文档文本内容
专题01 利用导数研究函数零点
题型方法
题型一 利用导数判断函数零点个数
题型二 根据零点情况求参数（范围）
题型三 判断函数零点的大小
题型四 与零点有关的求值或范围问题
【题型一】利用导数判断函数零点个数
【例1】（2025·天津河北·模拟预测）函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】应用导数研究函数的区间单调性，结合区间值域及零点存在性定理判断零点个数.
【详解】由题设
且定义域为
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，故
，
当
或
时
，故
在定义域上有2 个零点.
故选：C
题型梳理
题型方法
解题技巧
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个
数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x 表示参数的
函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数．
【举一反三】【变式1】（2025·安徽·模拟预测）函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】利用导数求出函数的单调区间，再由零点存在性定理判定零点个数即可.
【详解】
,
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
，
当
时，
，所以当
时，
，
无零点；
而
，
，且函数在
上单调递增，故
有一个零点.
故选：B
【变式2】（2020·四川宜宾·二模）函数
的零点个数为 ．
【答案】
【分析】先求出导函数
，令
求出极值点，进而求出函数的极值，根据单调性和极值画出函数的大致图
象，从而得到函数的零点个数．
【详解】
函数
，
，
令
得：
或
，
当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增.
所以，函数
的极大值为
，极小值为
，
则函数
的大致图象如图所示：
由图象可知，函数
有
个零点.
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值，以及函数的零点，是中档题．
【变式3】（2025·重庆·三模）已知函数
，函数
在点
处的切线方程为
.
(1)求
的值；
(2)讨论
的零点个数.
【答案】(1)
，
(2)2
【分析】（1）求导得到
表达式，由
求出
，再利用
求出b.
（2）根据第（1）问得到
和
，令
，对
求导判断
的单调性，依据
正负，判断
的单调性，得出
最小是
，算出
小于0，再根据零点存在性定理即可判断零点个数.
【详解】（1）
求导得到
，
根据函数在点
处的切线方程为
，得到
.
把
代入
得
，
因为
，所以
，即
.
又
，解得
.
（2）由第（1）问知
，
.
令
，求导得
.
当
，
，
在
递减；
当
，
，
在
递增.
，
，所以存在唯一
使
，即
.
当
，
，
在
递减；
当
，
，
在
递增，所以
.
，又
，
，
根据零点存在定理，
在
和
各有一个零点，共2 个零点.
【题型二】根据零点情况求参数（范围）
【例2】（2023·全国乙卷·高考真题）函数
存在3 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】写出
，并求出极值点，转化为极大值大于0 且极小值小于0 即可.
【详解】
，则
，
若
要存在3 个零点，则
要存在极大值和极小值，则
，
令
，解得
或
，
且当
时，
，
当
，
，
故
的极大值为
，极小值为
，
若
要存在3 个零点，则
，即
，解得
，
故选：B.
解题技巧
涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找
函数在给定区间内的极值以及区间端点的函数值与0 的关系，从而求得参数的取值范围
【举一反三】【变式1】（2025·湖南益阳·三模）若函数
有两个零点，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分类讨论
的值，再根据导数分析
的单调性，结合函数有两个零点，即可求解范围．
【详解】函数
的定义域为
.
当
时，令
，在
只有一个零点，不合题意；
当
时，
，
当
时，
，则
在
单调递增，
，所以
在
只有一个零点，不合题意；
当
时，令
，
当
时，
，
在
单调递减，
当
时，
，
在
单调递增，
又
时，
，
若
有两个零点，则
，
设
，令
，解得
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
所以
，
所以
，
故选：C．
【变式2】（2025·天津·二模）若函数
的图象关于直线
对称，且
恰有6 个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】先根据
、
得出
的表达式，再通过导函数研究函数
的单调性即可利用对称性以及图象变换画出
的图象，利用图象交点得出的取
值范围.
【详解】因
关于直线
对称，则
，且
，
则
且
，解得
，
则
，
经检验：
对任意
恒成立，
即
的图象关于直线
对称，
则
符合题意；
因
恰有6 个零点，
则
与
的函数图象有6 个交点，
现研究函数
的单调性：
因
，
则
得
；
得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，
又因
，
则根据图象变换以及对称性可画出函数
的图象：
由图象可知，
，则的取值范围为
.
故答案为：
.
