文档内容
2025-2026学年西南名校联盟3+3+3 高三（上）诊断联考数学试卷（一）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求）
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{0，2，3}，则A∩B等于（ ）
A．{0，1，2} B．{0，2，3}
C．{0，2} D．{﹣1，0，1，2，3}
2．（5分）已知函数，则它的最小正周期、初相分别是（ ）
A．2 ， B．， C．2 ，﹣2 D．，﹣2
3．（5分π）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝（ π）
A． B． C． D．
4．（5分）已知向量，，若与共线，则实数m＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
5．（5分）已知O为坐标原点，过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为
点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（5分）下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中 ABCD为矩形，AB＝40m，，，，为四段全等的圆
弧，其对应的圆半径为10m，圆心角为．已知区域ABFE和DCFE是被瓦片覆盖的区域，则该模型中
瓦片覆盖区域的总面积为（ ）
A． B． C．200 m2 D．
7．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分π别为a，b，c，，△ABC的面积为，角A的平分
线交边BC于D，且BD＝2DC，则a为（ ）
A． B． C． D．1
8．（5分）已知函数，若对于任意的实数x，不等式16f（2x﹣a）≤f（x2+2）恒成立，则实数a的取值范
围为（ ）
A．[1，+∞） B．[1，2] C． D．[2，+∞）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
第1页（共19页）要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）已知O为坐标原点，F是抛物线C：y2＝8x的焦点，A，B，D是C上的三个点，且，
则下列说法正确的是（ ）
A．C的准线方程为x＝﹣2
B．|AF|＝4
C．直线OA的斜率为
D．若B，D，F三点共线，则|BD|的最小值为8
（多选）10．（6分）已知等比数列{a }的公比为q，前n项和为S ，a +a ＝3，a +a ＝24，则下列说法
n n 1 2 4 5
正确的是（ ）
A．q＝2
B．
C．a +a +a ＝504
7 8 9
D．
（多选）11．（6分）正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为2，线段B D 上有两个动点E、F，且，则下列
1 1 1 1 1 1
说法正确的是（ ）
A．AC⊥EF
B．三棱锥A﹣EFC的体积为定值
C．过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等
D．点P是平面BDD B 内一点，若BP⊥PC ，则点P的轨迹长度是
1 1 1
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5 分）已知函数 y＝ax﹣2025+2025（a＞0，且 a≠1）的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标为
．
13．（5分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，
将得到的点数分别记为m，n，若向量，，则的概率是 ．
14．（5分）已知f（x）＝x3+mx2+nx+p（m，n，p R），f′（x）是f（x）的导函数，若f（x）有且只有
两个不同的零点，且f（x）和f′（x）的零点均∈在集合{3，1，﹣3}中，则f（x）的极大值为
．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）某高校为了解学生在一周内参与志愿服务的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参与
志愿服务的次数，现随机抽取了50名同学，统计在某一周参与志愿服务的数据，结果如下表：
一周参与志愿服务次数 1 2 3 4 5 6 合计
第2页（共19页）男生人数 4 6 6 4 3 2 25
女生人数 1 1 3 5 9 6 25
合计 5 7 9 9 12 8 50
（1）若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”，其余的称为“一般参与”．
