专题 2-1 函数性质及其应用
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................5
【题型一】“和定为轴”型......................................................................................................................................5
【题型二】自变量与函数值“和”为定值型......................................................................................................9
【题型三】”差定为期”型....................................................................................................................................11
【题型四】“类正弦函数”型...............................................................................................................................13
【题型五】“系数不为1”.....................................................................................................................................17
【题型六】一个特殊的中心对称函数.................................................................................................................20
【题型七】“类周期”函数型...............................................................................................................................23
【题型八】“取整函数”的性质...........................................................................................................................27
【题型九】“跟随函数”型....................................................................................................................................29
【题型十】“复合二次”型函数...........................................................................................................................32
【题型十一】“嵌套函数”型...............................................................................................................................36
【题型十二】“存在对称点”型...........................................................................................................................40
专题训练.........................................................................................................................................................................43
讲高考
1．（2022·全国·高考真题（理））已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到 ，从而得到
， ，然后根据条件得到 的
值，再由题意得到 从而得到 的值即可求解.
【详解】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以 。因为 ，所以 .
所以
.
故选：D2．（2021·天津·高考真题）设 ，函数 ，若 在
区间 内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 最多有2个根，可得 至少有4个根，
分别讨论当 和 时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】 最多有2个根，所以 至少有4个根，
由 可得 ，
由 可得 ，
（1） 时，当 时， 有4个零点，即 ；
当 ， 有5个零点，即 ；
当 ， 有6个零点，即 ；
（2）当 时， ，
，
当 时， ， 无零点；
当 时， ， 有1个零点；
当 时，令 ，则 ，此时 有2个零
点；
所以若 时， 有1个零点.
综上，要使 在区间 内恰有6个零点，则应满足
或 或 ，
则可解得a的取值范围是 .
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成 和 两种情况分别讨论两个函数的零
点个数情况.
3．（2021·全国·高考真题（理））设函数 的定义域为R， 为奇函数，
为偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式
，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
[方法二]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性
进而达到简便计算的效果．
4．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域为R，且
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以
，令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函
数，令 得， ，即有 ，从而可知 ， ，故 ，即
，所以函数 的一个周期为 ．因为 ，
， ， ，
，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中
知 ，解得 ，取 ，
所以 ，则
，所
以 符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以
，
由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函
数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
5．（2013·全国·高考真题（理））若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对
称，则f(x)的最大值是______.
【答案】16；
【详解】依题意， 为偶函数，
展开式中 的系数为 ，故 ， 的系数为 ，故 ，令 ，
得 ，由对称轴为-2可知，将该式分解为 ，可知其在
和 处取到最大值，带入 ，可知最大值为16.
【学科网考点定位】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力.
6.(2022年高考全国乙卷数学（文）真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的
大致图像，则该函数是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设 ，则 ，故排除B;
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.
故选：A.
题型全归纳
【题型一】“和定为轴”型
【讲题型】
例题1.
已知函数 ，函数 有2个零点，则实数a的
取值范围是____________．
【答案】 或
【分析】本题考查了导数的几何意义，函数的零点与函数图象的关系，
作出 的函数图象，结合函数图象求出当直线 与 的图象有两个交点时的斜率
范围即可．
【详解】解：函数 ，函数的图象关于 对称，绘制函数图像如图所示，函数 有2个零点则函数 与函数 有2个交点，
当斜率为零，即 时，由图像可得有两个交点，则 成立；
当斜率不为零，即 时，
如图所示，考查临界情况，当直线与函数相切时，
设切点坐标为 ，由题意可得： ,解得 则直线与函数相切时斜率
为 ，
数形结合可知实数a的取值范围是 ．综上，答案为： 或 ．
例题2.
.已知 是R上的偶函数，且 ， ，当 ，且
时， ，则当 时，不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用单调性的定义判断得 在 上单调递减，由偶函数的性质得到
关于 轴对称，由 得到 关于 对称，再由 求得
，从而列出 与 在 上的正负情况，由此得到
的解集.
【详解】因为当 ，且 时， ，不妨设 ，则
，故 ，即 ，所以 在 上单调递减，
又因为 是R上的偶函数，所以 关于 轴对称，故 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 关于
对称，故 在 上单调递增，即 在 上单调递增，且
，
所以 与 在 上的单调与正负情况如下：
0增 减 减 增 增
由上表可知， 的解集为 .故选：D.
【讲技巧】
函数 对于定义域内任意实数 满足 ，则函数 关于直线
对称，特别地当 时，函数 关于直线 对称；
简称“和定为轴”
【练题型】
1.定义在R上的偶函数 满足 ，当 时， ，若在区
间 内，函数 有5个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数的奇偶性和对称性可知 是周期为 的函数，结合奇偶性和函数解析式
可得当 的解析式，转化 在 上有5个零点，转化为函数 与
在 上有5个交点，结合图象，求解即可.
【详解】由题，令 替换 ，则 ，
又 是偶函数，所以 ，则 ，所以 是周期函数， ，
因为当 时， ，则当 ，即 时，
，
因为 在 上有5个零点，所以 与 在 上有
5个交点，
如图所示， 又 ，
，所以当 时， 在 上有两个零点，此时需要 ，
即 ，所以 ，所以 ；
当 时， 在 上有一个零点，
此时需要 ，即 ，所以 ；所以
，故选：C
2.定义在 上的可导函数 ，其导函数记为 ，满足 ，且当
时，恒有 .若 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由 ，构造函数 ，易得当 ， 为增函数，且由题设
可得 ，所以函数 的图象关于直线 对称，结合 与 的关系，
函数的对称性与单调性性质，即可求解.
【详解】令 ，则 .∵当 时，恒有 ，
即 ，
∴当 时，函数 为增函数.而 ，
——① ——②
把②代入①得： ∴ .
∴函数 的图象关于直线 对称，
∴函数 在 上为增函数，在 为减函数.由 ，
得 ，即 ，
∴ ，解得 .∴实数 的取值范围是 .故选：A
3.已知函数 （ ）（ ∈ ）满足 （ ） （ ），若函数 与 （ ）图象的
2
交点为（ ，f x），（x R， ），f…，x （=f ，a-x），且 y=|x -，ax则-5| （y= f x）
1 1 2 2 m m
A． x y xB．y x yC． =2m Da．=
【答1案】D∵f（x）=f（a-x2），∴f（x）的图象关3于直线x= 对称，又y4=|x2-ax-5|的图象关
于直线x= 对称，当m为偶数时，两图象的交点两两关于直线x= 对称，∴x+x+x+…+x = •a=2m，解
1 2 3 m
得a=4．
当m奇数时，两图象的交点有m-1个两两关于直线x= 对称，另一个交点在对称轴x=
上，
∴x+x+x+…+x =a• + =2m．解得a=4．故选：D．
1 2 3 m
【题型二】自变量与函数值“和”为定值型
【讲题型】
例题1.对于定义在 上的函数 ，点 是 图像的一个对称中心的充要条件是：
对任意 都有 ，判断函数 的对称中心______.