【变式3】（2025·甘肃白银·三模）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)函数
在
上单调递减，求实数a 的取值范围；
(3)若
，证明函数
有两个零点．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）通过
，
讨论导数符号，进而可求解；
（3）求导确定函数单调性，确定相应最值，进而可求证；
【详解】（1）因为
，所以
．
因为
，所以
．
所以曲线
）在
处的切线方程为
，即
．
（2）对
求导，得
．
当
时，
，
在
上单调递增，不合题意；
当
时，令
，得
，
所以
是函数
的单调递减区间，
因为
在
上单调递减，所以
，
得
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
．
（3）令
，得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取得最小值，
．
因为
，所以
．
因为
，所以
在
上有唯一零点．
又
，因为
，所以
，
则
，
所以
在
上有唯一零点．
综上，函数
有两个零点．
【题型三】判断函数零点的大小
【例3】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数
有两个零点
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
与
无法比较大小
【答案】C
【分析】将函数有两个零点问题转化为方程
有两个解的问题，先对函数求导，判断单调性和
的范围，然
后判断并证明
与-3 的大小比较，最后得到答案.
【详解】函数
有两个零点，即方程
有两个不同的根．
设
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，所以
在
上单调递增．
又因为当
时，
，当
时，
，所以
．
因为
可以趋近于无穷小，所以猜测
，下面给出证明．
先证当
时，
．
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
，
上单调递增．
由
知，当
时，
，即
，所以
．
再证当
时，
．
令
，则
．
令
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，所以
在
上单调递增．
因为
，所以当
时，
，即
，
所以
．
所以
，所以
．
故选：C．
【举一反三】【变式1】（2022·浙江杭州·模拟预测）已知函数
有且仅有两个不同的零点
，则（ ）
A．当
时，
，
B．当
时，
，
C．当
时，
，
D．当
时，
，
【答案】B
【分析】令导函数
解得
或
，由
，函数有两个不同的零点，则
，从而
得出
的关系，再分
和
分别讨论即可得出答案.
【详解】由
，解得
或
若
，则
，则
在
上单调递增，不满足题意
所以
，则
，所以
或
，函数
取得极值
又
，由
有两个不同的零点，所以
所以
为
的一个零点.
由
，解得
，则
若
，则
且为
的极大值点，当
，
则
的大致图像如图. 则
为
的图像与
轴的另一交点,显然
则
所以
，所以
，故选项C,D 不正确.
若
，则
且为
的极大值点，当
，
则
的大致图像如图. 则
为
的图像与
轴的另一交点,显然
则
所以
，所以
，故选项A 不正确,选项B 正确
故选：B
【变式2】（多选）（2023·广西·模拟预测）已知方程
（
）有两个不同的根
，
，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】构造函数
，得到其单调性即可判断A，构造
即可判断BCD.
【详解】方程
（
）等价于方程
，
构造函数
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
则
，因此需满足
，即
.
当
时，
，
，
由以上可知，当
时，
分别在
，
上各有一个零点，因此选项A 正确，
构造函数
（
），则
，
因此
在
上单调递减，易知
，由A 易知
，则
，
即
成立，又
，则
，因此
，即
，
因此选项B，D 正确；
由
，即
，得
，不一定成立，故选项C 错误.
故选：ABD.
【变式3】（多选）（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
，使得
的图象是中心对称图形
B．当
时，
有三个不同的零点
C．若
有三个不同的零点
、
、
，则有
D．若
有三个不同的零点
，
，
，且
，则
【答案】BC
【分析】利用函数
的定义域可判断A 选项；根据
有三个不同的零点，求出
的范围，可判断B 选项；利用
函数的解析式和极值点可判断C 选项；先证明出
，
，利用导数分析该函数的定义域、图象以
及基本不等式可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，函数
的定义域为
，
故不
，使得
的图象是中心对称图形，A 错；
对于B 选项，
，
，
因为函数
有三个不同的零点，且
，故
不单调，
即函数
上存在极值点，所以
，解得
，
由
可得
，由
可得
或
，
此时函数
的减区间为
，增区间为
、
，
因为
，故
，
当
时，
；当
时，
.
所以，函数
有三个零点时，
，B 对；
对于C 选项，因为
，且
，
不妨设
，则
，且
，
，
所以
，则
，所以
，故
，C 对；
对于D 选项，由题意可知
，
构造函数
，
，则
，
故函数
在
上为增函数，故
，
所以
对任意的
恒成立，
所以
，
不等式两边同时除以
可得
，注意到
，可得
，D 错.
故选：BC.
【题型四】与零点有关的求值或范围问题
【例4】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知
是函数
的零点，
是函数
的零点，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．e
【答案】D
【分析】利用导数分别判断出
、
的单调性，求出零点可得答案.
【详解】令
，解得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，
又当
时，
，
而
，所以
；
由
，得
，
所以
在
单调递增，
由
，得
，
则
.
故选：D.