请完成以下2×2列联表，并依据小概率值 ＝0.05的独立性检验，能否认为性别因素与学生参与志愿
服务的积极性有关系； α
性别 志愿服务 合计
一般参与 积极参与
男生
女生
合计
（2）若将一周参与志愿服务达到6次的同学称为“最美志愿者”，在样本的8名“最美志愿者”中，
随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：，n＝a+b+c+d．
0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
16．（15分）在α正项数列{a }中，a ＝4，．
n 1
（1）证明：数列是等差数列；
（2）记，设数列{b }的前n项和为S ，证明：．
n n
17．（15分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在
棱AC上，且AQ＝3QC．
（1）求证：PQ∥平面BCD；
（2）若△BCD是边长为2的等边三角形，且三棱锥A﹣BCM的体积为，求平面BCM与平面ACD夹
角的余弦值．
18．（17分）已知F ，F 是椭圆Γ：的左、右焦点，椭圆Γ的离心率为，短轴长为．
1 2
（1）求椭圆Γ的标准方程；
第3页（共19页）（2）不重合的两直线l ，l 过点F 且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，l ，l 不与坐标轴平行或
1 2 2 1 2
重合，并满足．
（i）试判断两直线l ，l 的斜率关系并写出证明过程；
1 2
（ii）若两直线l ，l 的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点（4，
1 2
0）．
19．（17分）已知函数．
（1）若a＝b＝0，c＝1，求f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）若b＝2a，c＝0且f（x）在定义域内有三个零点x ，x ，x （x ＜x ＜x ），求a的值范围；
1 2 3 1 2 3
（3）在（2）的条件下，请找出f（x）与的关系，并证明：．
第4页（共19页）2025-2026学年西南名校联盟3+3+3 高三（上）诊断联考数学试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C D B D A D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AD AB ABD
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求）
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{0，2，3}，则A∩B等于（ ）
A．{0，1，2} B．{0，2，3}
C．{0，2} D．{﹣1，0，1，2，3}
【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{0，2，3}，
∴A∩B＝{0，2}．
故选：C．
2．（5分）已知函数，则它的最小正周期、初相分别是（ ）
A．2 ， B．， C．2 ，﹣2 D．，﹣2
【分析π】由周期公式和初相概念即可求解． π
【解答】解：函数的最小正周期为，初相为．
故选：B．
3．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据复数除法的运算法则和模的运算进行计算．
【解答】解：由题意，
可得．
故选：C．
4．（5分）已知向量，，若与共线，则实数m＝（ ）
第5页（共19页）A．﹣1 B．1 C．2 D．4
【分析】由向量共线的坐标关系得出结论．
【解答】解：由向量，，与共线，
可得：，所以m＝4．
故选：D．
5．（5分）已知O为坐标原点，过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为
点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】根据渐近线的性质可得：|FM|＝b，通过△OFM为直角三角形，且|OF|＝c，利用勾股定理得
到|OM|＝a，点N为垂足，且N为OF的中点，推出|FM|＝|OM|，即a＝b，再结合离心率的公式，即可
得离心率的值．
【解答】解：过双曲线右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，
若N为OF的中点，如图所示：
双曲线的右焦点F（c，0）到渐近线的距离为，得|FM|＝b，
又|OF|＝c，在Rt△OFM，|OM|2＝|OF|2﹣|FM|2＝c2﹣b2＝a2，∴|OM|＝a，
又MN⊥OF且N为OF中点，∴a＝b，
即该双曲线为等轴双曲线，
∴离心率．
故选：B．
6．（5分）下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中 ABCD为矩形，AB＝40m，，，，为四段全等的圆
