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专题01 函数图象与性质
（3 种重要函数图象+5 种抽象函数图象+7 种函数性
质）
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速度提升
技巧掌握
手感养成
重难考向聚焦
锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向
重难考向保分攻略
授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近近三年：根据2024 年2025 年高考数学的考纲和真题，函数专题在高考中的分值占比比较大，分值比较
高，多以小选择题和填空题题型，难易度分布，是从容易题到小题压轴都有出现，24 年全国卷还在大题第18
题有函数性质的针对性考察。
函数是高考数学的核心考点之一，主要考察函数的性质、图像、运算及应用。函数性质是重点考察。函数
性质考察，多从以下方面来考察
单调性：判断函数在区间上的增减性，常通过导数或定义分析 。
奇偶性：偶函数关于y 轴对称（如二次函数），奇函数关于原点对称（如三次函数） 。
周期性：不仅仅出现在三角函数中，涉及到函数特别是抽象函数，有对称中心或者对称轴来生成周期性
来考察。
函数图像考察，则从见函数图像：一次函数（直线）、二次函数（抛物线）、指数函数（指数增长/衰
减）、对数函数（反函数） 来考察，涉及到图像变换，平移、翻转等操作需结合具体函数分析，如反比
例函数平移后的渐近线位置 。
预测2026 年：函数模块的考察从以下方向考察：
基础性质考察是函数考察的核心点。函数的单调性、奇偶性、周期性始终是必考内容，尤其注重抽象函数
性质的判断与应用。涉及到通过复合函数“同增异减”规律分析性质，或结合对称性推导周期性等方向。
并且结合新高考的考试指导性方向，函数实际应用考察会持续深化，命题可能结合科技创新场景方向，来
考查函数建模与分析能力。所以再复习函数备考函数时，要重视原理理解，引导学生避免机械刷题，需深
入掌握函数性质的定义,性质，理解并掌握推导过程和推导思维，强化思维训练，以解决压轴大题或压轴
小题题形式的综合应用。
考向01 重要函数图像：对勾函数
对勾函数：
图像特征
形如
称为对勾函数
1.有“渐近线”：y=ax
2.“拐点”：解方程
（即第一象限均值不等式取等处）
1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先判断
，得到
关于
对称，再利用函数和的单调性得到
的单调性，然
后结合对称性解抽象函数不等式即可.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，所以
关于
对称，
又因为
（对称轴为
，开口向上）在
上分别为单调递增函数，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，结合对称性可得
，两边平方后化简可得
，解
得
或
，所以
的取值范围是
.故选：B.
2．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
，若对任意的
，满足
，则恒有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】奇偶性定义判断函数的奇偶性，利用复合函数的单调性判断
的区间单调性，讨论
、
、
一正一负，结合不等式恒成立确定不等关系.
【详解】由
，且
的定义域为R，所以
是偶函数，
当
，令
，则
在
上单调递增，
又
在
上单调递增，故
在
上单调递增，
由偶函数的对称性，
在
上单调递减，
当
，由
，则
，
当
，由
，则
，
当
一正一负，不妨令
，则
，
显然与
矛盾，综上，
.故选：D
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对函数
求导，根据导函数
可得
为R 上的增函数，利用单调性比较大小即可.
【详解】由
，得
，
，当且仅当
，即
时等号成立，
而
，
，即
在R 上单调递增，
，
，即
.
故选：A.
4．（2025·北京大兴·三模）已知函数
.若
的最小值为
，则
的一个取
值为 ；
的最大值为 ．
【答案】 2（答案不唯一，
即可） 4
【分析】分别研究
和
时函数的最小值情况，确保两个区间内的最小值都不小于
，且
是
整体的最小值，结合两段函数的性质，求解
的取值.
【详解】由题意知，原函数中
为最小值，
①当
时，令
，则
，函数变为
，求导得
，令
，则
，
i）当
，即
时，最小值在
处，此时
，因为
的最小值为
，
所以有
，可得
；
ii）当
，即
时，
在
上单调递增，最小值
.
②当
时，
，最小值在
处，此时
，因为
的最小值为
，
所以有
，可得
；综上所述，
.
故答案为：2（答案不唯一，
即可）；4
考向02 重要函数图像：双曲函数
.双曲函数（双刀函数）
1.有“渐近线”：y=ax 与y=-ax
2.
“零点”：解方程
（即方程等0 处）
1．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知
，且
，则下列可能成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】判断可得函数
为奇函数，由
得
，画出
，
的图象，结合图象依次判断即可求解.
【详解】函数的定义域为R，
，所以函数
为奇函数，
又
，所以函数
在R 上单调递增，
又
，所以可得：
，
画出
，
的图象，
当
，
，
时，
不成立，
当
时，
可能成立.故选：D．
2．（24-25 高三·河北邯郸）已知函数
，若
恒成立，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用函数奇偶性的定义可判断
为奇函数，由导数判断
为
上的增函数，则所求不等式
等价于
，分离参数可得
，构造函数
，利用导数求
的最大值即可求解.
【详解】因为
，所以
为
上的奇函数．
又因为
，
所以
在
上单调递增.又
恒成立，所以
，则
，
因此
恒成立．设
，则
，令
，解得
．
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，因此
．
故选：C．
3．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数
．若
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先通过对变量替换，即令
，将原函数变为
，通过求导判断
的单调性，利
用其严格递增性将原不等式转化为
，最终求解一元二次不等式.
【详解】令
，则原函数可改写为：
，
定义辅助函数
，则
，
由
，故
是奇函数，
，又
（当且仅当
时取等号），且
,
,
因此，
在
上严格递增，
原不等式
转化为：
，即
，
因为
为奇函数，即
，所以
，
又
在
上严格递增，故
，所以
，得
，
故选：A
4．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知
，若
有唯一解，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用偶函数性质，只需要研究
的零点个数，然后用换元法构造新函数进行求导证明单调性，
借助端点值效应，
，所以可证明存在唯一零点的参数取值范围.
【详解】
，
，
为偶函数，
，
设
，
，
则
在
有唯一零点．
，当且仅当
取等号．
若
,
时，
，则
在
单调递增，
又因为
，所以
在
有唯一零点.若
,
时，令
得
，即
，解得
或
，其中
，满足要求，
，其中
，故
在
时恒成立，所以
，即
，不合要求，
当
时，
，则
在
单调递减，
所以
，
时，
，故
在
有1 个零点．
又
，所以
在
上有两个零点，不满足题意，
故
的取值范围为
．故选：C.
考向03 重要函数图像：分式型
.反比例与分式型函数
解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高
次不等式，再用穿线法求解。形如：
。对称中为P
，其中
。
1．（23-24 高三·广东 阶段练习）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】证明函数的奇偶性，再分析出其单调性，从而得到
，解出即可.
【详解】由
可得
且
，则
为偶函数，
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，则
恒成立，
则
在
单调递减，在
单调递增，
，解得
或
.故选：D.
