文档内容
2025-2026 学年西南名校联盟 3+3+3 高三（上）诊断联考数学试卷（一）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求）
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{0，2，3}，则A∩B等于（ ）
A．{0，1，2} B．{0，2，3}
C．{0，2} D．{﹣1，0，1，2，3}
2．（5分）已知函数 ，则它的最小正周期、初相分别是（ ）
( )=2 (3 + )
5
A．2 ， B． ， C．2 ，﹣2 D． ，﹣2
2 2
π π
3．（5分）已5知复数 （3i为虚5 数单位），则|z|＝（ ） 3
1+
=
2+
A． B． C． D．
12 10 10 3 10
2+
4．（5分5）已知向量 ， ， 5 ， ，若 与5共线，则实数m＝（5 ）
→ → → →
A．﹣1 =(B1．21) =(2 ) C． 2 D．4
5．（5分）已知O为坐标原点，过双曲线C： （a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，
2 2
垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为2N，−若2N=为1 OF的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（5分）下图是某古代建筑的2屋顶结构模型，其中A3BCD为矩形，AB＝40m， ， ， ， 为四段
全等的圆弧，其对应的圆半径为10m，圆心角为 ．已知区域ABFE和DCFE 是 被瓦 片覆 盖 的 区 域，则
该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ）
3
A． B． C．200 m2 D．
200 2 400 2 800 2
π
7．（5分）3 已知△ABC的三个内3角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 3，△ABC的面积为 ，角A
2
的平分线交边BC于D，且BD＝2DC，则a为（ ） = 3 3
A． B． C． D．1
14 10 2
第1页（共21页），
8．（5分）已知函数 ，若对于任意的实数x，不等式16f（2x﹣a）≤f（x2+2）恒
2 ，＜
( −2) ≥ 2
( )=
成立，则实数a的取值范围− 为(4（− ) ） 2
A．[1，+∞） B．[1，2] C． ， D．[2，+∞）
3
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共[− 184分.在+每∞小) 题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）已知O为坐标原点，F是抛物线C：y2＝8x的焦点，A，B，D是C上的三个点，且 ， ，
则下列说法正确的是（ ） ( 2 2)
A．C的准线方程为x＝﹣2
B．|AF|＝4
C．直线OA的斜率为
D．若B，D，F三点共线2 ，则|BD|的最小值为8
（多选）10．（6分）已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn ，a1+a2 ＝3，a4+a5 ＝24，则下列说法正
确的是（ ）
A．q＝2
B．
6
= 9
C． a37+a8+a9 ＝504
D．
( +1)
（多选） 1 11 2． （3⋯6 分 −）1 正 =方2体A 2 BCD﹣A1B1C1D1 的棱长为2，线段B1D1 上有两个动点E、F，且 ，
则下列说法正确的是（ ） = 2
A．AC⊥EF
B．三棱锥A﹣EFC的体积为定值
C．过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等
D．点P是平面BDD1B1 内一点，若BP⊥PC1 ，则点P的轨迹长度是
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 6
12．（5 分）已知函数 y＝ax﹣2025+2025（a＞0，且 a≠1）的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标
为 ．
13．（5分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将
第2页（共21页）得到的点数分别记为 m，n，若向量 ， ， ， ，， ，则 的概率
→ → → →
是 ． =(2 −3 −1 4) =(1 1 −1) ⊥
14．（5分）已知f（x）＝x3+mx2+nx+p（m，n，p R），f′（x）是f（x）的导函数，若f（x）有且只有两