【举一反三】【变式1】（2025·陕西西安·一模）设函数
，其中
，若
有
两个零点且
取最小整数P 时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，令
，求出函数
，利用导数探讨零点求出的最小整数值，再利用基本不等式
“1”的妙用求出最小值.
【详解】令
，函数
定义域为
，
求导得
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
最多一个零点，不符合题意，
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
当
从大于0 的方向趋近于0 时，
值趋近于正无穷大；当
趋近于正无穷大时，
值趋近于正无穷大，
由
有两个零点，得
，即
，
函数
在
上都递增，则函数
在
上递增，
，因此存在
，使得
，
则不等式
成立时
，的最小整数值为3，即
，
由
，得
，
，
当且仅当
，即
时取等号，B 正确.
故选：B
【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分
析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
【变式2】（2025·湖南岳阳·三模）已知函数
有零点，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题的关键是根据
的几何意义，将函数
在
上有零点的问题，转化成原点到直线
的距离，一定小于等于点
到原点的距离问题，再通过构造函数
，借助导数，求出
在
上的最小值，即可求出
的最小值.
【详解】函数
的定义域为
.
设是
在
上的零点，
可得
，即
，
即点
在直线
上.
可理解为点
到原点的距离的平方.
所以原点到直线的距离一定小于等于点
到原点的距离，
即
在
上能成立，
即
在
上能成立.
令
，则
，
令
，因为
，所以解得
.
所以当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增，
所以当
时，
，
即
的最小值为
.
故答案为：
【变式3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设函数
.
（i）当
时，求
的最大值；
（ii）若函数
的图象与
轴恰有一个交点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）利用导数分类讨论分析函数的单调性即可；
（2）（i）利用导数分析函数的单调性求解最值即可；
（ii）分类讨论，利用导数分析函数的单调性，由函数
的图象与
轴恰有一个交点，求实数
的取值范围即可.
【详解】（1）由
得
，
当
时，
，
在
和
单调递增；
当
时，令
，则
，解得
或
；
令
，则
，解得
或
；
综上，当
时，
的单调递增区间为
和
；
当
时，
的单调递增区间为
和
，
递减区间为
和
.
（2）
则
.
（i）当
时，
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
所以
；
（ii）若函数
的图象与
轴恰有一个交点，则函数
恰有一个零点，
，
当
时，由（i）知，
，故
没有零点；
当
时，令
，
，
单调递减；
令
，
，
单调递增；
此时，
，故
没有零点；
当
即
时，在
上，
，
单调递增；
在
上，
，
单调递减；
又
，
当
趋近正无穷大时，
趋近于正无穷大，
所以
仅在
有唯一零点，符合题意；
当
时，
，所以
在
上单调递增，又
，
所以
有唯一零点，符合题意；
当
即
时，在
上，
，
单调递增；
在
上，
，
单调递减；
此时
，
又
，当
趋近正无穷大时，
趋近负无穷，
所以
在
有一个零点，在
无零点，
所以
有唯一零点，符合题意；
综上，
的取值范围为
.
一、单选题
1．（2024·四川凉山·二模）若
，
，则函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数.
【详解】
,
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
又
，
，
，
，
则
的草图如下：
由图象可得函数
的零点个数为
.
故选：C.
好题必刷
2．（2025·海南·模拟预测）记函数
的零点分别为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】注意到
，结合
单调性可得
【详解】由题可得
，
注意到
，
则
，又注意到
在R 上单调递增，
则
.
故选：A
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知
、
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
、
的大小
【答案】A
【分析】构造函数
、
，利用导数分析这两个函数的单调性，结合零点存在定理
可得出
、
的大小关系.
【详解】令
，则
，
当
时，
，故
恒成立，
故
在
上单调递增，
又
，
，
由零点存在定理得
，
令
，则
，
由上面的求解可知
在
上单调递增，
且存在
，使得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
故
的零点
，
，所以
.
故选：A.
4．（2025·辽宁大连·模拟预测）若函数
（
且
）在
上有唯一零点，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将问题转化成两图象的交点问题，利用导数分析单调性数形结合求解.
【详解】由题意可得
在
上有唯一解，即
，
令
，则
，则
，
令
，则
，
则
，
当
时，
的
，开口向上，恒大于零，
所以
为递增函数，
为递减函数，
因为
，所以
在
上无解；
当
时，
必须成立，若
，会出现
图象的情况，
即
在
上恒成立，（指数函数的增长速度大于幂函数，且
），
所以图象只能为
，只需交点横坐标小于1 即可，所以令
可得
，
又
，所以
的范围为
.