2．（24-25 上·江苏阶段练习）已知函数
，
，则不等式
的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
，从而有
在
上单调递增，再结合单调性可求解．
【详解】解：
，在
在
上单调递增，
，
或
，解可得，
或
，
即
，故选A．
【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了分类讨论思想的应用．
3．（24-25 高三·云南昭通·阶段练习）已知函数
，若对任意的
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先用基本不等式求最值，再解一元二次不等式即可.
【详解】对任意的
，
，
因为
，令
，
，
因为
，当且仅当
，即
，即
时，等号成立，
所以
，
因为
恒成立，所以
，即
，解得：
，
故选：D.
4．（23-24·湖南长沙阶段练习）已知函数
满足
，若函数
的图像与
的图像有4 个交点，分别为
，
，
，
，则
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．2a
【答案】B
【解析】由题意可得两个函数都关于
对称，则可判断交点也关于
对称，即可列出式子求出结
果.
【详解】
函数
满足
，
关于
对称，
也关于
对称，
两个函数的交点关于
对称，
不妨设
和
，
和
对称，
，则
，
.故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，解题的关键是通过关系式或函数解析式判断出函数图象
都关于
对称，继而利用交点对称求出结果.
考向04 抽象函数图像：函数方程
函数方程,多采用轮换式代换技巧。函数方程中的轮换式代换技巧是一种通过变量轮换来简化方程或发现
隐藏对称性的方法。其核心思想是：如果方程在变量轮换后形式不变，则可以利用这种对称性进行代换
或推导。
核心原理是：对于函数方程f(g(x)) +f(r(x))形式，若变量轮换后形式不变，可尝试设t =g（x）与t=r（x）
来代换，通过代换，再通过解方程消去，转化为单一变量的函数解析式
常见技巧：
变量代换：通过轮换变量，再通过相加或相减消元，将复杂方程转化为更简单的形式。
对称性利用：若方程是轮换对称式，其因式分解或解的结构往往具有对称性，可据此简化问题
周期性结合：在函数方程中，轮换对称性常与周期性结合使用，通过多次轮换代换，寻找出代换的周期
性，来推导函数的解析式
1．（2025·浙江·二模）定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则函数
在区间
内的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】由题设条件可得
，从而可先分析
在
上的零点个数为1，再结合前
者可得
内的零点个数.
【详解】因为
，故
，故
，即
，
而当
时，
，故当
时，
，故
，
故
，
当
时，
，而
在
上为减函数，在
为增
函数，故
在
有有且只有一个实数解为
；
当
时，
，而
，故
，此时
在
上无解；
故当
时，
，则
，
结合
上
的性质可得
在
上有且只有一个实数解，
且该实数解为
，在
无实数解，而
且
，
故
在
上的实数解为
，
，
，
，共4 个实数解，故
共有4 个不同的零点.故选：B.
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在
上的函数
满足
，
，则
等于（ ）
A．33
B．32
C．31
D．30
【答案】D
【分析】先令
和
代入已知等式可得
，进而得到①；再结合已知等式得到②，解方程组
①②得到
解析式可得.
【详解】令
，则
，
令
，则
，则
，所以
①．
所以
，则
，
又因为
，所以
，
，所以
②．
①－②，得
，所以
．所以
．
故选：D．
3．（2024·青海·二模）定义在
上的函数
满足
，
是函数
的
导函数，以下选项错误的是（ ）
A．
B．曲线
在点
处的切线方程为
C．
在
上恒成立，则
D．
【答案】C
【分析】由
，可得
，即可得
的解析式，结合
导数计算、导数的几何意义及利用导数求函数的极值与最值即可判断各选项.
【详解】由
，有
，
则
，即
，
则
，整理得
，有
，
则
，
，即
，故A 正确；
，
，故切线方程：
，化简得
，故B 正确；
在
上恒成立，由
，
故
，故C 错误；
不等式
等价于
，令
，
则
，
故当
时，
，
在
、
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，故
有极小值
，
当
时，有
，故
，即
，故D 正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过赋值法求出函数的解析式，再结合导数的运算，导数的几
何意义，不等式恒成立问题的处理方法，利用导数求函数的最值判断各选项.
4．（2025·广西·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足
，则
．
【答案】
【分析】分别令
即可求解.
【详解】令
可得：
，令
可得：
，
两式联立可得：
，故答案为：
考向05 抽象函数图像：构造正弦与双曲正弦模型
.正弦与双曲正弦型：
1．（24-25·广西南宁·一模）已知函数
的定义域为
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
是增函数
D．
是周期函数
【答案】C
【分析】对A，令
求解即可；对B，令
化简可得
即可；对C，设
，
结合题意判断
判断即可；对D，根据
是增函数判断即可.
【详解】对A，令
，则
，得
，故A 错误；
对B，令
，得
，
由
整理可得
，
将
变换为
，则
，
故
，故
，故
是奇函数，故B 错误；
对C，设
，则
，
且
，故
，则
.
又
，
是奇函数，故
是增函数，故C 正确；
对D，由
是增函数可得
不是周期函数，故D 错误.
故选：C
2．（24-25 高三·甘肃陇南 ）已知函数
的定义域为
，且满足
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
【答案】B
【分析】利用赋值
判断A，令
可判断C，令
，结合条件求出函数周期可判断BD.
【详解】令
，则
，解得
，故A 正确；
令
，则
，即
，
因为
不恒为0，所以
，且定义域为
，故函数为奇函数，故C 正确；
令
，则
，因为
不恒为0，且
，
所以只能
，从而
，周期为4，
显然
，故B 错误D 正确.
故选：B
3．（24-25 高三·浙江舟山·阶段练习）已知函数
的定义域为
，且
，
的图像关于直线
对称，
，
在
上
单调递增，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．
的一条对称轴是直线
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，可求得
，令
，可得
，利用已知可得
关于
对称，可判断B；可求得函数的周期为6，
关于
对称，计算可判断AD；由题意可得
在
上单调递减，可判断C.
【详解】
，
令
，可得
，解得
；
令
，
，则
，
∴
，∴
为奇函数；
∵
的图像关于
对称，
,
∴
关于
对称，故B 正确；
∴
，∴
，
∴
，即
的周期为6，
∵
关于
对称，可得
关于
对称
∴
，
，
，
，
，
所以
，
，
故A 正确，D 错误；
∵
，又
在
上单调递增
∴
在
上单调递减，所以
，即
，故C 正确.
故选：D.
4．（24-25 高三上·广西·阶段练习）已知函数
的定义域为
，且当
时，
，则下列正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是周期函数
C．当
时，
D．当
时，
【答案】D
【分析】对A，令
，得
，令
，整理得到
可判断；对B，先证明
是增函数，可得
不是周期函数判断；对于C，D，利用
单调性可判断.
【详解】对于A，由
，
令
，则
，得
，
令
，得
，由
整理可得
.
由题可知
不恒为0，故
，即
，故
是奇函数，故A 错误；
对于B，设
，则
，
，
故
，
，
，
，
故
，即
是
上的增函数，
又
是奇函数，故
是R 上的增函数，所以
不是周期函数，故B 错误；
对于C，当
时，则
，
，故C 错误；
对于D，当
时，
，即
，
，故D 正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用条件结合函数单调性的定义判断
是R 上的增函数.