弧，其对应的圆半径为10m，圆心角为．已知区域ABFE和DCFE是被瓦片覆盖的区域，则该模型中
瓦片覆盖区域的总面积为（ ）
第6页（共19页）A． B． C．200 m2 D．
【分析】将区域ABFE还原到圆柱中求得其面积，由π区域ABFE和DCFE全等可求得总面积．
【解答】解：由题意ABCD为矩形，AB＝40m，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为 10m，
圆心角为，
可知区域ABFE和DCFE全等，且都是底面半径为10m，高为40m的圆柱的侧面的一部分．
将区域ABFE还原到如图所示圆柱中，可知AO ＝10m，，AB＝40m．
1
由扇形的弧长公式可知，，
由圆柱的侧面积公式可知，
所以，
所以被瓦片覆盖的区域ABFE和DCFE的总面积为．
故选：D．
7．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，△ABC的面积为，角A的平分
线交边BC于D，且BD＝2DC，则a为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】由面积公式及角平分线的性质推导出AB＝2AC，再由面积公式求出AB和AC，最后由余弦定
理计算a．
【解答】解：因为，角A的平分线交边BC于D，BD＝2DC，
则，即AB＝2AC，
又，所以AB•AC＝4，又AB＝2AC，
解得：，，
所以，
所以，即，
第7页（共19页）故选：A．
8．（5分）已知函数，若对于任意的实数x，不等式16f（2x﹣a）≤f（x2+2）恒成立，则实数a的取值范
围为（ ）
A．[1，+∞） B．[1，2] C． D．[2，+∞）
【分析】结合题意16f（2x﹣a）≤f（x2+2）＝x4化为，即，根据f（x）是R上的增函数，得对x R恒
成立，进而利用判别式法求解即可． ∈
【解答】解：由题意得，如图所示，
因为x2+2≥2，所以f（x2+2）＝[（x2+2）﹣2]2＝x4，
所以16f（2x﹣a）≤f（x2+2）＝x4，即，
因为，所以原不等式化为，
由图可知f（x）是R上的增函数，所以对x R恒成立，
所以x2﹣8x+4a+8≥0，则Δ＝64﹣4（4a+8）∈≤0，解得a≥2，即实数a的取值范围为[2，+∞）．
故选：D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）已知O为坐标原点，F是抛物线C：y2＝8x的焦点，A，B，D是C上的三个点，且，
则下列说法正确的是（ ）
A．C的准线方程为x＝﹣2
B．|AF|＝4
C．直线OA的斜率为
D．若B，D，F三点共线，则|BD|的最小值为8
【分析】利用抛物线方程可求出A点坐标，进而可判断ABC；利用通径为焦点弦长的最小值可判断
D．
第8页（共19页）【解答】解：对于A：由抛物线方程可得p＝4，且焦点在x轴正半轴上，
所以C的准线方程为，故A正确；
对于B：令，可得x＝1，所以，
由抛物线定义，得|AF|＝1+2＝3，故B错误；
对于C：由选项B知，所以直线OA的斜率为，故C错误；
对于D：若B，D，F三点共线，则|BD|的最小值为抛物线通径，
令x＝2，得y2＝16，
所以y＝±4，所以|BD|的最小值为8，故D正确．
故选：AD．
（多选）10．（6分）已知等比数列{a }的公比为q，前n项和为S ，a +a ＝3，a +a ＝24，则下列说法
n n 1 2 4 5
正确的是（ ）
A．q＝2
B．
C．a +a +a ＝504
7 8 9
D．
【分析】利用等比数列的基本量运算判断A，利用等比数列前n项和公式判断B，利用等比数列的性质
判断C，利用等比数列的性质并结合等差数列的求和公式判断D即可．
【解答】解：对于A，因为a +a ＝3，a +a ＝24，所以，解得q＝2，故A正确；
1 2 4 5
对于B，由a +a ＝3，可得a +2a ＝3，解得a ＝1，
1 2 1 1 1
所以，
所以，故B正确；
对于C，由等比数列性质得S ，S ﹣S ，S ﹣S 成等比数列，且S ＝7，S ﹣S ＝56，
3 6 3 9 6 3 6 3
所以S ﹣S ＝56×8＝448，即a +a +a ＝S ﹣S ＝448，故C错误；
9 6 7 8 9 9 6
对于D，因为，
所以，故D错误．
故选：AB．
（多选）11．（6分）正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为2，线段B D 上有两个动点E、F，且，则下列
1 1 1 1 1 1
说法正确的是（ ）
A．AC⊥EF
B．三棱锥A﹣EFC的体积为定值
C．过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等
第9页（共19页）D．点P是平面BDD B 内一点，若BP⊥PC ，则点P的轨迹长度是
1 1 1
【分析】由AC⊥B D 可判断A；取B D 中点O，由，易知，线段EF经过点O，因为△ACO的面积为