个不同的零点，且f（x）和f′（x）的零点均在∈集合{3，1，﹣3}中，则f（x）的极大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）某高校为了解学生在一周内参与志愿服务的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参与志
愿服务的次数，现随机抽取了50名同学，统计在某一周参与志愿服务的数据，结果如下表：
一周参与志愿服务次数 1 2 3 4 5 6 合计
男生人数 4 6 6 4 3 2 25
女生人数 1 1 3 5 9 6 25
合计 5 7 9 9 12 8 50
（1）若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”，其余的称为“一般参与”．请
完成以下2×2列联表，并依据小概率值 ＝0.05的独立性检验，能否认为性别因素与学生参与志愿服务
的积极性有关系； α
性别 志愿服务 合计
一般参与 积极参与
男生
女生
合计
（2）若将一周参与志愿服务达到6次的同学称为“最美志愿者”，在样本的8名“最美志愿者”中，随
机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附： ，n＝a+b+c+d．
2
2 ( − )
=
( + )( + )( + )( + )0.1 0.05 0.01
α
x 2.706 3.841 6.635
α
16．（15分）在正项数列{an}中，a1 ＝4， ．
（1）证明：数列 是等差数列； +1− =4 +4
{ }
（2）记 ，设数列{bn}的前n项和为Sn ，证明： ＜ ．
1 1
=
−1 2
第3页（共21页）17．（15分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在棱
AC上，且AQ＝3QC．
（1）求证：PQ∥平面BCD；
（2）若△BCD是边长为2的等边三角形，且三棱锥A﹣BCM的体积为 ，求平面BCM与平面ACD
2 3
夹角的余弦值．
3
18．（17分）已知F1 ，F2 是椭圆Γ： ＞＞ 的左、右焦点，椭圆Γ的离心率为 ，短轴长
2 2
1
为 ． 2 + 2 = 1( 0)
2
（12）3求椭圆Γ的标准方程；
（2）不重合的两直线l1 ，l2 过点F2 且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，l1 ，l2 不与坐标轴平行或
重合，并满足 ．
→ → → →
7
（i）试判断两|直 线|+ l1 |， l2 |的=斜12率| 关 系|| 并 写| 出证明过程；
（ii）若两直线l1 ，l2 的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点（4，
0）．
19．（17分）已知函数 ．
2
+ +
（1）若a＝b＝0，c ＝( 1 )，=求f（ +x）1 在− x＝ 0 ( 处+的1切) 线方程；
（2）若b＝2a，c＝0且f（x）在定义域内有三个零点x1 ，x2 ，x3 （x1 ＜x2 ＜x3 ），求a的值范围；
（3）在（2）的条件下，请找出f（x）与 的关系，并证明： ＞ ．
− 1−2
( ) 3− 1
+1 (1− )
第4页（共21页）2025-2026 学年西南名校联盟 3+3+3 高三（上）诊断联考数学试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C D B D A D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AD AB ABD
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求）
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{0，2，3}，则A∩B等于（ ）
A．{0，1，2} B．{0，2，3}
C．{0，2} D．{﹣1，0，1，2，3}
【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{0，2，3}，
∴A∩B＝{0，2}．
故选：C．
2．（5分）已知函数 ，则它的最小正周期、初相分别是（ ）
( )=2 (3 + )
5
A．2 ， B． ， C．2 ，﹣2 D． ，﹣2
2 2
【分析π】由周期公式和初相概念即可求解． π
5 3 5 3
【解答】解：函数 的最小正周期为 ，初相为 ．
2
故选：B． ( )=2 (3 + 5 ) 3 5
3．（5分）已知复数 （i为虚数单位），则|z|＝（ ）
1+
=
2+
A． B． C． D．
12 10 10 3 10
【分析】根据复数除法的运2算+法则和模的运算进行计算．
5 5 5 5
第5页（共21页）【解答】解：由题意 ，
1+ (1+ )(2− ) 3+ 3
= = = = +
