文档文本内容
培优点1 集合中的创新问题
目录
01 重点解读...........................................................................................................................................2
02 思维升华...........................................................................................................................................3
03 典型例题...........................................................................................................................................4
题型一：集合中的新概念....................................................................................................................4
题型二：集合中的新运算....................................................................................................................7
题型三：集合中的新性质..................................................................................................................12
04 课时精练.........................................................................................................................................18
数学思维创新是思维品质的巅峰层级。在新高考命题里，以集合为背景的创新问题备受青睐，成为创
新型试题热点。这类题目聚焦“问题”本身，引导学生以“探究”为手段，踏上“发现”的征程。依托集
合构建题目情境，重点考查学生能否精准理解问题，以及能否跳出传统思维框架，有效解决创新型数学问
题的能力。
1、新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加
以创新，可以利用原有集合的相关知识解题．
2、新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原
有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等进行解答．
3、新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．在新环境下研究“旧”性质．
主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点．
4、通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，
要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解
题的目的；
5、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照
章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
题型一：集合中的新概念
例1．置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组
，有序数组
，定义“间
距置换”：
，
，
．已知有序数组
，经过一次“间距置换”
后得到新的有序数组
（
），且S 中所有数之和为2025，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题可知
，
，
．
若x 介于y，z 之间，则
．
由题可知，
，所以
，矛盾，舍去．
又因为
，所以
，结合
，可得
或
．
若
，由题可知
，
，
，
上述三个式子相加可得
，所以
，
，即
，
则
，可得
；
若
，同理可得
.
故选：A．
例2．（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就
之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的
形式
表示和除以的余数相同．已知集合
满足
，
，
．对于集合中的任意一个元素，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因
，则
，
因
，则
，
又
，
，
则
又
，则
，故A 正确；
，则
，故B 正确；
，则
，故D 正确；
不妨取
，不满足
，故C 错误.
故选：C.
例3．定义1：对于一个数集A，定义一种运算，对任意
都有
，则称集合A 关于运算是
封闭的（例如：自然数集N 对于加法运算是封闭的）.
定义2：对于一个数集A，若存在一个元素
，使得任意
，满足
，则称a 为集合A 中的
零元，若存在一个元素
，使得任意
，满足
，则称b 为集合A 中的单位元（例如：0 和1
分别为自然数集N 中的零元和单位元）.
定义3：对于一个数集A，如果满足下列关系：
①有零元和单位元；
②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的；
③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集A 是一个数域.
(1)指出常用数集N，Z，Q，R 中，哪些数集可以构成数域（不需要证明）；
(2)已知集合
，证明：集合A 关于乘法运算是封闭的；
(3)已知集合
，证明：集合A 是一个数域.
【解析】（1）由于
，而
，因此N 不是数域；
由于
，而
，因此不是数域；
Q，R 中，都有零元：0 和单位元：1；
关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的；
对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，
所以Q，R 可以是数域；
（2）设
，
（，
，，都为整数），则显然，
且
，
则
显然
，
，因此
，
所以集合A 关于乘法运算是封闭的；
（3）①显然，当
时，
；当
，
时，
，
显然对任意
，都有
，
，所以集合A 中有零元0 和单位元1；
②设
，
，则
，
因为，
，，都为有理数，则
，
也都为有理数，
因此
；又由（2）同理可得，，
，，都为有理数时，
，
也都为有理数，于是
；当
时，令
，
显然
，
都是有理数，则
，于是
，
因此集合A 关于加、减、乘、除运算都是封闭的；
③显然任意
，都有
，由
中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分
配律，因此集合A 中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律，所以集合A 是
一个数域.
变式1．（2025·湖北武汉·三模）用符号
表示集合中元素的个数．对于实数集合和，且
，
，定义两个集合：①和集
；
②邻差集
，其中
为集合中元素按照从小到大排列．
(1)已知集合
，
，求
，
的值；
(2)已知集合
，
，求
的值；
(3)若与都是由
个实数构成的集合，证明：
的充要条件是
．
【解析】（1）
，
，
，
，
，
，
，
.
（2）考虑
，不妨设
，则
，
①当
时，
，此时
式不成立；
②当
时，若
，则
，此时
式不成立；
若
，则
，此时
式也不成立；
若
，则取
，此时
式成立.
由上述分析知：和集中重复的元素个数共
个，
.
（3）充分性的证明：
当
时，不妨设
，
设集合
，
，其中
，
，
是公差为的等差数列，
，
里面的元素也是公差为的等差数列，
；
必要性的证明：
设集合
，
，其中
，
，
则
，这里共
个不同元素，
又
，上面为和集
中的所有元素，
又
，这里共
个不同元素，也为和集
中的所有
元素，
，即
，
一般地，由
，
，
可得
，即
，
同理可得：
，得证.
题型二：集合中的新运算
例4．（多选题）（2025·河南郑州·三模）群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G 是一个非空
集合，“•”是G 上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的
，有
；②对
任意的
，有
；③存在
，使得对任意的
，有
，称为单位
元；④对任意的
，存在
，使
，称a 与b 互为逆元．则称G 关于“•”新构成一个群．
则下列说法正确的有（ ）
A．
（为虚数单位）关于数的乘法构成群
B．有理数集关于数的加法构成群
C．
关于数的除法构成群
D．正实数集
关于数的乘法构成群
【答案】ABD
【解析】对于A 选项：
因为
，可以计算里面任意两个元素的乘积结果都属于集合
.
