文档文本内容
培优点03 函数性质的综合应用
目录
01 重点解读..........................................................................................................................................2
02 思维升华..........................................................................................................................................3
03 典型例题..........................................................................................................................................4
题型一：函数的奇偶性与单调性........................................................................................................4
题型二：函数的奇偶性与周期性........................................................................................................4
题型三：函数的奇偶性与对称性........................................................................................................5
题型四：函数的双式性质问题............................................................................................................6
题型五：函数与导数的性质................................................................................................................7
题型六：抽象函数赋值模型................................................................................................................7
题型七：非常规的函数对称................................................................................................................8
题型八：函数性质的综合应用............................................................................................................9
04 课时精练........................................................................................................................................ 11
函数性质的综合运用一直是历年高考的热门考查方向，常以客观题形式呈现。解题时，需深入剖析函
数所具备的性质特征，并借助函数图象这一直观工具来探究其性质。通常，高考题会将函数的多种性质相
互交织、综合考查，要求考生具备灵活运用知识、全面分析问题的能力。
函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性，堪称函数的四大核心性质。在高考的命题舞台上，这四大
性质常常携手登场、综合考查，给考生带来不小的挑战。
在解题过程中，我们常常需要巧妙借助函数的奇偶性、对称性和周期性这些“神奇法宝”。它们就像
一把把钥匙，能帮助我们打开另一区间上函数单调性的“神秘大门”，实现不同区间的灵活转换。就好比
在复杂的迷宫中，找到了一条通往正确路径的捷径。
当我们成功确定另一区间的单调性后，就如同掌握了解决问题的关键密码。接下来，便可以充分利用
函数的单调性这一有力武器，去攻克与函数相关的各类问题，无论是求值、比较大小，还是求解不等式等，
都能更加得心应手。
题型一：函数的奇偶性与单调性
【典例1-1】（2025·湖北·模拟预测）已知函数
，若对
，
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2025·广西河池·二模）设函数
是定义在
上的偶函数，且在区间
上单调递增.若
实数
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【变式1-1】（2025·高三·广西·期中）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
．若不等式
对任意的
恒成立，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】已知函数
的定义域为
，
为偶函数，若对任意的
，
，都有
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：函数的奇偶性与周期性
【典例2-1】（2025·山东滨州·二模）已知定义域为
的函数
为偶函数，
为奇函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2-2】（2025·山东·一模）已知定义在
上的奇函数
满足
，且
，当
时，
，则方程
在区间
上的根的个数为（ ）
A．9
B．10
C．17
D．12
【变式2-1】已知定义在
上的奇函数
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】已知定义域为
的偶函数
满足
，则
（ ）
A．3
B．2
C．6
D．10
【变式2-3】已知
是定义在
上的奇函数，若
为偶函数且
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．6
题型三：函数的奇偶性与对称性
【典例3-1】定义在
上的函数
满足：
，且
是偶函数，则下列说法不正
确的是（ ）
A．函数
的图象关于直线
对称
B．函数
的图象关于直线
对称
C．
D．
【典例3-2】（2025·江西景德镇·二模）定义在
上的函数
满足
，
为偶函
数，
，则
（ ）
A．1013
B．1014
C．2025
D．2026
【变式3-1】若函数
的定义域为
，其图象关于点
成中心对称，且
是偶函数，则
（ ）
A．2023
B．
C．4048
D．
【变式3-2】已知定义在
上的函数
满足
，且
为偶函数，则下列说法
正确的是（ ）
A．函数
的周期为2
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
为奇函数
D．函数
的图象关于点
对称
【变式3-3】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数
的定义域为
，满足
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：函数的双式性质问题
【典例4-1】已知函数
的定义域均为
为奇函数，且
，则（ ）
A．
不为偶函数
B．
为奇函数
C．
D．
【典例4-2】（2025·云南楚雄·模拟预测）已知函数
，
的定义域均为
，且
，
，
，若
，且
，则
（ ）
A．305
B．302
C．300
D．400
【变式4-1】已知
及其导函数
的定义域为
，
为偶函数，
的图象关于点
对称，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函数
，
的定义域均为
，
为奇函数，
为偶函数，
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．2023
D．2024
【变式4-3】已知函数
为
上的奇函数，
为偶函数，且
，则
（ ）
A．3
B．
C．2
D．
【变式4-4】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数
的定义域均为
，则
（ ）
A．－4
B．－2
C．2
D．4
题型五：函数与导数的性质
【典例5-1】已知定义域为
的函数
的导函数为
，若函数
和
均为偶函数，且
，则
的值为（ ）
A．0
B．8
C．-8
D．4
【典例5-2】已知周期函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
为奇函数，
为偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
的周期为2
C．
D．
【变式5-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数
与
及其导函数
和
的定义域都为
，且
为奇函数，则下列等式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2025·高三·江苏南通·期中）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
.若
，