2+ (2+ )(2− ) 5 5 5
可得 ．
3 2 1 2 10
故选：| |
C
=． (
5
) +(
5
) =
5
4．（5分）已知向量 ， ， ， ，若 与 共线，则实数m＝（ ）
→ → → →
A．﹣1 =(B1．21) =(2 ) C． 2 D．4
【分析】由向量共线的坐标关系得出结论．
【解答】解：由向量 ， ， ， ， 与 共线，
→ → → →
=(1 2) =(2 )
可得： ，所以m＝4．
1 2
故选： 2D．=
5．（5分）已知O为坐标原点，过双曲线C： （a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，
2 2
垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为2N，−若2N=为1 OF的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】根据渐近线的性质可2 得：|FM|＝b，通过△3OFM为直角三角形，且|OF|＝c，利用勾股定理得到
|OM|＝a，点N为垂足，且N为OF的中点，推出|FM|＝|OM|，即a＝b，再结合离心率的公式，即可得
离心率的值．
【解答】解：过双曲线右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，
若N为OF的中点，如图所示：
双曲线的右焦点F（c，0）到渐近线 的距离为 ，得|FM|＝b，
| |
又|OF|＝c，在Rt△OFM，|OM|2＝|OF |2 = ﹣ |F M|2＝c2﹣b2 ＝2 +a 2，2 = ∴|O M = |＝ a，
又MN⊥OF且N为OF中点，∴a＝b，
即该双曲线为等轴双曲线，
第6页（共21页）∴离心率 ．
2
故选：B． = 1+
2 = 2
6．（5分）下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中ABCD为矩形，AB＝40m， ， ， ， 为四段
全等的圆弧，其对应的圆半径为10m，圆心角为 ．已知区域ABFE和DCFE 是 被瓦 片覆 盖 的 区 域，则
该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ）
3
A． B． C．200 m2 D．
200 2 400 2 800 2
【分析
3
】将 区域ABFE还原到
3
圆 柱中求得其面积，由π区域ABFE和DCFE3 全等 可求得总面积．
【解答】解：由题意ABCD为矩形，AB＝40m， ， ， ， 为四段全等的圆弧，其对应的圆半径
为10m，圆心角为 ，
可知区域ABFE和 3DCFE全等，且都是底面半径为10m，高为40m的圆柱的侧面的一部分．
将区域ABFE还原到如图所示圆柱中，可知AO1 ＝10m， ，AB＝40m．
∠ 1 =
3
由扇形的弧长公式可知， ，
10
=∠ 1 × 1 = ×10=
由圆柱的侧面积公式可知 3 3 ，
10 400 2
= × = ×40=
所以 ， 3 3
800 2
+ =2 =
所以被瓦片覆盖的区域ABFE和D 3 CFE的总面积为 ．
800 2
3
故选：D．
7．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，△ABC的面积为 ，角A
2
的平分线交边BC于D，且BD＝2DC，则a为（ ） = 3 3
第7页（共21页）A． B． C． D．1
【分析14】由面积公式及角平1分0线的性质推导出AB＝22AC，再由面积公式求出AB和AC，最后由余弦定
理计算a．
【解答】解：因为 ，角A的平分线交边BC于D，BD＝2DC，
2
=
3
则
1
，即AB＝2AC，
△ 2 ⋅ 3
= = 1 = = 2
△ 2 ⋅ 3
又 ，所以AB•AC＝4，又AB＝2AC，
1 2
解得 △ ： = 2 ⋅， 3 =，3
=2 2 = 2
所以 ，
2 2 2 1
所以 = ，+即 −2 ，⋅ ∠ =8+2−2×2 2× 2×(− 2 )=14
故选： A=． 14 = 14
，
8．（5分）已知函数 ，若对于任意的实数x，不等式16f（2x﹣a）≤f（x2+2）恒
2 ，＜
( −2) ≥ 2
( )=
成立，则实数a的取值范围− 为(4（− ) ） 2
A．[1，+∞） B．[1，2] C． ， D．[2，+∞）
3
[− +∞)
【分析】结合题意16f（2x﹣a）≤f（x2+2）＝x4化为 4 ，即 ，根据
4 2
(2 − )≤ (2 − )≤ ( +2)
f（x）是R上的增函数，得 对x R恒成立，进而利16用判别式法求解即可．4
2
2 − ≤ +2 ∈
4 ，
【解答】解：由题意得 ，如图所示，
2 ， ＜
( −2) #160; #160; ≥2 #160; #160;
( )= 2
−( −2) #160; #160; 2