因为数的乘法满足结合律，对于复数也不例外.
存在
，对于
，当
时，
.
当
时，
;当
时，
.
集合
也满足逆元，关于数的乘法能够构成群，所以A 选项正确.
对于B 选项：
对于任意两个有理数，它们的和仍为有理数；有理数的加法也满足结合律.
存在
，对于
，有
.
对于任意的
，存在
，使得
.
所以有理数集关于数的加法构成群，B 选项正确.
对于C 选项：
取
，
无意义，不满足对任意的
，
有
，所以不满足封闭性，C 选项错误.
对于D 选项：
任意两个正实数的乘积仍然是正实数；实数的乘法满足结合律.
对于任意的
，存在
使得
.
满足
.所以D 选项正确.
故选：ABD.
例5．（多选题）（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：
且
，
.若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A 选项，根据题中信息可得
，A 对；
对于B 选项，根据题意可得
，故
，B 对；
对于C 选项，
，C 错；
对于D 选项，
，D 对.
故选：ABD.
例6．（2025·浙江宁波·三模）设维向量
，
，定义运算：
.
(1)当
时，若
且
，
，试比较
与
的大小；
(2)已知
，记
且
和
均为
的某一排列}.
（ⅰ）求
，
；
（ⅱ）若
，求
.（提示：
.）
【解析】（1）由题设
，所以
；
（2）（i）先求
：设
，
，其中
为
的排列，
所以
，
而
可能取值有
，故
，
再求
：设
，
，其中
为
的排列，
当
，
，
可能取值有
，则
可能值为
；
当
，
，
可能取值有
，则
可能值为
；
当
，
，
可能取值有
，则
可能值为
；
当
，
，
可能取值有
，则
可能值为
；
综上，
；
（ⅱ）由（1），若存在
，
，则不妨交换
，则
的值会变大，
设
，
，则
最小；
，则
最大；
所以
的元素均属于集合
，
设
表示集合
且
的元素个数，即
（注意
表示集合的元素个
数），
下证
：当
时，由上知
，
考虑
及
：由
中最小元素为
，最大元素为
，即
中的元素均在
中，
设
，
，其中
为
的任一排列，
所以
可能取值为
，即
恰好没有覆盖到集合
中的
个元素，
当
，
，其中
为
的任一排列，
所以
可能取值为
，即
恰好没有覆盖到集合
中的
个元素，
当
时，
，
即
，
故
不覆盖集合
的元素至多有
个，故
，
又
，所以
，
所以
.
变式2． 定义一类集合：对于集合
，若
都满足
，则称
为
“单位有界集”；在集合
中定义一种运算：若
，
，定义
.现对单位有界集
进行如下操作：第一步，从
中任取两个元素、
，将
中除了、
以外的元素构成的集合
记为
，令
；第二步，若集合
还是单位有界集，则继续任取两个元素
，
将
中除了
以外的元素构成的集合记为
，令
；依次类推……
(1)对于任意的单位有界集
，判断
是否仍然为单位有界集．若是，请证明；若不是，请举出反例；
(2)证明：若
，则
；
(3)当
时，对集合
进行步上述操作，当
只有一个元素时停止，求所有满
足条件的
．
【解析】（1）是，证明如下：
从
中任取两个元素、
，
，
，
要证明
是单位有界集，只需证明
，
因为
，其中
，
所以
，即
；
因为
，其中
，
所以
，即
，所以
仍然为单位有界集.
（2）因为
，
，
所以
.
（3）由（1）（2）知
都为“单位有界集”，所定义的运算具有结合律，
又
，即定义的运算具有交换律，
不妨先取
，
因为
，所以
，所以
，
再取
，
，所以
，
类似的，
，
，
所以
.
题型三：集合中的新性质
例7．（2025·北京房山·一模）设为正整数，集合
，对于集合
中2 个元素
，若
，则称
具有
性质
．记
为
中的最小值．
(1)当
时，若
，判断
是否具有性质
．如果是，求出
；
如果不是，说明理由；
(2)当
时，若
具有性质
，求
的最大值；
(3)给定不小于3 的奇数，对于集合
中任意2 个具有性质
的元素
，求
的最大值．
【解析】（1）因为
，所以
具有性质
；
因为
，
所以
．
（2）方法：1：
由性质
得
，所以
，
因为
，
所以
，
则
，
，
，
所以
，
所以
，
又因为当
时，
具有性质
，
且
，
所以
的最大值为1．
方法2：
先用反证法证明
，
假设
，
由
，则
，
所以
，同理
，
所以
，
由
，
所以
，
与已知
矛盾，假设不成立，
所以
，
当
时，
，
此时
，
所以
的最大值为1．
（3）由性质
可得
，
所以
①，且
②，
在①中不妨设
，
在②中不妨设
，
由对称性可以设
，
所以
，
所以
，即
，
因为存在
，（其中有
个
个
），
（其中有
个
，
个
）具有性质
，
并且
，
，
，
所以
，
综上
最大值为
．
例8．（2025·高三·湖北·期中）已知正实数构成的集合
(1)若定义
，当集合
中的元素恰有
个数时，称集合具有性质.
①当
，
时，判断集合，是否具有性质，并说明理由；
②设集合
，其中数列
为等比数列，
且公比为2，判断集合是否具有性质并说
明理由.
(2)若定义
，当集合
中的元素恰有
个数时，称集合具有性质
.设集合具有性质
且
中的所有元素能构成等差数列.问：集合中的元素个数是否存在最大值？
若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）①集合不具有性质，集合具有性质：
，
中元素个数
不具有性质；
，
中元素个数
具有性质.
