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1
新定义问题
题型归纳
题型一：集合的新定义问题
（24-25 高三上·山东·期中）已知集合
，集合
，记
的元素个数为
.若集合
中存在三个元素
，
，
，使得
，则称
为“理想集”.
(1)若
，分别判断集合
，
是否为“理想集”（不需要说明理由）；
(2)若
，写出所有的“理想集”
的个数并列举；
(3)若
，证明：集合
必为“理想集”.
2
1．（24-25 高三上·广东·月考）已知集合
（
），S 是集合A 的子集，若存在不大于n
的正整数m，使集合S 中的任意一对元素
，
，都有
，则称集合S 具有性质P.
(1)当
时，试判断集合
和
是否具有性质P？并说明理由；
(2)当
时，若集合S 具有性质P，那么集合
是否具有性质P？并说明理由；
(3)当
，
时，若集合S 具有性质P，求集合S 中元素个数的最大值
.
2．（24-25 高三上·北京·期中）已知集合
，其中
，
，
，…，
是
的互不相同
的子集.记
的元素个数为
（
），
的元素个数为
（
）.
(1)若
，
，
，
，
，写出所有满足条件的集合
（结论不要求证
明）；
(2)若
，且对任意的
，都有
，求
的最大值；
(3)若给定整数
，
（
）且对任意
，都有
，求
的最大值.
3
题型二：函数与导数的新定义问题
（23-24 高三上·北京·月考）设离散型随机变量X 和Y 有相同的可能取值，它们的分布列分别为
，
，
，
，
．指标
可用来刻画
X 和Y 的相似程度，其定义为
．设
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
的最小值；
(3)对任意与
有相同可能取值的随机变量
，证明：
，并指出取等号的充要条件
1．（24-25 高三上·湖北·期中）把满足任意
，
总有
的函数称为
“类余弦型”函数.
(1)已知
为“类余弦型”函数
，
，求f (1)的值；
(2)在（1）的条件下，定义数列：
，求
的值；
(3)若
为“类余弦型”函数，且
，对任意非零实数，总有
.设有理数
，
满足
，判断
与
的大小关系，并给出证明.
4
2．（24-25 高三上·上海·期中）已知函数
，若其定义域为
，且满足
对一
切
恒成立，则称
为一个“逆构造函数”.
(1)设
，判断
是否为“逆构造函数”，并说明理由；
(2)若函数
是“逆构造函数”，求
的取值范围；
(3)已知“逆构造函数”
满足对任意的
，都有
，且
. 求证：
对任意
，关于
的方程
无解.
题型三：复数与不等式的新定义问题
（24-25 高三上·江苏泰州·月考）已知常数
，设关于
的方程
．
(1)在复数范围内求解该方程．
(2)当
时，设该方程的复根分别为
，证明：
(3)如果多项式的系数是复数，那么称该多项式为复系数多项式．已知任何一元
次
）复系数多项式
方程
至少有一个复根．证明：
有
个复数根（重根按重数计）．
(4)将题设的常数“
”改为“
”，并证明：（2）仍然成立．
5
1．（24-25 高三上·山东枣庄·月考）对于四个正数m、n、p、q，若满足
，则称有序数对
是
的“下位序列”．
(1)对于2、3、7、11，有序数对
是
的“下位序列”吗？请简单说明理由；
(2)设a、b、c、d 均为正数，且
是
的“下位序列”，试判断
、
、
之间的大小关系；
(3)设正整数n 满足条件：对集合
内的每个m，总存在正整数k，使得
是
的“下位序列”，且
是
的“下位序列”，求正整数n 的最小值．
2．（23-24 高三下·辽宁·模拟预测）柯西不等式在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的n 元形式
为：设
，
，
不全为0，
不全为0，则
，当且仅当存在一个数
k，使得
时，等号成立．
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设P 是棱长为
的正四面体ABCD 内的任意一点，点P 到四个面的距离分别为
，
，
，
，求
的最小值；
(3)已知无穷正数数列
满足：
①存在
，使得
；
6
②对任意正整数i、
，均有
.