考向06 抽象函数图像：构造余弦与双曲余弦模型
.余弦与双曲余弦模型
1．（24-25 高三·辽宁大连·阶段练习）定义域为
的函数
，对任意
，且
不恒为0，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．若
，则
【答案】D
【分析】对于A，令
，
或
，结合
不恒为0，可得
，由此即可判断；
对于B，由
，不妨令
，即可判断；
对于C，令
，通过换元即可判断；
对于D，令
，得
关于
中心对称，结合
为偶函数，可得
为周期为4 的函数，算出
即可判断.
【详解】对于A，令
，有
，所以
或
，
若
，则只令
，有
，即
恒为0，
所以只能
，故A 正确；
对于B，由A 可知
，不妨令
，
有
，
即
，且函数
的定义域为全体实数，它关于原点对称，
所以
偶函数，即
为偶函数，故B 正确；
对于C，令
，有
，
令
，由
，得
，
所以当
时，有
，即当
时，
，故C 正确；
对于D，若
，令
，有
，
所以
关于
中心对称，又
为偶函数，
所以
，所以
是周期为4 的周期函数，
又
，
，
所以
，
所以
，
所以
，故D 错误.
故选：D.
2．（24-25·高三广西南宁开学考）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
为奇函数C．
有零点
D．
【答案】D
【分析】利用赋值法，结合奇函数的定义、零点的定义逐一判断即可.
【详解】A：在
中，
令
，得
，
因为
，所以
，所以本选项不正确；
B：函数的定义域为全体实数，由上可知
，显然不符合
，因此本选项不正确；
C：在
中，
令
，得
，或
，
显然函数
没有零点，故本选项不正确，
D：在
中，
令
，
得
，所以本选项正确，
故选：D
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用赋值法.
3．（24-25 高三·重庆渝中·阶段练习）定义在
上的函数
满足对任意
都有
，且
，
，则下列命题错误的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是周期函数
C．
D．
的图象关于点
对称
【答案】D
【分析】应用赋值法判断A 选项，求出周期判断B 选项，应用周期性结合特殊函数值判断C 选项，反证法
应用对称中心定义判断D 选项.
【详解】令
，则
，
，
，
再令
，则
，
为偶函数，A 正确；
又令
，则
，
为周期是4 的周期函数，B 正确；
，C 正确；若D 正确，则
，又
为周期是4 的周期函数，
，
为奇函数，则
与已知中“
”矛盾，D 错误.
故选:D.
4．（24-25·广东开学考试）已知定义在
上的函数
满足：
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的周期为4
C．
关于
对称D．
在
单调递减
【答案】C
【分析】由余弦函数的和、差角公式结合题目条件，可设
，先求出
，再对选项进行逐一验
证即可得出答案.
【详解】由
，
可得
，可设
由
，即
，则可取
，即
进行验证.
选项A：
，故选项A 不正确.
选项B：由
，则其最小正周期为
,故选项B 不正确.
选项D：由于
为周期函数，则在
不可能为单调函数. 故选项D 不正确.
选项C：
,又
，故此时
为其一条对称轴.
此时选项C 正确,故选：C
考向07 抽象函数图像：构造一元三次型
.
一元三次模型
1．（24-25·青海百校联考）已知定义在
上的函数
，其导数为
，且满足
，
，
，给出下列四个结论：①
为奇函数；②
；③
：④
在
上单调递减.其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②
B．①③
C．②③④
D．①②④
【答案】D
【分析】令
求出
.令
可判断①；令
，得
，再求出
、
可判断③；利用累加法求出
可判断②；利用导数可判断④.
【详解】对于①，令
，得
，所以
.
令
，得
，所以
为奇函数，故①正确；
对于③，令
，得
，
所以
，
，故③错误.
对于②，因为
，所以
，
，
，
，
，以上各式相加得
，所以
，故②正确.
对于④，当
时，
，所以
在
上单调递减，故④正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：②中的解题的关键点是利用累加法求出
的解析式.
2．（多选）（24-25 高三上·陕西安康·开学考试）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
，当
时，
，且
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
为偶函数
B．
C．
在
上单调递增
D．
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶函数的定义计算判断AB；利用单调性定义推理判断C；利
用复合函数求导，赋值计算，结合函数
的周期计算判断D.
【详解】对于A，取
，得
，解得
，
取
，则
，即
，又
，
因此
为奇函数，A 错误；
对于B，
，
解得
，因此
，B 正确；
对于C，
，则
，
，
，函数
在
上单调递增，C 正确；
对于D，取
，则
，求导得
，
于是
，解得
，由
，
求导得
，则
，
，
又函数
的周期为4，
，
所以
，D 正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：探讨抽象函数的性质，关键是适当地赋值，结合已知确定函数的奇偶性、单调性及
相关函数值.
3．（多选）（（24-25 高三·河南·阶段练习）已知非常数函数
的定义域为
，且
，则（ ）
A．
B．
或
C．
是
上的增函数D．
是
上的增函数
【答案】AC
【分析】A.令
判断；B.令
，分别令
，
判断；CD.由
，令
判断.
【详解】解：在
中，
令
，得
，即
．
因为函数
为非常数函数，所以
，A 正确．
令
，则
．
令
，则
，①
令
，则
，②
由①②，解得
，从而
，B 错误．
令
，则
，即
，
因为
，所以
，所以C 正确，D 错误．
故选：AC
4．（多选）（（24-25·贵州·三模）已知定义域为
的函数
满足
为
的导函数，且
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．设
，则
【答案】ABD
【详解】对于A：令
可得；对于B：令
可得；对于C ：先确定
的奇偶性，然后令
后对
两边同时求导，再代入
即可；对于D：利用累加法求通项公
式.
【点睛】对于A：令
得
，所以
，A 正确；
对于B：令
得
，所以
，B 正确；
对于C：因为
，所以
，即
，
所以
为偶函数，由
可得
，令
得
，
则
，令
，得
，所以
，C 错误；
对于D：因为
，
，所以
，且
所以
，相加可得
，所以
，则
，D 正确.故选：ABD.
考向08 抽象函数图像：赋值与构造型
几个特殊的构造：
1.反比例模型：
2.对数反比例型：
3.一元二次函数型模型：
模型特征：线性抽象+xy 型
1．（24-25 高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数
，对任意的
都有
，
且
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
是
上的增函数
D．
【答案】C
【分析】对于A，取
即得；对于B，使
代入推理即得；对于C，通过推理得到
，取反例进行验证即可否定结论；对于D，取
，
，推理得到
是首
项为1，公差为1 的等差数列即得.
【详解】对于A，在
中，
令
，得到
，因此
，所以选项A 正确；
对于B，令
，得到
，即
，所以选项B 正确；
对于C，由
可化为，
，
记
，则
，不妨取函数
，显然符合条件，
则
，因
，当
时，
，当
时，
，
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增，故C 错误；
对于D，令
，
，得
，即
，
又
，所以
是首项为1，公差为1 的等差数列，
，故D 正确.
