
的单调性即可判断.
【详解】对于A，由
，可知曲线
过定点
，故A 正确；
对于B，C,由
求导得
，因
,
由
，可得
或
；由
，可得
,
故
在
和
上单调递增；在
上单调递减，
所以
有2 个极值点，故B 正确，C 错误；
对于D，因为
在
上单调递增，所以由
，得
，故D 正确.
20．（2026 高三·河南南阳·期末）已知函数
．
(1)若
，证明：曲线
在点
处的切线过定点；
(2)若
是
的极值点，且
有个不同的零点，求
的取值范围；
(3)若对任意的
，且
，恒有
，求
的取值范围．
【答案】(1)已知函数
，若
，则
，
，
由于
，所以切点为
，
切线斜率
，
因此切线方程为
，化简得
，即
，
当
，即
时，
，
因此曲线
在点
处的切线过定点
.
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，利用导数的几何意义即可求出切线方程，转化为关于
的函数即可求解；
（2）根据题意，求出
，然后利用导数求出函数的单调性，根据极大值大于
且极小值小于
即可求
解；
（3）构造函数
，根据题意，得出
在
上单调递减，利用导数求出单调性即可求
解.
【详解】（1）略.
（2）已知函数
，则
，
由于
是
的极值点，所以
，解得
，所以
，
，
令
，解得
，
，
当
时，
，所以
在
单调递增；
当
时，
，所以
在
单调递减；
当
时，
，所以
在
单调递增；
因此
在
处取得极大值，极大值为
，
在
处取得极小值，极小值为
，
要使
有个不同的零点，要满足极大值大于
且极小值小于
，
即
，解得
，所以
的取值范围是
.
（3）已知函数
，则
，
由于对任意的
，且
，恒有
，移项得
，
构造函数
，上述条件等价于：对任意的
，且
，恒有
，
即
在
上单调递减，则其导数
在
上恒成立，
由于
，
，
当
时，
，所以
大于等于
的最大值，
令
，
，令
，解得
，
当
时，
，所以
在
单调递增；
当
时，
，所以
在
单调递减；
因此
在
处取最大值，最大值为
，
所以
，解得
，所以
的取值范围为
.
题型03 三次函数的最值问题
1. 闭区间
最值标准步骤：
①求导找出全部极值点，筛选落在区间内的极值点；
②计算区间端点
与区间内极值；
③全部数值对比，最大为最大值，最小为最小值；
2. 开区间
存在最值条件：最值只能在区间内极值点取得，要求极大/极小值为全局唯一高低点，
端点趋向无穷无最值；
3. 含参区间：移动区间边界，分极值点在区间内、左侧、右侧三类讨论；
4. 恒成立最值转化：
恒成立
；
恒成立
。
21．（四川成都市2025-2026 学年高三学期定时练习数学试题）函数
的最小值为
________.
【答案】－2
【分析】根据题意，求导得
，求得函数
的极大值，即可得到结果.
【详解】函数
，
则
，
令
，得
或
（舍），
当
时，
，则函数
单调递减，
当
时，
，则函数
单调递增，
则当
时，函数
有极小值，即最小值为
.
22．（2026 高三·上海·期末）若函数
在区间
存在最大值，则
的取值范围为
__________.
【答案】
【分析】先求函数导数判断单调性与极值点，结合开区间存在最大值的约束条件列不等式组，求解得到
的取值范围。
【详解】因为
，所以
，令
，得
或
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
在
处取到极大值4.
要使函数
在区间
存在最大值，则
，解得
，
所以满足条件的
.
23．（2026 高三·天津滨海新区·阶段检测）已知函数
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)若方程
恰有一个实数解，求实数a 的取值范围.