求证：对任意
，
，恒有
.
题型四：三角函数的新定义问题
（24-25 高三上·全国·专题练习）对于集合
和常数
，定义：
为集合A 相对的
的“正弦标准差”．
(1)若集合
，
，求A 相对的
的“正弦标准差”；
(2)若集合
，是否存在
，
，使得相对任何常数
的“正弦标准差”是
一个与
无关的定值？若存在，求出α，β 的值；若不存在，请说明理由．
1．（24-25 高三上·江西宜春·期中）定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为
．
(1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若
，求满足要求的所有x 的集合；
(2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数
与直线
有且仅有四
个不同的交点，求实数k 的取值范围；
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(3)已知
，若有序数对(a,b)的“跟随函数”
在
处取得最大值，当b 在区间(0,
]变化时，
求
的取值范围．
2．（24-25 高三上·甘肃兰州·月考）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，
就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识
别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二
维空间有两个点
，
，则曼哈顿距离为：
，余弦相似度为：
，余弦距离为
(1)若
，
，求A，B 之间的曼哈顿距离
和余弦距离；
(2)已知
，
，
，若
，
，求
的值
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题型五：平面向量的新定义问题
（24-25 高三上·河南·期中）如图，我们把由平面内夹角成
的两条数轴Ox，Oy 构成的坐标系，称为
“完美坐标系”.设
，
分别为Ox，Oy 正方向上的单位向量，若向量
，则把实数对
叫做向量
的“完美坐标”.
(1)若向量
的“完美坐标”为
，求
；
(2)已知
，
分别为向量
，
的“完美坐标”，证明：
；
(3)若向量
，
的“完美坐标”分别为
，
，设函数
，x∈R，求
的值域.
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1．（24-25 高三上·浙江绍兴·月考）
维向量是平面向量和空间向量的推广，对
维向量
，记
，设集合
.
(1)求
，
；
(2)（i）求
中元素的个数；
（ii）记
，求使得
成立的最大正整数
.
2．（24-25 高三上·河南驻马店·月考）给定平面上一个图形D，以及图形D 上的点
，如果对于
D 上任意的点P，
为与P 无关的定值，我们就称
为关于图形D 的一组稳定向量基点.
(1)已知
为图形D，判断点
是不是关于图形D 的一组稳定向量基点；
(2)若图形D 是边长为2 的正方形，
是它的4 个顶点，P 为该正方形上的动点，求
的取值范围；
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(3)若给定单位圆
及其内接正2024 边形
为该单位圆上的任意一点，证明
是关于
圆
的一组稳定向量基点，并求
的值.
题型六：数列的新定义问题
（24-25 高三上·福建泉州·期中）若存在常数，使得数列
满足
，则称
数列
为“
数列”．
(1)判断数列：1，3，5，10，152 是否为“
数列”，并说明理由；
(2)若数列
是首项为2 的“
数列”，数列
是等比数列，且
与
满足
，求的值和数列
的通项公式；
(3)若数列
是“
数列”，
为数列
的前
项和，
，
，证明：
．
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1．（24-25 高三上·江西上饶·月考）数列
、
满足：
是等比数列，
，
且
．
(1)求
、
．
(2)求集合
中所有元素的和．
(3)对数列
，若存在互不相等的正整数
，使得
也是数列
中的项，
则称数列
是“和稳定数列”．试别断数列
、
是否是“和稳定数列”，并说明理由．
2．（24-25 高三上·山东青岛·期中）如果正项有穷数列
满足
，即
，我们称其为“1 的对称数列”，例如：数列2，3，
，
与数列3，2，1，
，
都是“1 的对称数列”．
(1)设
是项数为8 的“1 的对称数列”，其中
是等差数列，且
，请依次写出
的每一项；
(2)设数列
是13 项的“1 的对称数列”，其中
是等比数列，
，求数列
的所有项和的最小值；
(3)设数列
是
项的“1 的对称数列”，数列前
项的通项公式为
，求数列
的前
项和
．（注：
）
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题型七：立体几何的新定义问题
（24-25 高三上·广东广州·月）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体M 的一个顶点，定义
多面体M 在点P 处的离散曲率为
，其中
为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面
，平面
，…，平面
和平面
为多面体M 的所有以P 为公共点的面．
(1)求三棱锥
在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)如图，已知在三棱锥
中，
平面ABC，
，
，三棱锥
在顶点C 处
的离散曲率为
．
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①求直线PC 与直线AB 所成角的余弦值；
②若点Q 在棱PB 上运动，求直线CQ 与平面ABC 所成的角的最大值．
1．（23-24 高三下·江西新余·模拟预测）我们规定：在四面体
中，取其异面的两条棱的中点连线
称为
的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”.