因为x2+2≥2，所以f（x2+2）＝[（x2+2）﹣2]2＝x4，
第8页（共21页）所以16f（2x﹣a）≤f（x2+2）＝x4，即 ，
4
(2 − )≤
16
因为 ，所以原不等式化为 ，
4 2
+2 ≥ 2 (2 − )≤ ( +2)
由图可16知f（x）是R上的增函数，所以 4 对x R恒成立，
2
所以x2﹣8x+4a+8≥0，则Δ＝64﹣4（4a 2 + 8 −） ≤≤ 0，4解+得2 a≥2 ∈，即实数a的取值范围为[2，+∞）．
故选：D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）已知O为坐标原点，F是抛物线C：y2＝8x的焦点，A，B，D是C上的三个点，且 ， ，
则下列说法正确的是（ ） ( 2 2)
A．C的准线方程为x＝﹣2
B．|AF|＝4
C．直线OA的斜率为
D．若B，D，F三点共线2 ，则|BD|的最小值为8
【分析】利用抛物线方程可求出A点坐标，进而可判断ABC；利用通径为焦点弦长的最小值可判断D．
【解答】解：对于A：由抛物线方程可得p＝4，且焦点在x轴正半轴上，
所以C的准线方程为 ，故A正确；
=− =−2
对于B：令 ，可得2x＝1，所以 ， ，
由抛物线定 义=，2得2|AF|＝1+2＝3，故B 错(1误；2 2)
对于C：由选项B知 ， ，所以直线OA的斜率为 ，故C错误；
2 2−0
对于D：若B，D，F 三(1点共2线2)，则|BD|的最小值为抛物线通径，= 2 2
1−0
令x＝2，得y2＝16，
所以y＝±4，所以|BD|的最小值为8，故D正确．
故选：AD．
（多选）10．（6分）已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn ，a1+a2 ＝3，a4+a5 ＝24，则下列说法正
确的是（ ）
A．q＝2
B．
6
= 9
C． a37+a8+a9 ＝504
第9页（共21页）D．
( +1)
【分 析1 】2 利3⋯用 等 −比1 数 =列2的基 2 本量运算判断A，利用等比数列前n项和公式判断B，利用等比数列的性质
判断C，利用等比数列的性质并结合等差数列的求和公式判断D即可．
【解答】解：对于A，因为a1+a2 ＝3，a4+a5 ＝24，所以 ，解得q＝2，故
3
4+ 5 ( 1+ 2) 3
A正确；
1+ 2
=
1+ 2
= = 8
对于B，由a1+a2 ＝3，可得a1+2a1 ＝3，解得a1 ＝1，
所以 ，
1×(1−2 )
= =2 −1
所以 1−2 ，故B正确；
6
6 2 −1 63
对于 C3 ，=由 2 等3 − 比 1 数=列 7 性=质9得S3 ，S6 ﹣S3 ，S9 ﹣S6 成等比数列，且S3 ＝7，S6 ﹣S3 ＝56，
所以S9 ﹣S6 ＝56×8＝448，即a7+a8+a9 ＝S9 ﹣S6 ＝448，故C错误；
对于D，因为 ，
−1 −1
= 1⋅ =2
所以 ，故D错误．
( −1)
0+1+2+...+( −2)+( −1)
故选： 1 A 2 B ．3... −1 =2 =2 2
（多选）11．（6分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为2，线段B1D1 上有两个动点E、F，且 ，
则下列说法正确的是（ ） = 2
A．AC⊥EF
B．三棱锥A﹣EFC的体积为定值
C．过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等
D．点P是平面BDD1B1 内一点，若BP⊥PC1 ，则点P的轨迹长度是
【分析】由AC⊥B1D1 可判断A；取B1D1 中点O，由 ，易知，6线 段EF经过点O，因为△ACO
的面积为定值，且EF⊥平面ACO，可求三棱锥A﹣E F C=的体2积，判断B；易知正方体的体对角线与正
方体的12条棱所在直线所成的角均相等，由此可判断C；分析点P的轨迹，并求得其长度可判断D．
【解答】解：对于A，因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为2，线段B1D1 上有两个动点E、F，且 ，
所以BD∥B1D1 ，所以BD∥EF，又AC⊥BD，所以AC⊥EF，A正确； = 2
对于B，取B1D1 中点O，因为 ，所以CO⊥B1D1 ，
1 = 1 = 1 1 =2 2
所以CO⊥EF，且 ；
3
=2 2× = 6
同理可得，AO⊥EF，且 2 ；
3
=2 2× = 6
2
第10页（共21页）所以△AOC是等腰三角形，
设AC∩BD＝G，则G为BD和AC的中点，所以OG⊥AC，
所以 ．
1 1
因为 A △ C ⊥ E = F，2 A C ×∩ C O＝= C2，×2 2×2=2 2
所以EF⊥平面ACO，
因为 ，所以EF过点O，
1
1 = 1 = 1 1 = 2≤
所以 2 ，为
1 1 4
定值， 所 − 以 = B正 确 − ； + − = − + − = 3 ×( + )× △ = 3 × × △ = 3