故选：B
二、多选题
5．（2025·河南·模拟预测）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．存在负数
，使得
没有零点
B．若
恰有
个零点，则
C．若
恰有个零点，则
D．当
时，
恰有个零点
【答案】AD
【分析】根据题意将函数的零点转化为两个函数的交点，即曲线
：
与直线：
的交点，
易知直线过定点
，求出直线与曲线的切点，结合图象写出在不同
值的情况下，直线与曲线的公共点情况，即可
得到函数
的零点情况，再逐一判断即可.
【详解】由题意，
的零点个数，即
的根的个数，等价于
的解
的个数，等价于曲线
：
与直线：
的交点的个数.
曲线
：
时，
，
时，
.
直线：
过定点
.
当
时，设直线与曲线
的切点为
，则
，得
，则切点坐标为
，此时
.
当
时，设直线与曲线
的切点为
，则
，得
，则切点坐标为
，此时
.
当直线绕着定点
转动时，直线与曲线的公共点个数即为
的零点个数.
如图可知，
时，
无零点；
时，
有个零点；
时，
有
个零点；
时，
有个零点；
时，
有
个零点；
时，
有个零点.
存在负数
，使得
没有零点，故A 正确；
若
恰有
个零点，
或
，故B 错误；
若
恰有个零点，则
或
，故C 错误；
当
时，
恰有个零点，故D 正确.
故选：AD.
6．（2025·江苏南通·三模）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点
B．
的对称中心为
C．过点
作曲线
的切线有三条
D．若函数的一个零点在
之间，则它所有零点都在
之间
【答案】AB
【分析】求得
，利用导数求得函数
的单调区间，结合极值点的概念，可得判定A 正确；根据
为奇函数，结合函数的图象变换，可得判定B 正确；作出
的大致图象，结合函数的性质，可判定C
错误；根据函数
的单调性，结合图象，列出不等式组，即可求解.
【详解】对于A 中，由函数
，可得
，令
，可得
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，
所以
在
处取极大值，在
处取极小值，所以 A 正确；
对于B 中，因为函数
为奇函数，关于
对称，
所以函数
关于
中心对称，所以B 正确；
对于C 中，作出
的大致图象，如图所示，
当
时，
为上凸函数，
在拐点
处的切线为
，
它与
恰交于
；
当
时，
为上凹函数，
，
过
只能作
的两条切线
，所以C 错误；
对于D 中，由A 知函数
在
上单调递增；
上单调递减；
要使
有零点，则只需
，解得
，
当
时，
大致图象如下
可得
有一个零点
之间，但另一零点
，所以D 错误.
故选：AB．
三、填空题
7．（2025·上海杨浦·三模）若
有唯一解，则
的范围是
【答案】1
【分析】根据
有唯一解等价于
的图象上只有一个点在直线
上或者在直线下方，画出图象
结合导数的几何意义求解即可.
【详解】因为
有唯一解，
所以
的图象上只有一个点在直线
上或者在直线下方，
直线
过定点
，
画出
的图象上与直线
的图象如图，
由图可知，当直线与曲线相交时，曲线上有无数个点在直线下方，不等式有无数个解；
当直线与曲线相离时，曲线上没有点在直线上或直线下方，不等式解集为空集；
当直线与曲线相切时，曲线上只有一点在直线上，不等式有唯一解，
设切点坐标为
，因为
，
所以
，
故答案为：1.
8．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
有2 个零点
，
，且
，则实数
的取值范围是
．
【答案】
【分析】首先根据函数有两个零点这一条件，可知极大值必大于0，然后联立零点方程，通过变量替换
，将问题
转化为关于的方程，然后通过两次构建新函数求得范围.
【详解】函数
，
有两个零点，求导得：
.
当
时，
，此时
在
上单调递增，不合题意.
所以
.令
，则
.
为了使得函数有两个零点，则极大值
，所以
.
因为函数
，
有两个零点
，
所以
，即
两式相减得
.
因为
，令
，则
，
那么
，两式相减得
，所以
①.
两式相除可得：
，即
，所以
.
两边同时取对数得到：
，化简得：
②.
①②联立可得：
，所以令
，则
.
因为
，因为
，
设
，则
，故
在
为减函数，
故
，故
为函数，故
.
令
，所以
，所以
在
上单调递减，
又
，所以
，所以
.
所以
的取值范围为
.
令
，则
，所以
在
上单调递增，
所以
.
所以综上所述，
的取值范围为
.
故答案为：
.
9．（2025·上海普陀·二模）设
，函数
的表达式为
，若函数
恰
有三个零点，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据
和
的符号，将
分为三个区间
，
，
，并得到
对应的不同的表达式，当
时，
无解；当
时，
有唯一解，通过分离常数得到
，借助导数得到
在
上的值域，即可得到
的取值范围；当
时，将
转化成关于
的二次函数
在
上恰有两解的问题，即可求出
的取值范围.