(3)若函数
在区间
存在最大值，求m 的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为
，
，单调递减区间为
；
极大值为
，极小值为
；
(2)
或
(3)
【分析】（1）利用导数求函数的单调区间和极值即可；
（2）根据单调性和极值作出函数图像，结合图像确定参数范围即可；
（3）根据题意可知最大值在
处取得，则
，再解不等式组即可．
【详解】（1）
，
则
的解为
，
的解为
或
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的单调递增区间为
，
；单调递减区间为
；
在
处取得极大值，极大值为
，
在
处取得极小值，极小值为
（2）由（1）可得，函数
的简要图像如下：
方程
恰有一个实数解，
则
或
；
（3）令
，即
，
解得
或
，
又函数
在区间
存在最大值，则最大值要在
处取得，
，解得
．
24．（2026 高三·天津东丽·阶段检测）已知曲线
在坐标原点处的切线方程为
．
(1)求实数
的值；
(2)求
在
上的最值.
【答案】(1)
，
(2)最大值为
，最小值为
【分析】（1）直接根据切点在曲线上及导数的几何意义可得；
（2）直接对函数求导，并求函数的极值，并列表判断可得.
【详解】（1）因为切点为原点，则
，得
.
又
，斜率
，得
.
因此
，
.
（2）由（1）得
，
，令
得
或
．
计算得
，
，
，
，比较得最大值为
，最小值为
.
因此函数
在
上的最大值为
，最小值为
.
题型04 三次函数的零点问题
若三次函数f (x)=a x
3+b x
2+cx +d (a≠0)存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下：
性质
三次函数图像
说明
a＞0
a＜0
零
点
个
数
三
个
b
2−3ac>0
f (x1)⋅f (x2)<0
两个极值异与
图像与x轴有三个交点
两
个
b
2−3ac>0
f (x1)⋅f (x2)=0
有一个极值为0
图像与x轴有两个交点
存在极值时
一
个
b
2−3ac>0
f (x1)⋅f (x2)>0
不存在极值时，
函数单调，与x轴有一个交点
25．【多选】（2026 高三·广东深圳·期末）已知函数
，则方程
的实数根
个数可能为（ ）
A．1
B．5
C．6
D．9
【答案】ABD
【详解】令
，则
.
因为
，
，当
或
时
，
单调递增；当
时
，
单调递减，且
，
，且
的值域为R，图像如图：
故当
或
时
均有一个根，当
时
单调递增且值域为
；当
时
单调
递增且值域为
；
当
时
有两个根，分别为
和
，此时
；
当
时
有两个根，分别为
和
，此时
；
当
时
有3 个根，且
单调递减且值域为
；
故当
或
时
均有一个根，即方程
有一个实数根，故A 正确；
当
时
有两个根，分别为
和
，此时方程
有5 个实数根，故B 正确；
当
时
有两个根，分别为
和
，此时方程
也有5 个实数根；
故当
时
均有3 个根，分别为
，
，
，此时方程
有9 个实数根，故D 正确.
26．【多选】（2026 高三·广东深圳·期末）若函数
的导函数
是偶函数，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
有3 个不同的零点
C．
最小值为
D．对任意
，
，都有
【答案】ABD
【分析】求出函数的导函数
，由
求出
的值，即可判断A，令
求出方程的解，
即可判断B，利用导数说明函数的单调性，即可判断C，利用作差法判断D.
【详解】A，因为
，则
，
又
是偶函数，所以
，即
，
所以
对任意的x 恒成立，所以
，解得
，故A 正确；
B，令
，即
，解得
、
、
，
所以
有3 个不同的零点，故B 正确；
C，因为
，
当
或
时
，当
时
，
即
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
，
所以
不存在最值，故C 错误；
D，设任意
，
则
，
，则
，
又
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以对任意
，
，都有
，故D 正确．
27．【多选】（2026 高三·安徽芜湖·期末）已知函数
则下列命题正确
的有（ ）
A．若
在定义域上是增函数，则
B．若
的极小值点与极小值均为0，则
C．若
有两个正的零点和极值0，则
D．对
，在函数
的图象上能构成平行四边形的四个点的组数有无数组
【答案】BCD
【分析】选项A，利用导数判断三次函数单调性，需保证导函数判别式
，推导得
；选项
B，通过极小值点与极小值均为0 列方程，求得
，再结合导数与极值的关系验证
时成立；选
项C，设二重正零点形式的函数，展开对比系数后用均值不等式证明
；选项D，利用三次函数的中
心对称性，可知存在无数组对称点构成平行四边形.