故选：C.
2．（2024·安徽合肥·一模）已知函数
的定义域为
，且
，
记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数
满足的表达式以及
，利用赋值法即可计算出
的大小.
【详解】由
可得，
令
，代入可得
，即
，
令
，代入可得
，即
，
令
，代入可得
，即
；
由
可得
，
显然可得
.
故选：A
【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函
数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.
3．（24-25 高三·湖南·阶段练习）已知函数
是定义在R 上不恒为零的函数，对任意的x，
均满足：
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，结合已知化简得
，利用累加法求得
，然后利用错位相减法
求和即可求得.
【详解】令
，得
，
代入
，得
，
当x 为正整数时，
，
所以
，
所以
，代入
，得
，
所以
（
且
），又当
时，也符合题意，
所以
（
）．
所以
，
令
，
则
，
所以
，
所以
，
所以
.
故选：D
4．(多选）（24-25 高三上·海南·阶段练习）已知函数
，对任意的
都有
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
是
上的增函数
D．
【答案】ABD
【分析】令
可求
，可判断A；令
，可判断函数
的奇偶性，可判断B；推出
，取反例验证可判断C；令
，
可得数列
的递推公式，再求
的
通项公式可判断D.
【详解】对A：令
，则
，故A 正确；
对B：令
，则
，
由A 可知：
，所以函数
为奇函数，故B 正确；
对C：由
，
设
，则
，
则
.
由
；由
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.故C 错误；
对D：令
，
可得：由
得：
，
又
，所以
是以
为首项，以1 为公差的等差数列.
所以
，故D 正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：对于函数方程问题，赋值法是解决问题的突破口.
考向09 函数对称：中心与轴对称
1.重要的中心对称函：
数
特别的：对称中心横坐标如果相同，可以叠加纵坐标为合成中心
2.重要的轴对称函数：
对数-指数复合反比例型：
对数-指数复合反比例型原理：
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，
，则函数
的图象与x，y 轴围成的封闭图形的面积是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】A
【分析】根据函数的对称性结合割补法求封闭图形的面积.
【详解】函数
的定义域为
，
因为
，所以
是奇函数，其图象关于原点对称．
又
，函数
在R 上单调递增，
所以
在
上单调递减，因此
在
上单调递减，且其图象关于点
对称.
由题知，
由函数的解析式和二次函数的性质可得
在
上单调递减，
而
时，
，
当
时，同理有
，故
图象关于点
对称，
函数
与
的图象如图1 所示．
因此
在
上单调递减，且
，
故
图象关于点
对称，又
，故点
关于点
的对称点为
，所以
，连接
，如图2．
易知
的图象与x，y 轴围成的封闭图形可以通过割补变成一个直角三角形，
如图中的
，其中
，
，故
，
即
的图象与x，y 轴围成的封闭图形的面积为4．故选：A.
2．（2025·河北·模拟预测）若
（其中
）是偶函数，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】由偶函数的性质和对数的运算性质求解即可.
【详解】由题意知：
，
则
，
化简为
，则
，解得
．
故选：A．
3．（2025·江苏苏州·三模）已知函数
，定义域为R 的函数
满足
，
若函数
与
的图象有四个交点，分别为
，
，
，
，则
（ ）
A．0
B．4
C．8
D．12
【答案】D
【分析】根据题意得到
，
的图象关于
对称，设关于点
对称的坐标为
，
，则
，
，同理可得：
，
，即可得到答案.
【详解】由
，得
的图象关于
对称，
函数
，则
，即
的图象也关于
对称，
因此函数
与
图象的交点关于
对称，
不妨设关于点
对称的坐标为
，
，则
，
，
则
，
，同理得：
，
，
即
.故选：D
4．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知
的定义域为
，将
的图象绕原点旋转
后所得图象与原
图象关于
轴对称，且
，
，
，则
（ ）
A．2024
B．
C．2025
D．
【答案】D
【分析】由题意可得函数
为偶函数，利用赋值法可得
，可求得
，进而可得
，可得
符号相反，
，可求
.
【详解】因为将
的图象绕原点旋转
后所得图象与原图象关于
轴对称，
所以函数
为偶函数，即
，
由
，令
，可得
，
所以
，令
，可得
，
又
，可得
，所以
，
所以
，所以
，所以
是周期为4 的周期函数，
所以
，所以
，
因为
，
，所以
，
，
因为函数的周期为4，所以
符号相反，用
，
所以
，所以
.
故选：D.
5．（25-26 高三·山东·阶段练习）直线
经过函数
图象的对称中心，则
的最小值为 .
【答案】9
【分析】根据函数单调性分析可知函数
的对称中心为
，进而可得
，结合乘“1”法求最
值.
【详解】对于函数
，令
，解得
且
，可知函数
的定义域为
，因为
，可知函数
的对称中心为
，
由题意可知：直线
经过点
，
则
，即
，
可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以
的最小值为9.故答案为：9.
考向10 函数对称：重心偏移型
重心偏移，主要值的是具有中心对称且有单调性形式的函数，一般如下图两种形式：
1．（23-24 高三·安徽合肥·阶段练习）已知函数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，判断
的单调性和奇偶性，由此求得不等式
的
解集.
【详解】
，
由于
，所以
的定义域为
，
，
所以
是奇函数，当
时，
为增函数，
为增函数，
所以
是增函数，由
是奇函数可知，
在
上单调递增，
由
得
，
即
，则
，解得
，
所以不等式
的解集是
.故选：A
【点睛】给定一个不等式以及函数解析式的题目，要考虑函数的单调性、奇偶性、定义域等基本性质来进
行解题.是否要构造函数，构造什么类型的函数，关键是要根据已知函数的结构，选择合适的构造方法.
2．（2024·高三河北邯郸阶段练习）已知函数
，设
（
）为实数，且
．
给出下列结论：
①若
，则
；
②若
，则
．
其中正确的是（ ）
A．①与②均正确
B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确
D．①与②均不正确
【答案】A
【分析】令
，得到
为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设
，结合
，利用直线
的方程得到
，进而得到
，可判断①正确；②中，不妨设
，得到点
，
利用直线
的方程得到
，进而得到
，可判定②正确.
【详解】令函数
，可得函数
为单调递增函数，
又由
，即
，所以函数
为奇函数，图象关于点
对称，如图（1）所示，①中，因为
，且
，则
，
不妨设
， 则点
，此时直线
的方程为
，
可得
，则
，
可得
，又由
，所以
，
即
，即
，所以①正确；
②中，若
，不妨设
，则
，不妨设
，
则点
，此时直线
的方程为
，
可得
，则
，
可得
，又由
，所以
，
即
，即
，
所以②正确.故选：A.
【点睛】方法点拨：令函数
，得到函数
为递增函数，且为奇函数，求得点
和
，结合直线
和
的方程，得出不等式关系式是解答的关键.