②若集合具有性质，设
，
假设当
时有
成立，则有
，
等式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，则
不成立，
因此
中元素个数
，所以集合具有性质.
（2）不妨设
，
则在集合
中，
，
又
中的所有元素能构成等差数列，设公差为，
则
，
即
，于是
，
当
时，
是集合A 中互不相同的4 项，
从而
中元素个数小于
，与集合A 具有性质
矛盾，
当
时，
，即
成等差数列，且公差也为，
则
中的元素从小到大的前三项为
，且第四项只能是
或
，
（i）若第四项为
，则
，从而
，
于是
，
中元素个数小于
，与集合A 具有性质
矛盾；
（ii）若第四项为
，则
，有
，
而
，即
，于是
，
因此
中元素个数小于
，与集合A 具有性质
矛盾，则
，
取
，
，则集合A 具有性质
，
所以集合A 中的元素个数存在最大值，最大值为4.
例9．（多选题）设A 是非空数集，若对任意
，都有
，
，则称A 具有性质P.下列命
题为真命题的是（ ）
A．若A 具有性质P，则A 可以是有限集
B．若
具有性质P，且
，则
具有性质P
C．若
具有性质P，则
具有性质P
D．若A 具有性质P，且
，则
不具有性质P
【答案】ABD
【解析】对于A，取集合
具有性质P，故A 可以是有限集，故A 正确；
对于B，取
，则
，又
具有性质P，
∴
，
∴
，
，所以
具有性质P，故B 正确；
对于C，取
，
，
，但
，故C 错误；
对于D，若A 具有性质P，且
，假设
也具有性质P，
设
，在
中任取一个x，
，此时可得
，
否则
，由
也具有性质P，则
，与
矛盾，故
，
由于A 具有性质P，
也具有性质P，所以
，
，
而
，这与
矛盾，故
且A 具有性质P 时，则
不具有性质P，
同理当
时，也可以类似推出矛盾，故D 正确.
故选：ABD
变式3．（2025·安徽·模拟预测）对于非空数集，
，若
，则称数集具有性质
.
(1)若数集具有性质
，证明：
；判断
，
是否具有性质
，并说明理由.
(2)若
满足①
；②
，当
时，都有
.
（i）判断“数集具有性质
”是否是“数列
为等差数列”的充要条件，并说明理由；
（ii）已知数集具有性质
且
，
，求数集具有性质
的概率.
【解析】（1）令
，则
，又数集具有性质
，即
，所以
.
，所以
具有性质
；
，所以
，所以
不具有性质
.
（2）（i）“数集具有性质
”是否是“数列
为等差数列”的充要条件.
先证明必要性：由题知，数列
单调递增，当其为等差数列时，设公差为，则
，
则
，显然
，所以数集具有性质
.
再证明充分性：显然
，其中
，有
个元素，
，
，
又
，数集具有性质
，即
，
则
，所以
，
所以
，又
，
所以数列
是以0 为首项，
为公差的等差数列.
综上，“数集具有性质
”是否是“数列
为等差数列”的充要条件.
（ii）由（i）知数列
是以0 为首项，
为公差的等差数列，即
，
由
知
，共有11 个元素，子集数为
个，
，当中只有一个元素，且具有性质
时，
，共1 个；
当中元素个数大于等于2，且具有性质
时，记
，
结合（i），
当
时，则
，
，共10 个；
当
时，则
，
，共5 个；
当
时，则
，
，共3 个；
当
时，则
，
，共2 个；
当
时，则
，
，共2 个；
当
时，则
，共1 个；
当
时，则
，共1 个；
当
时，则
，共1 个；
当
时，则
，共1 个；
当
时，则
，共1 个；
综上，具有性质
的集合共有28 个，所以数集具有性质
的概率为
.
1．对于集合
，
，定义
且
，
，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于集合
，
，定义
且
，
，
设
，
，
则
，
，
所以
.
故选：C．
2．（2025·内蒙古包头·二模）已知集合
，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，且
.
故选：B
3．（2025·北京丰台·二模）已知
是平面直角坐标系
中的点
集．设是
中两点间距离的最大值，是
中的点与原点连线的斜率，是
表示的图形的面积，给
出下列四个结论：①
；②
；③
；④
．其中所有正确结论的个数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】对于①代入可得
符合题意，故①正确；
∵
对
恒过点
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
由此我们可知
的点集是由曲线绕A 点往上直到
点扫过的区域，如图：
∴
，故②正确；
，
，
，故③错误；
有图易得
，故④正确.
故选：C.
4．（多选题）（2025·四川·三模）已知集合
，则称集合
为
分集．下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
是唯一的
分集B．对任意
，总存在至少一个
分集
C．若是
分集，则
D．若是
分集，则
【答案】AD
【解析】由
得
，当且仅当
时等号成立.
即
对于A， 当
时，则
，又
，故
，故A 正确；
对于B，
时，
，不符合
，故B 不正确；
对于C， 当
时，
，所以
，故C 不正确；
对于D，当
时，
，
又
，所以
，解得
，
.故D 正确.
故选：AD.
5．（多选题）（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知集合
，若对于任意
，以
及任意
，满足
，则称集合为“一字集”，记
为“一字集” ，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，且
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【解析】对于选项A：
任取两点
在该单位圆内，
则线段
的所有点均满足
，
因此属于该集合，A 正确.