【详解】选项A，
，因为
在定义域上是增函数，所以
，即
，取
，
，满足题意，但
，则A 错误；
选项B，若
的极小值点与极小值均为0，则
，此时
，
极值点为
和
，若
是极小值点，则需满足
，此时
在
处取极小值0，符合条
件，所以
，B 正确；
选项C，设
有两个正的零点，且其中一个极值为
，因为极值点处函数值为
，所以该点对应的零点
为二重根，
设这个二重正零点为
，另一个正零点为
，则
，且
，
于是
，展开得
，所以
，
要证
，即证
， 也就是证
，
由均值不等式，
，当且仅当
时取等号，但
，故
，
两边立方得
，所以
，C 正确；
选项D，对于三次函数，
，令
，
则
，因为
，所以
图象关于点
成中心对称，
，
因为
，所以当
时有
，
，即
图象关于点
中心对称.
任取图象上两点
，作关于对称中心的对称点
，则
四点构成平行四边形，这样的取法有
无数种，D 正确.
28．【多选】（2026 高三·安徽·阶段检测）已知函数
，则下列结论正确的是
（ ）
A．若
，则
的极大值为
B．若
，则函数
有极小值点
C．若
在区间
上单调递减，则
的最大值为
D．若函数
恰有
个零点，则
的值为
【答案】ACD
【分析】根据题意，利用导数的求出函数
的单调性即可判断AB；根据题意，得到
在
上
恒成立，利用导数即可判断C；根据题意，利用导数分类讨论
的范围，得到函数
的单调性和极值即
可判断D.
【详解】对于A，若
，则
，
，
令
，解得
和
，
当
或
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
则
在
处取得极大值，极大值为
，故A 正确；
对于B，
，
，所以函数
在定义域内单调递增，
没有
极值点，故B 错误；
对于C，若
在区间
上单调递减，则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
由于函数
在
上的最小值为
，所以
，即
的最大值为
，故C 正确；
对于D，
，
，
当
时，
，函数
在定义域内为增函数，故函数
不可能存在
个零点，不符合题意；
当
时，由
，解得
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
所以函数
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
，
则函数
的极小值为
，极大值为
．
又函数
恰有
个零点，所以
或者
，解得
，
故D 正确．
29．【多选】（2026 高三·重庆·阶段检测）已知函数
，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数
有两个极值点
B．直线
与
的图象有且仅有两个公共点
C．若
有三个零点，则
D．若
，对
，都有
【答案】AC
【详解】已知
，求导得
，
选项A：因为
，
有两个不同的实根
，
且在
两侧导数符号改变，因此
有两个极值点，A 选项正确；
选项B：令
，得
，即
，解得
，
因此直线
与
图象有个公共点，B 选项错误；
选项C：
的极大值为
（
恒成立），
极小值为
有三个零点等价于极小值小于
，
即
，结合
得
，即
，C 选项正确；
选项D：当
时，
，所以
在
上恒成立，
在
单调递减，
，
当
时，
，不满足
，D 选项错误.
30．【多选】（2026 高三·江苏南通·期末）设函数
，则（ ）
A．
在区间
上单调递增
B．直线
是曲线
的对称轴
C．直线
是曲线
的切线
D．
有三个零点
【答案】ACD
【分析】利用导数求解单调性判断A，利用函数对称性的性质判断B，利用斜率的几何意义并结合导数判
断C，求解出零点判断D 即可.
【详解】对于A，因为
，所以
，
当
时，
恒成立，则
在区间
上单调递增，故A 正确，
对于B，由题意得
，
，
得到
，则直线
不是曲线
的对称轴，故B 错误，
对于C，设切点为
，令
，
得到
，解得
，则切点为
，
可得切线方程为
，化简得
，
得到直线
是曲线
的切线，故C 正确，
对于D，令
，则
，
因式分解得
，解得
或
或
，
则
有三个零点，故D 正确.