3．（23-24 高三·河北·阶段练习）已知函数
，若
，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件先分析
的结果，由此确定出
的奇偶性和单调性，再将问题
转化为“已知
，求解
的取值范围”，根据单调性列出关于
的不等式并求解出结果.
【详解】由题可知
且
，
，
令
，则
且定义域为
关于原点对称，即
为奇函数，
函数
与
在
上均单调递增，
与
在
上单调递增，
在
上单调递增，即
在
上也单调递增且
，
又
为奇函数，
在
上单调递增，
不等式
等价于
，
，
在R 上单调递增，
，
解得
，
实数a 的取值范围是
，故选：A.
4．（24-25 高三浙江·阶段练习）已知函数
，若对任意
，都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合指数函数、幂函数的单调性确定
的单调性，构造函数
并探讨奇偶性，再
利用性质求解不等式.
【详解】函数
在
上单调递增，则函数
在
上单调递增，
令
，则函数
在
上单调递增，
，即函数
是奇函数，
不等式
，则
，
依题意，
在
上恒成立，而当
时，
，当且仅当
时取等号，
则
，所以实数
的取值范围是
.
故选：D
5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在
上的函数
，满足不等式
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数解析式可令
，且
是
上的增函数并关于点
成中心对称，将不等式
变形即可求得
，解得
.
【详解】易知函数
在
上为单调性递增，
即可得
是
上的增函数，
令
，则
是
上的增函数，
易知
，可得
,
即
的图象关于点
成中心对称，
由
可得
，
即
，由
可得
；
所以
，利用
是
上的增函数可得
，
解得
.即
的取值范围是
.故答案为：
【点睛】方法点睛：解函数不等式的方法步骤：
（1）根据解析式特征得出函数奇偶性、对称性、周期性等性质；
（2）再判断得出函数单调性，利用单调性并结合定义域得出不等式（组）；
（3）解不等式可得结论；
考向11 函数对称：周期与求和
周期性性质：
①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b.
②常见的周期函数有：
f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a.
周期性技巧：可以类比正余弦函数
1．（25-25 四川成都九月月考）设
为定义在整数集上的函数，
，
，
，对任
意的整数
均有
，则
=（ ）
A．0
B．1013
C．2025
D．4050
【答案】B
【分析】通过代入特定值分析函数的周期性，确定取值规律，进而求解
的值.
【详解】令
，则
，所以
．
令
，则
，又
，所以
．
令
，则
，所以函数
的图像关于直线
对称．
令
，则
，所以
，
的图像关于点
对称．
故
，则
,
是周期
的函数．
又
，当
为偶数时，
．当
为偶数时，
也为偶数，此时
；当
为奇数时，令
，则
.
所以
1013．
故选：B．
2．（25-26 安徽合肥阶段练习）定义域为R 的函数
，其图象关于直线
对称，已知
为奇
函数，且
，则
（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【答案】B
【分析】根据题意有
，
，从而得
，即可求出周期，
进而求出一个周期的和，利用周期即可求解.
【详解】由
关于
对称，有
，
又
为奇函数，则
即
，且
即
，
所以
关于点
对称，且
，
则
，作差有
，
为周期函数，且周期为4，因为
，
，则
，
因为
，
，则
，
，
则
，
．
故选：B．
3．(多选题）（）25-26 高三上·四川绵阳·)已知定义在
上的偶函数
，满足
，当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】根据函数的偶函数特性以及函数的周期性逐项判断并计算即可.
【详解】因为函数
为偶函数，所以
.因为
，令
，
则
，故
，所以A 正确；
所以
，即
.所以函数
的周期为2.
当
时，
，所以
，所以B 错误；
，因为
，所以
，所以C 正确；
因为
，函数
周期为2，
所以
，所以D 正确.
故选：ACD.
4．（多选题）(25-26 高三上·四川绵阳涪城区绵阳南山中学实验学校·)定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，已知当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在区间
上单调递减
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据已知得
、
，进而得
，利用对称性判断
在区间
上的单调性，再由区间解析式判断单调性，结合对称性比较大小，最后由周期性求函数值.
【详解】由
为奇函数，则
，即
，
由
，则
，故
，
所以
，故
，A 对；
由
，知
图象关于
对称，
由
，知
图象关于点
对称，且
，
当
时，
，即
在
上单调递增，
所以
在
、
上单调递减，即在
上单调递减，
若
，则
，结合周期性知
，
所以
在区间
上单调递减，B 对；
由
，C 错；
由
，则
，
，
所以
，又
，
，D 对.
故选：ABD
5．（多选）（25-26 山东实验模拟）设
是定义域为R 的奇函数，且
的图象关于直线
对称，若
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．
在
上单调递减
C．
D．
在区间
上有3543 个零点
【答案】BC
【分析】根据函数的对称性，结合伸缩平移变换，确定函数的奇偶性判断A；利用导数研究
的单调性，
结合奇函数性质判断B；利用对称性确定函数的周期性，判断C、D.
【详解】A 选项：因为
的图象关于直线
对称，
所以将
得图像向右平移
个单位，得
，该函数图像关于
轴对称，将
的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2 倍得
，
图像关于
轴对称，因此
为偶函数，A 错误.
B 选项：由题意知
时，
，令
，
在
恒成立，所以
单调递减，
又
，所以
时，
，
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，因为
是奇函数，所以
在
上单调递
减，B 正确；
D 选项：因为
为偶函数，所以
关于
对称，故
，
又有
是奇函数，所以
，所以
，即
是周期为
的周
期函数，因为
，结合
单调性和
关于
对称可得，
在区间
上有2 个零点，且
是定义域为R 的奇函数，所以有
，
因此
在区间
上有3 个零点，所以
在区间
上有
个零点，D 错误；
C 选项：
，
，
，
，
所以
，所以
，C 正确.
故选：BC.
考向12 函数对称：双函数方程传递
“双函数”
双函数常规思维：是依赖单调性、中心对称性、周期性来推导函数。
双函数实战思维：
1.双函数各自自身对称性
2.形如
。借助数形结合，f（x）的性质，可以传递给g（x）。
3.形如
，与
，可以借助函数方程消去一个，剩余另一个函
数，再借助函数性质得到图像特征。
1．(多选题）（24-25 高三上·山东菏泽·开学考试）已知函数
的定义域均为
的图象关
于
对称，
是奇函数，且
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】A 选项，根据
的图象关于
对称，所以
关于
轴对称，故
，A 正
确；B 选项，由奇函数性质得到
，故
，B 错误；CD 选项，由题目条件得到
，结合
得到
，故
，推出
，得到周期，赋值法得到
，
，并利
用周期求出
.
【详解】A 选项，因为
的图象关于
对称，所以
关于
轴对称，
故
是偶函数，则
，故A 正确；
B 选项，因为
是奇函数，所以
，即
，故B 错误；
CD 选项，由
得
，
又
，所以
，又
，
即
，即
，则
，
所以
，所以
①，
即
②，
②-①得
，所以函数
的周期为4，
令
，由
，得
，
再令
，则
，所以
，
又
，由
，
所以
，故C，D 正确.