(1)如左图，在四面体
中，
分别为所在棱的中点，证明：
的三条内棱交于
一点.
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(2)同左图，若
为垂棱四面体，
，求直线
与平面
所成角的正
弦值.
(3)如右图，在空间直角坐标系中，
平面内有椭圆
，
为其下焦点，经过
的直线
与
交于
两点，
为
平面下方一点，若
为垂棱四面体，则其外接球表面积是
的函数
，求
的定义域与最小值.
2．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲面的
图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和整体
性质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率
与球面三角形内角和
满足：
，其中
为常数，
（如图，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面三
角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.
球面三角形的总曲率等于
，为球面三角形面积，
为球的半径）.
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(1)若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为
，求此球面三角形内角和；
(2)求
的值；
(3)把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面
体.设凸多面体
顶点数为
，棱数为
，面数为
，试证明凸多面体欧拉示性数
为定值，
并求出
.
题型八：平面解析几何的新定义问题
（24-25 高三上·浙江·月考）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如
表示过点
(0,1)的直线族（不包括直线
轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点
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处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)圆
：
是直线族
的包络曲线，求
，
满足的关系式；
(2)若点
不在直线族
的任意一条直线上，求
的取值范围及直线族
的包络曲
线
的方程；
(3)在（1）（2）的条件下，过曲线
上动点
向圆
做两条切线
，
，交曲线
于点
，
，求
面积的最小值.
1．（23-24 高三下·江西新余·模拟预测）我们知道，在平面直角坐标系
中，可以用两点之间距离公式
刻画
两点的距离
，事实上，这里的距离属于这两个点的一种“度量”.在拓扑学中，我们规定
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某一实数
满足：①
，当且仅当
时等号成立； ②
； ③
.其中，
为平面直角坐标系内的三个点，我们就称
是关于
两点的一个“度量”.设：平面直角坐标系
（
为坐标原点）内两点
的“
距
离”
.
(1)求证：
两点的“
距离”是关于
两点的一个“度量”.
(2)设
为平面直角坐标系
内任意一点.
（ⅰ）若
，请在下图中定性做出
点的集合组成的图像（不必说明理由，但要求做出特殊点与
其特征）.
（ⅱ）求证：
.
(3)规定平面内两条平行直线的
距离
为在
上分别取的任意两个点
距离的最小值.已知
不重合的直线
，
，
，求
的取值范围.
2．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·月考）在平面直角坐标系
中，定义：若曲线
和
上分别存在点
，
关于原点
对称，则称点
和点
为
和
的一对“关联点”.
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(1)若
上任意一点
的“关联点”为点
，求点
所在的曲线方程.
(2)若
上任意一点的“关联点”为点
，求
的取值范围.
(3)若
和
有且仅有两对“关联点”，求实数
的取值范围.
题型九：概率统计的新定义问题
（24-25 高三上·湖北·月考）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称
为信息熵､信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量
的所有取值为
，定义信息熵：
(1)若
，且
，求随机变量
的信息熵；
(2)若
，求随机变量
的信息熵；
(3)设
和
是两个独立的随机变量，求证：
.
