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y= ax2
专题22.1.2.1 二次函数 的图象和性质（7个考点）
【考点1 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】
【考点2 二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】
【考点3 二次函数y=ax²图象性质】
【考点4 二次函数y=ax²最值问题】
【考点5二次函数y=ax²中y值大小比较问题】
【考点6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】
【考点7 二次函数y=ax²图象及性质的实际应用】
【考点1 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】
1．抛物线 开口 ，顶点坐标是 ，当x 0时， ．
【答案】 向下
【分析】本题考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及
单调性与最值的问题．
根据二次函数的性质即可得出结论．
【详解】解： ，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为 ，当 时， ．
故答案为：向下， ， ．
2．抛物线 的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数 的图象和性质，该函数关于 轴对称，所以在 处取得最值，即顶点坐标，理解函数的性质是解题的关键．
【详解】解： 的对称轴为 轴，开口向上，
∴当 时， 取得最小值为 ，
∴顶点坐标为： ，
故答案为： ．
3．已知抛物线 ，则此抛物线的对称轴是 ．
【答案】 轴或直线
【分析】抛物线 的对称轴是y轴或直线 ，从而可得答案．
【详解】解：抛物线 的对称轴是y轴或直线 ；
故答案为：y轴或直线
【点睛】本题考查的是抛物线的图象与性质，熟记抛物线的对称轴方程是解本题的关键．
【考点2 二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】
4．在平面直角坐标系中，抛物线 的开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据 ，得出抛物线开口向上，即可求解．
【详解】解： 抛物线 中， ，
抛物线开口向上，
故选：A．
5．下列二次函数的开口方向一定向上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用抛物线开口方向向上，则二次项系数大于0判断即可．【详解】二次函数的开口方向一定向上，则二次项系数大于0，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c中，当a＞
0，开口向上解题是解题关键．
6．下列四个二次函数：①y＝x2，②y＝﹣2x2，③ ，④y＝3x2，其中抛物线开口从
大到小的排列顺序是( )
A．③①②④ B．②③①④ C．④②①③ D．④①③②
【答案】A
【分析】二次函数的解析式中a的绝对值越小，开口方向越大，根据以上特点得出即可．
【详解】解：∵ 1＜|﹣2|＜3，
∴抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：二
次函数的解析式中，a的绝对值越小，开口方向越大．
7．若二次函数 的开口向下，则m的值是（ ）
A．2 B．-1
C．2或-1 D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】由二次函数可得 ，由开口向下可得m-1＜0，问题可解．
【详解】∵ 是二次函数
∴
得m=-1或m=2；
又∵ 的开口向下
∴m-1＜0
∴m=-1
故选：B．
【点睛】此题考查二次函数的定义和图象开口方向．此题是二次函数的基本知识点．8．下列二次函数的图象中，开口最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由|a|的绝对值越大其开口越小进行选择即可．
【详解】解：在y=ax2（a≠0）中，当|a|的绝对值越大时其开口越小，
∵| |＜|-1|=|1|＜|2|，
∴二次函数y= x2的开口最大，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的开口大小由a的大小决定是解
题的关键．
【考点3 二次函数y=ax²图象性质】
9．抛物线 与 的共同特点是（ ）
A．开口都向上 B．对称轴都是y轴
C．都有最高点 D．都是y随x的增大而增大
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象的性质．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以
解答本题．
【详解】解：抛物线 开口向下，经过原点，有最高点，对称轴是y轴，在对称轴
左侧， 随 增大而增大，在对称轴右侧， 随 增大而减小，
抛物线 开口向上，经过原点，有最低点，对称轴是y轴，在对称轴左侧， 随 增
大而减小，在对称轴右侧， 随 增大而增大，
∴抛物线 和 的共同性质是：对称轴都是y轴，
故选：B．
10．若二次函数 的图象过点 则a的值为（ ）A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据待定系数法，可得函数解析式．
【详解】解：将 代入函数解析式，得： ，
解得： ．
故选：B．
11．二次函数 的图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．把
， ， 分别代入计算即可判断．
【详解】解：当 时， ，
∴二次函数 的图象不经过点 ， ，
当 时， ，
∴二次函数 的图象不经过点 ，
当 时， ，
∴二次函数 的图象经过点 ．
故选：C．
12．若点 、 都在抛物线 上，则线段 的长为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握函数图象上的点的坐标与函数解析式的
关系是解题的关键．
首先将点 、 代入 ，分别求出a，b，然后得到M，N的坐标，进而
得到 轴，即可求解．【详解】解：将点 、 代入 ，
解得： ， ，
， ，
轴，
，
故选：D．
