文档文本内容
培优点06 函数中的构造问题
目录
01 重点解读...........................................................................................................................................2
02 思维升华...........................................................................................................................................3
03 典型例题...........................................................................................................................................4
题型一：利用
与
构造函数...............................................................................................4
题型二：利用
与
构造函数...................................................................................................6
题型三：利用
与
构造函数..................................................................................................8
题型四：利用
与
，
构造函数.............................................................................11
题型五：利用
与
构造函数............................................................................................15
题型六：利用
与
构造函数..............................................................................................19
题型七：求不出原函数......................................................................................................................22
题型八：求出原函数..........................................................................................................................24
题型九：其它复杂类型......................................................................................................................27
题型十：抽象函数模型......................................................................................................................30
04 课时精练.........................................................................................................................................33
函数构造问题是高考数学中的高频考点，常以客观题形式呈现。这类题目往往围绕已知的等式或不等
式展开，关键在于精准捕捉其结构特征，并以此为依据构造新函数。
在解决相关问题时，构造新函数发挥着重要作用。例如在比较大小的问题中，通过构造合适函数，利
用函数的单调性等性质，能更直观地比较不同数值的大小关系；对于解不等式问题，构造新函数后，借助
函数的零点、单调区间等知识，可将复杂的不等式问题转化为对函数性质的分析；在恒成立问题里，构造
新函数后，通过求函数的最值等操作，确定参数的取值范围，从而判断不等式是否恒成立。因此，掌握函
数构造的方法和技巧，对于应对高考中的这类热点问题至关重要，能有效提升解题效率和准确性。
1、对于
，构造
，
2、对于
，构造
3、对于
，构造
，
4、对于
，构造
5、对于
，构造
，
6、对于
，构造
7、对于
，构造
，
8、对于
，构造
9、对于
，构造
，
10、对于
，构造
11、对于
，构造
，
12、对于
，构造
13、对于
，构造
14、对于
，构造
15、
；
；
；
16、
；
．
题型一：利用
与
构造函数
【例1】设函数
、
是闭区间
上的可导函数．若当
，有
．则一定有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2025·湖北·模拟预测）已知定义域为实数集
的函数
，导数均存在，且记为
，满足
，
对
恒成立，则下列结论一定成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】设
、
分别是定义在
上的奇函数和偶函数，当
时，
．
且
．则不等式
的解集是
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】设
分别是定义在
上的奇函数和偶函数，当
时，
且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：利用
与
构造函数
【例2】
是定义在
上的偶函数，
为其导函数且
，且
时，
，则不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】已知函数
的定义域为
，
，其导函数
满足
，则不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】已知函数
是定义域为
的奇函数，
是
的导函数，
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2025·贵州毕节·二模）已知函数
是定义域为
的奇函数，
是
的导函数，
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：利用
与
构造函数
【例3】已知函数
的定义域为
，
，若对任意
，都有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】已知函数
，
，
是其导函数，若
恒成立，且
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】已知定义域为
的函数
满足
，且
，则不等式
的解
集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】已知函数
在
上可导，且
，其导函数
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-4】定义在
上的函数
的导函数为
，若对任意实数
，有
，且
为奇函数，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：利用
与
，
构造函数
【例4】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数
的定义域为R，其导函数为
，若
，且当
时，
，则
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】已知函数
，又当
时，
，则关于x 的不等式
的解集为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2025·江西·模拟预测）定义在区间
上的可导函数
关于
轴对称，当
时，
恒成立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
为偶函数，
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-4】已知函数
是奇函数，对于任意的
满足
（其中
是函数
的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：利用
与
构造函数
【例5】定义在
上的函数
的导函数为
，都有
，下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】定义在
上的函数
，
是它的导函数，且恒有
成立．则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2025·高三·天津·周测）已知可导函数
是定义在
上的奇函数．当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】定义在
上的函数
，
是
的导函数，且
恒成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-4】（2025·高三·福建南平·期中）定义在
上的函数
，
是
的导函数，且
成立，
，
，
，则
，
，的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：利用
与
构造函数
【例6】已知
在
上是奇函数，且
为
的导函数，对任意
，均有
成立，
若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】（2025·山东潍坊·三模）已知函数
的导函数为
，且
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（2025·四川德阳·三模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
