文档内容
专题01 函数重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 函数的概念
题型二 函数的解析式
题型三 求自变量的取值范围
题型四 求自变量的值或函数值
题型五 用表格表示变量间的关系
题型六 用关系式表示变量间的关系
题型七 用图象表示变量间的关系
题型八 函数图象的识别
题型九 从函数的图象获取信息
题型十 用描点法画函数图象
题型十一 动点问题的函数图象
题型十二 函数的三种表示方法
【知识梳理】
知识点一：变量与常量
定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量．
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于 的每一个确定的值， 都
有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y是因变量，y 是x 的函数．如果
当 x=a时，y=b ，b那么 a叫做当自变量 x的值为a 时的函数值．
知识点二：自变量取值范围
初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：
（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；
（2）函数关系式为分式形式：分母0
（3）函数关系式含算术平方根：被开方数0；
（4）函数关系式含0指数：底数0。
知识点三：函数定义
像 这样，用关于自变量的数学式子表示
函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式
知识点四：函数的图像
【经典例题一 函数的概念】【例1】下列是关于变量x，y的关系式：① ② ；③ ；④ .其中 是 的
函数的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④
【答案】B
【变式训练】
1．下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的概念即可解答．
【详解】解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的
值与其对应，那么就说y是x的函数．则只有D选项符合题意
故选：D．
【点睛】题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有
唯一本的值与其对应，那么就说y是x的函数．
2．设 表示关于 的函数，若 ，且 ，那么 ．
【答案】4
【分析】根据 ，把 化为 代入计算即可．
【详解】解：∵若 ， ，∴
，
∴ ．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了函数的概念，能够把把 化为 是解题的关键．
3．下列各式中， 是否是 的函数？为什么？
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)不是，理由见解析
【分析】本题主要考查了函数的定义，对于两个变量，对于其中一个变量 的任意取值（取值范围内），
另一个变量 都有唯一的值与之对应，那么 就是 的函数，熟知函数的定义是解题的关键．
（1）根据函数的概念进行求解即可；
（2）根据函数的概念进行求解即可．
【详解】（1）解：∵在 中，对于任意的 的值， 都有唯一的值与之对应，
∴ 是 的函数；
（2）解：∵在 中，对于任意一个正数 的值， 都有两个值与之对应，
∴ 不是 的函数．
【经典例题二 函数的解析式】
【例2】若点 是x轴上的一个动点，它与x轴上表示3的点的距离是y，则y关于x的函数解析式为
( )A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据距离的非负性判断即可．
【详解】根据题意，y关于x的函数解析式为 ，
故选D．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，距离的非负性，熟练掌握距离的非负性是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，在 中，已知 ，BC边上的高线 ，动点 由点C沿CB向点B移动（不与点B
重合），设 的长为x， 的面积为S，则S与x之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先设 的长为 ，得出 的长为 ，然后再根据三角形的面积公式列出关系式即可．
【详解】解：设 的长为 ，则 的长为 ，
，
∵
，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了求函数关系式，根据实际问题确定函数关系式的关键是读懂题意，建立函数的数学模
型来解决问题．
2．某书定价为30元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打9折，试写出付款金额 （单位：
元）与购书数量 （单位：本）之间的函数关系式为 ．【答案】
【分析】本题考查分段函数解实际应用题，读懂题意，根据题目要求，分段求出函数表达式即可得到答案，
根据题意，分段表示是解决问题的关键．
【详解】解： 与 之间的函数关系式为 ，
故答案为： ．
3．如图，在矩形 中， ， ，点 是 上与 、 不重合的任意一点，设 ，点
到 的距离为 ，求出 关于自变量 的函数关系式，并求出自变量 的取值范围．
【答案】 （ ）
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理和三角形面积公式，根据矩形的性质和点 是 上与 、 不
重合的任意一点，可知 ，又 ，根据这两个表达式建立等式，即可得到
关于自变量 的函数关系式，再利用勾股定理求得 的长，根据 即可求出自变量 的取值范
围．
【详解】解：连接 ， ，如图所示：
为矩形，点 是 上与 、 不重合的任意一点，
， ，
， ，，
，点 到 的距离为 ，