13．抛物线 不具有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．当 时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
【详解】解：A、∵ ，∴开口向下，故不符合题意；
B、抛物线 ，对称轴是y轴，故不符合题意；
C、 时y随x增大而减小，故不符合题意；
D、顶点坐标 ，有最高点是原点，即有最大值，选项错误，符合题意．
故选：D．
14．已知二次函数 ，当 时，则函数y的值为（ ）
A．6 B． C．9 D．
【答案】D
【分析】将 ，代入函数解析式即可求解．
【详解】解：二次函数 ，当 时，则函数y的值为
故选D
【点睛】本题考查了求二次函数值，掌握函数的定义是解题的关键．
15．对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数有最小值 B．函数图象开口向下C．函数图象顶点坐标是 D．y随x增大而减小
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质进行逐项判断即可．
【详解】解：二次函数 ，开口向下，有最大值，对称轴为y轴，顶点为 ，
当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小．
故A，C，D不符合题意；B符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查的是二次函数 的性质，熟记二次函数 的开口方向，顶点坐
标，函数最值，增减性是解本题的关键．
16．已知函数 是二次函数．
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，抛物线开口向上；
(3)当m为何值时，抛物线有最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次函数的定义，可得 且 ，即可求解；
（2）根据抛物线开口向上，可得 ，即可求解；
（3）根据题意可得抛物线开口向下，从而得到 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵函数 是二次函数，
∴ 且 ，
解得： ；
（2）解：∵抛物线开口向上，
∴ ，
；
（3）解：∵抛物线有最大值，∴抛物线开口向下，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【考点4 二次函数y=ax²最值问题】
17．若二次函数 有最小值，则a的值可以是（ ）
A．9 B．6 C．0 D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值，解答本题的关键是明确
题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数 有最小值，可知二次项系数大
于0，然后即可求得 的取值范围，从而可以判断哪个选项符合题意．
【详解】解：∵二次函数 有最小值，
∴ ，
解得 ，
故选：A．
18．如图， 的图象上可以看出，当 时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图形得出 和 时的函数值，再确定出抛物线的最低点的函数值，
即可．
【详解】解：由图象可知 时， ，
当 时， ，而抛物线的对称轴为 时， ，
故选： ．
【点睛】此题是二次函数图象上的点的坐标特征，主要从图象上看到关键的信息，解本题
的关键是自变量的范围内包括对称轴 ，要特别注意．
19．二次函数 ，当 时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出二次函数的最小值，再求出 ， 时的函数值，即可解决问题．
【详解】解： ，
抛物线对称轴为 轴，即直线 ，开口向上， 的最小值为 ，
∵ ， ，且 ，
∴当 时，函数值最大，且当 时， ，
∴当 时， ．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对
称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键．
【考点5二次函数y=ax²中y值大小比较问题】
20．已知抛物线 过 ， 两点，则下列关系式中一定正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，可知 时，抛物线开口向上，对称轴为y轴，
再根据点A、B的横坐标离对称轴的距离即可求解．．
【详解】解： ，抛物线的开口向上，对称轴为 轴， 在对称轴的左侧， 在对称轴的右
侧，且点A离对称轴的距离大于点 离对称轴的距离，
．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，解题的关键是要熟练其相关的性质并
能运用数形结合的思想解题．
21．已知函数 过点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
1
【答案】B
【分析】求出抛物线的对称轴，利用二次函数的性质解答即可．
【详解】解： ，
抛物线的对称轴为 ，
，
抛物线开口方向向上，当 时， 随 的增大而增大，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函
数的性质是解题关键．
22．点 都在函数 的图象上，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】确定函数 的增减性即可求解．
【详解】解：抛物线 的对称轴为 轴当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大
点 关于抛物线的对称轴的对称点为
∵
∴
故选：B
【点睛】本题考查函数 的性质．掌握相关结论即可．
23．点 ， 在二次函数 的图象上，比较 和 的大小为
．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质：先由 得对称轴 ，开口向上，越靠
近对称轴所对应的函数值越小，据此即可作答．
【详解】解：∵二次函数
∴对称轴 ，开口向上
∵点 ， 在二次函数 的图象上，
∴
∴
则
故答案为：
24．已知点 和 在抛物线 上，若 ，则 与 的大小关系
（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线的解析式可知对称轴为 轴，
，在对称轴的左侧， 随 的增大而增大．