【答案】
【分析】根据点 是 图像的一个对称中心的充要条件，列出式子，即可得出结
果.
【详解】解：因为 ，由于
.即 ， .所以 是 的
一个对称中心.
故答案为： .
例题2.已知函数 ，若 ，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据条件先分析 的结果，由此确定出 的奇偶性和单调性，再
将问题转化为“已知 ，求解 的取值范围”，根据单调性列出关于 的不
等式并求解出结果.
【详解】由题可知 且
， ，令 ，则
且定义域为 关于原点对称，即 为奇函数， 函数 与
在 上均单调递增，
与 在 上单调递增， 在 上单调递增，即 在 上也单调递增且 ，又 为奇函数， 在 上单调递增，
不等式 等价于 ，
， 在R上单调递增， ，解得
，
实数a的取值范围是 ，故选：A.
【讲技巧】
若 满足 ，则 关于 中心对称
【练题型】
1.设函数 ，若对于任意实数 ，
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，求出该函数的定义域为 ，分析出函数 为奇函数且
在 上为增函数，将所求不等式变形为 ，可得出
，进而可求得实数 的取值范围.
【详解】设 ，对任意的 ，
，
所以，函数 的定义域为 ，
，
所以，函数 为奇函数，当 时，对于函数 ，内层函数
为增函数，外层函数 为增函数，所以，函数 在
上为增函数，所以，函数 在 上为增函数，
由于函数 为奇函数，则该函数在 为增函数，
又函数 在 上连续，所以，函数 在 上为增函数，
由 得 ，
即 ， ，
所以， .令 ，构造函数 ，由双勾函数的单调性可知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， ， ，所以， ，解
得 .故选：D.
2.函数 ，若 最大值为 ，最小值为 ， ，
则 的取值范围是______.
【答案】
【分析】
先化简 ，然后分析 的奇偶性，将 的最大值和小值之和转化
为和 有关的式子，结合对勾函数的单调性求解出 的取值范围.
【详解】
，
令 ， 定义域为 关于原点对称，
∴ ，
∴ 为奇函数，∴ ，∴ ，
，由对勾函数的单调性可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ， ， ，∴ ，∴
，
故答案为： .
3.已知函数 满足 ，若函数 与 图像的交点为
，则 ____________.
【答案】10
【分析】
由已知得到函数 是关于点 对称，函数 经过化简也关于 对称，由此
可知两个函数的交点就关于 对称，根据点的对称性，就可以得到 的值.
【详解】
因为函数 满足 ，即满足 ，所以 是关于点 对称，
函数 关于点 对称，
所以函数 与 图像的交点 也关于点 对称，
故交点 成对出现，且每一对点都关于 对称，
故 .
故答案为：10.
【题型三】”差定为期”型
【讲题型】
例题1.若偶函数 在定义域内满足 ，且当 时， ；则
的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．9 D．18
【答案】D
【分析】由题， 的零点的个数即 的交点个数，再根据
的对称性和周期性画出图象，数形结合分析即可
【详解】由 可知偶函数 周期为2，故先画出 时， 的函
数图象，再分别利用偶函数关于 轴对称、周期为2画出 的函数图象，则 的零点
个数即为 的零点个数，即 的交点个数，易得在 上有
个交点，故在定义域内有18个交点.
故选：D
【讲技巧】
对 定义域内任意 有 ，则 周期为 .
若 ,则周期为 ,若 满足
,周期均为 , 为非零常数;
【练题型】
1.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－
log |x|的零点个数是（ ）
3
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数，将函数零点转化为求两个函数图象交点的个
数即可，作出图象观察得出结论.
【详解】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．
在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log |x|的图象，如下：
3观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log |x|有4个零点．故选：D.
3
2.定义在R上的函数 满足 ，且当 时，
，若在区间 上函数 恰有4个不同的零点，
则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可得函数 的周期为2，函数 与 的图象在区间 上有4个
交点，利用数形结合即得.
【详解】因为定义在R上的函数 满足 ，
所以 ，即 是周期为2的函数，
由 ，可得 ，
因为在区间 上函数 恰有4个不同的零点，
所以函数 与 的图象在区间 上有4个交点，
作出函数 与 的大致图象，
由图象可知 ，解得 ，
即实数m的取值范围为 .故选：D.
3.已知函数 满足 ，当 时， ，则 在
上的零点个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D【分析】由题意可得函数 的周期为 ，令 可知当 时，
有两个零点，又因为 ，即可得出 在 上的零点个数.
【详解】因为函数 满足 ，所以 ，
所以函数 的周期为 ，
当 时， ，
令 ，解得： 或 或 （舍去），
所以当 时， 有两个零点，
所以 在 上的零点个数为 ，
又因为 ，所以 在 上的零点个数为 个.
故选：D.
【题型四】“类正弦函数”型
【讲题型】
例题1.函数 是定义在 上的奇函数，且 为偶函数，当 时， ，
若函数 恰有一个零点，则实数 的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据条件判断函数周期为 ，求出函数在一个周期内的解析式，将函数的零点转化为
与直线 只有一个交点，结合函数图像，即可求解.
【详解】函数 是定义在 上的奇函数，且 为偶函数，
，
，即 ，
的周期为 . 时， ，
，
， ， 周期为4，
，
当 ，当
，
做出函数 图像，如下图所示：令 ，
当 ， ， ，两边平方得
，
，此时直线与 在 函数图像相切，与函数
有两个交点，同理 ，直线与 在 函数图像相切，与函数有两个交点，
则要使函数 在 内与直线 只有一个交点，则 满足 ， 周
期为4，
范围也表示为 ，所以所有 的取值范围是 .
故选:D.
例题2.已知 是定义域为 的奇函数，满足 .若 ，则
A．-2019 B．1 C．0 D．2019
【答案】C
【分析】
推导出函数 为周期为4的周期函数，
， 由此能求
出
【详解】
是定义域为 的奇函数，满足 ，则有 ，又
由函数 为奇函数，则 ，则有
则函
数 是周期为4的周期函数，
，
【讲技巧】
若函数 关于 轴对称，关于 中心对称，则函数 的周期为 ，
若函数 关于 轴对称，关于 轴对称，则函数 的周期为 ，
若函数 关于 中心对称，关于 中心对称，则函数 的周期为 .