故选：ACD.
【点睛】函数的对称性：
若
，则函数
关于
中心对称，
若
，则函数
关于
对称，
函数的周期性：设函数
，
，
，
．
（1）若
，则函数
的周期为2a；
（2）若
，则函数
的周期为2a；
（3）若
，则函数
的周期为2a；
（4）若
，则函数
的周期为2a；
（5）若
，则函数
的周期为
；
（6）若函数
的图象关于直线
与
对称，则函数
的周期为
；
（7）若函数
的图象既关于点
对称，又关于点
对称，则函数
的周期为
；
2．(多选题）（24-25 高三福建阶段练习）已知函数
的定义域均为
，且
,
，若
的图象关于直线
对称，则以下说法正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
C．
，
D．若
的值域为
，则
【答案】BCD
【分析】由
得
，与
联立得
，再结
合
的图象关于直线
对称，可得
的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误.
【详解】
，
，
，
，
关于
对称，
，
，
，
，
，故C 正确；
关于
对称，
，
，
为偶函数，
，
，
，
，
，
为偶函数，故A 错误；
，
图象关于点
中心对称，
存在一对最小值点与最大值点也关于
对称 ，
，故D 正确；
由
得
，又
，所以
，
由
得
，所以
，故B 正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：对含有
混合关系的抽象函数，要探求
性质首先要消去一个函
数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对
进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再
考查剩余函数的性质. 对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题
应该注意的事项：
（1）赋值法使用，注意和题目条件作联系；
（2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变.
3．(多选题）（2025·湖北黄冈·一模）定义在
上的函数
和
，
为奇函数，
为偶函
数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于
对称
D．8 为
的一个周期
【答案】BCD
【分析】对A：由
为奇函数可得
，再利用
，从而可消
去
，即可得解；对B：由
为偶函数可得
，再利用
，从而可消
去
，即可得解；对C：借助B 中所得
，结合赋值法计算即可得；对D：结合A 中所
得及
为偶函数计算即可得.
【详解】对A：由
为奇函数，则
，
故
，由
，
则
，且有
，
即
，则
，
令
，则
，即
，故A 错误；
对B：由
为偶函数，则
，
由
，则
、
，
故
，又
，
则
，则
，则
，
由
，则
，故
，
故
，故B 正确；
对C：由
，则
的图象关于
对称，故C 正确；
对D：由
，则
，
又
，则
，则
，
则
，即
，
即8 为
的一个周期，故D 正确.
故选：BCD.
4．(多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知函数
、
定义域为
，其中
为偶函数，
，且
，
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
【答案】AC
【分析】计算出
的值，推导出
，可得出
的值，可得知函数
是以
为周
期的周期函数，可判断A 选项；利用反证法可判断B 选项；由已知条件可推导C 选项；由
可得出
，结合函数周期性可判断D 选项.
【详解】因为
为偶函数，则
，即函数
的图象关于直线
对称，
因为
，则函数
的图象关于点
对称，
因为
，则
，所以，
，
则
，即
，
所以，
，
所以，函数
的图象关于点
对称，C 对；
因为函数
的图象关于直线
对称，则
，
由
可得
，则
，
故
，所以，函数
是以
为周期的周期函数，
因为
，则
，
且
，所以，
，A 对；
因为
，故函数
是周期为
的周期函数，
若函数
为奇函数，且
，则
，
从而有
，则
，
又因为
的图象关于直线
对称，则
，这与
矛盾，
故函数
不是奇函数，B 错；
因为
，且
，则
，
则
，且
，
所以，
，D 错.
故选：AC.
考向13 函数单调性综合：同构
函数单调性转化关系：
①一般认为，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ；
②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ；
单调性的定义的等价形式：设x1，x2 [
∈a，b]，那么有：
>0
①
⇔f(x)是[a,b]上的
增函数
；
同构型：
通过同除或者同乘等等凑配技巧，构造结构相同的新函数，然后新函数满足单调性定义。
1．（25-26 高三·云南·阶段练习）已知函数
，若对于任意的
、
，且
，都
有
成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，可得函数
在
上单调递减，分
、
两种情况讨论，在
时，直接验证即可；在
时，根据二次函数的单调性可得出关于实数
的不等
式组，综合可得出实数
的取值范围.
【详解】因为对于任意的
，且
，都有
成立，
在不等式
两边同时除以
可得
，
移项有
，构造函数
，
则
，所以函数
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增，不符合题意；
当
时，若使得函数
在
上单调递减，
则
，解得
.综上所述，实数
的取值范围是
.故选：C.
2．（24-25 高三·贵州阶段练习）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
.若对
，
，且
，都有
，则关于
的不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构建
，根据题意分析可知函数
为奇函数，且在
内单调递增，结合函
数性质解不等式.
【详解】构建
，
可知
的定义域为
，且
，
所以函数
为奇函数，
因为
，
，整理可得
，
则函数
在
内单调递增，可知在
内单调递增，
又因为
，则
，
当
时，
；当
时，
；
所以不等式
，即
的解集为
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构建函数
，进而分析其性质，利用性质解不等式.
3．（24-25 高三吉林 阶段练习）已知函数
的定义域为
，
，对于任意的
，当
时，有
.若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】题目条件可变形为
，构造函数
，分
析可知
在
上为增函数，把不等式
等价变形为
，根据函数单调性
解不等式可得结果.
【详解】∵
，
∴
，即
，
令
，则任意的
，有
，
∴函数
在
上为增函数.
∵不等式
可变形为
，即
，
∴
，
∴
，解得
，即实数
的取值范围是
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把条件等价变形为
，通过构造函数、
分析函数的单调性可解不等式.
4．（24-25 高三下·陕西商洛·阶段练习）已知定义在
上的函数
满足
，对任意的
，且
，
恒成立，则不等式
的解
集为 .
【答案】
【分析】设
，将
转化为
，则
在
上单调递减，将所求不等式转化为
，结合函数的单调性解不等式即可.
【详解】设
，由
，
得
，又
，
所以
，即
，
设
，则
，所以
在
上单调递减.
由
，得
，
由
，得
，即
，
即
，得
，解得
，所以原不等式的解集为
.故答案为：
【点睛】思路点睛：解决本题的思路是将
转化为
，判
断
的单调性，结合单调性解不等式即可.
考向14 函数单调性综合：优函数放缩
函数放缩：
有
，则称
为优函数。
类似这类函数不等式，可以借助“类周期”思维进行放缩。
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足：
，且
，则
（ ）
A．1364
B．1363
C．1264
D．1263
【答案】D
【分析】根据题意推出
，然后由累加法即可求解.
【详解】由
，可得
①，
则有
②，
③，
④，
将①②③④左右分别相加，得
､
，
又
，即
，
故得
，
所以
，将
以上式子左右分别相加，得
､
，
又
，所以
.
故选：D.
2．（2025·湖南长沙·三模）设函数
的定义域为
，若
，且对任意
，满足
，则
的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据已知条件得出
的具体表达式，再利用累加法求出
的值，最后
结合
的值求出
.