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1．（23-24 高三下·湖南·月考）多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值.在某个物种数目为的群落
中，辛普森多样性指数
，其中
为第种生物的个体数，
为总个体数.当
越大时，表明
该群落的多样性越高.已知
两个实验水塘的构成如下：
绿藻
衣藻
水绵
蓝藻
硅藻
6
6
6
6
6
12
4
3
6
5
(1)若从
中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率；
(2)（i）比较
的多样性大小；
（ii）根据（i）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素.
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2．（23-24 高三下·浙江·开学考试）一般地，
元有序实数对
称为
维向量.对于两个
维向量
，定义：两点间距离
，利用
维
向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标
准点的距离
，与哪个标准点的距离
最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得
到业务能力分值
､管理能力分值
､计算机能力分值
､沟通能力分值
（分值
代表要求度，1 分最低，5 分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：
岗位
业务能力分值
管理能力分值
计算机能力分值
沟通能力分值
合计分
值
会计（1）
2
1
5
4
12
业务员
（2）
5
2
3
5
15
后勤（3）
2
3
5
3
13
管理员
（4）
4
5
4
4
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对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量
的四个坐标.
(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；
(2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方
均小于20 的应聘者才能被招录.
（i）小刚测试报告上的四种能力分值为
，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业
的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；
（ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业
的推荐率
分别为
，试求小明的各项能力分值.
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题型十：高等数学背景下的新定义问题
（24-25 高三上·四川自贡·期中）新信息题型是目前高考的热点题型.这类题要求答题者在有限的时间内，阅
读并理解题目所给予的信息，根据获取的信息解答问题.请同学们根据以下信息回答问题：
(1)在高等数学中，我们将
在
处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：
，（其中
表示
的
次导数
，
），以上公式我们称为函数
在
处的泰勒展开式，当
时泰勒展开式也
称为麦克劳林公式，比如
在
处的麦克劳林公式为：
，由此当
时，可以非常容易得到不等式
，
，
，
，请利用上述公
式和所学知识写出
在
处的泰勒展开式；（写出展开式的前三项即可）
(2)设
为正整数，数列
，
，
，
是公差不为0 的等差数列，若从中删去两项
和
后剩余
的
项可被平均分为
组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列
，
，
，
是
一可
分数列.请写出所有的
，
，使数列
，
，
，
是
—可分数列.
22
1．（24-25 高三上·山东潍坊·月考）设数阵
，其中
.设
，其中
且
.定义变换
为“对于数阵的每一列，
若其中有或
，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有且没有
，则这一列中每个数都乘以
”，
表示“将
经过
变换得到
，再将
经过
变换得到
，以
此类推，最后将
经过
变换得到
”.记数阵
中四个数的和为
.
(1)若
，写出
经过
变换后得到的数阵
，并求
的值；
(2)若
，求所有
取值的和；
(3)对任意确定的一个数阵
，证明：所有
取值的和不大于
；
(4)如果
，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？
23
2．（24-25 高三上·江苏南通·月考）小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，
比如
，
等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3 都是6 的质因子．
在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25 的质因子只有
5，而36 的质因子只有2，3，所以25，36 是互质的．为方便表示，对于任意的正整数
，我们将比
小且
与
互质的正整数的个数记为
．例如，小于10 且与10 互质的数有1，3，7，9，所以
，同
理有
．
(1)求
，
；
(2)求所有
，
，使得
是奇数；
(3)若正整数
，其中
表示互不相同的质数．证明：
.
24
必刷大题
1．（24-25 高三上·上海·期中）设函数
的定义域为R，其导函数为
，
．若存在区间
及实数满足：对任意
，都有
恒成立，则称函数
为
上的“
函数”．
(1)判断函数
是否为
上的
函数，并说明理由；
(2)已知实数
满足：函数
为
上的
函数，求
的取值范围；
(3)已知函数
存在最大值． 对于以下两个命题，
：对任意
，都有
与
恒成
立；
：对任意正整数
，满足函数
都是
上的
函数；判断P 是否为Q 的充要条件，并说明
理由．
2．（24-25 高三上·湖南长沙·期中）设
，集合
.
对于
，记
.