【练题型】
1.已知定义在R上的偶函数 满足 且 时有
，而 在区间 上至多有10个零点，
至少有8个零点，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
有已知条件可得 函数周期为4，由 为偶函数即可得
，由题意知在区间 上零点问题可转化为函数
与 有交点且零点个数即为函数图象交点的个数，结合函数图像分析即
可求 的取值范围
【详解】
由 时有 ，知：
∴ ，即 的周期为4
∵在R上 为偶函数，令 ，则
∴
综上，周期为4的函数
在区间 上有零点，则 有 ，即可转
化为函数 与 有交点，因为 图象必过 ，在 上
至多有10个交点，至少有8个交点，即可得到如下函数图象
由图知：有8个交点时， 必过 ，即由图知：有10个交点时， 必过 ，即
∴ 故选：D
2.已知 是定义在 上的奇函数，且 ．当 时， ，
则函数 在区间 上的所有零点之和为（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】D
【分析】
先分析得到函数 的周期和对称轴，再作出函数 的图象，利用对称性得解．
【详解】
由题意得， ，∴ ，即 周期为4．
∵ ，∴ 的图象关于 对称．作出 图象如图所示，
则 的零点即为 图象与 图象的交点的横坐标，
四个交点分别关于点 对称，则 ，即零点之和为8，
故选:D．
3.已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，且当 时，
.若 ，则 （ ）A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】由 为偶函数， 为奇函数得到 ，故函数 的
周期 ，结合 得到 ，由 得 ，从而求出 ，
采用赋值法求出 ， ，再使用求出的 的周期 ，赋
值法得到 .
【详解】因为 为偶函数，所以 ，用 代替 得：
，
因为 为奇函数，所以 ，故 ①，
用 代替 得： ②，由①② 得： ，
所以函数 的周期 ，所以 ，即 ，
因为 ，令 得： ，故 ， ，解得：
，
所以 时， ，因为 ，令 ，得 ，
其中 ，所以 ，因为 ，
令 得： ，即 ，
因为 ，所以 ，因为 ，令 得：
，
故 ， .故选：C
【题型五】“系数不为1”
【讲题型】
例题1.已知 是定义在 上的函数，且满足 为偶函数， 为奇函数，
则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的周期为2 B．函数 关于直线 对称
C．函数 关于点 中心对称 D．
【答案】C
【分析】根据 为偶函数推导出 ，根据 为奇函数，得到
，得到函数的图象关于点 对称，故B错误，C正确；
由由 及 推导出 ，故周期为4，A错误；
根据函数的周期性求出 ，D错误.
【详解】∵ 为偶函数，∴ ，∴ ，故 即 ，∴函数 的图象关于直线
对称.
∵ 为奇函数，∴ ，
∴ ，所以函数的图象关于点 对称，故B错误，C正确；
由 及 知， ，∴
，
∴ ，即 ，∴ ，故
∴函数 的周期为4，A错误，
，故D错误.
故选：C.
【讲技巧】
对于“系数不为1”的复合型函数，一般情况下，内函数多为一次函数型：
涉及到奇偶性时处理方法有：
1.利用奇偶性直接替换题中对应的变量。
2.类比三角函数
23.引入新函数，如
【练题型】
1.若函数 的定义域为 ，且 偶函数， 关于点 成中心对称，则下
列说法正确的个数为（ ）
① 的一个周期为2 ②
③ 的一条对称轴为 ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由题意，根据函数的对称性，可得 ， ，
且 ，根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；
根据函数的轴对称性的性质，可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函
数的对称性，可得 ， ，可判④的正误.
【详解】因为 偶函数，所以 ，则 ，即函数
关于直线 成轴对称，
因为函数 的图象是由函数 的图象向左平移 个单位，所以函数 关于点
成中心对称，则 ，且 ，
对于①， ，，则函数 的周期 ，
故①错误；
对于②， ，故②正确；
对于③， ，故③正确；
对于④， ，则 ，
，则 ，
由 ，则
，故④正确.
故选：C.
2.已知定义在 上的函数 ，满足 为奇函数且 为偶函数，则下列结
论一定正确的是（ ）
A．函数 的周期为 B．函数 的周期为
C． D．
【答案】C
【分析】推导出 ， ，可推导出函数 的周期，
可判断AB选项的正误；利用函数 的周期性和对称性可判断CD选项的正误.
【详解】因为函数 为奇函数，则 ，
令 ，则 ，
所以，对任意的 ， ，
故函数 的图象关于点 对称，
因为函数 为偶函数，则 ，
令 ，可得 ，
所以，对任意的 ， ，故函数 的图象关于直线 对称，
所以， ，
所以， ，则 ，
所以，函数 的周期为 ，AB都错；
对任意的 ， ，令 ，可得 ，
，
的值不确定，C对D错.
故选：C.
3.已知 是定义在R上的函数，且满足 为偶函数， 为奇函数，则下
列说法一定正确的是（ ）．
A．函数 的图象关于直线 对称 B．函数 的周期为2
C．函数 关于点 中心对称 D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性、对称性与周期性对选项逐一分析即可.【详解】因为 为偶函数，所以 ，
所以 ， ，
所以函数 关于直线 对称，不能确定 是否关于直线 对称，A错误；
因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以函数 关于点 中心对称，故C错误，
由 与 得 ，即
，
故 ，所以函数 的周期为4，故B错误；
，故D正确．
故选：D．
【题型六】一个特殊的中心对称函数
【讲题型】
例题1.设函数 是 的导数，经过探究发现，任意一个三次函数
的图象都有对称中心 ，其中 满足 ，
已知函数 ，则
A．2021 B． C．2022 D．
【答案】B
【分析】
通过条件，先确定函数 图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和.
【详解】
由 ，可得 ， ，令
，得 ，又 ，所以对称中心
为 ，所以 ，…，
， .
所以 ．
故选：B.
例题2.函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数．已知任意一个一元三次函数的图象均为中心对称图形，若 ，则
的值为（ ）
A．－4 B．－2 C．0 D．2
【答案】A
【分析】设 的对称中心为 ，令 ，根据 为奇函数建立关系即可求出 的对称中心为 ，则 ，由此即可求得答案．
【详解】设 的对称中心为 ，
设 ，
则 为奇函数，由题可知 ，且 ，
所以 ，即 ，
则 ，
整理得 ，
所以 ，解得 ，
所以函数 的对称中心为 ；
所以 ，
．
故选：A．
【讲技巧】
设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程
有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”.所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图像的对称
中心，
【练题型】
1.对于三次函数 （ ），给出定义：设 是函数 的
导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个
三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 ，则
（ ）
A．2014 B．2013 C． D．1007
【答案】A
【分析】根据对称中心的定义，由二阶求导可求出对称中心，进而根据对称中心的特征求
解.
【详解】 ，所以 ，令
， ，所以 的对称中心为 ，
故选：A2.一般地，对于一元三次函数 ，若 ，则 为三次函数 的对称
中心，已知函数 图象的对称中心的横坐标为 （ ），且 有三
个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，用a表示 ，再求出 的极大值与极小值，列式求解作答.
【详解】由函数 求导得： ，则 ，
由 解得 ，则有 ，
，当 或 时， ，当 时， ，
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
因此，当 时， 取得极大值 ，当 时， 取得极小值
，
因函数 有三个零点，即函数 的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与
性质知， ，
于是得 ，解得 ，综上得： ，实数a的取值范围是
.故选：A.
3.对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导
数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数
都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数 ，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点 对称，即 ，
即可得到结论．
【详解】解：因为 ，所以 ， ，由
，得 ，
解得 ，而 ，故函数 关于点 对称，
故 ，所以 ，所以
故选：D
【题型七】“类周期”函数型
【讲题型】
例题1..对于函数 ，有下列3个命题：
①任取 ，都有 恒成立；
② ，对于一切 恒成立；
③函数 在 上有3个零点；
则其中所有真命题的序号是 .