1 1 1 1
定值，且EF⊥平面ACO，可求三棱锥A﹣EFC的体积，判断B；易知正方体的体对角线与正方体的12
条棱所在直线所成的角均相等，由此可判断C；分析点P的轨迹，并求得其长度可判断D．
【解答】解：对于A，因为正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为2，线段B D 上有两个动点E、F，且，
1 1 1 1 1 1
所以BD∥B D ，所以BD∥EF，又AC⊥BD，所以AC⊥EF，A正确；
1 1
对于B，取B D 中点O，因为，所以CO⊥B D ，
1 1 1 1
所以CO⊥EF，且；
同理可得，AO⊥EF，且；
所以△AOC是等腰三角形，
设AC∩BD＝G，则G为BD和AC的中点，所以OG⊥AC，
所以．
因为AC⊥EF，AC∩CO＝C，
所以EF⊥平面ACO，
因为，所以EF过点O，
所以，为定值，所以B正确；
对于C，易知正方体的体对角线与正方体的12条棱所在直线所成的角均相等，
所以过点A的体对角线AC 及过A分别平行于A C，BD ，B D的直线均满足要求，所以C错误；
1 1 1 1
对于D，因为PB⊥PC ，所以点P在以BC 的中点Q为球心，半径为的球面上，
1 1
所以动点P的轨迹为平面BDD B 与球Q的球面的交线，
1 1
因为AC⊥平面BDD B ，所以A C ⊥平面BDD B ，
1 1 1 1 1 1
所以C 到平面BDD B 的距离为，
1 1 1
所以球心Q到平面BDD B 的距离为，
1 1
又球心Q在平面BDD B 的投影为BO的中点，
1 1
设平面BDD B 截球Q所得截面圆的半径为，
1 1
第10页（共19页）所以点P在平面BDD B 内的轨迹是圆，
1 1
所以动点P的轨迹长度为，所以D正确．
故选：ABD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5 分）已知函数 y＝ax﹣2025+2025（a＞0，且 a≠1）的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标为
（ 202 5 ， 202 6 ） ．
【分析】根据指数函数的性质求解即可．
【解答】解：根据指数函数y＝ax的图象恒过定点（0，1），
令x﹣2025＝0，得x＝2025，此时y＝a0+2025＝2026，
所以y＝ax﹣2025+2025的图象恒过定点P（2025，2026）．
故答案为：（2025，2026）．
13．（5分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，
将得到的点数分别记为m，n，若向量，，则的概率是 ．
【分析】先根据已知求出满足条件m，n的关系式，然后根据古典概型概率公式，得出答案．
【解答】解：先后抛掷两次正方体骰子，用数组（m，n）表示可能的结果，
m是第一次抛掷的点数，n是第二次抛掷的点数，
则试验的样本空间为：
＝{（m，n）|m，n {1，2，3，4，5，6}}，其中共有36个样本点，
Ω向量，， ∈
∵，∴，∴2m+n＝8，
满足题意的样本点共3个：{（1，6），（2，4），（3，2）}，
∴的概率．
故答案为：．
14．（5分）已知f（x）＝x3+mx2+nx+p（m，n，p R），f′（x）是f（x）的导函数，若f（x）有且只有
两个不同的零点，且 f（x）和f′（x）的零点∈均在集合{3，1，﹣3}中，则f（x）的极大值为 0
第11页（共19页）．
【分析】利用三次函数的性质，可依题意设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2（a≠b），从而求导可得
零点，然后根据题意分析这三个零点取值，最后可确定一种情形来求函数的极大值．
【解答】解：由题意可知，设f（x）有且只有两个不同的零点a，b，则f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2
（a≠b），
即，
令f'（x）＝0，得或x＝b，
由于a，b，中，且a≠b，
分析：由于，可知2a+b {9，3，﹣9}，
又由于a，b {3，1，﹣∈3}，且a≠b，所以零点a，b的组合不能是{1，3}或{1，﹣3}，
故a，b的组∈合只能是{3，﹣3}，这样只能是a＝3，b＝﹣3，可计算得，满足题意，
此时f（x）＝（x﹣3）（x+3）2，f′（x）＝3（x+3）（x﹣1）．
令f'（x）＝0，得x＝﹣3或x＝1，
当x （﹣3，1）时，f′（x）＜0，则f（x）＝（x﹣3）（x+3）2在（﹣3，1）上单调递减，
当x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）时，f'（x）＞0，则f（x）＝（x﹣3）（x+3）2在（﹣∞，﹣3），
（1，∈+∞）上单调递增，
则由单调性可知，f（x）的极大值为f（﹣3）＝0．