【详解】由
，可得
，
因为
，
所以
，
又因为
，所以
，
所以
.故选: D.
3．（2025·江西·二模）已知函数
是定义在
上的函数，
，且对任意的
都有
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知条件得出
，代入题干中的不等式，结合不等式的基本性质推导出
，再结合
可求得结果.
【详解】由
，得
，
由
，
，
得
，
，
即
，
，
所以
，
所以
，
又因为
，故
.
故选：B.
4．（2025·河北·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足：
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知可得
，进而可得
，求得
可判断AB；求
得
可判断CD.
【详解】由
得，
，三式相加得，
，
即
，又
，所以
，则
，
所以
故A，B 错误；
，故C 正确，D 错误.
故选：C．
5．（2025·河南·二模）已知定义在
上的函数
的图象是一条连续不断的曲线，且
满足当
时，
，当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】找到特殊函数判断A，D，归纳得到
判断B，再对两边同时求和得到
，
再判断C 即可.
【详解】对于A，若
，
不妨令
，则
，
，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
则
，
，则
，
不满足
，故A 错误，
对于B，由
，
，
，
由归纳可得
，
，故B 正确；
对于C，由已知得
，
，
故
，则
，故C 正确；
对于D，当
时，
若
，则
，
设
，则
，
故
，故
，
即
，
当
时，
，
当
时，
，
故满足
时，
，
此时
，不满足
，故D 错误．
故选：BC．
考向15 函数单调性综合：单调性综合
1．（25-26 高三上·江苏扬州·月考）已知函数
和
的定义域均为
，且
，若
是偶函数，则
.
【答案】8100
【分析】由
是偶函数得
，再由
和
，得到
和
，通过这两个等式求得
，从而得到
的周期，
求出
，
，
，最后利用周期求出
的值.
【详解】
是偶函数，
，
，
，
，
，将
换为
，
，
将
和
这两个等式相加，得
，
将
换为
，得
，则有
，
得
，将
换为
，得
，
的周期为4，
，
，
，
，
，
，
的周期为4，
，
，
，
，
，
，
将
和
两个式子相加，得
，
.
故答案为：8100.
2．（25-26 高三上·浙江·阶段练习）若对
，
恒成立，则实数
的取值
范围为 .
【答案】
【分析】由题意有
，分
和
两种情况讨论，再利用导数研究单调性进而求解.
【详解】原式整理得
，当
时，
在
上恒成立，
令
，则
，
所以
单调递增，故
，
所以
时，原不等式恒成立；
当
时，易知函数
在
上单调递增，令
得
，
若原不等式在
恒成立，则
，解得
，
此时
，令
，得
，
所以当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；因为
，
故当
时，
，所以当
时，原不等式在
恒成立，
综上实数
的取值范围为
故答案为：
.
3．（25-26 高三上·山东临沂·阶段练习）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，
，则
.
【答案】4050
【分析】根据题中
为奇函数，
为偶函数，从而可得出
为周期为4 的函数，从而
可求解.
【详解】由题意得
为奇函数，所以
，
即
，所以函数
关于点
中心对称，
由
为偶函数，所以可得
为偶函数，则
，
所以函数
关于直线
对称，
所以
，从而得
，
所以函数
为周期为4 的函数，
因为
，所以
，则
，
因为
关于直线
对称，所以
，
又因为
关于点
对称，所以
，
又因为
，又因为
，所以
，
所以
.
故答案为：4050.
4．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）已知定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函
数的和，设
，其中
分别为奇函数和偶函数，则
；
若正项数列
满足
，且
，则
．
【答案】
/
【分析】用
替换
构造新方程，解方程组可得
解析式，即可求出
，再由双曲余弦函
数的性质求解
.
【详解】因为
，
所以
，
可得
，
所以
；
因为
，所以
，
注意到
，设
，则
，
因为
，所以
，由
为偶函数，
不妨设
，因为
，当
时，
，故
，
所以
在
上单调递增，可知
，
所以由等比数列通项公式可得
，故
，
则
.故答案为：
；
5．（25-26 高三上·浙江温州·阶段练习）已知函数
的定义域为
，对任意
，有
且
.若
，则
.
【答案】
【分析】通过对两个不等式进行赋值代换得到函数的一个递推关系式，再用累加法即可得所求函数值.
【详解】由
，令
，则
，代入不等式得，
，再次迭代两次得，
，
，
由上述三式相加得
，即
——①.
再由
，令
，则
，代入不等式得，
，即
——②.
因为对任意
，有
且
.
综合①②得
.再分别对
依次赋值得：
上述8 个式子相加得，
，
又因
，所以
.
故答案为：
.
冲刺练
（建议用时：60 分钟）
1．(25-26 高三上·山东济南第一中学·期中)已知
是定义域为
的奇函数，满足
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．50
D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，判断函数
是周期为
的周期函数，根据周期性和奇偶性，求得所求表达式的
值.
【详解】由函数
为定义在
的奇函数，得
，
.
由
，得
，即
所以
，
故函数
是周期为
的周期函数.
因为
，所以
，
，
，
所以
，
所以
.
故选：D.
2．(25-26 高三上·山东淄博实验中学·期中)设奇函数
的定义域为
，对任意的
，
，且
，都有不等式
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，构造函数
，利用函数单调性定义确定
在
的单调性，再结
合奇偶性求解不等式.
【详解】设函数
，由
为
上的奇函数，得
，
则函数
是
上的偶函数，又
，
依题意，对任意的
，且
，都有
，
则函数
在
上单调递增，所以
在
上单调递减，
由
，得
，
不等式
，即
，
则
，即
或
，解得
或
，
所以不等式
的解集为
.
故选：D
3．(25-26 高三上·四川射洪中学校·期中)函数
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求函数定义域，结合偶函数的定义运算求解即可.
【详解】令
，解得
或
，
可知函数
的定义域为
，
因为
，
若函数
是偶函数，则
，
即
，可得
，
结合
的任意性可得
.
故选：B.
4．(25-26 高三河北阶段练习·)如图是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由选项中的函数解析式，利用函数的奇偶性的定义和判定方法，可排除选项A，B，结合
和
时，
的正负，排除C 项，得到D 符合题意.
【详解】对于A，函数
的定义域为
，
且
，即
，
所以函数
为偶函数，图象关于
轴对称，所以A 不符合题意；
对于B，函数
的定义域为
，
且
，即
，
所以函数
为偶函数，图象关于
轴对称，所以B 不符合题意；
对于C，函数
的定义域为
，
且
，即
，
所以函数
为奇函数，图象关于原点对称，
当
时，
，可得
，所以C 不符合题意；
对于D，函数
的定义域为
，
且
，即
，
所以函数
为奇函数，图象关于原点对称，
当
时，可得
；当
时，可得
，
满足要求，所以D 符合题意.
故选：D.
5．（24-25 山东潍坊阶段练习）已知函数
，若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性以及复合函数的单调性可确定
为偶函数，且在
上单调递增，构造函
数
，求导得函数单调性，即可利用单调性求解.