，整理得 ，
点 是 上与 、 不重合的任意一点，即 ，
又 ，
，即 ．
综上所述，有 （ ）．
【经典例题三 求自变量的取值范围】
【例3．函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数自变量的取值范围，根据二次根式被开方数非负，以及分式分母不为零，建立不等
式求解，即可解题．
【详解】解：由题意得， 且 ，
解得 且 ，
故选：B．
【变式训练】
1．小明在劳动技术课中要制作一个周长为 的等腰三角形，则底边长 ，腰长 的函数表达
式和自变量的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】此题重点考查一次函数的应用、不等式的应用等知识，正确地用代数式表示三角形的周长，根据
三角形三边之间的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”是解题的关键．
由周长为 的等腰三角形，则底边长 ，腰长 得 ，则 ，由三角形的三
边关系得 ，则 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵周长为 的等腰三角形，则底边长 ，腰长 ，
∴ ，
整理得 ，
根据三角形的三边关系得 ，
解得 ，
故选：D．
2．在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数自变量的取值，分式有意义的条件等知识，根据 即可求解．
【详解】解：在函数 中，∵ ，
∴自变量 的取值范围是 ．
故答案为：
3．写出下列函数中自变量 的取值范围：
(1) ；
(2) ；
(3) ；(4) ．
【答案】(1)全体实数；
(2) ；
(3) ；
(4) 且 ．
【分析】（ ）根据为整式时自变量取值范围是全体实数；
（ ）根据含有分式时，分母不能为零即可；
（ ）根据含有二次根式时，被开方数大于等于零即可，
（ ）根据含有二次根式时，被开方数大于等于零，零指数幂底数不能为零即可；
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式，分式和零指数幂有意义的条件是解题的关键．
【详解】（1）
根据题意可得，自变量 的取值范围是全体实数；
（2）
由题意，得 ，
解得 ；
（3）
由题意，得 ，
解得 ；
（4）
由题意，得 ，
解得 且 ．
【经典例题四 求自变量的值或函数值】
【例4】按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y的值是 ，若输入x的值是
1，则输出y的值是（ ）A．−3 B．−2 C．0 D．2
【答案】B
【分析】直接利用已知代入得出b的值，进而求出输入1时，得出y的值．
【详解】解：∵当输入x的值是3，输出y的值是 ，
∴ ，解得： ，
故输入x的值是1时， ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求函数值，正确得出b的值是解题关键．
【变式训练】
1．已知 ，那么 的值是（ ）
A．-6 B．-9 C．9 D．6
【答案】C
【分析】由于 和 中的被开方数互为相反数，根据二次根式的性质可以得到 ，由此即可
分别求出 、 的值，然后再求出 的值．
【详解】解： 与 互为相反数，而 ，
且 ，
∴ ，
解得 ，
，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质及函数解析式，利用二次根式的非负性确定 、 的值是解题的
关键，然后代入数值计算即可解决问题．2．已知直线 ： 与直线 ： 交于点 ，则代数式 取最大值时，点 到原点
的距离为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点在直线上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查
了两条直线的交点问题．把点 分别代入 和 可得 ，变形得
，得出 ，即 ，且当 时取等，求出a，b的值，再求出点P的坐
标，最后求出点 到原点的距离．
【详解】解：把点 分别代入 或 得， ①， ，
②，
① ②得， ，
，
，
，
∵ ，
∴ ，即 ，且当 时取等，
即当 时，代数式 取最大值，
由 结合上式解得： ，
代入函数关系式得： ： 与 ： ，
∴ ，
∴ ，
，
∴点 到原点的距离为 ，故答案为：5
3．已知一块边长为 的正方形草地．
(1)如图1，先将正方形草地的一条边减少 （ ），再将另一边增加 ，设变化后的草地的面积
为 ，则 _____（填“是”或“不是”）关于x的函数．
(2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加 ，设扩充后的草地的面积为 ．
①写出y与x之间的函数关系式；
②当 时，求y的值．
【答案】(1)是
(2)① ；②当 时，y的值为1225
【分析】（1）根据题意，变化后长方形一边长为 ，一边长为 ，计算面积，根据函数定
义判断即可．
（2）根据题意，变化后长方形一边长为 ，一边长为 ，计算面积即可．本题考查了函数
的定义，求函数值，熟练掌握定义，规范求函数值是解题的关键．
【详解】（1）根据题意，变化后长方形一边长为 ，一边长为 ，
则 ，
是x的函数，
故答案为：是．
（2）根据题意，变化后长方形一边长为 ，一边长为 ，① ；
②当 时， ．
【经典例题五 用表格表示变量间的关系】
【例5】某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：
温度（℃） 0 10 20 30
34
声速（m/s） 318 324 330 336 348
2
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数
B．温度越低，声速越慢
C．当温度每升高 时，声速增加
D．当空气温度为 时，声音可以传播
【答案】D
【分析】本题考查函数的表示方法、常量与变量，根据自变量与函数的定义判断A即可；通过观察数据即