对于C，易知正方体的体对角线与正方体的12条棱所在直线所成的角均相等，
所以过点A的体对角线AC1 及过A分别平行于A1C，BD1 ，B1D的直线均满足要求，所以C错误；
对于D，因为PB⊥PC1 ，所以点P在以BC1 的中点Q为球心，半径为 的球面上，
1
所以动点P的轨迹为平面BDD1B1 与球Q的球面的交线，
2
1 = 2
因为AC⊥平面BDD1B1 ，所以A1C1 ⊥平面BDD1B1 ，
所以C1 到平面BDD1B1 的距离为 ，
1
= 1 1 = 2
2
所以球心Q到平面BDD1B1 的距离为 ，
1 2
又球心Q在平面BDD1B1 的投影为BO ℎ=的中
2
点=，
2
设平面BDD1B1 截球Q所得截面圆的半径为 ，
2 6
所以点P在平面BDD1B1 内的轨迹是圆， = 2− 4 = 2
所以动点P的轨迹长度为 ，所以D正确．
6
第11页（共21页）故选：ABD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）已知函数y＝ax﹣2025+2025（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 （2025，
2026） ．
【分析】根据指数函数的性质求解即可．
【解答】解：根据指数函数y＝ax的图象恒过定点（0，1），
令x﹣2025＝0，得x＝2025，此时y＝a0+2025＝2026，
所以y＝ax﹣2025+2025的图象恒过定点P（2025，2026）．
故答案为：（2025，2026）．
13．（5分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将
得到的点数分别记为 m，n，若向量 ， ， ， ，， ，则 的概率是
→ → → →
=(2 −3 −1 4) =(1 1 −1) ⊥
．
1
1
【
2
分析】先根据已知求出满足条件m，n的关系式，然后根据古典概型概率公式，得出答案．
【解答】解：先后抛掷两次正方体骰子，用数组（m，n）表示可能的结果，
m是第一次抛掷的点数，n是第二次抛掷的点数，
则试验的样本空间为：
＝{（m，n）|m，n {1，2，3，4，5，6}}，其中共有36个样本点，
Ω ∈
向量 ， ， ， ，， ，
→ →
=(2 −3 −1 4) =(1 1 −1)
∵ ，∴ ，∴2m+n＝8，
→ → → →
满足 ⊥题 意的样 本⋅ 点=共03个：{（1，6），（2，4），（3，2）}，
∴ 的概率 ．
→ →
3 1
⊥ = =
故答案为： ． 36 12
1
12
第12页（共21页）14．（5分）已知f（x）＝x3+mx2+nx+p（m，n，p R），f′（x）是f（x）的导函数，若f（x）有且只有两
个不同的零点，且f（x）和f′（x）的零点均在∈集合{3，1，﹣3}中，则f（x）的极大值为 0 ．
【分析】利用三次函数的性质，可依题意设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2（a≠b），从而求导可得零
点，然后根据题意分析这三个零点取值，最后可确定一种情形来求函数的极大值．
【解答】解：由题意可知，设f（x）有且只有两个不同的零点a，b，则f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2（a
≠b），
即 ，
2 2 +
′ ( )=( − ) +2( − )( − )=3( − )( − )
令f'（x）＝0，得 或x＝b， 3
2 +
=
由于a，b， ，3 ， 中，且a≠b，
2 +
∈ {3 1 − 3}
分析：由于 3 ，， ，可知2a+b {9，3，﹣9}，
2 +
又由于a，b 3{3，∈ 1，{3﹣3 1 }，且− 3 a }≠b，所以零点∈ a，b的组合不能是{1，3}或{1，﹣3}，
∈
故a，b的组合只能是{3，﹣3}，这样只能是a＝3，b＝﹣3，可计算得 ，满足题意，
2 +
此时f（x）＝（x﹣3）（x+3）2，f′（x）＝3（x+3）（x﹣1）．
3
= 1
令f'（x）＝0，得x＝﹣3或x＝1，
当x （﹣3，1）时，f′（x）＜0，则f（x）＝（x﹣3）（x+3）2在（﹣3，1）上单调递减，
当x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）时，f'（x）＞0，则f（x）＝（x﹣3）（x+3）2在（﹣∞，﹣3），（1，
+∞）∈上单调递增，
则由单调性可知，f（x）的极大值为f（﹣3）＝0．
故答案为：0．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）某高校为了解学生在一周内参与志愿服务的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参与志