均为奇函数，且
，则
（ ）
A．2025
B．0
C．-4
D．4
【变式5-3】（多选题）（2025·黑龙江吉林·模拟预测）定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
关于点
对称
B．函数
关于直线
对称
C．函数
的周期为4
D．
题型六：抽象函数赋值模型
【典例6-1】（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在
上的函数
满足对任意
均有
，则称
为“
函数”.已知
为“
函数”，且
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．1
【典例6-2】（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数
满足：
，且
，
若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【变式6-1】（2025·山东·二模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【变式6-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数
满足：对于任意的x，
，都有
成立，且
，则
（ ）
A．2025
B．2024
C．1013
D．1012
【变式6-3】（多选题）（2025·广东佛山·一模）已知定义域为
的函数
满足
，且
，
为
的导函数，则（ ）
A．
为偶函数
B．
为周期函数
C．
D．
【变式6-4】（多选题）（2025·山东·一模）已知定义在R 上且不恒为0 的函数
，对任意的
，
都有
，则（ ）
A．
B．
为周期函数
C．
是奇函数
D．若
，则
题型七：非常规的函数对称
【典例7-1】（2025·江西九江·一模）定义在
上的函数
满足：①对任意
，都有
；②
的图象关于直线
对称：③
则下列说法正确的
是（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
D．
【典例7-2】（2025·高三·江西·期中）若函数
定义域为
，且
为偶函数，
关于点
成
中心对称，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】若函数
定义域为
，且
偶函数，
关于点
成中心对称，则
（ ）
A．56
B．57
C．58
D．59
【变式7-2】已知函数
及其导函数
的定义域都为R，且
为偶函数，
为奇函数，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】（2025·河北·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
，则一定正确的是（ ）
A．
的周期为2
B．
图象关于直线
对称
C．
为偶函数
D．
为奇函数
题型八：函数性质的综合应用
【典例8-1】（多选题）已知函数
及其导函数
的定义域均为R，
，且
为奇函数，记
，其导函数为
，则（ ）
A．8 是
的一个周期
B．
C．
D．
为奇函数
【典例8-2】（多选题）已知函数
和
的定义域均为
，函数
，若
均为奇函数，则下面说法一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-1】（多选题）设
与其导函数
的定义域均为
，若
的图象关于
对称，
在
上单调递减，且
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
的图象关于原点对称
C．
D．
的极小值为3
【变式8-2】（多选题）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
对任意实数a，b 都有
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若x 为正整数，则
【变式8-3】（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）函数
和
的定义域均为
且
不恒为零，若
对任意
，
，则
和
互为“关联函数”.已知
，
互为
“关联函数”，则以下说法正确的是（ ）
A．
，
中必有一个为周期函数
B．若
，则
的解析式可以为
C．
与
中至少有一个函数为奇函数
D．若
，
，则
1．设定义在
上的函数
满足
，且当
时，
.若存在实数
使得
，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．已知函数
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·高三·山西·开学考试）已知函数
，若关于
的不等式
有解，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·江西九江·二模）已知
是定义在
上周期为2 的偶函数，且当
时，
.设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设函数
的定义域为R，
为奇函数，
为偶函数，当
时，
．则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·高三·河北沧州·期中）已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
为奇函数，
且
在区间
上是增函数．记
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，
，则
（ ）
A．4050
B．4048
C．4044
D．4036
9．定义域为
的函数
的图象关于点
对称，函数
的图象关于直线
对称．若
，则
（ ）
A．0
B．50
C．2499
D．2509
10．定义在
上的函数
满足
，
为偶函数，函数
的图象关于
对
称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2025·四川宜宾·一模）已知函数
的定义域为
的图像关于
对称，且
为奇函数，
，则下列说法正确的个数为（ ）
①
；②
；③
；④
.
A．1
B．2
C．3
D．4
12．（2025·河南鹤壁·二模）已知函数
的定义域为
，若
为奇函数，且
为偶函数，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（多选题）（2025·陕西咸阳·模拟预测）设函数
，
及其导函数
，
的定义域均为
，已知
，
，且
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
C．点
为曲线
的对称中心D．
14．（多选题）（2025·河北·模拟预测）已知函数
定义域为
，函数
是
的导函数，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的一个周期为2
C．
的图象关于
对称
D．
15．（多选题）（2025·河北秦皇岛·二模）记定义在
上的函数
与
的导函数分别为
和
，若
，
，且
，则（ ）
A．
B．
的图象关于直线
对称
C．
是周期函数，且其中一个周期为8
D．
16．（多选题）设定义在
上的函数
与
的导函数分别为
和
，若
，且
为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于直线
对称
C．
D．
17．（多选题）已知函数
的定义域为
为
的导函数，且
，
，若
为偶函数，则下列一定成立的（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（多选题）已知定义在
上的偶函数
和奇函数
满足
，则（ ）
A．
的图象关于点（2，1）对称
B．
是以8 为周期的周期函数
C．
D．
19．（多选题）（2025·四川成都·三模）已知函数
，对任意
，均有
，且
为
的导函数，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
20．（多选题）（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知对任意
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于直线
对称
D．
21．（多选题）（2025·贵州·三模）已知函数
满足对任意的
，都有
，且
.下列结论正确的是（ ）
A．
B．
是偶函数
C．若
，则
D．若
，则4 是
的一个周期
22．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知函数
、
定义域为
，其中
为偶函数，
，且
，
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
23．（多选题）（2025·安徽合肥·二模）已知函数
的定义域为
，且
，
，则（ ）
A．
B．
，
C．
的图象关于点
对称
D．
为偶函数
24．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
的定义域为R，
，
，则
，
．
25．（2025·重庆·二模）已知函数
满足
，且
，则
.
26．（2025·浙江·二模）若定义在
上的函数
满足
，则
的最
大值是 ．
27．（2025·高三·浙江·开学考试）已知定义在
上的函数
，满足
是偶函数，
是
奇函数，则
.
28．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
，当
时，
设
，则
.