对于选项B：
取特殊值进行排除，假设两点
，令
，
则它们的中点
不满足
，所以B 错误.
对于选项C:
设
，因为
,
所以对于任意
，满足
.
又因为
,所以对于任意
，满足
.
所以
，所以
.所以C 正确.
对于选项D：
若
,设
，
.
那么
.
因为
,所以
.
则
.
所以选项D 正确.
故选：ACD.
6．（多选题）（2025·浙江温州·三模）已知数列
满足
，定义：集合
，使得
，并记该集合的元素个数为
，则以下说法正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．存在数列
，其中有一项
能使得
且
D．若任取数列
的两项
，
恰好是
元素的概率大于，则
【答案】BCD
【解析】A 项：
，则
，故错误；
B 项：
，则
，故正确；
C 项：如
，则
，即
且
，故正确；
D 项：注意到
，由于
，
所以至多存在一个使得
，且
，
对于其余的
和
中，至多只有一个属于
，且
，
则至少需剔除（
）个元素，
所以
，
又
，解得
，故正确．
故选：BCD
7．（多选题）（2025·四川·模拟预测）已知
，
，设集合A，B，C 是
的三个不同的
子集，若真包含于B，则称子集A，B 是S 的一个“二阶链条”， 若A 真包含于B，B 真包含于C，则称
子集A，B，C 是S 的一个“三阶链条”.记S 的“二阶链条”的个数为
，S 的“三阶链条”的个数为
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对任意S 的k
元子集B，B 的j（
元子集A 的个数
是
，
则S 的k 元子集B 的真子集个数为：
；
又S 有
个k 元子集，故S 的“二阶链条”的个数：
，又
，
则
；
对任意S 的m
元子集C，C 的k
元子集B 的个数是
，
B 的j
元子集A 的个数是
，
由前文分析可知：C 的k 元子集B 的真子集个数为：
，
S 的m 元子集C 的真子集个数为：
，
故S 的“三阶链条”的个数：
.
故
，A 正确；
，B 错误；
，C 正确；
，D 错误.
故选：AC
8．（多选题）（2025·山西·二模）记
表示
个元素的有限集合，
表示
非空数集
中所有元素的和.若集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则的最小值为14
【答案】ABD
【解析】对于A：由题可知
，故A 正确；
对于B：由
，知
的所有可能为：
，
则
分别为
，所以
，故B 正确；
对于C：因为
，
所以
，所以
，故C 错误；
对于D：因为
，所以
，
所以
，
又当
时，
，当
时，
，
所以满足
的的最小值为
，故D 正确.
故选：ABD
9．（多选题）（2025·四川成都·模拟预测）对于集合，若存在集合的两两不同的子集
满足
，则称其为集合的一条“链”，称为这条“链”的长度.当集合的元素个数
时，下列说法正确的是（ ）
A．集合的最长“链”的长度为
B．任意两个集合都可以出现在同一个“链”中
C．当
时，该集合的任意两条长为4 的“链”中一定具有相同集合
D．集合的最长“链”的总数为
【答案】AD
【解析】A 选项，设
，
两两不同的子集
，满足
，
故
中的元素要至少比
多一个元素，
要想集合的一条“链”为最长“链”，需满足
，且
中元素比
中元素多1，
所以
，
故集合的最长“链”的长度为
，A 正确；
B 选项，不妨设
，显然两个集合不存在包含关系，故不能都出现在同一个“链”中，B 错
误；
C 选项，当
时，不妨设
，
，上面两个均为两条
长为4 的“链”，不具有相同集合，C 错误；
D 选项，由A 选项值，的最长“链”的长度为
，
其中
有种选择，
有
种选择，以此类推，
中共有
个元素，有
种选择，
综上，的最长“链”的总数为，D 正确.
故选：AD
10．（多选题）（2025·江苏南通·二模）设有限集合
，其中
，
，非空集合
，
，若存在集合
，使得
，
中的所有元素之和相等，则称集合
是“可拆等和
集”，则（ ）
A．集合
不是“可拆等和集”
B．若集合
是“可拆等和集”，则的取值共有6 个
C．存在公比为正整数，且公比不为1 的等比数列
，使得集合
是“可拆等和集”
D．若
，
，数列
是等差数列且公差
，则集合
是“可拆等和集”
【答案】ABD
【解析】对于A 项，
构成了一个以1 为首项，2 为公比的等比数列，
且
.
所以，当
时，
中所有元素之和也小于
，不满足要求；
当
含有
以及
之外的其余元素时，也不满足要求.
综上，集合
不是“可拆等和集”，故A 正确；
对于B 项，若
，则由“可拆等和集”的定义，有
，解得
；
若
，则由“可拆等和集”的定义，有
，解得
；
若
，则由“可拆等和集”的定义，有
，解得
；
若
，则由“可拆等和集”的定义，有
，解得
；
若
，则由“可拆等和集”的定义，有
，解得
，
此时因集合
已含有元素2，故舍去；
若
，则由“可拆等和集”的定义，有
，解得
若
，则由“可拆等和集”的定义，有
.
综上可知：可取
，
，
，，，共6 个值，故B 正确；
对于C 项，将
中所有元素同时除以后可得
，
根据等比数列前项和公式，可得
.
因为
，所以
，
，所以有
.
所以，当
时，
中所有元素之和也小于
，
不满足要求，显然同时乘以后仍然不满足；
当
含有
以及
之外的其余元素时，也不满足要求，显然同时乘以后仍然不满足.