【答案】①③.
【解析】
试题分析：函数 的图像如图所示：
① 的最大值为1，最小值为-1，所以任取 ，都
有 恒成立，即①正确；②
，所以不正确；③函数
在 上有3个零点；故应选①③.
例题2.定义在R上的偶函数f(x) 满足①当 x≧-1时都有f(x＋2)＝2f(x)，②当x∈[0,1)时，
f(x)＝x2；则在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k零点个数最多时，实数k的取值范围
是________．
【答案】
【分析】
先根据函数为偶函数得到 ，再根据 得到
，画出函数 的图像可得 与前者有最
多的交点时 的取值范围．
【详解】
当 时， ， ，又 ，故，所以当 时， ，
当 时， ， ，
而 ，故函数 的图像如图所示.
的图像恒过 ，它与 的图像最多有5个交点，
此时 ．填 ．
【讲技巧】
如果函数在 上满足
，则此类函数在局部范围上具有与周期函数相类似的性质．初期学习可以通过左右“仿
写”来画图像。
【练题型】
1.已知函数 ，如果函数 恰有三个不同的零点，
那么实数 的取值范围是________
【答案】
【分析】
先求出函数的解析式，作出函数的图象，由题得 有三个不同的实根，数形
结合分析得到实数k的取值范围.
【详解】
当1＜x≤2时，f(x)=-x+2,
当 时，1＜2x≤2，所以f(x)= ,
当 时， ＜2x≤1，所以f(x)= ,
当 时， ＜2x≤ ，所以f(x)= ,
当 时， ＜2x≤ ，所以f(x)= ,
所以函数的图象为：其图象为线段PA,EB,GC,HD, ,(不包括上端点A,B,C,D, )直线y=k(x-1)表示过定点
P(1,0)的直线系，
由题得C( ),D( ),当直线在PD(可以取到)和直线PC（不能取到）之间时，直线和
函数f(x)的图象有三个不同的交点，由题得 .所以k的取
值范围为 .故答案为
2.若 则 在 内的所有零点之和为：
__________．
【答案】
【分析】
函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x＞2时，
利用函数的性质求解各区间上零点，最后作和求出．
【详解】当 时，f（x）＝8x﹣8，所以 ，此时当 时，g
（x） ＝0；
max
当 时，f（x）＝16﹣8x，所以g（x）＝﹣8（x﹣1）2+2＜0；由此可得1≤x≤2时，g
（x） ＝0．
max
下面考虑2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．当2n﹣1≤x≤3•2n﹣2时，由函数f（x）
的定义知 ，因为 ，所以
，
此时当x＝3•2n﹣2时，g（x） ＝0；
max
当3•2n﹣2≤x≤2n时，同理可知， ．
由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x） ＝0．
max
综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间[2n﹣1，2n]上有1个零点，从而g（x）在区间[1，2n]上有n个零点，且这些零点为 ，因此，所有这些零点
的和为 ．
故答案为 ．
3..定义在 上的函数 满足:①当 时， ；②对任意
都有 .设关于 的函数 的零点从小到大依次为
若 ，则 ____________.
【答案】
【分析】
①当 ， 时， ；②对任意 ， 都有 ． ，
时， ， ．可得 ， ，画出图象，设关于 的函数
的零点从小到大依次为 ， ， ， ， ，同理，则 ，
在区间 和 上各有1个零点，分别为 ， ，且满足
，依此类推： ， ， ．
再利用等比数列的求和公式即可得出．
【详解】
①当 ， 时， ；
②对任意 ， 都有 ． ， 时， ， ．
，
，
画出图象，
设关于 的函数 的零点从小到大依次为 ， ， ， ， ，
同理，则 ， 在区间 和 上各有1个零点，
分别为 ， ，且满足 ，
依此类推： ， ， ．
当 ，时，
，故答案为 ．【题型八】“取整函数”的性质
【讲题型】
例题1.定义函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，例如： ，
， .当 时， 的值域为 .记集合 中元素的个数为 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据条件分析出当 时，集合 中的元素个数为 ，进而可得
，再结合裂项相消法进行求和可得结果.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 在各个区间中的元素个数分别为： ，
所以当 时， 的值域为 ，集合 中元素个数为：
，
所以 ，
所以 ，
故选：D.
例题2.已知函数 ， （ 表示不超过 的最大整数，例如 ，
），则关于 和 这两个函数，以下说法错误的是（ ）
A． 是 上的增函数 B． 是奇函数
C． 是非奇非偶函数 D． 的值域是
【答案】D
【分析】
根据函数的奇偶性定义可判断选项B，C，再通过求导判断选项A，通过 的值域求得
的值域.
【详解】由 ，得 ，故函数 在 上单调递增，A选项正确；
，故函数 为奇函数成立，B选项正确；
由题意 ， ，故 ，
，故 为非奇非偶函数，C选项正确；
又 ，又 ，故 ，故 ，D选项错误；
故选：D.
【讲技巧】
取整函数 表示不超过 的最大整数，又叫做“高斯函数”，
【练题型】
1.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 ，
用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.例如： ， .已知
函数 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由 为奇函数，可先分析函数 时值域，即可得函数在R上值域，利用高斯
函数的意义求解即可.
【详解】因为 ， ，所以 是 上的奇函数.
当 时， ，所以当 时， ，
从而 的值域为 .故选：B
2.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字
命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f(x)＝ ×4x－3×2x＋4(0 x 2)，则函数y＝[f(x)]的
值域为（ ）
A． B．{－1，0，1}
C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2}
【答案】B
【分析】
令 ，换元后求得函数 的值域，再根据高斯函数定义得 的值域．
【详解】
令t＝2x，t∈(1，4)，则g(t)＝ t2－3t＋4，t∈(1，4).由二次函数性质，－ ≤f(t) ，因此
[f(t)]∈{－1，0，1}.则函数y＝[f(x)]的值域为{－1，0，1}.
故选：B.
3.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字
命名的“高斯函数”：设 用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，
也称取整函数，例如： .已知 ，则函数 的值
域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用常数分离法将原函数解析式化为 ，然后分析函数 的值域，再根
据高斯函数的含义确定 的值域.
【详解】
，
当 时， ，则 ，故 ，故
；
但 时， ，则 ，故 ，
；
综上所述，函数 的值域为 .故选：C.
【题型九】“跟随函数”型
【讲题型】
例题1.已知函数 ，若存在区间 ，使得函数 在区间 上的值域为
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数的单调性可知， ，即得 ，故可知 是方程 的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．
【详解】根据函数的单调性可知， ，即可得到 ，
即可知 是方程 的两个不同非负实根，
所以 ，解得 ．故选：D．
例题2.已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，若存在实数
，使 在 上的值域为 ，则 的值为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】
由已知画出函数 的图象且得 ，分 和 两种情况进行讨论，利用函
数的单调性可得答案.