【详解】①当
时，
所以
，
，
，
解得
，不符合题意，所以
在
上无解.
②当
时，
，
所以
，
，
，
令
，所以
，
即
令
，所以
，
所以
，所以
在
单调递增，
所以
，即
.
此时
在
上有唯一解；
③当
时，
，
因为函数
恰有三个零点，
所以
在
上有两解，
即
在
上有两解，
即
在
上有两解.
令
所以
，即
解得
，
综上①②③，所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
四、解答题
10．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数
．
(1)若
，讨论函数
在
的单调性；
(2)若
在
上有唯一的零点，求实数a 的最小值．
【答案】(1)
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
(2)1．
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可；
（2）求出
，利用导数求
的最值，即可得参数范围.
【详解】（1）由条件，
则
，
由
，所以
，
令
，则
，得
或
，
令
，则
，得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
（2）由
，则
，
令
，则
，
所以当
时，
单调递增，
又
，所以
，
，
所以
在
上单调递增，
，
由题意，
，解得
，
所以a 的最小值为1．
11．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数
，直线
.
(1)若点
是函数
图象上的一点，求点
到直线距离的最小值；
(2)若
，讨论函数
的零点的个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出点
到直线的距离，根据导数即可求解；
（2）若
，证明函数
的零点的个数与
的零点个数相同，求出
，令
，证明
在
单调递增，在
上单调递减，据此即可求解.
【详解】（1）点
到直线
的距离为
，
令
，令
，
令
得
，
当
时
为极大值，
当
时
，
，
当
时，
，
，所以
，
所以对应最小距离为
；
（2）若
，
定义域为
，令
可得
，
则函数
的零点的个数与
的零点个数相同，
， 再令
，
则
，所以
在
单调递减，
又因为
，
在
单调递增，在
上单调递减，
则
，
，
当
，所以当
时
恒成立，
无零点，
当
时
，
有1 个零点，
当
时
，
在
和
分别有1 个零点，
即
有2 个零点，当
时
，
在
有1 个零点，在
上，
恒成立，即
只有1 个零点；
综上所述，当
时，
无零点，当
或
时，
有1 个零点，当
时，
有2 个零点.
12．（2025·云南·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的解析式；
(2)若
在
内有两个零点，求m 的取值范围；
(3)若对任意的
，不等式
恒成立，求整数k 的值组成的集合．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）求出导数并赋值求出
，进而求出解析式.
（2）求出
及其导数
，利用导数研究
在
上的单调性和最值，列出关于m 的不等式组，即可得出答
案.
（3）利用分离变量法，分类讨论
，构造函数
，利用导数研究
分别在x＜0，x＞
0 的单调性和最值，即可得出答案.
【详解】（1）函数
，求导得
，
则
，
解得
，所以
的解析式为
.
（2）由（1）得
，则
，
求导得
，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，当
时，
取得最小值，
要使
在
内有两个零点，当且仅当
，即
，
解得
，
所以实数
的取值范围为
.
（3）对任意的
，不等式
恒成立，转化为对任意的
，
恒成立，
①当
时，
，显然成立，此时
；
②当
时，
恒成立，令
，
求导得
，而当
时，
恒成立，
由
得
；由
得
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此当
时，
取得最小值
，则
；
③当
时，
恒成立，令
，此时
，
求导得
，令
，求导得
，
函数
在
上单调递增，又
，
由零点存在定理得存在
，使得
，即
，
由
，得
，由
，得
，
在
上递增，在
上递减，
当
时，
取得最大值，且
，则
，
于是实数k 的取值范围为
，所以整数k 的值组成的集合为
.
13.（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数
，
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)证明
在
内存在唯一零点；
(3)若对于任意的
，
恒成立，求整数k 的最大值．
【答案】(1)
；
(2)证明见详解；
(3)3
【分析】（1）利用导数求切线斜率，然后由点斜式可得方程；
（2）利用导数判断函数单调性，结合零点存在性定理可证；
（3）参变分离，利用导数求函数
的最小值，结合
可得.
【详解】（1）因为
，所以
，又
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，即
（2）因为
，所以
，
当
时，
，所以
在
内单调递增，
又
，所以
在
内有一个零点，
所以
在
内存在唯一零点.
（3）当
时，
，所以不等式
，
记
，则
，
由（2）知，存在
使得
，得
且当
时，
，
，
当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
，
所以
，因为
，所以
，
又
，所以
，所以整数k 的最大值为3.