故答案为：0．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）某高校为了解学生在一周内参与志愿服务的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参与
志愿服务的次数，现随机抽取了50名同学，统计在某一周参与志愿服务的数据，结果如下表：
一周参与志愿服务次数 1 2 3 4 5 6 合计
男生人数 4 6 6 4 3 2 25
女生人数 1 1 3 5 9 6 25
合计 5 7 9 9 12 8 50
（1）若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”，其余的称为“一般参与”．
请完成以下2×2列联表，并依据小概率值 ＝0.05的独立性检验，能否认为性别因素与学生参与志愿
服务的积极性有关系； α
性别 志愿服务 合计
一般参与 积极参与
男生
女生
第12页（共19页）合计
（2）若将一周参与志愿服务达到6次的同学称为“最美志愿者”，在样本的8名“最美志愿者”中，
随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：，n＝a+b+c+d．
0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
【分析】（1）α 由题意可直接完成列联表，再由χ2公式即可求解；
（2）确定Y的可能取值，求得概率，进而可求解．
【解答】解：（1）若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”，其余的称为
“一般参与”；
根据统计表格数据可得列联表如下：
性别 志愿服务 合计
一般参与 积极参与
男生 20 5
女生 10 15
合计 30 20
零假设为H ：性别与参与志愿服务情况独立，即性别因素与学生志愿服务的参与积极性无关，
0
根据列联表的数据计算可得，
因为χ2≈8.333＞3.841，
所以，依据小概率值 ＝0.05的χ2独立性检验，认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系；
（2）由题可知8名“α最美志愿者”有2名男生，6名女生，
设抽取的3人中男生人数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
．
16．（15分）在正项数列{a }中，a ＝4，．
n 1
（1）证明：数列是等差数列；
（2）记，设数列{b }的前n项和为S ，证明：．
n n
第13页（共19页）【分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可；
（2）利用裂项相消法进行运算证明即可．
【解答】证明：（1）由，可得a ＝a +44＝（）2+44＝（2）2，
n+1 n
因为数列{a }为正项数列，所以，即，
n
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，，即，
则，
可得，
由，可得．
17．（15分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在
棱AC上，且AQ＝3QC．
（1）求证：PQ∥平面BCD；
（2）若△BCD是边长为2的等边三角形，且三棱锥A﹣BCM的体积为，求平面BCM与平面ACD夹
角的余弦值．
【分析】（1）取BD的中点为E，在CD上取点F，使得DF＝3FC，连接PE，EF，QF，先证四边形
EFQP为平行四边形，可得PQ∥EF，再由线面平行的判定定理即可得证；
（2）利用等体积法求得AD的长度，再以CD的中点O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求
面面角即可．
【解答】（1）证明：取BD的中点为E，在CD上取点F，使得DF＝3FC，
连接PE，EF，QF，
第14页（共19页）因为P是BM的中点，所以PE∥AD，，
又因为AQ＝3QC，所以QF∥AD，，
所以PE∥QF，PE＝QF，
所以四边形EFQP为平行四边形，所以PQ∥EF，
又PQ 平面BCD，EF 平面BCD，
所以P⊄Q∥平面BCD．⊂
（2）解：因为三棱锥A﹣BCM的体积为，
所以V
A﹣BCD
＝V
C﹣BAD
＝2V
C﹣BAM
＝2V
A﹣BCM
，
设AD＝a（a＞0），
因为AD⊥平面BCD，M是AD的中点，
所以V
A﹣BCD
，
所以a＝4，即AD＝4，
分别取CD，AC的中点O，G，连接OB，OG，则OG∥AD，
因为AD⊥平面BCD，所以OG⊥平面BCD，
又△BCD为正三角形，所以OB⊥CD，
故以O为原点，OB，OC，OG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面BCM的法向量为，则，
第15页（共19页）令x＝1，则，
易知平面ACD的一个法向量为，
所以，
所以平面BCM与平面ACD的夹角的余弦值为．
18．（17分）已知F ，F 是椭圆Γ：的左、右焦点，椭圆Γ的离心率为，短轴长为．