【详解】
因为 为奇函数，所以 ，如图，
由区间概念可推知 ，得 ，
（1）当 时， ，从而 ，即 ，所以 ，由图得
在 上为减函数，所以 ，这两个关系等价于“ ， 是方程
的两个根，且 ”，
由方程 ，得 ，解得 ， ，所以 ，
，即 ；
（2）当 时，
，从而 ，即 ，所以 ，由图得 在 上为减函数，所以 ，这两个关系等价于“ ， 是方程
的两个根，且 ”，
由方程 ，得 ，解得 ， ，
解得 ， ，即 ，故选：D.
【讲技巧】
“跟随函数”有多种定义形式，如以下常见的几种定义：
1.若函数 自变量的取值区间为 时，函数值的取值区间恰为 ，就称区
间 为 的一个“和谐区间”.
2.如果函数 在定义域的某个区间 （ ）上的值域恰为 （ ），
则称函数 为 上的k倍域函数， 称为函数 的一个k倍域区间．
3.如果函数 在定义域内存在区间 ，使得该函数在区间 上的值域为
，则称函数 是该定义域上的“和谐函数”.
【练题型】
1.设函数 的定义域为 ，若满足条件：存在 ，使 在 上的值域为
（ 且 ），则称 为“ 倍函数”，若函数 为“3倍
函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数与方程的关系得：函数 为“3倍函数”，即函数
的图像与直线 有两个不同的交点，设 ，再利用导数可得求出 的单
调区间，只需 ，即可求出
【详解】因为函数 为增函数，由函数 为“3倍函数”，即
函数 的图像与直线 有两个不同的交点，设 ，则
，又 ，所以 ，则当 时， ，
当 时， ，所以函数 在 为减函数，在
为增函数，
要使 的图像与直线 有两个不同的交点，则需 ，即所以 ， 所以 所以 所以 所以
即
又 ，所以 故选A
2.设函数 ，若存在实数 ，使 在 上的值域为 ，则实
数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题设可知该复合函数在区间 上单调递减，则可得 ，
.由这两式联立可转化得 ，以及 ，记
， ，代入整理后可得 ，最后根据二次函数
值域的求法，再结合题中对 的限制条件（ ），即可求出最终结果.
【详解】由 得 ，且由复合函数的单调性可知函数 为减函数，故有
， ，两式相减可得 ，即
，
则 ，两式相加可得 ，记 ，
，
故有 ， ， ，代入可得
，
又因为 ，且 均为非负数，故 ，则由二次函数的值域可得：
当 或 时， 取到最大值 ，但当 时， ，与 矛盾，则 取不到最小
值 ，所以 的取值范围是 .故选：A.
3.设函数的定义域为D，若满足条件：存在 ，使 在 上的值域为 ，
则称 为“倍缩函数”.若函数 为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据定义及函数单调性，分析可得关于x的方程，判断出方程有两个不等的实数
根；构造函数 ，通过求导求得极值点，代入后求得t的最大值．
【详解】因为函数 为“倍缩函数”，且为递增函数所以存在 ，使 在 上的值域为 。则 ，由此可知等价于
有两个不等实数根。令 则 ，令
解得
代入方程得 解得 ，因为有两个不等的实数根
所以t的取值范围为 所以选B
【题型十】“复合二次”型函数
【讲题型】
例题1.已知函数 ，则函数 有5个零点时
m的范围_____________.
【答案】
【分析】
首先研究函数 的性质得到函数的图像，然后结合复合函数的性质和二次函数的图像即
可确定m的取值范围.
【详解】当 时, ，在区间 上， 单调递
减，
在区间 上， 单调递增，故函数在 处取得极小值 ，
据此绘制函数 的图像如图所示， 结合函数图像和
题意可知原问题等价于函数 与函数 有两个交点，且交点的横坐标的范围
分别位于区间 和区间 内，
观察二次函数的图像可得m的范围是 .
例题2.已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时，，若函数 有且仅
有 个不同的零点，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 得 或 .因为当 时，
单调递增且 ；当 时， 单调递减且 ；又函数
是定义在 上的偶函数，所以当 时， ；当 或 时，
；因此 有四个根，从而 必须有且仅有两个根，即
，选A.
【讲技巧】
已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：
(1) 直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范
围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后
数形结合求解．一是转化为两个函数y=g(x),y= ℎ(x)的图象的交点个数问题，画出
两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y=a,y=g(x)的交
点个数的图象的交点个数问题 .
【练题型】
1.已知函数 ，又 ，若方程 有 个不同的
实根，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
时， ， ，由此可得 ， ， 递增，
时， ， 递减， ，因此在 时， ，
当 时，易知 是增函数，且 ， ，由 得
，设 ， 显然不是此方程的解，因此
有4个不同的实根，则 有两个不等实根，其中 ，所以
，解得 ．故选C．2.定义域为 的偶函数 ，当 时， ，若关于 的方程
有且仅有6个不等的实数根，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据偶函数画出函数图像，得到 的根的个数情况，根据
有且仅有6个不等的实数根得到 或
，再根据韦达定理得到答案.
【详解】当 时， ， 为偶函数。画出函数图像，如图所示：
根据图像知：
当 时： 无解；
当 时： 有2个根；
当 时： 有4个根；
当 时： 有2个根；
当 时： 有1个根；
当 时： 无解；
有且仅有6个不等的实数根
和 满足： 或 则满足：则满足： 综上所述：
故选：
3.已知函数 ，则函数 的零点个数是
个时，下列选项是 的取值范围的子集的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】当 时， ，当 时， ，令 则
,显然 是一个零点，当 与 相切时，
；直线 过点 时 ；直线 与 必
有一个交点
当 时， 的根有三个 ，而对应 的解有1,3,3个，
不满足，所以舍去B；当 时， 的根有两个 ，而
对应 的解有1,3个,满足条件；当 时， 的根有三个
，而对应 的解有1,2,3个，不满足，所以舍去D；当
时， 的根可能四个 ，而对应
的解有1,0,3，2个，不满足，所以舍去C；综上选A.