综上所述，不存在公比为正整数，且公比不为1 的等比数列
，使得集合
是“可拆等和集”，故C 错
误；
对于D 项，易知集合
中的元素个数为
，
，
根据等差数列的性质可知，
，
，
共有
组（剩余元素为
），从中剔除
之后，剩余
组.
从这
组相同的数据中任意选出组，将对应的元素分到集合
中；
又
，则
，
而
，
不妨将
这两个元素也分到集合
中，则可满足
中的元素之和相等.故D 正确.
故选：ABD.
11．定义集合的
运算：已知集合
，则
.若集合
，
，
则集合
的真子集个数的一个可能取值是 .
【答案】3 或7
【解析】由集合中元素的互异性可得
且
.
当
时，
，所以
，
此时集合
的真子集个数为
.
因为集合A 中有
个元素，则集合A 有
个子集，有
个真子集，
当
且
时，
，此时集合
的真子集个数为
.
故答案为：3 或7
12．按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为
；已知全集
的子集
满足
.若
恰有两个元素，则这样的集合列
有 个；所有满足条
件的集合列
有 个.
【答案】 96 625/
【解析】空①：
有2 个元素，是从
中任选2 个数字，有
种不同的可能；
由于
，所以
中必须而且只需包含没有被
选中的2 个元素；
其余的2 个元素都可以任意的在或不在
中，各有4 种不同的处置方法，
每种方法都确保了集合列
的不同，
从而有
种不同的处置方式，得到集合列
的16 种不同的结果，
所以集合列
有
种不同的结果.
空②：类似空①的过程，可知当
时，
集合列
有
个不同的结果，
因为
，
所以所有满足条件的集合列有625 种不同的结果.
故答案为：96；625.
13．（2025·湖南·三模）已知集合
且中至少含有2 个元素，若对于中的任意两个不同元素
，
都有
，则称具有性质
，若
，且同时具有性质
和
，则中至多有
个元素.
【答案】921
【解析】先说明连续11 项中集合中最多选取5 项，
以
为例.
构造抽屉
，
，
，
，
，
，
.
①
同时选，因为具有性质
和
，
所以选5 则不选
；选6 则不选
；选7 则不选
；
则只剩
，故
中属于集合的元素个数不超过5 个.
②
选2 个，
若只选
，则
不可选，又
只能选一个元素，
可以选，故
中属于集合的元素个数不超过5 个.
若选
，则只能从
中选，但
不能同时选，
故
中属于集合的元素个数不超过5 个.
若选
，则
不可选，又
只能选一个元素，
可以选，故
中属于集合的元素个数不超过5 个.
③
中只选1 个，
又四个集合
，
，
，
每个集合至多选1 个元素，
故
中属于集合的元素个数不超过5 个.
由上述①②③可知，连续11 项自然数中属于集合的元素至多只有5 个，
如取
.
因为
，则把每11 个连续自然数分组，前184 组每组至多选取5 项，余一个数2025.
给出如下选取方法：从
中选取
；
然后在这5 个数的基础上每次累加11，构造184 次.
此时集合的元素为：
；
；
；
；
，共
个元素，而取
也满足题意，
经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有
个.
故答案为：921.
14．（2025·安徽马鞍山·三模）已知S 是全体复数集的一个非空子集，如果
，总有
，则称S 是数环．设
是数环，如果①
内含有一个非零复数；②
且
，
有
，则称
是数域．由定义知有理数集是数域．
(1)求元素个数最小的数环；
(2)证明：记
，证明：
是数域；
(3)若
是数域，判断
是否是数域，请说明理由．
【解析】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素
，
若
，则
，可知
为数环；
若
，则
，可知中不止一个元素，不是元素个数最小的数环；
综上所述：元素个数最小的数环为
.
（2）设
，可知
，则有：
，
，
，
因为
，则
，
可知
，所以
是数环；
若
，可知
，满足①；
若
，则
，
因为
，则
，
可知
，满足②；
综上所述：
是数域.
（3）不一定是数域，理由如下：
15．若
，显然
均为数域，且
是数域；
16．设
，可知
，则有：
，
，
，
因为
，则
，
可知
，所以
是数环；
若
，可知
，满足①；
若
，则
，
因为
，则
，
可知
，满足②；
综上所述：
是数域.
例如：
，例如
，
但
，
所以
不是数域；
综上所述：
不一定是数域.
17．（山东省济宁市2025 届高三考前押题联合检测数学试题）设
，为整数，且
.已知集合
，集合为的一个含有个元素的子集.
(1)设
，
，写出2 个不同的，使得中任意2 个元素之差都不等于另2 个元素之差；
(2)设
，
，
，且
，
，
，证明：若
，则
；
(3)设集合
，证明：若
，则中存在4 个元素，
，
，
，且中存在4 个元素
，，，，使得
.
【解析】（1）答案有多种，以下任选两个均可：
，
，
，
，
，
，
，
.
（2）因为，各有个元素，且
，故
，
又因为
，
，
，故
，且
，
故
不小于
共
个数，
所以
；同理，
，
所以
.
（3）设
，且
.
假设中不存在4 个元素满足其中2 个元素之差等于另2 个元素之差.
（i）当为奇数时，考虑两组差：
和
，
根据假设可知每组的差数都是互不相同的正整数，故
，
.
两式相加有
.
（ii）当为偶数时，考虑两组差：
和
，
根据假设可知每组的差数都是互不相同的正整数，故
，
，
两式相加有
.