愿服务的次数，现随机抽取了50名同学，统计在某一周参与志愿服务的数据，结果如下表：
一周参与志愿服务次数 1 2 3 4 5 6 合计
男生人数 4 6 6 4 3 2 25
女生人数 1 1 3 5 9 6 25
合计 5 7 9 9 12 8 50
（1）若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”，其余的称为“一般参与”．请
第13页（共21页）完成以下2×2列联表，并依据小概率值 ＝0.05的独立性检验，能否认为性别因素与学生参与志愿服务
的积极性有关系； α
性别 志愿服务 合计
一般参与 积极参与
男生
女生
合计
（2）若将一周参与志愿服务达到6次的同学称为“最美志愿者”，在样本的8名“最美志愿者”中，随
机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附： ，n＝a+b+c+d．
2
2 ( − )
=
( + )( + )( + )( + )0.1 0.05 0.01
α
x 2.706 3.841 6.635
【分析】（1 α ）由题意可直接完成列联表，再由χ2公式即可求解；
（2）确定Y的可能取值，求得概率，进而可求解．
【解答】解：（1）若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”，其余的称为“一
般参与”；
根据统计表格数据可得列联表如下：
性别 志愿服务 合计
一般参与 积极参与
男生 20 5 25
女生 10 15 25
合计 30 20 50
零假设为H0 ：性别与参与志愿服务情况独立，即性别因素与学生志愿服务的参与积极性无关，
根据列联表的数据计算可得 ，
2
2 50(20×15−5×10) 25
因为χ2≈8.333＞3.841， = 25×25×30×20 = 3 ≈8.333
所以，依据小概率值 ＝0.05的χ2独立性检验，认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系；
（2）由题可知8名“α最美志愿者”有2名男生，6名女生，
第14页（共21页）设抽取的3人中男生人数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，
，
0 3
2 6 5
( =0)= 3 =
8 14，
1 2
2 6 15
( =1)= 3 =
8 28，
2 1
2 6 3
( =2)= 3 =
Y的分布列为 ： 8 28
Y 0 1 2
P
5 15 3
14 28 ． 28
5 15 3 3
16． （( 1 ) 5 =分 ） 1 在 1 正+项 2 数 2 列+ { an 3 } 中 3 ，= a 0 1 ×＝144，+1× 28 +2× 28 = 4．
（1）证明：数列 是等差数列； +1− =4 +4
（2）记 {， 设 }数列{bn}的前n项和为Sn ，证明： ＜ ．
1 1
=
【分析】（1） 根 −据1等差数列的定义进行运算证明即可； 2
（2）利用裂项相消法进行运算证明即可．
【解答】证明：（1）由 ，可得an+1 ＝an+4 4＝（ ）2+4 4＝（ 2）
2， +1− =4 +4 + + +
因为数列{an}为正项数列，所以 ，即 ，
所以数列 是以 为首项 ，+12=为公 差 +的2等差数 列 +．1− =2
（2）由（{1） 可} 知， 1 =2 ，即 ，
2
则 =2+2( −1)=，2 =4
1 1 1 1 1
= = 2 = ( − )
可得 −1 4 −1 2 2 −1 2 +1 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
= (1− + − +⋯+ − )= (1− )
由 ＞2 ，可得3 3 5 2 −＜1 ．2 +1 2 2 +1
1 1 1 1
17．（ 21 5+ 分 1 ）如0图，在 三 棱=锥2 (1 A﹣− B2C +D1中)，2AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在棱
AC上，且AQ＝3QC．
（1）求证：PQ∥平面BCD；
（2）若△BCD是边长为2的等边三角形，且三棱锥A﹣BCM的体积为 ，求平面BCM与平面ACD
2 3
夹角的余弦值．
3
第15页（共21页）【分析】（1）取BD的中点为E，在CD上取点F，使得DF＝3FC，连接PE，EF，QF，先证四边形
EFQP为平行四边形，可得PQ∥EF，再由线面平行的判定定理即可得证；
（2）利用等体积法求得AD的长度，再以CD的中点O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求
面面角即可．
【解答】（1）证明：取BD的中点为E，在CD上取点F，使得DF＝3FC，
连接PE，EF，QF，
因为P是BM的中点，所以PE∥AD， ，
1 1
= =