【题型十一】“嵌套函数”型
【讲题型】
例题1.已知函数f (x)为R上的奇函数，当x≥0时f (x)=x2−2x，若函数g(x)满足g(x)=¿且
f (g(x))−a=0，有6个不同的解，则实数a的取值范围为（ ）
A．a<−1 B．−1<a<0 C．0<a<1 D．a>1
【答案】C
【分析】设t=g(x)，作出函数f(t)的图象，结合函数图象讨论出结论，若满足有6个不同的解，
则函数f(t)=a有三个根t ,t ,t ，且必须满足t ∈(−2,−1)，t ∈(−1,0)，
1 2 3 1 2
t ∈(2,+∞)，从而得到a的取值范围．
3
【详解】
因为函数f (x)为R上的奇函数，当x≥0时f (x)=x2−2x，
令x<0，则−x>0，则f (−x)=x2+2x，
又f (x)=−f (−x)=−x2−2x
所以f (x)=¿，
设t=g(x)，作出函数f(t)的图象，
当0<a<1时，
则函数f(t)=a有三个根t ,t ,t ，且t ∈(−2,−1)，t ∈(−1,0)，t ∈(2,+∞)
1 2 3 1 2 3
又g(x)=¿图像如图：
当t ∈(−2,−1)时，即g(x)∈(−2,−1)无解，当t ∈(−1,0)时，即g(x)∈(−1,0)
1 2
有4个解，
当t ∈(2,+∞)时，即g(x)∈(2,+∞)有2个解，
3
方程f (g(x))−a=0恰好有6个不同的解，
同理当a<−1时，函数f(t)=a有一个根t∈(−∞,−2)，此时g(x)∈(−∞,−2)无解；
当−1<a<0时，函数f(t)=a有三个根t ,t ,t 如图，且t ∈(−∞,−2)，t ∈(0,1)，
1 2 3 1 2
t ∈(1,2)；
3
此时结合g(x)函数图像，g(x)∈(−∞,−2)无解，g(x)∈(0,1)和g(x)∈(1,2)均有2
个解，共4个解，不满足题意；
当a>1时，函数f(t)=a有1个根t∈(2,+∞)此时g(x)∈(2,+∞)只有2个解，不满足题
意；
综上，选项A,B,D都不符合，选项C符合，故选：C( 1 )
例题2.已知函数f(x)=¿ 则方程f x+ +1 =a恰好有4个不同的解，则实数a的取值范
4x
围为_________．
【答案】{0}∪(1,+∞)
【分析】
1 ( 1 ) 1
令x+ +1=t，f x+ +1 =a⇔f (t)=a，作出f (x)图像，作出t=x+ +1图像，
4x 4x 4x
通过图象分析解的各种情况．
【详解】
1 ( 1 )
解:令x+ +1=t，f x+ +1 =a⇔f (t)=a，
4x 4x
1
作出f (x)图像，作出 t=x+ +1图像，
4x
1°，a>2时，f (t)=a有两根，设为t ，t ，则2<t <3，t >3，
1 2 1 2
1 1
即x+ +1=t ，此时有2个根，x+ +1=t ，此时有2个根，
4x 1 4x 2
共4个根，满足条件.
9
2°，a=2时，f (t)=a，解得t=1或 或6，
4
1 1 9 1
即x+ +1=1，无解，x+ +1= ，2解，x+ +1=6，2解，
4x 4x 4 4x
共4个解，满足条件.
3°，1<a<2时，f (x)=a，有四个根，设为t ，t ，t ，t ，
3 4 5 6
9 5
其中0<t <1，1<t <2， <t < ，4<t <6，
3 4 4 5 2 6
1 1
即x+ +1=t ，无解，x+ +1=t ，无解，
4x 3 4x 4
1 1
x+ +1=t ，2解，x+ +1=t ，2解，
4x 5 4x 6
共4个解，满足条件.
4°a=1时，f(t)=a有4个根，0，2，m，n（2<m<3,n>3），
1 1 1 1
x+ +1=0，1解，x+ +1=2，1解，x+ +1=m，2解，x+ +1=n，2解，
4x 4x 4x 4x共6解，不满足条件.
5°0<a<1时，f (t)=a，有3个根，设为t ，t ，t ，
7 8 9
5
其中t <0， <t <3，3<t <4，
9 2 8 9
1 1 1
即x+ +1=t 有2解，x+ +1=t 有2解，x+ +1=t 有2解，
4x 7 4x 8 4x 9
共6解，不满足条件.
6°a=0时，f (t)=0，有两根−1−√2和3，
1 1
x+ +1=−1−√2有2个根，x+ +1=3有2个根，
4x 4x
共4个根，满足条件，综上a∈{0}∪(1,+∞).故答案为：{0}∪(1,+∞).
【讲技巧】
对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数与外层函数；
（2）确定外层函数的零点 ；
（3）然后确定直线 与内层函数的交点个数 ，最后
得到原函数的零点个数为 .
【练题型】
a 1
1.已知函数f (x)=x+ ，其中a∈R，若关于x的方程f (|2x−1|)=2a+ 有三个不同的实
x 3
数解，则实数a的取值范围是______．
2
【答案】a≥
3
【分析】
设t=|2x−1| ，画出函数图像得到0<t <1,t ≥1，讨论0<t <1,t >1和0<t <1,t =1两
1 2 1 2 1 2
种情况，分别计算得到答案.
【详解】
设t=|2x−1| ，如图所示，画出函数图像，有三个不同的实数解，需满足0<t <1,t ≥1
1 2
f (|2x−1|)=2a+ 1 即t+ a =2a+ 1 ∴t2− ( 2a+ 1) t+a=0
3 t 3 3
设g(t)=t2− ( 2a+ 1) t+a，当0<t <1,t >1，满足：¿ 解得：a> 2
3 1 2 3
2 2 2
当0<t <1,t =1，解得a= ，此时t = ，满足综上所述：a≥
1 2 3 1 3 3
2
故答案为a≥
32.已知f (x)是定义域为(0,+∞)的单调函数，若对任意的x∈(0,+∞)，都有
f[f (x)+log x]=4
1 ，且方程|f (x)−3|=a在区间(0,3]上有两解，则实数a的取值范围是（
3
）
A．0<a≤1 B．a<1 C．0<a<1 D．a≥1
【答案】A
【分析】根据函数f (x)的定义域和单调函数，可得必存在唯一的正实数m满足
f(x)+log x=m f(m)+log m=m
1 ，∴f (m)=4，结合 1 ，可得m=3，所以函数
3 3
f(x)=3−log x
1 ，由方程
3
|log x|=a
|f(x)−3|=a在区间(0,3]上有两解，则 1 在区间(0,3]上有两解，设
3
g(x)=|log x|
1 ，作出函数g(x)在(0,3]上的图象， 结合图象，可得实数a的取值范围.