可得出结论BC；根据C计算出空气温度为 的声速，即此时每秒传播的距离即可判断D．
【详解】解：∵声速随温度的变化而变化，
∴自变量是温度，声速是温度的函数，
∴A正确，不符合题意；
从而表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢，
∴B正确，不符合题意；
从数据可知，温度每升高 时，声速增加 ，
∴C正确，不符合题意；
由C可知，当空气温度为 时，声速为 ，即当空气温度为 时，声音每秒可以传播
，
∴D错误，符合题意．
故选：D．【变式训练】
1．在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（ ）与下滑的时间（ ）的关系如下表：
支撑物高
10 20 30 40 50 …
下滑时间 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 …
以下结论错误的是（ ）
A．当 时， 约2.66秒
B．随高度增加，下滑时间越来越短
C．估计当 时， 一定小于2.56秒
D．高度每增加 ，时间就会减少0.24秒
【答案】D
【分析】根据表格的数据，逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A、由表格可知：当 时， 约2.66秒，故A选项正确，不符合题意；
B、由表格可知：当 由10逐渐增大到50时， 的值由3.25逐渐减小到2.56，因此随高度增加，下滑时间
越来越短，故B选项正确，不符合题意；
C、由B可知：随高度增加，下滑时间越来越短，且当 时， ，所以估计当 时， 一
定小于2.56秒，故C选项正确，不符合题意；
D、由表格可知：时间的减少是不均匀的，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，依据表格反映的规律回答问题是解题的关键．
2．我国首辆火星车正式被命名为：“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——
纳米气凝胶，该材料导热率 \与温度 的关系如表：
温度
导热率
根据表格中两者的对应关系，若导热率为 ，则温度为 ．
【答案】
【分析】根据表格中两个变量 、 的对应值以及变化规律可得答案．
【详解】解：根据题意，温度每增加 ，导热率增加 ，所以当导热率为 时，温度为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．
3．如图，把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平地面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变
化而变化的情况如表格所示：
凳子的数量（个） 1 2 3 4 5 …
高度（ ） 50 55 60 65 70 …
(1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)用 表示这摞凳子的高度，x（个）表示这摞凳子的数量，请写出h与x之间的函数关系式；
(3)当这摞凳子的高度为 时，求这摞凳子的数量．
【答案】(1)通过表格所列举的变量可知，凳子的数量是自变量，高度是因变量，
(2) ；
(3)当这摞凳子的高度为 时，凳子的数量为10个．
【分析】
（1）根据表格中列举的变量即可求解；
（2）根据表格中数据变化规律求解即可；
（3）根据（2）中的函数关系式，把 代入求解即可．
【详解】（1）解：通过表格所列举的变量可知，凳子的数量是自变量，高度是因变量；
（2）解：由表格中两个变量的变化关系可得，
，
即 ；
（3）解：当 时，即 ，
解得 ，
答：当这摞凳子的高度为 时，凳子的数量为10个．【点睛】本题考查常量与变量、函数的表示方法、求自变量的值或函数值，理解变量与常量的意义，根据
表格中数据的变化规律得出函数关系式是解题的关键．
【经典例题六 用关系式表示变量间的关系】
【例6】汽车油箱中有汽油 ．如果不再加油，那么油箱中的油量 （单位： ）随行驶路程 （单位：
）的增加而减少，平均耗油量为 ．当 时， 与 的表达式为（ ）
A． B．y C． D．
【答案】C
【分析】直接利用油箱中的油量 总油量 耗油量进而得出x与y的关系式，再求出 的求值范围，即可
得出答案．
【详解】解：由题意可知： ，
故选： ．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列变量间的表达式以及自变量取值范围求法，正确得出x、y的表达
式是解题关键．
【变式训练】
1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的重量x(kg)间有下面的关系：
x(kg) 0 1 2 3 4 5
y(cm) 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（ ）
A． 与 都是变量，且 是自变量， 是因变量 B．物体质量每增加1kg，弹簧长度 增加0.5cm
C．所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为13.5 cm D． 与 的关系表达式是
【答案】D
【分析】由表中的数据进行分析发现 与 满足一次函数关系，根据图表求出表达式，然后逐个分析四个
选项，可得出最终结果．
【详解】 根据图表观察 与 满足一次函数关系，
设 ，代入（0,10）和（2,11）两点，
得： ，
解得： ，
y与x的关系表达式是y= 0.5x+ 10，
A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故A选项正确，不符合题意；
B、由图表知，物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故B选项正确，不符合题意；
C、由表达式知，当x= 7时，y = 13.5，即所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，故C选项正确，不