1 2
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）不重合的两直线l ，l 过点F 且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，l ，l 不与坐标轴平行或
1 2 2 1 2
重合，并满足．
（i）试判断两直线l ，l 的斜率关系并写出证明过程；
1 2
（ii）若两直线l ，l 的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点（4，
1 2
0）．
【分析】（1）由短轴长、离心率求椭圆参数，即可得方程；
（2）（i）设l 的方程为y＝k （x﹣1）（k ≠0），A（x ，y ），B（x ，y ），联立椭圆，并应用韦
1 1 1 1 1 2 2
达定理、弦长公式及已知得到关于直线l ，l 斜率的方程，即可证；
1 2
（ⅱ）根据（i）中的韦达公式求弦中点的坐标，写出直线MN的方程，进而确定定点，即可得证．
【解答】解：（1）由题意得，解得，
所以椭圆Γ的标准方程为；
（2）（i）l ，l 的斜率之积为1或﹣1，
1 2
证明：由题可知，l 与l 斜率存在且不为零，不妨设l 的方程为y＝k （x﹣1）（k ≠0），
1 2 1 1 1
联立，消去y得，
设A（x ，y ），B（x ，y ），k ，k 分别为l ，l 的斜率，
1 1 2 2 1 2 1 2
则，
则，
所以，
在|AB|的表达式中用k ''代换“k ''可得，
2 1
又，
所以，
则，
所以，
解得，
所以k k ＝1或k k ＝﹣1；
1 2 1 2
第16页（共19页）（ii）证明：由（i），M是AB中点，则，，
即，将k 代换为，则，
1
所以直线MN的方程为，
即，
所以直线MN恒过定点（4，0），得证．
19．（17分）已知函数．
（1）若a＝b＝0，c＝1，求f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）若b＝2a，c＝0且f（x）在定义域内有三个零点x ，x ，x （x ＜x ＜x ），求a的值范围；
1 2 3 1 2 3
（3）在（2）的条件下，请找出f（x）与的关系，并证明：．
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，再根据点斜式求切线方程；
（2）根据导数分类讨论函数单调性且存在零点情况得到参数范围；
（3）通过零点条件构造新函数，求函数单调性证明不等式成立即可．
【解答】解：（1）由a＝b＝0，c＝1，
可得，
则f（0）＝1，
又，
则f′（0）＝﹣2，
所以f（x）在x＝0处的切线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣0），即y＝﹣2x+1；
（2）由f（x）ln（x+1），
可知f（0）＝0，
又，
当时，ax2≥0，（2a﹣1）（x+1）≥0，f′（x）≥0恒成立，
则f（x）在定义域内单调递增，f（x）仅有一个零点，与题意不符，舍去；
当a≤0时，f′（x）≤0恒成立，
则f（x）在定义域内单调递减，f（x）仅有一个零点，与题意不符，舍去；
当时，由于ax2+（2a﹣1）x+2a﹣1＝0的Δ＞0，
可设g（x）＝ax2+（2a﹣1）x+2a﹣1＝0的两个根为m，n（m＜n）．
下证：﹣1＜m＜0＜n，
由韦达定理可得，
所以m＜0＜n，
又g（﹣1）＝a＞0，
所以﹣1＜m＜0＜n，
第17页（共19页）结合f（x）的定义域，则有x （﹣1，m）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x （m，n）时，f′（x）＜∈0，f（x）单调递减；
当x∈（n，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
又因∈为f（0）＝0，则有f（m）＞0，f（n）＜0，
且x趋于正无穷时，f（x）趋于正无穷大，
x趋于﹣1时，f（x）趋于负无穷大．
由零点存在定理，可知存在x （﹣1，m），x （n，+∞）使得f（x ）＝f（x ）＝0，
1 3 1 3
又f（0）＝0， ∈ ∈
所以x ＝0，
2
综上，，
所以实数a的取值范围为（0，）；
（3）
＝﹣f（x），
证明如下：因为f（x ）＝0，，
1
即，
由于x ＞0，
3
则有，
又因为f（x）的三个零点x ＜x ＝0＜x ，
1 2 3
所以有，
要证：，
即证：，
即证：，
即证：（ax +2a﹣1）[（1﹣a）x +1]＞0，
3 3
由于，x ＞0，
3
即证：ax +2a﹣1＞0，
3
即证：，
由于f（x ）＝0，
3
f（x ）0，
3
则有a，
即证：，
即证：，
第18页（共19页）构造：F（x），
则为F'（x），
所以F（x）＝ln（x+1）﹣→x在（0，+∞）上单调递增，
所以F（x）0，证毕．
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