3
解:因为函数f (x)是定义域为(0,+∞)的单调函数，对于任意的x∈(0,+∞)， 都有
f [f(x)+log x]=4
1 ，
3
f(x)+log x=m
所以必存在唯一的正实数m满足 1 ，∴f (m)=4，
3
f(m)+log m=m 4+log m=m log m=m−4
所以 1 ，可得 1 ，即 1 ，所以m=3，
3 3 3
f(x)+log x=3 f(x)=3−log x
所以 1 ，所以函数 1 ，
3 3
|log x|=a
由方程|f(x)−3|=a在区间(0,3]上有两解，则 1 在区间(0,3]上有两解，
3
g(x)=|log x|
设 1 ，作出函数g(x)在(0,3]上的图象，如图所示，
3
结合图象，可得方程|f(x)−3|=a在区间(0,3]上有两解， 实数a满足0<a≤1.故选:A
3.函数f(x)=¿，则关于x的方程f [f(x)]=0的实数解最多有( )
A．4个 B．7个 C．10个 D．12个
【答案】D
【详解】
分析：判断f（x）的单调性，作出f（x）大致函数图象，求出f（t）=0的解，再根据f
（x）的图象得出f（x）=t的解得个数即可得出结论．xex
详解：当x＞﹣1时，f' (x)= ，
(x+1) 2
∴f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
∴当x=0时，f（x）取得极小值f（0）=1+a．
当x≤﹣1时，由二次函数性质可知f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，﹣1]上
单调递增，
∴当x=﹣2时，f（x）取得极小值f（﹣2）=﹣1．
不妨设1+a＜0，则f（x）=0有4个解，不妨设从小到大依次为t，t，t，t，
1 2 3 4
则t=﹣3，t=﹣1，﹣1＜t＜0，t＞0．
1 2 3 4
再令1+a＜﹣3，作出f（x）的函数图象如图所示：
∵f[f（x）]=0，
∴f（x）=t，（i=1，2，3，4）．
i
由图象可知f（x）=﹣3有2解，f（x）=﹣1有3解，f（x）=t 有4解，f（x）=t 有3解，
3 4
∴f（f（x））=0最多有12解．故答案为D
【题型十二】“存在对称点”型
【讲题型】
例题1.函数 与 的图象上存在关于直线 对称的点，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，曲线 与 有公共点，即方程 有解，可得
有解，令 ，则 ，对 分类讨论，得出 时，
取得极大值 ，也即为最大值，进而得出结论.
【详解】解：由题可知，曲线 与 有公共点，即方程 有解，
即 有解，令 ，则 ，
则当 时， ；当 时， ，
故 时， 取得极大值 ，也即为最大值，
当 趋近于 时， 趋近于 ，所以 满足条件．故选：C.
例题2.已知函数 ，若曲线 上存在两点，这两点关于直线
的对称点都在曲线 上，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 与 图像关于直线 对称，所以只需 与
有两个交点，即方程 有两个根，显然 是其一个根，所以只需要
在 或 上有一个根即可，即 只需一解，令 ，
则 ，令 ，则 ，当
时， ， 时 ，所以当 ，
，所以 ，所以 时 是减函数， 时 是减函
数，当 ，所以 ，故 ，选D．
【练题型】
1.已知函数 ， 与 x x 的图象上存在关于 轴对称的点，
2 p
4
则实数 的取值范围是( )
16 1
A． 4 B． x C． y D．
x p p 2 p 2
【答案】A
【解析】根据题意，可以将原问题转化为方程 在区间 上有解，构造
函数 ，利用导数分析 的最大最小值，可得 的值域，进而分析方
程 在区间 上有解，必有 ，解之可得实数 的取值范围.
【详解】根据题意，若函数 ， 与 的图象上存在关于 轴对
称的点，则方程 在区间 上有解
化简 可得
设 ，对其求导
又由 ， 在 有唯一的极值点
分析可得：当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，
故函数 有最小值
又由 ， 比较可得， ，故函数 有最大值
故函数 在区间 上的值域为
若方程 在区间 有解，必有 ，则有
则实数 的取值范围是 。故选：A
2.已知函数 的图像既关于点 中心对称，又关于直线 轴对称.当
时， ，则 的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 表示函数 的图像， ，根据中心对称性与轴对称性，
可依次得 ， ， ，取 ，可计算得
，从而可计算得 .
【详解】用 表示函数 的图像，对任意的 ，
令 ，则 ，且 ，
利用 的中心对称性与轴对称性，可依次推得
， ， ，
取 ，此时 ，
因此 .
故选：B
3.已知直线 分别与函数 和 的图象交于点 ， ，则下
列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对A，分别作出函数 ， ， 的图象，通过图象观察易得
成立；利用基本不等式可证B成立；构造函数 可证C成立；构造函数
可得 ，再利用函数 的单调性，可证得D不成立；
【详解】对A，如图，作出函数 、 和 的草图，因为A，B关于C对称，
且 ，因为 ，所以 ，故A正确；对B，由基本不等式， ，因为 ，所以等号不成立，故B正确；
对C，因为 ，所以 ，记 ，
则 ，故 时， ，所以 在 上单调递增，所以
，即 ，即 ，故C正确；
对D，记 ，则 ， ，则 ，
又 ，易知 在 上单调递增，故
，故D错误．
故选：D．
一、单选题
1．已知 ，求 的值（ ）
A．2012 B．2013
C．1006 D．1007
【答案】C
【分析】根据已知得到 ，进而求解结论.
【详解】因为 ，
所以
，
所以 ，故选：C.
2．已知函数 ,且 ,则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将 化简为 ,令新函数 ,判断
的奇偶性和单调性,将不等式 转化为关于 的不等式,根据
的函数性质转化为关于 的不等式,解出即可.
【详解】解:由题意得,函数 ,
设 ,则 ,
所以 是 上的奇函数,因为 ,由
则 即 ,因为 ,
所以 ,又有 ,
因为 是 上的增函数, 是 上的增函数,
所以 是 上的增函数;则有 ,整理得: ,
解得: 或 ,所以 的取值范围为 .故选:B
3．函数 是定义在R上的奇函数，满足 ，当 时，有
，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的周期，再根据函数周期求值.
【详解】由题意，函数 是R上的奇函数，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
因此函数 为周期函数，周期 ，
所以 ，
故选：A．
4．已知函数 有4个不同的零点，则m
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出 的大致图象， 有4个不同的零点等价于 与 一共四个
交点，由数形结合判断即可.
【详解】当 时， ， ，可得 在 上单调递减，在上单调递增，且 ，所以 的大致图象如图所示.
由 ，解得 或 . 由 的图象可知，当 时，
有1个根，所以 要有3个根，故实数m的取值范围为 .
故选：B.
5．定义域为R的函数 满足 ，数列 满
足 ，前 项利为 ，则 （ ）
A．3 B．0 C． D．2022
【答案】A
【分析】由已知确定函数的周期性，即得数列的周期性，再由函数性质计算函数值得数列
的项，从而利用周期性求和．
【详解】 ，
，
∴ ，从而 ， ，
∴ 同周期函数，4是它的一个周期，
中令 得 ，即 ， ，
， ，
， ，
，
故选：A．
6．定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则下列说
法错误的是（ ）
A．
B． 为奇函数
C． 在区间 上有最大值
D． 的解集为
【答案】C
【分析】根据题意，可令 即可判断A；根据奇函数定义可判断函数满足
，即B正确；再利用单调性的定义以及当 时， 可判断函数单
调性，得出C错误；根据函数单调性的应用，即可解出不等式的解集.
【详解】解：对于 选项，在 中，令 ，可得 ，
解得 ，A选项正确；
对于B选项，由于函数 的定义域为 ，在 中，
令 ，可得 ，所以 ，则函数 为奇函数，
选项正确；对于 选项，任取 ，且 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，
则函数 在 上为减函数，所以 在区间 上有最大值 ，C选项错误；
对于 选项，由 可得 ，
又函数 在 上为减函数，则 ，
整理得 ，解得 ，
故D选项正确.
故选：C.