综上，若
，则中一定存在4 个元素满足其中2 个元素之差等于另2 个元素之差.
即中一定存在4 个元素满足其中2 个元素之和等于另2 个元素之和.
因为
，故
，
又
，故中有
个元素，所以中也一定存在4 个元素满足其中2 个元素之和等于另2 个元素之
和.
不妨取
，且
，则
.
18．（2025·山东·二模）对集合A，B，定义集合
，记
为有限集合X
的元素个数．以下给定正整数
，并记集合
(1)设
为有限集合，证明：
；
(2)给定自然数和
的子集
，求集合
的元素个数；
(3)设（其中
）为正整数，
的子集
满足
均有
．证明：
．
【解析】（1）对任意元素
，因为恰属于集合
之一，不妨设
且
．
若
，则
；若
，则
．
故
，从而
．
因此
，结论成立．
（2）首先当
时，显然该集合元素个数为0，下面考虑
的情形：
对于给定的
，设
，则
，
则符合条件的
的个数为
，
因为
，
等式右边展开式中
的系数为
，
而等式左边展开式中
的系数为
，
故
，
综上所述，当
时，集合
的元素个数为0；
当
时，集合
的元素个数为
；
（3）对每个
，考虑集合
．
若集合
，则
，
，
故由（1）知：
，矛盾！
故集合
两两不交.
结合（2）知：
．
因此
．
19．（2025·北京海淀·二模）记
表示有穷集合
的元素个数．已知
是正整数，集合
．
若集合序列
满足下列三个性质，则称是“平衡序列”：
①
，其中
；
②
⫋，其中
；
③对于中的任意两个不同元素
，都存在唯一的
，使得
．
(1)设
，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
(2)已知
且集合序列
是“平衡序列”，对于
，定义：
证明：
（i）当
时，
；
（ii）
．
【解析】（1）
是平衡的，
不是平衡的．
理由：
，
，
，满足
，
显然
⫋，且对于中的任意两个不同元素
，
，
都存在唯一的
，使得
．
故
是平衡的，
，
并不是
的子集，故
不是平衡的．
（2）（i）当
时，对于
中的每个元素，考虑
．
由③知存在唯一的
，满足
，则
．
将每一个
对应到
，
若
，就有
，否则
且
与③矛盾．
所以
．
（ii）对
中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次），
一方面总个数就是
，
另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是
，
所以
．（＊）
不妨设
中最小的（之一）为
，
且
，由②③知
．
再不妨设
．
由（i）的证明方法可证：当
时，
，
由③知
，
所以
，
又因为
，所以
都不大于
，
全部相加得
，
由
的最小性知
，
结合（＊）可得
，
所以
．
20．（2025·江西·三模）已知数列
共
项，对于
中的项
，若对任意的
，都
有
，则称为
中的一个“局部
一项”，记
是
中所有“局部
一项”组成的集合.
(1)已知数列
共5 项，且
.
（i）若
为
，求
；
（ii）若
的值为1 和
的概率均为，记
中有
个元素，求
.
(2)若数列
满足
为大于1 的偶数，
，
，求
中元素个
数的最大值.（结果用和
表示）
【解析】（1）（i）根据题意可得
.
（ii）由题意可得
有
种情况.
若
，则只有1 种情况，即当
时，
，所以
.
若
，则只有1 种情况，即当
时，
，当
时，
，所以
.
若
，则有以下情况：
当
时，
，当
时，
，当
时，
或
；
当
时，
，当
时，
，当
时，
；
当
时，
，当
时，
.
共4 种情况，所以
.
若
，则有以下情况：
当
时，
，当
时，
，当
时，
，当
5 时，
；
当
时，
，当
时，
，当
时，
或
；
当
时，
，当
时，
，当
时，
.
共4 种情况，所以
.
.
（2）因为
为大于1 的偶数，所以
.要使
中元素的个数取得最大值，则
中的项尽可
能多的是“局部
一项”，
即1 至
之间的整数从小到大依次是
中的项.
不妨设
中元素的个数取得最大值时，除整数“局部
一项”外，其余“局部
.项”都在区间
内.
记
中元素的个数为，在区间
内的“局部
一项”有个，除1 外的非“局部
一项”有
个，则
①，
.
因为
，所以
，结合①可得
，
则
.
为大于1 的偶数，为整数，当
为奇数时，
为整数，此时
中元素个数的最大值为
.
当
为偶数时，
不是整数，满足
的最大整数为
，此时
中元素个数
的最大值为
.
综上，当
为奇数时，
中元素个数的最大值为
；当
为偶数时，
中元素个数的
最大值为
.
21．已知集合
且满足
与
恰有一个成立．对于T 定义
．
(1)若
求
的
值及的最大值；
(2)从
中任意删去2 个数，记剩下的
个数之和为M，求证：
；
(3)求证：对于满足
的每一个集合T，集合S 中都存在3 个不同的元素e，f，g，
使得
．
【解析】（1）因为
，
所以
，故
.
因为
，所以
.
所以
.
所以当1 时，
取得最大值2.
（2）由
的定义知：
.
所以
.
设删去的两个数为
，则
.
由题意知
，且当其中至多一个不等式中等号成立，
不妨设
时，
，所以
，
所以
，
所以
，即
.
（3）
中存在最大数，
不妨记为
（若最大数不唯一，任取一个），
因为
，所以存在
，使得
，即
.
由
，设集合
，则
中一定存在元素使得
.
否则，
，与
是最大数矛盾.
所以
，即
.