31．（2026 高三·湖北·期末）设a，
，
，
，函数
，从有序实数对
中随机抽取一个，则函数
恰有三个零点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求导，得到函数单调性和极值情况，根据零点个数得到
，求出恰有三个零点的有序
实数对
共有
个，从而得到概率
【详解】由a，
，
，
，得有序实数对
共有
对，
函数
的定义域为R，求导得
，
由
，得
或
；由
，得
，
函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
函数
在
处取得极大值且
，在
处取得极小值且
，
由a，
，得
恒成立，
因此函数
恰有三个零点，当且仅当
，即
，
，
当
时，b 无解；
当
时，
；
当
时，
，
当
，5，6，7 时，
，
满足函数
恰有三个零点的有序实数对
共有
对，
所以函数
恰有三个零点的概率为
．
32．【多选】（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数
则（ ）
A．
B．
为
的极大值点
C．
有2 个零点
D．若
，则
在
上的值域为
【答案】BCD
【分析】本题为分段函数多选题，逐个分析选项即可：代入
算函数值，判断A 选项；分段求导找极值，
判断B 选项；分段解方程
，统计零点数判断C 选项；分析
的单调性，结合
的范围判断D 选
项的值域.
【详解】对于
，故A 错误；
对于B，当
时，
，
令
，则
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
故
在
处取极大值，故B 正确；
对于C，当
时，
，结合B 选项知
在
时仅有一个零点.
当
时，令
，解得
，
所以
共2 个零点，故C 正确；
对于D，结合B，C 选项，
在
上的图象为
由图象可知，
若
，则函数
在
上的值域为
，
故D 正确.
33．（2026 高三·北京·竞赛）设
为整数，且函数
在区间
内正好有两个不同零点，
所有满足条件的整数
的和为______.
【答案】
【分析】由
可得
，令
，其中
，则直线
与函数
在
上的图象有两个公共点，利用导数分析函数
的单调性与极值，数形结合可得出实数
的
取值范围，结合
可得结果.
【详解】由
可得
，令
，其中
，
由题意可知，直线
与函数
在
上的图象有两个公共点，
，由
可得
，如下表所示：
减
极小值
增
极大值
减
又因为
，
，则
，如下图所示：
当
时，直线
与函数
在
上的图象有两个公共点，
因为
，故实数
的取值集合为
，
因此满足条件的整数
的和为
.
34．（四川攀枝花市2025-2026 学年高三学期教学质量监测数学样卷）已知函数
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若函数
有三个零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）分
、
与
进行讨论，结合函数单调性与零点存在性定理计算即可得.
【详解】（1）当
时，
，则
，
则
，又
，
则曲线
在
处的切线方程为
，即
；
（2）若
，则
，
，
则
在
上单调递增，不符合题意；
若
，
，
当
时，若
时，
，
当
时，
，
故
在
、
上单调递增，在
上单调递减，
由
时，
，
时，
，
又函数
有三个零点，则
，解得
；
当
时，若
时，
，
当
时，
，
故
在
、
上单调递增，在
上单调递减，
由
时，
，
时，
，
又函数
有三个零点，则
， 解得
；
综上可得：
.
35．（山东济南市2025-2026 学年高三学期期末学情检测数学试题）已知函数
，其中
．
(1)若
在
处的导数为0．
（i）求实数
的值；
（ii）求
在区间
上的值域；
(2)若
有3 个不同的零点，求
的取值范围．
【答案】(1)（i）
；（ii）值域为
(2)
【分析】（1）（i）求出函数
的导数，再代值求出
；（ii）利用导数求出
在给定区间上的最大
值与最小值即得.
（2）利用导数求出函数
的极值，再利用三次函数的图象特征列出不等式组求解.
【详解】（1）（i）函数
，求导得
，
由
在
处的导数为0，得
，
所以
.
（ii）由（i）得
，
，
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
所以函数
在区间
上的值域为
.
（2）由（1）知
，
，
当
或
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
函数
在
处取得极大值
，在
处取得极小值
，
由函数
有3 个不同的零点及三次函数的图象特征，得
，解得
，
所以
的取值范围是
.
36．（2026 高三·重庆·期末）已知
在
处取得极大值
.
(1)求
在点
处的切线方程；
(2)若
，讨论
零点的个数.
【答案】(1)
(2)①当
或
时，
有一个零点；
②当
或
时，
有两个零点；
③当
时，
有三个零点.
