文档内容
专题 2-1 函数性质及其应用
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................2
【题型一】“和定为轴”型......................................................................................................................................2
【题型二】自变量与函数值“和”为定值型......................................................................................................3
【题型三】”差定为期”型......................................................................................................................................4
【题型四】“类正弦函数”型..................................................................................................................................4
【题型五】“系数不为1”........................................................................................................................................5
【题型六】一个特殊的中心对称函数....................................................................................................................6
【题型七】“类周期”函数型..................................................................................................................................7
【题型八】“取整函数”的性质.............................................................................................................................8
【题型九】“跟随函数”型......................................................................................................................................9
【题型十】“复合二次”型函数...........................................................................................................................10
【题型十一】“嵌套函数”型...............................................................................................................................12
【题型十二】“存在对称点”型...........................................................................................................................12
专题训练.........................................................................................................................................................................13
讲高考
1．（2022·全国·高考真题（理））已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2021·天津·高考真题）设 ，函数 ，若 在
区间 内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国·高考真题（理））设函数 的定义域为R， 为奇函数，
为偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域为R，且
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
5．（2013·全国·高考真题（理））若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对
称，则f(x)的最大值是______.
6.(2022年高考全国乙卷数学（文）真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
题型全归纳
【题型一】“和定为轴”型
【讲题型】
例题1.
已知函数 ，函数 有2个零点，则实数a的
取值范围是____________．
例题2.
.已知 是R上的偶函数，且 ， ，当 ，且
时， ，则当 时，不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【讲技巧】
函数 对于定义域内任意实数 满足 ，则函数 关于直线
对称，特别地当 时，函数 关于直线 对称；
简称“和定为轴”
【练题型】
1.定义在R上的偶函数 满足 ，当 时， ，若在区间 内，函数 有5个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2.定义在 上的可导函数 ，其导函数记为 ，满足 ，且当
时，恒有 .若 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
3.已知函数 （ ）（ ∈ ）满足 （ ） （ ），若函数 与 （ ）图象的
2
交点为（ ，f x），（x R， ），f…，x （=f ，a-x），且 y=|x ，-ax则-5| （y= f x）
1 1 2 2 m m
A． x y xB．y x yC． =2m Da=．
【题型二】自变量与函数值“和”为定值型
1 2 3 4
【讲题型】
例题1.对于定义在 上的函数 ，点 是 图像的一个对称中心的充要条件是：
对任意 都有 ，判断函数 的对称中心______.
例题2.已知函数 ，若 ，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
若 满足 ，则 关于 中心对称
【练题型】
1.设函数 ，若对于任意实数 ，
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.函数 ，若 最大值为 ，最小值为 ， ，
则 的取值范围是______.
3.已知函数 满足 ，若函数 与 图像的交点为
，则 ____________.【题型三】”差定为期”型
【讲题型】
例题1.若偶函数 在定义域内满足 ，且当 时， ；则
的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．9 D．18
【讲技巧】
对 定义域内任意 有 ，则 周期为 .
若 ,则周期为 ,若 满足
,周期均为 , 为非零常数;
【练题型】
1.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－
log |x|的零点个数是（ ）
3
A．1 B．2 C．3 D．4
2.定义在R上的函数 满足 ，且当 时，
，若在区间 上函数 恰有4个不同的零点，
则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数 满足 ，当 时， ，则 在
上的零点个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【题型四】“类正弦函数”型
【讲题型】
例题1.函数 是定义在 上的奇函数，且 为偶函数，当 时， ，
若函数 恰有一个零点，则实数 的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
例题2.已知 是定义域为 的奇函数，满足 .若 ，则
A．-2019 B．1 C．0 D．2019【讲技巧】
若函数 关于 轴对称，关于 中心对称，则函数 的周期为 ，
若函数 关于 轴对称，关于 轴对称，则函数 的周期为 ，
若函数 关于 中心对称，关于 中心对称，则函数 的周期为 .
【练题型】
1.已知定义在R上的偶函数 满足 且 时有
，而 在区间 上至多有10个零点，
至少有8个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.已知 是定义在 上的奇函数，且 ．当 时， ，
则函数 在区间 上的所有零点之和为（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
3.已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，且当 时，
.若 ，则 （ ）
A． B．0 C． D．
【题型五】“系数不为1”
【讲题型】
例题1.已知 是定义在 上的函数，且满足 为偶函数， 为奇函数，
则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的周期为2 B．函数 关于直线 对称
C．函数 关于点 中心对称 D．
【讲技巧】
对于“系数不为1”的复合型函数，一般情况下，内函数多为一次函数型：
涉及到奇偶性时处理方法有：
1.利用奇偶性直接替换题中对应的变量。
2.类比三角函数
23.引入新函数，如【练题型】
1.若函数 的定义域为 ，且 偶函数， 关于点 成中心对称，则下
列说法正确的个数为（ ）
① 的一个周期为2 ②
③ 的一条对称轴为 ④
A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知定义在 上的函数 ，满足 为奇函数且 为偶函数，则下列结
论一定正确的是（ ）
A．函数 的周期为 B．函数 的周期为
C． D．
3.已知 是定义在R上的函数，且满足 为偶函数， 为奇函数，则下
列说法一定正确的是（ ）．
A．函数 的图象关于直线 对称 B．函数 的周期为2
C．函数 关于点 中心对称 D．
【题型六】一个特殊的中心对称函数
【讲题型】
例题1.设函数 是 的导数，经过探究发现，任意一个三次函数
的图象都有对称中心 ，其中 满足 ，
已知函数 ，则
A．2021 B． C．2022 D．
例题2.函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数．已知任意一个一元三次函数的图象均为中心对称图形，若 ，则
的值为（ ）
A．－4 B．－2 C．0 D．2
【讲技巧】
设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程
有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”.所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图像的对称中心，
【练题型】
1.对于三次函数 （ ），给出定义：设 是函数 的
导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个
三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 ，则
（ ）
A．2014 B．2013 C． D．1007
2.一般地，对于一元三次函数 ，若 ，则 为三次函数 的对称
中心，已知函数 图象的对称中心的横坐标为 （ ），且 有三
个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导
数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数
都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数 ，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【题型七】“类周期”函数型
【讲题型】
例题1..对于函数 ，有下列3个命题：
①任取 ，都有 恒成立；
② ，对于一切 恒成立；
③函数 在 上有3个零点；
则其中所有真命题的序号是 .