22．对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然
后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如
的“交替和”是
的“交替和”是5.
(1)求集合
的所有非空子集的交替和的总和；
(2)已知集合
，求集合所有非空子集的元素和的总和；
(3)已知集合
，其中
求集合
所有非空子集的交替和的总和.
【解析】（1）集合
的非空子集有
，
根据题意，集合
的交替和分别为
，
集合
的交替和为
，
集合
的交替和为
，
集合
的交替和为
，
集合
的交替和为
，
所以，集合
的所有非空子集的交替和的总和为
.
（2）集合
的所有非空子集中，考虑数字1 在子集中出现的情况，
相当于从剩下的5 个元素中选取若干个元素与1 组成子集，那么1 出现的次数为
次.
同理，每个元素出现的次数为
次，
所以，集合所有非空子集的元素和的总和为
.
（3）集合
，其非空子集有
个，
将这些非空子集分为3 类：第一类，含元素3 的单元素集
，有1 个，其“交替和”为3；
第二类，含元素3 的多元素集合（至少两个元素），有
个；
第三类，不含元素3 的非空集合，有
个，
将第二类中的集合与第三类中的集合
（集合中的元素去掉元素3 构成的新集合）配对，
则集合与集合
的“交替和”的和始终为3，
如取
，则
，集合与集合
的“交替和”的和为
，
这样的配对共有
组，因此集合
的所有非空子集的“交替和”的总和为
.
23．（2025·山东临沂·二模）对集合
，定义集合
，记
为有限集合
的元素个数．
(1)若
，求
；
(2)给定集合
的子集
，求集合
的元素个数；
(3)设
为有限集合，证明：
．
【解析】（1）因为
中的元素是要么只属于，要么只属于，
所以
；
（2）设
，则
，因为
，
故符合条件的
的个数为
.
（3）对任意元素
，因为恰属于集合
之一，不妨设
且
．
若
，则
；若
，则
．
故
，从而
．
因此
，结论成立．
24．（2025·湖北·模拟预测）已知集合
，
，、是
的非空子集.记集合
除以的余数
.若正整数满足：存在非空集合、，使得
两两的交集为
空集，且
，则称为“好的”.
(1)设
，
，当
时，求
，并直接判断
是否为“好的”；
(2)证明：
是“好的”，
是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
【解析】（1）当
时，由题中定义可得
，且
，故
是“好
的”.
（2）
时，取
，
，则
的值为、、、，除以8 的余数为4，7，5，0.
所以
，此时
，合乎题意；
时，取
，
，
的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16 的余数为4，7，12，15，5，
8，13，0.
所以
，则
，满足条件.
故
是“好的”，
是“好的”.
（3）①首先证明：若正整数是“好的”，则
也是“好的”.（*）
事实上，若正整数是“好的”，
设
，
，
，此时集合、满足时条件.
时，考虑
，
，
则
也满足条件，（*）得证.
②再证：
为奇数是“好的”.（**）
事实上，取
，
，则
满足条件，（**）得证.
由（*）（**）及（2）知除1，2，4 外的正整数均为“好的”.
③再证：
不是“好的”.
对集合，记
为中元素个数，由条件，
.
若
，则
，矛盾.
若
或
，则
，则
，矛盾.
于是
不是“好的”.
同理易知
，2 不是“好的”.
所以，所求为除1，2，4 外的正整数.
25．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知元正整数集合
，取出
的
个互不相同的非空
子集：
构成集合
，若
中任意个元素的并集均真包含于
，任意
个元素的并集均等于
，我们称
合理覆盖
(1)若
，问
是否合理覆盖
？请简要说明理由；
(2)若存在
合理覆盖
，求的最小值；
(3)是否存在
合理覆盖
，且
构成公差为1 的等差数列（
表示集合
中的元素个
数）？若存在请给出一个
，若不存在请说明理由．
【解析】（1）是，因为任意两个集合均有一个公共元素，从而不能覆盖
，而任意三个集合覆盖
.
（2）若存在
合理覆盖
，从
中任取五个集合
，则
中必存在一个元素
不属于这五个集合，同理再任取五个集合
，则
中必存在一个元素不属于这五个集合，
则
（否则必存在六个集合的并集不等于
），所以
中至少有
个元素，故
，
当
时，
中的每个元素均恰好属于
中五个集合，且每个元素所在的五个集合构成
的集合均不相同，则该
合理覆盖
．
（3）若存在
合理覆盖
，则
中的每一个元素可以恰好属于
中
个集合
（小于5 个则存在六个集合的并集不等于
）
首先我们将
中恰好属于
中
个集合的元素去除，则
仍然合理覆盖剩下的集合
（可以理解为将剩下的集合置换为则
）
由（2）
中恰好属于
中5 个集合的元素至少252 个，我们再将所在5 个集合相同的元素留
下一个，其余去除，则
中将只剩下252 个元素，此时
现在此基础上我们再加回一些元素：
加回的元素对于
的初始状态为：
先加5 个恰属于五集合的元素
然后每次加1 个恰属于五集合的元素
最后剩余的所有元素给每一个集合
所以存在
合理覆盖
，且
构成公差为1 的等差数列．
26．（2025·山东济南·模拟预测）记数集M 的所有元素之和为
（当M 为空集时，规定
）.已
知非空有限集合
，若对于任意正整数
，总是存在A 的两个相异子集P，Q，使得
，则称A 为理想集.
(1)从集合
的所有非空子集中随机抽取一个集合，求该集合为理想集的概率；
(2)已知正整数
，且集合
为理想集.