【分析】（1）由题意可得
，
，联立等式可得函数
，根据导数的几何意义可求
得切线方程；
（2）根据导数及三次函数性质可得其图象，结合图象可得答案.
【详解】（1）已知
，则
因为
在
处取得极大值
，
则
，解得
，
，经检验，符合题意，
所以
，
，
故
，
，
则切线方程为
，即
.
（2）令
，所以
，
的零点个数等价于
的图像与直线
的交点个数，
由（1）可知，
，
，令
，解得
或
，
则
，
，
的关系如下表：
单调递增
单调递
减
单调递
增
所以
的极大值为
，极小值为
，如图所示，
①当
或
时，
有一个零点；
②当
或
时，
有两个零点；
③当
时，
有三个零点.
题型05 三次函数的切线问题
1. 切点在曲线上（
）：
斜率
，切线方程
；
2. 点不在曲线上（过定点作切线）：
设切点
，写出切线方程，代入定点坐标，整理关于的三次方程；
方程实根个数=切线条数：1 根1 条切线、2 根2 条、3 根3 条；
3. 公切线：两条曲线导数相等+切点纵坐标相等联立参数；
4. 切线与零点结合：切线水平等价于切点为极值点。
37．（2026 高三·江西宜春·期中）已知曲线
，
(1)求函数的单调区间；
(2)求过点
且与曲线相切的直线方程.
【答案】(1)函数的单调递增区间为：
，递减区间为：
(2)
或
【分析】（1）先求出导函数，根据导函数正负得出函数单调区间即可；
（2）先设切点为
，再根据导函数得出切线斜率，再计算求解参数，最后带回得出切线方程.
【详解】（1）函数定义域为
，
由函数
，可得
，
令
，得
或
，
令
，得
，
所以函数的单调递增区间为：
；
递减区间为：
.
（2）因为点
不在曲线
上，
设切点为
，所以
，
所以切线方程为
，
又因为
在切线上，所以
，
即
，解得
或
则
，
当切点为
时，切线的斜率为
，切线方程为
；
当切点为
时，切线的斜率为
，此时切线方程为
，
综上所述，过点
且与曲线
相切的直线方程为：
或
38．（2026 高三·安徽·阶段检测）已知曲线
在点
处的切线的斜率为12，且在
处取得极值．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
的单调区间；
(3)讨论方程
的解的个数．
【答案】(1)
；
(2)单调递减区间为
，单调递增区间为
，
；
(3)当
或
时，
有一个解，
当
或
时，
有两个解，
当
时，
有三个解
【分析】（1）应用切线及极值列式计算求解参数得出解析式；
（2）根据导函数正负得出函数单调区间；
（3）根据导数得出函数的单调性及极值，结合函数最值得出解的个数.
【详解】（1）由题意，
，函数
的定义域为R，可得
．
因为函数
在点
处的切线的斜率为12，
所以
①
又函数
在
处取得极值，
此时
， ②
由①②可得
，
所以函数
．
（2）由（1）知，
，
．
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增．
所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
．
（3）由（1），（2）知，函数
在区间
上单调递增，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
函数
的极大值为
，
，
函数
的极小值为
，
，
当
时，
，当
时，
．
可知，
当
或
时，
有一个解，
当
或
时，
有两个解，
当
时，
有三个解．
39．【多选】（2026 高三·河北承德·期末）实验室测试发现，某款手机的应用启动时间（单位：ms）与
系统资源占用率
（单位：%，
）近似满足函数关系
．下列关于函数
的说法，正确的有（ ）
A．函数
在区间
上有2 个极值点
B．函数
在区间
上单调递增
C．函数
的图象与直线
有3 个不同的交点
D．直线
与函数
的图象相切
【答案】ABD
【分析】对
求导，利用导数确定单调区间、求出
的极值可判断A、B；根据方程
的实数
根的个数可判断C；由
，
求得
在点
处的切线为
即可判断D.