又因为AQ＝3QC，所以QF∥AD， 2， 4
1
所以PE∥QF，PE＝QF， = 4
所以四边形EFQP为平行四边形，所以PQ∥EF，
又PQ 平面BCD，EF 平面BCD，
所以P⊄Q∥平面BCD．⊂
（2）解：因为三棱锥A﹣BCM的体积为 ，
2 3
所以VA﹣BCD ＝VC﹣BAD ＝2VC﹣BAM ＝2VA﹣BCM 3 ，
4 3
设AD＝a（a＞0）， =
3
因为AD⊥平面BCD，M是AD的中点，
所以VA﹣BCD ，
1 1 1 2 4 3
= △ ⋅ = ⋅ ⋅2 ⋅ ⋅ =
3 3 2 3 3
第16页（共21页）所以a＝4，即AD＝4，
分别取CD，AC的中点O，G，连接OB，OG，则OG∥AD，
因为AD⊥平面BCD，所以OG⊥平面BCD，
又△BCD为正三角形，所以OB⊥CD，
故以O为原点，OB，OC，OG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，
( 3 0 0) (0 1 0) (0 −1 2) (0 −1 0)
所以 ，， ， ， ， ，
→ →
=(− 3 1 0) =(0 −2 2)
设平面BCM的法向量为 ，， ，则
→ →
，
→
⋅ =− 3 + =0
=( ) → →
⋅ =−2 +2 =0
令x＝1，则 ， ， ，
→
=(1 3 3)
易知平面ACD的一个法向量为 ，， ，
→
=(1 0 0)
所以 ， ，
→ →
→ →
⋅ 1 7
| 〈 〉|=| → → |= | |=
所以平面BCM与平面| A |⋅ C | D |的夹角 1 的 +3 余 + 弦 3 值为 7 ．
7
18．（17分）已知F1 ，F2 是椭圆Γ： 7 ＞＞ 的左、右焦点，椭圆Γ的离心率为 ，短轴长
2 2
1
为 ． 2 + 2 = 1( 0)
2
（12）3求椭圆Γ的标准方程；
（2）不重合的两直线l1 ，l2 过点F2 且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，l1 ，l2 不与坐标轴平行或
重合，并满足 ．
→ → → →
7
（i）试判断两|直 线|+ l1 |， l2 |的=斜12率| 关 系|| 并 写| 出证明过程；
（ii）若两直线l1 ，l2 的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点（4，
0）．
第17页（共21页）【分析】（1）由短轴长、离心率求椭圆参数，即可得方程；
（2）（i）设l1 的方程为y＝k1 （x﹣1）（k1 ≠0），A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ），联立椭圆，并应用韦达定理、
弦长公式及已知得到关于直线l1 ，l2 斜率的方程，即可证；
（ⅱ）根据（i）中的韦达公式求弦中点的坐标，写出直线MN的方程，进而确定定点，即可得证．
【解答】解：（1）由题意得 ，解得 ，
2 =2 3
1 =2
=
2 = 3
2 2 2
所以椭圆Γ的标准方程为 = +；
2 2
（2）（i）l1 ，l2 的斜率之积
4
为+1
3
或=﹣11，
证明：由题可知，l1 与l2 斜率存在且不为零，不妨设l1 的方程为y＝k1 （x﹣1）（k1 ≠0），
联立 ，消去y得 ，
2 2
+ =1 2 2 2 2
4 3 (3+4 1) −8 1 +4 1−12=0
设A（ x= 1 ， y 1 1 (） ，−B1（)x2 ，y2 ），k1 ，k2 分别为l1 ，l2 的斜率，
2
则 8 1 ，
1+ 2 = 2
3+4 1
2
4 1−12
1⋅ 2 = 2
则 3+4 1 ＞，
4 2 2 2
=64 1−4(3+4 1)(4 1−12)=144( 1+1) 0
所以 ，
2 2
2 2 12 1+1 12( 1+1)
| |= 1+ 1| 1− 2|= 1+ 1⋅ 2 = 2
3+4 1 3+4 1
在|AB|的表达式中用k2''代换“k1''可得 ，
2
12( 2+1)
| |= 2
又 ， 4 2+3
→ → → →
7
| |+| |= | || |
所以 12 ，
2 2
1 1 3+4 1 3+4 2 7
+ = 2 + 2 =
则 | | | | 12(， 1+1) 12( 2+1) 12
2 2
3+4 1 3+4 2
所以2 + 2 = 7 ，
1+1 2+1
2 2 2 2 2 2
解得(3+4 1)，( 2+1)+(3+4 2)( 1+1)= 7( 1+1)( 2+1)
2 2
所以 k 1 1 k2 2＝=11或k1k2 ＝﹣1；
（ii）证明：由（i），M是AB中点，则 ， ，
2
1+ 2 4 1 −3 1
= = 2 = 1( −1)= 2
即 ， ，将k1 代换为 ，则 2 ，3+4 1 ， 3+4 1
2
4 1 −3 1 1 4 −3 1
( 2 2) ( 2 2 )
3+4 1 3+4 1 1 3 1+4 3 1+4