（ⅰ）设
，证明：当
为理想集时，
的最大值为
；
（ⅱ）证明：
.
【解析】（1）由题意可知含有1 个元素的理想集有{1}；含有2 个元素的理想集有{1,2}，{1,3}；
含有3 个元素的理想集有{1,2,3}，{1,3,9}；含有4 个元素的理想集有{1,2,3,9}；
故共有6 个理想集，
易知
的非空子集共有
个，
∴从集合
的所有非空子集中随机抽取一个集合，则该集合为理想集的概率为
.
（2）（ⅰ）假设
，
∵存在A 的两个相异子集P，Q，使得
，
（这里只需考虑
的情形，否则，记P，Q 去除公共元素后的集合为P′，Q′，
则
），
∴
，
∴P 中必有元素
，Q 中必无元素
，
∴
，
，
∴
，矛盾，故假设不成立，∴
，
当
时，下面只需证明当
，且
时，
总是存在A 的两个相异子集P，Q，使得
成立即可.
∵
为理想集，
∴当
，且
时，总是存在两个相异子集P0，Q0使得
成立，
①若
，
取
，
，
，
则
，
∵
，且
，∴
；
②若
，
取
，
，则
；
③若
，
取
，
，
，
则
，
∵
，且
，
∴
，
综上所述，当
时，
为理想集，
∴当
为理想集时，
的最大值为
.
（ⅱ）不妨设
，
先证
，假设有
成立，
由题意可知，存在两个相异的子集P，Q，使得
，
①若
，则
，∴
，
由
，可知
显然不可能成立；
②若
，由
，可知
，
显然
，这与
矛盾，
∴假设不成立，即
得证.
再证明：当
，且
时，
恒成立，
假设存在
，且
时，有
，
记
，则
，即
，
取
，
假设存在集合P0，O0，使得
成立（同上只需考虑
的情形），
则
，即
，
①若
，
则
，
∴
，
∵
，∴
，
∴
，即
，
∵
，且
，
∴
，这与
矛盾，
②若
中至少有一个元素不在P0中，不妨设
不在P0中，
则
，这与
矛盾，
综上所述，当
，且
时，
恒成立，
∴当
恒成立（
，且
），且
时，
取得最大值，
考虑数列
，其前n 项和记为
，且
，
时（
，且
），
∴
，即
（
，且
），
∴数列
是以
为首项，公比为3 的等比数列，
∴
，即
，
∵
的最大值为
，即
得证.
27．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知有穷数列A：，
，…，
（
，
），设
，记S 中元素的个数为
．
(1)若数列A：0，2，4，12，求集合S，并写出
的值；
(2)若A 是单调数列，求证：“
”的充要条件是“A 为等差数列”；
(3)若
，
，数列A 由1，2，3，4，…，n，2n 这
个数组成，且这
个数在数列A 中
至少出现一次，求
的取值个数．
【解析】（1）因为
，
，
，
，则
的可能情况有：
，
，
，
，
，
，
所以
，
．
（2）“充分性”：A 为等差数列：，
，
，…，
（
）．
则
（
），
能取从1 到
的每个整数，故
，
因此
．
“必要性”：不妨设A 为递增数列：，
，…，
，作运算并比较如下：
，共
个互不相等的数，同理
，共
个互不相等的数．
，共
个互不相等的数．
……
，共
个互不相等的数，
由
及A 的有穷性，知
．
即A 为等差数列．
（3）因为数列A 由1，2，3，4，…，n，2n 这
个数组成且项数为
，所以数列A 中必有相等的
项，则任意两项的差值可能为0，
，
，
，…，
，
，
，…，
，
其中，必有
，对于
，2，3，…，
，t 和
至少有一个属于S，
所以
．
（方法一）
①当数列A 为：1，2，3，4，…，
，n，2n，n，
，…，4，3，2，1 时，
，
值最大，其值为
．
②当数列A 为：1，2，3，4，…，
，2n，n，n，
，…，4，3，2，1 时，即在①中的数列第一个出
现的n 与2n 对调，
，
此时
；
③把②中第一个出现的
与2n 对调，即A：1，2，3，4，…，
，2n，
，n，n，
，…，4，
3，2，1，
，
此时
；
以此类推，可得
④当数列A 为：2n，1，2，3，4，…，
，
，n，n，
，…，4，3，2，1，即2n 为首项，此时
．
⑤当④中最后一项1 变成2，其余不变，
A：2n，1，2，3，4，…，
，
，n，n，
，…，4，3，2，2，此时
值变为
；
⑥当⑤中最后两项2 都变成3，其余不变，
A：2n，1，2，3，4，…，
，
，n，n，
，…，4，3，3，3，此时
；
以此类推，可得
⑦当数列A 为：2n，1，2，3，4，…，
，
，n，n，n，n，…，n，n，即最后的n 项都变为n，此
时
，其值最小．
综上，知
的取值可取
上的每个整数，
个数为
（方法二）
①当数列A 为：1，2，3，…，n，
，则
，
．
②当数列A 为：1，2，…，n，2n，n，
，…，1，
则
，
．
③当数列A 为：1，2，…，n，
，
，
，
，
则
．
，
其中
，2，…，
，故
，
，…，
．
④当数列A 为：1，2，…，n，n，
，…，
，2n，k，
，…，1，
则
，
，
其中
，2，…，
，故
，
，…，
．
综上
可取
中所有整数，即
个数为2n．