【详解】解：由抛物线的解析式可知：
对称轴是直线 ，抛物线开口方向向下，
，
随 的增大而增大．
．
故选：A．
【考点6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】
25．如图所示，已知直线 与抛物线 交于A，B两点．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)观察图象，直接写出当 时 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题：
（1）因为直线 与抛物线 交于A，B两点．则联立式子，得 ，解得
的值，即可作答；
（2）由（1）知 ， ，结合图象，即可知道当 时 的取值范围；
正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】（1）解：依题意，
得
则 ，
解得 ， ，
所以 ， ；
（2）解：由（1）知直线 与抛物线 交于 ， ，
故结合图象，当 时，则 ，
所以当 时 的取值范围为 ．
26．已知，如图：直线 过x轴上的点 ，且与抛物线 相交于B，C两点，点
B的坐标为 ．
（1）求直线 和抛物线的函数解析式；
（2）如果抛物线上有一点D，使得 ，求点D的坐标．
【答案】（1） ， ；（2）【分析】（1）设直线 的解析式为 ，根据 的坐标，待定系数法求一次函数
函数的解析式即可，将点 的坐标代入 即可求得 的值，进而求得抛物线的函数解
析式；
（2）联立直线和抛物线解析式，求得 的坐标，进而求得 ，根据题意 ，
进而求得 的坐标，
【详解】（1）设直线 的解析式为
，
解得
直线 的解析式为 ，
抛物线 过点
抛物线的函数解析式为 ；
（2） 直线 与抛物线 相交于B，C两点， ，
即
解得
当 时，
直线
令 ，得所以
当 时，
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数解析式，求一次函数与二次函数交
点问题，数形结合是解题的关键．
【考点7 二次函数y=ax²图象及性质的实际应用】
27．二次函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一判断图象即可．本题主要考查二次函数的图象
和性质，熟练掌握二次函数的图象与二次函数的系数的关系是解题的关键．
【详解】解： 的图象是一条过原点，开口向下的抛物线，
故选：D．
28．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线 ，与二次函数 ，
分别交于A、B和C、D，若 ，则a为（ ）A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】将 代入解析式，分别求得A、B、C、D四点坐标，进而 ， ，
求解a．
【详解】解： 时，函数 ，
∴
∴
函数 ,
∴
∴
∴ .
故选：D
【点睛】本题考查函数与方程的联系，二次函数图象性质；理解函数与方程组的联系，运
用方程组的思想求解点坐标是解题的关键．
29．如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线 上，过点A、E分别作y轴的垂
线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点，四边形 为正方形时，则线段 的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点A横坐标为m，则 ，从而
得出 ，将点坐标代入解析式求解．
【详解】解：把点 代入 中得 ，
解得 ，
∴ ，
∵点 ，四边形 为正方形，
∴ ，
设点A横坐标为m，则 ，
代入 得 ，
解得 或 （舍去）．
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是利用待定系数法求得函数解析式．
30．如图，分别过点 （ ，2，…，2022）作x轴的垂线，交二次函数 的图象于点 ，交直线 于点 ．则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 的纵坐标与 纵坐标的绝对值之和为 的长，分别表示出所求式子的各
项，拆项后抵消即可得到结果．
【详解】解：根据题意得： ，
∴ ，
∴
故答案为：D．
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，属于规律型试题，
找出题中的规律是解本题的关键．
31．如图，点 、 、 、…、 在抛物线 图象上，点 、 、 、…、 在y
轴上，若 、 、…、 都为等腰直角三角形（点 是坐标原点），则 的底边长为 ．
【答案】4036
【分析】作AC⊥y轴，AE⊥y轴，垂足分别为C、E，根据等腰直角三角形的性质设点 的
1 2
坐标为 ，求出a的值，从而得到点 的坐标，然后用同样的方法依次求其他的点坐
标，从而发现这些等腰直角三角形腰长的规律，最终求出结果．
【详解】解：如图，作 轴， 轴，垂足分别为C、E，作 轴，
轴，垂足分别为D，F，
∵ 、 都是等腰直角三角形，
∴ ， ．
设 ，则 ，将其代入解析式 得：
∴ ，
解得： （不符合题意）或 ，由勾股定理得： ，则 ，
∴ ，
过 作 于N，设点 ，
可得 ， ，
又点 在抛物线上，所以 ，
∴ ，
解得 或 （不合题意舍去），
∴ ，
同理可得：
，
，
…
∴ ，
∴ 的腰长为： ，
∴ 的底边长为： ，
故答案为4036．
【点睛】本题考查点坐标找规律，解题的关键是掌握二次函数的性质和等腰直角三角形的
性质．
32．如图，梯形ABCD的顶点都在抛物线 上，且 轴.A点坐标为
（a,-4），C点坐标为（3,b）.（1）求a，b的值；
（2）求B，D两点的坐标；
（3）求梯形的面积.
【答案】（1） , ；（2） ， ；（3）25.
【分析】（1）把点A，点C坐标分别代入解析式，即可求出a，b的值；
（2）由B与A的纵坐标相等，D与C的纵坐标相等，由对称关系，即可求出B，D的坐标；
（3）分别求出AB，CD和梯形的高，即可得到答案.
【详解】解：（1）当 时，
，
∴ .
∵点A在第三象限，
∴ .
当 时， ，
∴ .
（2）∵ 轴，
∴A点与B点，C点与D点的纵坐标相同.
∵ 关于y轴对称，
∴ ， .
（3）由题意，得 梯形的高为5，
∴ .
【点睛】本题考查了二次函数与四边形的综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.