【详解】由题意知
的定义域为R，
，故
为偶函数，
当
时，
，
由于
在
上单调递增，对勾函数
在
上单调递增，
故函数
在
上单调递增，因此
在
上单调递增，
构造
，
，当
时，
，故
在
上单调递减，
又
，∴
，即
，
即
，∴
，即
，
故选：A
6．(24-25 高三 河北石家庄阶段练习·)定义域为
的函数
满足
，当
时，
，若
时，
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合题意求出函数
在区间
上的最小值，根据题意得出
，解该不等
式即可得解.
【详解】当
时，
恒成立，则
，
因为定义域为
的函数
满足
，
当
时，
，
当
时，
，
则
，
因为
，此时
；
当
时，
，
则
，
因为
，则
，则
，所以
，
所以，函数
在
上的最小值为
，
所以，
，即
，即
，解得
或
.
因此，实数
的取值范围是
.
故选：A.
7．(25-26 高三上·山东聊城·期中)定义在
上的奇函数
满足
，若
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出
的一个周期为4，当
为奇数时，
，当
为偶数时，
，当
时，
，从而裂项相消法求和得到答案.
【详解】
为偶函数，故
，故
，
为奇函数，故
，所以
，
故
，故
的一个周期为4，
其中
，
，故
，即
，
又
，同理
，
当
为奇数时，
，当
为偶数时，
，
当
时，
，
所以
.
故选：D
8．(25-26 高三上·陕西西安高新第一中学·三模)设
与其导函数
的定义域均为
，若
，
的图象关于直线
对称，
在区间
上单调递减，且
，则下
列结论正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
D．
的极小值为
【答案】D
【分析】利用函数对称性的恒等式来证明函数奇偶性和周期性，从而问题得解.
【详解】因为
的图象关于
对称，所以
，
即
，则
为偶函数，故A 错误；
由
得，
，两边取导数得，
，
即
，所以
，则
是奇函数，故B 错误；
由上可知，
，又由
得
，
所以
，则
，
所以有
，即函数
是一个周期函数且周期为8；
又由
，令
得，
，则
，故C 错误；
因为
是奇函数，所以
的图象关于点
对称，
又由
在
上单调递减，所以
在
上单调递减，
又
，所以
在
上单调递减，
又A 中知
，故
的图象关于
对称，
所以
在
上单调递增，
由周期性可知，
在
上单调递增，
所以当
时，
取得极小值，即
，
由单调性和周期性可得
的极小值只能为
，故D 正确，
故选：D
二、多选题
9．（多选）（2025 全国专题练习）已知定义在R 上的连续函数
是偶函数，且满足
，且
，
，
，都有
，则（ ）
A．
B．
在
单调
C．
D．
在
有三个极值点
【答案】CD
【分析】通过周期性定义以及题干条件可以判断A，利用
的周期性、奇偶性以及在
的单调性可
以判断B 和C，利用
的奇偶性即可判断D.
【详解】由
可知
，所以
，
A 错误；
因为
,
，
，都有
，所以
在
单调递增，又
为偶函数，所
以
在
单调递减，由周期性可知
在
单调递增，所以
在
不单调，B 错误；
由A 项知
的周期为8，所以
，又
，且
在
单调递增，故
，C 正确；
由
为偶函数知
是
的一个极值点，又
的周期为8，则
是
的一个极值点，又
，
，则
，所以
的图象关于直线
对称，即
是
的一个极值点，因此
在
内有三个极值点，D 正确；
故选：CD.
10．(25-26 高三上·安徽华师联盟·期中)已知函数
，
的定义域均为
，且
，
.若
是偶函数，
，则（ ）
A．
是奇函数
B．4 是
的一个周期
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据题中条件，结合赋值法，化简整理，根据奇偶性的定义，可判断A 的正误；根据周期性的定
义，可判断B；根据周期性结合特殊值，即可判断C；根据奇数的平方除以4 的余数为1，偶数的平方被4
整除，结合周期性，可判断D.
【详解】选项A：由
，用
代入x 得
，
又
，两式相加得
，
由
是偶函数，得
，代入上式得
，
用
代入x 得
，由此得到
，
又因为
，所以
，则
为偶函数，故A 错误；
选项B：由
，用
代入x 得
，
又
，两式相减得
，
所以
，
因此
，即4 是
的一个周期，故B 正确；
选项C：由
，可得
，所以
，
由
，可得
，所以
，
由
，
，可得
，
由
，
，可得
，
所以
，故C 正确；
选项D：因为奇数的平方除以4 的余数为1，偶数的平方被4 整除，
所以
，故D 正确.
故选：BCD.
11．(25-26 高三上·河北部分重点中学·)已知函数
的定义域为
，满足
，且
，则下列结论正确的为（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
，使得
D．若
，则
【答案】ABD
【分析】令
、
，结合已知及奇偶性的定义判断A、B，令
及A 结论得
判断C，根据已知及
，依次代入
，
易得
判断D.
【详解】令
，则
，又
，所以
，A 对；
令
，则
恒成立，所以函数
为偶函数，B 对；
令
，则
，所以不存在
，使得
，C 错；
由
，由C 分析有
，
当
时
，
当
时
，
当
时
，
，依次类推，
当
时
，D 对.
故选：ABD.
三、填空题
12．（25-26 高三重庆县域联考）已知函数
，且满足
，
则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】化简函数
，可得
，进而可得
，又函数
为增函数，所
以可得
，解不等式即可.
【详解】由题意，函数
，化简得
，
又
，即
，
又
，即
，
又
，所以
，所以
，
令
，则
，
因为
，所以
，
，
，
所以
，所以
，所以
，
,所以
，所以函数
单调递增，
则有
，解得
.所以实数
的取值范围为
.故答案为：
13．（2026 高三江苏前黄期中）已知函数
，若
的图象关于
中心对
称，则
；
．
【答案】 3 0
【分析】对
分离常数后，可注意到
为中心对称图象，因此
是由
经过伸缩、上下
平移变换所得到的函数，进而确定了对称中心，即可求解.
【详解】
.
对于函数
易知
，由
，
因此
是关于
中心对称图形，
而
是由
经过伸缩、上下平移变换所得到的，
因此对称中心的横坐标不变，故
，
因此
的对称中心为
,
有
，解得
.
故答案为：3；0.
14．(25-26 高三上·福建厦门第一中学·月考)已知
，
，
是函数
且
的三个零点，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先得到
，当
时，
，设
，得到
的奇偶
性和单调性，求出
的单调性和对称性，求出
，且
，故
，令
，求导，得到其单调性，
，故
，所以
.
【详解】
，当
时，
，
设
，
，
即
为偶函数，
当
时，
，
，
令
，则
，
令
，则
在
上单调递增，
故
，所以
恒成立，
故
，所以
恒成立，故
在
上单调递增，
所以
关于
对称，
且在
上递减，在
上递增，
所以
，且
，
故
，
令
，
，即
在
上递减，
所以
，故
，
所以
.
故答案为：