25
(1)若
，证明：
；
(2)若
和
都为奇数，证明：
为偶数；
(3)若
，当
时，求所有
之和的最大值.
3．（24-25 高三上·河北沧州·期中）已知
为坐标原点，对于函数
，称向量
为函数
的相伴特征向量，同时称函数
为向量
的相伴函数．
(1)记向量
的相伴函数为
，若当
且
时，求
的值；
(2)设
，试求函数
的相伴特征向量
，并求出与
同向的单
位向量；
(3)已知
为函数
的相伴特征向量，若在△
中，
，
，若点
为该△
的外心，求
的最大值．
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，称向量
为
的特征向量，
为
的特征函数.
(1)设
，求
的特征向量；
26
(2)设向量
的特征函数为
，求当
且
时，
的值；
(3)设向量
的特征函数为
，记
，若
在区间
上至少有40 个零点，
求
的最小值.
5．（24-25 高三上·河北邯郸·期中）对于无穷数列
，“若存在
（
、
，且
），
必有
”，则称数列
具有
性质.
(1)若数列
满足
，判断数列
是否具有
性质？数列
是否具有
性质？
(2)对于无穷数列
，设
，求证：若数列
具有
性质，则
必为
有限集
(3)已知
是各项均为正整数的数列，且
既具有
性质，又具有
性质，是否存在正整数
，
使得
，
，
，…，
，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
6．（24-25 高三上·四川·模拟测试）已知抛物线
：
的焦点为
，过点
的直线与
相交
于点
，
，
面积的最小值为
（
为坐标原点）.按照如下方式依次构造点
：
的坐标
27
为
，直线
，
与
的另一个交点分别为
，
，直线
与
轴的交点为
，设点
的横
坐标为
.
(1)求
的值；
(2)求数列
的通项公式；
(3)数列
中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不
存在，请说明理由.
7．（24-25 高三上·广西来宾·模拟预测）已知：①定积分的定义：
设y = f (x)为定义在
上的连续非负函数，为求
轴围成的曲边梯形的面积，可采
取如下方法：
将区间
分为
个小区间，每个小区间长度为
，每个区间即可表示为
，再分别过每个区间的左右端点作
轴的垂线与y = f (x)图象相交，
即可得到一个小的曲边梯形.如图，
当
时，每个小曲边梯形可近似看作矩形，矩形的宽即为每个小区间的长度，长可由每个小区间内
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的任一点的函数值近似代替（一般用区间端点的函数值），将这样无穷多个小矩形的面积相加，所得之和
即为所求的由
轴围成的曲边梯形的面积，即
，上式也
记为
，即对y = f (x)在
上求定积分.
②定积分的计算：
其中
.
根据以上信息，回答以下问题：
(1)已知
，求证：
.
(2)将
轴围成的图形面积分别表示为定积分的形式与面积和的极限形式，并求其值；
(3)试证明：
.
1．（2024·上海·高考真题）记
(1)若
，求
和
;
(2)若
，求证:对于任意
，都有
，且存在
，使得
.
(3)已知定义在
上
有最小值，求证"
是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有
”.
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2．（2024·全国·高考真题）设m 为正整数，数列
是公差不为0 的等差数列，若从中删去两项
和
后剩余的
项可被平均分为
组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列
是
可分数列．
(1)写出所有的
，
，使数列
是
可分数列；
(2)当
时，证明：数列
是
可分数列；
(3)从
中任取两个数和
，记数列
是
可分数列的概率为
，证明：
．
3．（2024·北京·高考真题）已知集合
．给定数列
，和序
列
，其中
，对数列
进行如下变换：将
的第
项均
加1，其余项不变，得到的数列记作
；将
的第
项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到
，简记为
．
(1)给定数列
和序列
，写出
；
(2)是否存在序列
，使得
为
，若存在，写出一个符
合条件的
；若不存在，请说明理由；
(3)若数列
的各项均为正整数，且
为偶数，求证：“存在序列
，使得
的各项都相
等”的充要条件为“
”．
