文档文本内容
培优点08 指、对、幂的大小比较
目录
01 重点解读...........................................................................................................................................2
02 思维升华...........................................................................................................................................3
03 典型例题...........................................................................................................................................5
题型一：利用函数的性质直接比较大小............................................................................................5
题型二：找中间值................................................................................................................................5
题型三：特殊值法................................................................................................................................6
题型四：作差法、作商法、乘方法....................................................................................................6
题型五：条件含有变量问题................................................................................................................7
题型六：同构变形，构造函数法........................................................................................................8
题型七：数形结合法、反函数............................................................................................................9
题型八：放缩比大小............................................................................................................................9
题型九：对数分母化..........................................................................................................................10
题型十：均值不等式..........................................................................................................................10
题型十一：泰勒、帕德逼近法.......................................................................................................... 11
04 课时精练.........................................................................................................................................12
函数比大小是经典题型，其难度不定、解法灵活，备受高考命题者青睐，几乎每年高考都会涉及，
“
”
且难度呈逐年上升趋势。在高考命题里，此类题目多以选择题形式出现，常把幂函数、指数函数、对数函
数、三角函数等不同类型函数混杂在一起，要求考生对它们进行大小排序。解决这类问题，可从代数和几
何两个角度入手。代数方面，可充分利用各类函数的性质，如单调性、奇偶性等来比较大小；几何方面，
借助函数的图象，通过观察函数图象的高低位置关系，直观地判断函数值的大小。掌握这两种方法，有助
于考生在高考中更从容地应对此类函数比大小问题。
1、利用特殊值作中间量
“
”
在指数、对数中通常可优先选择“
对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化
”
比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计
2、求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数
的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.
3、泰勒公式
泰勒公式：
．
泰勒公式在
时的特殊形式：
．
由带有皮亚诺余项的泰勒公式（麦克劳林公式）可得如下高考常用函数的展开式：
①
②
(等比数列求和，首项为1，公比为)
③
(等比数列求和，首项为1，公比为
)
④
⑤
⑥
⑦
⑧
4、常用导数放缩
①
(切点横坐标是
，
)
②
③
(切点横坐标是
，
)
④
⑤
⑥
题型一：利用函数的性质直接比较大小
【例1】（2023 年天津高考数学真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2022 年新高考天津数学高考真题）设
，
，
，则
的大小关系
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2025·天津南开·模拟预测）若
，
，则实数
、
、的大小顺序为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】已知
，
，
，则
、
、的大小顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：找中间值
【例2】（2024 年天津高考数学真题）设
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2021 年天津高考数学试题）设
，则a，b，c 的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2025·陕西宝鸡·二模）若
，
，则实数
、
、的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】已知
，则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-4】有三个数：
大小顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：特殊值法
【例3】（2024 年北京高考数学真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】已知
，
，且
，则
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】（多选题）已知
，下列选项中正确的为（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式3-3】（多选题）已知
，
，且
，则
A．
B．
C．
D．
题型四：作差法、作商法、乘方法
【例4】已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】（2025·河北保定·模拟预测）已知函数
，则下列比较大小正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2025·四川·一模）已知正实数
，且
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】设
，
，
，则
，
，的大小顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-4】已知
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：条件含有变量问题
【例5】（2005 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（山东卷））
，下列不等式一定成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】已知函数
的定义域为
，对任意
、
，有
，且当
时，
．当
时，设
，
，则（ ）
A．
、
大小无法确定
B．
C．
D．
【变式5-2】已知
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】已知正数
，满足
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-4】已知
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：同构变形，构造函数法
【例6】（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）设
，
，
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】（2025·辽宁·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（2022 年新高考全国I 卷数学真题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】已知实数
满足
且
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-4】若函数
，且
，设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
的大小不能确定
题型七：数形结合法、反函数
【例7】（2025 年高考全国一卷数学真题）若实数x，y，z 满足
，则x，y，
z 的大小关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知
、
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
、
的大小
【变式7-2】已知函数
的零点分别为
，则
的大小顺序
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】定义
的实数根
叫函数
的躺平点．若函数
“
”
，
，
的躺平点分别为
“
”
，则
大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型八：放缩比大小
【例8】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数
有两个零点
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
与
无法比较大小
【变式8-1】已知
，比较三个数的大小，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】（2025·甘肃白银·二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-3】设实数a，b，c 满足
且
，则a，b，c 之间的大小
关系是（ ）
A．
B．
C．
D．不能比较大小
题型九：对数分母化
【例9】（2025·高三·湖北武汉·期末）已知实数a，b 满足
，
，则下列判断正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-1】若实数a，b 满足
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式9-2】（2025·贵州毕节·模拟预测）已知实数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-3】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知实数a，b 满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十：均值不等式
【例10】（2022 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-1】（2025·广西南宁·一模）设
，
，
，则a，b，c 的大小顺序为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-2】已知
，
，
，则a，b，c 的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-3】若
，
，
，则
、
、的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十一：泰勒、帕德逼近法
【例11】（2025·福建福州·模拟预测）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的
公式.其中
，
.
通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保
显示值的精确性，已知
，
，
.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-1】英国数学家泰勒发现了如下公式：
，
，其
中
.已知
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．无法判断二者大小
【变式11-2】英国数学家泰勒给出如下公式：
；
；
，其中
．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多
的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若
，
，
，
则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-3】（多选题）帕德近似是法国数学家亨利・帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给
定两个正整数
，
，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满
足：
，
，
，
，
，注：
，
，
，
，
则下列结论正确的是（ ）
A．若函数
在
处的
阶帕德近似为
，则
，
，
B．函数
在
处的
阶帕德近似
C．
D．函数
在
处的
阶帕德近似为
，当
时，
1．已知函数
的零点分别为
，则
的大小顺序为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江西新余·一模）故
，
，
，则a，b，c 的大小顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，则实数
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·山东泰安·模拟预测）
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河南许昌·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．英国数学家泰勒发现了如下公式：
，
，其中
.已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．无法判断二者大小
7．（2025·北京·三模）已知
则下面结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·天津南开·二模）已知
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
10．（2025·天津北辰·三模）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2025·天津河西·模拟预测）设
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·天津·二模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·云南·模拟预测）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2025·江西·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2025·湖北·模拟预测）已知正数
满足
，则
与
的关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2025·天津滨海新·三模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2025·天津·一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2025·天津·二模）设
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（2025·河北石家庄·三模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．已知函数
，
.若
，
，
.则下列关系式正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2025·辽宁·三模）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2025·甘肃白银·三模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（2025·河南·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2025·上海青浦·模拟预测）若正数
均不为1，则下列不等式中与“
等价的是（
”
）
A．
B．
C．
D．
27．（2025·福建漳州·模拟预测）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（2025·江西赣州·二模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（2025·北京昌平·二模）已知
，
，
，其中e 为自然对数的底数，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
30．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
31．（2025·四川自贡·二模）已知
，
，
，则
a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
32．已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
33．（多选题）（2025·湖南邵阳·三模）英国数学家泰勒发现了如下公式：
，
，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（ ）
A．
B．
（精确到小数点后两位）
C．
D．当
时，
34．（多选题）（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数
满足
，则下列不等式一定成
立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
35．（多选题）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
36．（多选题）已知正数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
37．（多选题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