7．已知函数 及其导函数 的定义域均为R，且 是偶函数，记
， 也是偶函数，则 的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
【答案】C
【分析】根据 是偶函数，可得 ，求导推得
，从而求得 ，再根据 为偶函数，可推得 ，
即4是函数 的一个周期，由此可求得答案.
【详解】因为 是偶函数，所以 ，
两边求导得 ，即 ，
所以 ，即 ，
令 可得 ，即 ，
因为 为偶函数，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
，所以4是函数 的一个周期，
所以 ,
故选∶C．
【点睛】方法点睛：此类有关抽象函数的求值问题，一般方法是要根据题意推导出函数具
有的性质，比如函数的奇偶性单调性以及周期性，然后利用周期性求值.
8．已知 是R上的偶函数，且 ， ，当 ，且
时， ，则当 时，不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用单调性的定义判断得 在 上单调递减，由偶函数的性质得到
关于 轴对称，由 得到 关于 对称，再由 求得
，从而列出 与 在 上的正负情况，由此得到
的解集.【详解】因为当 ，且 时， ，
不妨设 ，则 ，故 ，即 ，
所以 在 上单调递减，
又因为 是R上的偶函数，所以 关于 轴对称，故 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 关于 对称，故 在 上单调递增，
即 在 上单调递增，且 ，
所以 与 在 上的单调与正负情况如下：
0
增 减 减 增 增
由上表可知， 的解集为 .
故选：D.
二、多选题
9．已知 是定义在 上周期为4的偶函数，且 ，则（ ）
A． 关于直线 对称 B． 关于点 中心对称
C． D．
【答案】BC
【分析】根据函数的对称性，周期性，奇偶性解决即可.
【详解】由题知， ，
所以 ，即 ，
所以 关于 对称，故A错误；
因为
所以 ，即 ，
所以 ，
即 关于 对称，故B正确；
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 的周期为4，
所以 ，故C正确；
无法判断 是否为0，故D错误，故选：BC.
10．形如 的函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下
列说法中正确的选项为（ ）
A．
B．函数 的图像不关于直线 对称
C．当 时，
D．函数 有四个不同的零点
【答案】BCD
【分析】根据函数解析式的结构分析函数的对称性，画出函数图像，再逐项分析.
【详解】显然定义域为 ，由于 ，
是偶函数，
当 时， ， ， ， ，函数图像如下：
对于A， ，错误；
对于B， 由图可知，正确；
对于C，当 时， ，正确；
对于D，原方程等价于 有4个解，作函数 的图像如图：
显然正确；
故选：BCD.
11．已知函数 与 的定义域均为 ，且 ，
，若 为偶函数，则（ ）A．函数 的图象关于直线 对称 B．
C．函数 的图象关于点 对称 D．
【答案】BCD
【分析】根据函数的对称性、周期性、函数值等知识确定正确答案.
【详解】A选项， 是偶函数，图象关于 对称，
的图象，横坐标放大为原来的两倍，得到 的图象，
则 是偶函数，图象关于 对称；
的图象，向左平移 个单位，得到 的图象，
则 的图象关于 对称，A选项错误.
B选项，由 ，以 替换 得 ，
由 得 ，
令 得 ，
由于 的图象关于 对称，所以 ，B选项正确.
C选项，由 ，以 替换 得 ，
由 得 ，
令 得 ，所以 的图象关于点 对称，C选项正确.
D选项， 的图象关于 对称，所以 ，
由 ，得 ，
以 替换 得 ，
所以 ， ， 的周期为4，
又 ， ，
所以
，
D选项正确.
故选：BCD
【点睛】本题主要由函数的奇偶性研究函数的对称性，包括对抽象函数对称性、奇偶性的
研究.主要解题方法有两点，一点是函数图象变换，另一点是赋值法.求解和年份有关的函数
求值问题，首先是找到题目中蕴含的规律，再由此进行求值.
12．已知函数 的定义域为 ，且 ，若函
数 为偶函数， ，则下列选项正确的是（ ）
A． 为偶函数
B． 的图象关于点 对称
C． 的周期为4
D．
【答案】ABC【分析】根据已知表达式利用整体法，联立法找到符合函数的奇偶性、周期性、对称性的
表达式进而得解.
【详解】 为偶函数，则 ①.
由 知 ②，
进而 ③，
将①代入③得 ④，
由②④知 ，
所以 为偶函数，A正确;
由条件 ，
③与此式作差得： ⑤，
所以 的图象关于点 对称，B正确；
由 为偶函数，
结合⑤式知： ，
所以 ，
两式作差得： ，即 的周期为4，C正确；
中令 ，
则 ， ，
在⑤中令 得 ， ， ， ，
在⑤中令 得 ， ， ，
∴ ，
由 的周期为4知， ，D错误，
故选：ABC.
三、填空题
13．设 是定义域为 的奇函数，且 .若 ，则
______.
【答案】
【分析】先由 的奇偶性与题设条件推得 ，从而证得 是周期函数，
进而利用 的周期性与奇偶性求得 .
【详解】因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，则 是周期为 的周期函数，
所以 .
故答案为： .
14．定义在R上函数 满足 且当 时， ，则使得
在 上恒成立的m的最小值是_______________．【答案】 ##
【分析】首先根据条件求其他区间的解析式，并计算每一段的值域，从而确定 对应的
的值，结合函数的性质和图象，即可求解.
【详解】设 ， ， ，函数
的值域是 ，
， ， ，函数的值域
是 ，
， ， ，函数的值域
是 ，
， ， ，函数的值域
是 ，
所以当 后，
当 时， ，解得： 或 ，
如图，根据规律，画出函数的图象，
如图可知，使 在 上恒成立的m的最小值是 .
故答案为：
15．已知函数 .若关于 的方程 有6
个不同的实数根，则 的取值范围___________.
【答案】
【分析】先由二次函数与反比例函数的性质作出 的图像，构造 ，得到
有三个实数根时 的范围，从而将问题转化为 在 内有
两个不等实根，从而利用二次函数零点的分布即可得解.【详解】因为 ，
所以当 时， 开口向上，对称轴为 ， ，两
零点为 ；
当 时， ，则 在 上单调递减，零点为 ，且 ；
由此作出 的图像如图，
.
令 ，则当 时， 有三个实数根，
因为 有6个不同的实数根，
所以 必须有两个不等实根 ，且 ，
令 ，则 ，即 ，
解得 ，即 .
故答案为： .
16．已知函数 的图象关于直线 对称，则 的最大值为
______．
【答案】16
【分析】由 可得 或 ,即 和 是函数的零点,然后结合方程的根
与系数关系可求 ,然后结合导数即可求解最大值.
【详解】由 可得 或 ，
即 , 是函数的零点，
的图象关于直线 对称,
故 关于 对称的点 和 也是函数的零点，
故0,4是 的根，
故由韦达定理可得 ,
所以 ,
所以 ,令 可得 或 或 ，
当 或 ,此时函数单调递减，
当 或 时, ,此时函数单调递增,
故函数最大值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：根据函数的零点的对称点求出参数，从而借助导数进一步求解.