第18页（共21页）所以直线MN的方程为 −3
1
3
1
，
4+3 2+ 3+4 2
3 1 1 1 4 1 4
+ 4+3 1 2 = 4 4 1 2 ( − 4+3 1 2)= 4(1+ 1 2 ) ( − 4+3 1 2)
4+3 2− 3+4 2
1 1
即 ，
3
2 3 1+4 1
(3 1+4) = 2 ( −1)
所以直线MN恒过1定+ 点 1 （44，0），得证．
19．（17分）已知函数 ．
2
+ +
（1）若a＝b＝0，c ＝( 1 )，=求f（ +x）1 在− x＝ 0 ( 处+的1切) 线方程；
（2）若b＝2a，c＝0且f（x）在定义域内有三个零点x1 ，x2 ，x3 （x1 ＜x2 ＜x3 ），求a的值范围；
（3）在（2）的条件下，请找出f（x）与 的关系，并证明： ＞ ．
− 1−2
( ) 3− 1
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率 +，1再根据点斜式求切线方程； (1− )
（2）根据导数分类讨论函数单调性且存在零点情况得到参数范围；
（3）通过零点条件构造新函数，求函数单调性证明不等式成立即可．
【解答】解：（1）由a＝b＝0，c＝1，
可得 ，
1
则f（ 0 ( ）)＝= 1 ，+1 − ( +1)
又 ，
1 1
′ ( )=− 2−
则f′（0）＝( ﹣+12)， +1
所以f（x）在x＝0处的切线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣0），即y＝﹣2x+1；
（2）由f（x） ln（x+1），
2
+2
可知f（0）＝0 =， +1 −
又 ＞ ，
2 2
+(2 −1) +2 −1 +(2 −1)( +1)
′ ( )= 2 = 2 ( −1)
当 时，ax2≥( 0 ，+（1) 2a﹣1）（x+1）≥( 0 ，+1 f′) （x）≥0恒成立，
1
则 f（≥ x2）在定义域内单调递增，f（x）仅有一个零点，与题意不符，舍去；
当a≤0时，f′（x）≤0恒成立，
则f（x）在定义域内单调递减，f（x）仅有一个零点，与题意不符，舍去；
当 ＜＜ 时，由于ax2+（2a﹣1）x+2a﹣1＝0的Δ＞0，
1
可设0 g（ x）2＝ax2+（2a﹣1）x+2a﹣1＝0的两个根为m，n（m＜n）．
第19页（共21页）下证：﹣1＜m＜0＜n，
由韦达定理可得 ＜，
2 −1
所以m＜0＜n， = 0
又g（﹣1）＝a＞0，
所以﹣1＜m＜0＜n，
结合f（x）的定义域，则有x （﹣1，m）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x （m，n）时，f′（x）＜∈0，f（x）单调递减；
当x∈（n，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
又因∈为f（0）＝0，则有f（m）＞0，f（n）＜0，
且x趋于正无穷时，f（x）趋于正无穷大，
x趋于﹣1时，f（x）趋于负无穷大．
由零点存在定理，可知存在x1 （﹣1，m），x3 （n，+∞）使得f（x1 ）＝f（x3 ）＝0，
又f（0）＝0， ∈ ∈
所以x2 ＝0，
综上， ＜＜ ，
1
0
所以实数a的取2值范围为（0， ）；
1
（3） 2
− 2 −
− ( +1) +2 ( +1) −
( )= − − ( +1)
+1 +1+1 +1
2
+2
=＝−﹣f（ +x）1， + ( +1)
证明如下：因为f（x1 ）＝0， ，
− 3
( 3)=− ( )=0
即 ， 3+1
− 3
( )=0
由于 x3
3
＞+10，
则有 ＜，
− 3
0
又因为 3+f（1 x）的三个零点x1 ＜x2 ＝0＜x3 ，
所以有 ，
− 3
= 1
要证： 3+1 ＞ ，
1−2
3− 1
(1− )
第20页（共21页）即证： ＞ ，
3 1−2
3+
即证： 3+1 (1− ) ＞，
2 2
即证：（ a(1x3 −+2 a)﹣ 31−）([（2 1﹣−a4） x+ 3+11)] ＞30+，2 −1 0
由于 ＜＜ ，x3 ＞0，
1
即证：0 ax 3+2a2﹣1＞0，
即证： ＞ ，
1−2
由于f（ 3 x3 ）＝ 0，
f（x3 ） 0，
2
3+2 3
= − ( 3+1)=
则有a 3+1 ，
( 3+1) ( 3+1)
= 2
即证： ＞
3+2 3
，
2
3+2 3
3 −2
即证： ( 3+1＞) ( 3+，1)
3
( 3+1)
3+1
构造：F（x） ＞ ，
= ( +1)− ( 0)
则为F'（x） ＞， +1
= 2 0
所以F（x）＝l(n （+x1+)1）﹣→x在（0，+∞）上单调递增，
所以F（x） ＞ 0，证毕．
= ( +1)− (0)=
+1
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第21页（共21页）