例题2.定义在R上的偶函数f(x) 满足①当 x≧-1时都有f(x＋2)＝2f(x)，②当x∈[0,1)时，
f(x)＝x2；则在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k零点个数最多时，实数k的取值范围
是________．
【讲技巧】
如果函数在 上满足
，则此类函数在局部范围上具有与周期函数相类似的性质．初期学习可以通过左右“仿
写”来画图像。【练题型】
1.已知函数 ，如果函数 恰有三个不同的零点，
那么实数 的取值范围是________
2.若 则 在 内的所有零点之和为：
__________．
3..定义在 上的函数 满足:①当 时， ；②对任意
都有 .设关于 的函数 的零点从小到大依次为
若 ，则 ____________.
【题型八】“取整函数”的性质
【讲题型】
例题1.定义函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，例如： ，
， .当 时， 的值域为 .记集合 中元素的个数为 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
例题2.已知函数 ， （ 表示不超过 的最大整数，例如 ，
），则关于 和 这两个函数，以下说法错误的是（ ）
A． 是 上的增函数 B． 是奇函数
C． 是非奇非偶函数 D． 的值域是
【讲技巧】
取整函数 表示不超过 的最大整数，又叫做“高斯函数”，【练题型】
1.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 ，
用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.例如： ， .已知
函数 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
2.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字
命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，
例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f(x)＝ ×4x－3×2x＋4(0 x 2)，则函数y＝[f(x)]的
值域为（ ）
A． B．{－1，0，1}
C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2}
3.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字
命名的“高斯函数”：设 用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，
也称取整函数，例如： .已知 ，则函数 的值
域为（ ）
A． B． C． D．
【题型九】“跟随函数”型
【讲题型】
例题1.已知函数 ，若存在区间 ，使得函数 在区间 上的值域
为 则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．例题2.已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，若存在实数
，使 在 上的值域为 ，则 的值为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【讲技巧】
“跟随函数”有多种定义形式，如以下常见的几种定义：
1.若函数 自变量的取值区间为 时，函数值的取值区间恰为 ，就称区
间 为 的一个“和谐区间”.
2.如果函数 在定义域的某个区间 （ ）上的值域恰为 （ ），
则称函数 为 上的k倍域函数， 称为函数 的一个k倍域区间．
3.如果函数 在定义域内存在区间 ，使得该函数在区间 上的值域为
，则称函数 是该定义域上的“和谐函数”.
【练题型】
1.设函数 的定义域为 ，若满足条件：存在 ，使 在 上的值域为
（ 且 ），则称 为“ 倍函数”，若函数 为“3倍
函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.设函数 ，若存在实数 ，使 在 上的值域为 ，则实
数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.设函数的定义域为D，若满足条件：存在 ，使 在 上的值域为 ，
则称 为“倍缩函数”.若函数 为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A． B．
C． D．
【题型十】“复合二次”型函数
【讲题型】
例题1.已知函数 ，则函数 有5个零点时m的范围_____________.
例题2.已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时，
，若函数 有且仅
有 个不同的零点，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【讲技巧】
已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：
(1) 直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范
围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后
数形结合求解．一是转化为两个函数y=g(x),y= ℎ(x)的图象的交点个数问题，画出
两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y=a,y=g(x)的交
点个数的图象的交点个数问题 .
【练题型】
1.已知函数 ，又 ，若方程 有 个不同的
实根，则 的取值范围为
A． B． C． D．
2.定义域为 的偶函数 ，当 时， ，若关于 的方程
有且仅有6个不等的实数根，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数 ，则函数 的零点个数是
个时，下列选项是 的取值范围的子集的是
A． B．
C． D．【题型十一】“嵌套函数”型
【讲题型】
例题1.已知函数f (x)为R上的奇函数，当x≥0时f (x)=x2−2x，若函数g(x)满足g(x)=¿且
f (g(x))−a=0，有6个不同的解，则实数a的取值范围为（ ）
A．a<−1 B．−11
( 1 )
例题2.已知函数f(x)=¿ 则方程f x+ +1 =a恰好有4个不同的解，则实数a的取值范
4x
围为_________．
【讲技巧】
对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数与外层函数；
（2）确定外层函数的零点 ；
（3）然后确定直线 与内层函数的交点个数 ，最后
得到原函数的零点个数为 .
【练题型】
a 1
1.已知函数f (x)=x+ ，其中a∈R，若关于x的方程f (|2x−1|)=2a+ 有三个不同的实
x 3
数解，则实数a的取值范围是______．
2.已知f (x)是定义域为(0,+∞)的单调函数，若对任意的x∈(0,+∞)，都有
f[f (x)+log x]=4
1 ，且方程|f (x)−3|=a在区间(0,3]上有两解，则实数a的取值范围是（
3
）
A．0