【详解】因为
，
，所以
．
当
或
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
在
和
处取得极值．
对于A，由以上分析，得函数
在区间
上有2 个极值点，故A 正确；
对于B，由以上分析，得函数
在区间
上单调递增，故B 正确；
对于C，函数
的图象与直线
的交点个数即方程
的实数根的个数．
方程
可化为
，方程只有2 个不同的实数根
和
，
所以函数
的图象与直线
只有2 个交点，故C 错误；
对于D，因为
，
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
所以直线
与函数
的图象相切，故D 正确．
40．（2026 高三·河北沧州·期末）已知函数
，若过点
可作曲线
的3 条不同切
线，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出函数的导数并设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再构造函数并利用导数求
出极值，结合三次函数的特征求出范围.
【详解】函数
，设切点坐标为
，求导得
，
则切线方程为
，由切线过点
，
得
，化简得
，
“过点
可作曲线
的3 条不同切线”等价于“关于
的方程
有3 个不同的实根”，
即函数
的图象与直线
有3 个不同的交点，
求导得
，当
或
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此
，
，
所以当
时，直线
与函数
的图象有3 个交点，对应3 条不同的切线．
题型06 三次函数的对称问题
1. 核心结论：任意三次函数
图像唯一对称中心：
横坐标
，对称中心
；
2. 对称中心等价条件：
对任意
恒成立；
3. 导数对称性质：三次函数中心对称
导二次函数关于直线
轴对称；
4. 极值对称：两个极值点横坐标关于对称中心
对称，即
；两点连线中点为对称中心；
5. 拓展：三次图像上任意两点关于中心对称，四点可构成平行四边形，有无穷多组。
41．【多选】（2026 高三·河南驻马店·阶段检测）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
在定义域内单调递增
B．
的对称中心为
C．若
，则
的最小值为
D．已知
，
为方程
的两个根，
且
，则
的取值范围为
【答案】ABC
【分析】A 利用导函数判断单调性；B 根据函数对称中心的性质建立方程求解；C 根据对称性和单调性以及
基本不等式求解；D.根据对称性和单调性以及韦达定理求出.
【详解】选项A，由题意
的定义域为
，
因为
恒成立，当且仅当
时
，
所以
在定义域内单调递增，A 正确；
选项B，设
的对称中心为
，由对称中心的定义可知
对
恒成立，代
入
整理得
，令
，
解得
，所以
的对称中心为
，B 正确；
选项C，因为
，
所以
，
则
，即
，
因为
，所以
，
等号成立时
，C 正确；
选项D，因为
为方程
的两个不同根，
所以
，
因为
，所以
，则
，
故
，得
，D 错误.
42．【多选】（2026 高三·广东广州·期中）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．函数
有三个零点
D．点
为函数
的对称中心
【答案】AD
【分析】A 选项，通过求导即可分析单调性与极值；B 选项，利用单调性即可比较函数值大小；C 选项，利
用零点定义即可求出函数的零点；D 选项，利用
即可验证对称中心.
【详解】对于A：因为
，
由
，得
或
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，所以
是
的极小值点，故A 正确；
对于B：因为当
时，
单调递增，
而当
时，
，所以
，故B 错误；
对于C：令
，得
或
，所以函数
有两个不同的零点，故C 错误；
对于D：因为
，即
，
所以点
为函数
的对称中心，故D 正确.
43．【多选】（26-27 高三·云南昆明·阶段检测）已知函数
，则下列选项正确的有
（ ）
A．
的极大值点是
B．
在
上单调递增
C．当
时，
D．
是
的一个对称中心
【答案】ABC
【分析】先对三次函数求导，得到单调区间与极值点，再结合三次函数对称中心需满足的条件、区间最小
值判定，依次验证四个选项是否正确.
【详解】对函数
求导，则
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
则
的极大值点是
，所以选项A，B 正确；
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
故
是
上的最小值，故选项C 正确；
若
是
的一个对称中心，则需满足
，
而
，
知
不是
的对称中心，故D 选项错误.
44．【多选】（2026 高三·广东深圳·期末）设函数
，则（ ）
A．当
时，
B．直线
是曲线
的切线
C．点
是曲线
的对称中心
D．存在
，
，使得当
时，
【答案】BCD
【分析】判断函数单调性，结合不等式性质可判断A 选项，利用导数的几何意义可判断B 选项，根据函数
对称性的概念直接可判断C 选项，取
，
可判断D 选项.