，
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】已知
是定义在区间
上的函数，
是
的导函数，且
，
，则不等式
的解集是 ．
题型七：求不出原函数
【例7】函数
满足：
，
，则当
时，
（ ）
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值
D．既无极大值，也无极小值
【变式7-1】定义在
上的函数
满足
，且
，则
（ ）
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值也无极小值
【变式7-2】函数
满足：
，
．则
时，
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值
D．既无极大值，也无极小值
【变式7-3】设函数
的导数为
，且
，
，
，则当
时，
（ ）
A．有极大值，无极小值
B．无极大值，有极小值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值又无极小值
题型八：求出原函数
【例8】设函数
是定义在
上的连续函数，且在
处存在导数，若函数
及其导函数
满足
，则函数
A．既有极大值又有极小值
B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值
D．有极小值，无极大值
【变式8-1】设函数
是定义在
上的连续函数，且在
处存在导数，若函数
及其导函数
满足
，则函数
A．既有极大值又有极小值
B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值
D．既无极大值也无极小值
【变式8-2】设
是函数
定义在
上的导函数，满足
，则下列不等式一
定成立的是
A．
B．
C．
D．
【变式8-3】已知
是函数
的导函数，对于任意实数x 都有
，
，则
不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型九：其它复杂类型
【例9】已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-1】（2025·四川德阳·三模）已知函数
及其导函数
在定义域均为
且
是偶函数，其函数图象为不间断曲线且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-2】（2025·高三·重庆·期中）设
是定义在
上的连续函数
的导函数，
( 为自然对数的底数)，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-3】已知函数
的定义域为
，导函数为
，不等式
恒
成立，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-4】定义在
上的偶函数
的导函数为
，当
时，
，且
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十：抽象函数模型
【例10】定义在
上的奇函数
，且对任意实数x 都有
，
．若
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-1】（2025·高三·山东烟台·期末）已知
为定义在
上的奇函数，其导函数为
，且
为奇函数，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-2】（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数
及其导函数
的定义域都是
，若函数
是偶
函数，
也是偶函数，且
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-3】（2025·山东聊城·二模）函数
定义域为
，且满足
，若
是
偶函数，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．已知函数
是定义在
的奇函数，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·广东茂名·二模）已知函数
为
上的奇函数，
，当
时，
，不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·四川德阳·模拟预测）设定义域为
的函数
的导函数为
.已知
，
，若
在
上恒成立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知定义在
上的函数
满足
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知定义在
上的函数
，其导函数为
，满足
，
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·吉林长春·一模）已知定义在
上的函数
是
的导函数，满足
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·高三·山东烟台·期中）已知定义在R 上的函数
满足
，当
时，
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·高三·福建南平·期中）定义在
上的函数
满足
，且
，则不等式
解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．定义在
上的函数
的导函数为
，若
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知定义在
上的函数
的导函数为
，若
，且
，
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．设
在
上存在导数
，满足
，且有
的解集为（ ）．
A．
B．
C．
D．
12．（2025·吉林·二模）已知函数
的定义域为
，其导函数
满足
，则不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·高三·辽宁·期中）已知定义在
上的函数
及其导函数
，满足
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．已知函数
的定义域为
，
，其导函数
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2025·宁夏银川·三模）已知定义在R 上的奇函数
的图象是一条连续不断的曲线，
是
的导函数，当
时，
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·高三·山东菏泽·期中）已知函数
是函数
的导函数，
，对任意实数
都有
，设
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2025·江西南昌·三模）已知函数
的定义域为
，且
，对任意
，
，
则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．已知定义域为
的偶函数
，其导函数为
，对任意正实数
满足
，若
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．已知函数
的定义域为
，对任意
，有
，则不等式
的
解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．已知可导函数
的导函数为
，若对任意的
，都有
，且函数
为奇函数，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（2025·山东聊城·三模）设函数
的定义域为
，导数为
，若当
时，
，且
对于任意的实数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，有
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
23．设定义在
上的函数
的导函数为
，若
，
，则不等式
（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．已知函数
及其导函数
的定义域均为
,
，
，则不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（2025·安徽蚌埠·一模）已知函数
的定义域是
，若对于任意的
都有
，则当
时，不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2025·山东淄博·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数.当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（2025·云南昆明·模拟预测）函数
的定义域为
，其导函数为
，若
，且当
时，
，则不等式
的解集为
．
28．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数
是定义在
上的可导函数，
为其导函数，若
且
，则不等式
的解集为 .
29．（2025·福建莆田·一模）已知
的导函数为
，若
且当
时
，则不等式
的解集是 ．
30．（2025·全国·一模）定义在R 上的函数
的导函数为
，若对任意实数x，有
，且
为奇函数，则不等式
的解集是 ．
31．（2025·高三·辽宁·期末）已知定义在
上的偶函数
，当
时，
.且
时，
恒成立，且
，则
时，不等式
的解集为
.
32．（2025·安徽黄山·一模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，
是偶函
数，函数
的图象是一条连续不断的曲线且
，则不等式
的解
集为 ．
33．已知定义在
上的函数
满足
为
的导函数，当
时，
，则不等式
的解集为 ．
34．已知函数
的定义域为
，
，对任意
，
，则
的解集为 .