【详解】由已知
，则
，
A 选项：
或
时
，
时，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
又当
时，
，则
，A 选项错误；
B 选项：设切点为
，则切线斜率
，
解得
，或
，
当
时，切点为
，此时切线方程为
，
当
时，切点为
，此时切线方程为
，
B 选项正确；
C 选项：由
，
则
，即函数
关于
中心对称；
D 选项：取
，
，
易知函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
且
，
，
，
，
即函数
在
上的值域为
，
即当
时，
，D 选项正确.
45．【多选】（2026 高三·江西赣州·期末）已知函数
，则（ ）
A．
在
处取得极小值
B．
的图象关于点
中心对称
C．
有个零点
D．直线
是
的一条切线
【答案】BD
【分析】求导讨论函数单调性，并结合极值的定义，即可判断A；利用图象平移或中心对称定义，即可判
断B；令
，分解因式求解方程，即可判断C；设出切点，由已知切线斜率可求出切点，进而可判
断D.
【详解】A.
，
令
得
或
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
在
处取得极大值，在
处取得极小值，A 错误；
B．法一：（图象平移）设
，
此函数为奇函数，关于
成中心对称，
因此
的图象是
向上平移2 个单位得到的，
故
关于
成中心对称，
法二：（中心对称定义）由中心对称的定义，
得到
=
，
所以
关于
成中心对称，B 正确；
C. 因为
，
令
，得
或
，所以
有2 个零点，C 错误;
D.因为
，设切点为
，则切线斜率为
，解得
或
，
当
时，
，切线方程为
，即
，D 正确.
题型07 三次函数根与系数的关系
设三次方程
三个实数根为
，展开
对
比系数得韦达公式：
1.
2.
3.
衍生推论：
（
）
应用场景：已知根的和/积求参数、已知直线与三次三交点，快速求和、中点坐标、对称中心。
46．【多选】（广东惠州市2025-2026 学年高三学期期末数学试题）设直线
与函数
的
图象有三个不同的交点，其坐标分别为
，
，
，且
，则（ ）
A．
的图象的对称中心为
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】A 根据
判断；B 根据
得出
即可；C 根据三次函数的单调性得出
；D 根据
即可.
【详解】因为
，
所以
的图象的对称中心为
，故A 正确；
因为
是方程
的三个根，所以
，
即
，
则
，
则
，
得
，故B 错误；
当
或
时
，则
在
，
上单调递增；
当
时
，
在
上单调递减；
则
，即
，则
，故C 正确；
因为
，
，所以
，
因为
，
则
，
则
，故D 正确.
47．【多选】（2026 高三·安徽芜湖·期末）已知函数
（
），则下列说法正确的是
（ ）
A．
是函数
的极值点
B．若函数
有两个零点
和
，则
C．若
不是函数
的极值点，则
D．若
，
，
满足
，则A，B，C 三点必在一条直线上
【答案】ACD
【分析】求导得到
，判断
两侧导数符号求解A，分析
的根，取特殊情况验证
求解
B；求
，结合题意并分类讨论判断
是否为极值点判断C，利用三次函数中心对称性质证明三点共
线判断D 即可.
【详解】对于A，由题意得
，
.
当
时，
，故
与
同号；
当
时，
，故
与
异号.
因此
在
两侧变号，
是极值点，故A 正确，
对于B，取
，得到
，
当
时，可得
，解得
或
，
此时两根之和为
，故B 错误.
对于C，由题意得
，因为
，
且
，
，所以
，
当
时，
，且
，
其中
，
，故
与
异号；而
与
同号.
因此
在
两侧异号，故不是极值点.
当
时，在
附近
趋近于
，故
的符号由
决定，
即与
异号，两侧同号，故为极值点，
因此
不是极值点等价于
，故C 正确.
对于D 项，设直线过点
和
，则
有三个根
.
由于
，
其二次项系数为
，首项系数为
，由韦达定理三根之和为.
已知
，故
，即
点也在直线上，三点共线，故D 正确.