符合题意；
D、y与x的关系表达式是y= 0.5x+ 10，D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的概念，属于基础题，能够根据所给的表进行分析变量的值的变化情况，同
时求出表达式是解题的关键．
2．某市区出租车的收费标准是起步价 元（行程小于或等于 千米），超过 千米每增加 千米（不足 千
米按 千米计算）加收 元，则出租车费 （元）与行程 （千米）（ ）之间的关系式为 ．
【答案】
【分析】根据出租车的收费标准，用含有 的代数式表示车费即可．
【详解】解：由题意可知，
当 时，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了用关系式表示变量间的关系，理解出租车的收费标准是正确解答的前提．
3．某玩具公司对一款长90厘米的玩具火车做性能测试．现有一斜坡轨道 ，如图玩具火车从A点匀速
出发，途中玩具火车头经过测速点2秒后，火车的尾部也经过测速点．火车头到达 B点时火车停留了2秒，
然后进行倒车测试，火车匀速倒回点A运动停止．设运动时间为t秒，车尾离A的距离为m厘米，车头离
B的距离为n厘米，记 ，已知火车从A向B运动过程中， 和 的时候与之对应的y的值互
为相反数．火车从点A出发到倒回到点A，整个过程总用时36秒（含停留时间）．(1)火车从A向B运动的速度为_______厘米/秒；
(2)轨道 的长为________厘米；
(3)求火车倒回过程中y与t的函数表达式；
(4)在整个过程中，若 ，求t的值．
【答案】(1)45
(2)810
(3)
(4)12秒或22．5秒
【分析】
本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列函数关系式，求自变量的值：
（1）设火车从A向B运动的速度为x厘米/秒，根据途中玩具火车头经过测速点2秒后，火车的尾部也经
过测速点列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求可得火车由 时 ，进而得到 ，则 ，再根
据 和 的时候与之对应的y的值互为相反数列出方程求解即可；
（3）先求出由A到B的时间，进而求出由B到A的时间，从而求出由B到A的速度，进而表示出由B到A
过程中m和n即可得到答案；
（4）分由A到B和由B到A两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：设火车从A向B运动的速度为x厘米/秒，
由题意得， ，
解得 ，
∴火车从A向B运动的速度为45厘米/秒，
故答案为：45；
（2）
解：火车由 时 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 和 时y的值互为相反数，
∴ ，
∴ ，
故答案为：810；
（3）
解：∵ （秒）
∴ （秒）
∴ （厘米）
∴当 时 ， ，
∴ ；
（4）
解：当 时， ，解得 ；
当 时
令 ，解得
综上 的值为12秒或 秒．
【经典例题七 用图象表示变量间的关系】
【例7】晓蕾家与学校相距1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了10分钟，
接着她加快步伐匀速行走，用10分钟便到了学校．下列图象中表示晓蕾行走的路程（米）与时间（分钟）
之间的关系的是（ ）．A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查函数的图象识别，理解两个变量之间的变化关系是正确判断的前提．根据路程随出发时
间的变化而变化的情况进行判断即可．
【详解】解：根据题意，在前20分钟，离家的距离随时间增加而增加，
当时间为 分钟时，路程保持不变，
当时间为 分钟时，离家的距离随时间增加而增加，且比前20分钟时，增加的要快，因此只有D符
合，
故选：D．
【变式训练】
1、骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢
和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下
列信息，其中错误的是（ ）
A．点 表示老刘出发 ，他一共骑行 B．老刘实际骑行时间为
C． 老刘的骑行速度为 D．老刘的骑行在 的速度比 的速度慢
【答案】B
【分析】仔细观察图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可．【详解】解：由图可知，点 所对应的路程为80km，时间为5h，即表示出发5h，老刘共骑行80km，故A
正确，不符合题意；
内的路程没有变化，
老刘实际骑行时间为 ，故B错误，符合题意；
老刘骑行的路程为30km，
的速度为 ，故C正确，不符合题意；
骑行的路程为 ，
的速度为 ，
，
老刘的骑行在 的速度比 的速度慢，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，读懂题意，从所给的图象中获取解题所需要的信息是解
题的关键．
2．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下
来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们
从家到学校已走的路程 和小明所用时间 的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明
吃早饭用时 ；②小华到学校的平均速度是 ；③小明跑步的平均速度是 ；④小华到
学校的时间是7：05．
【答案】①③
【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可．
【详解】由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确；
由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时 分钟，因此小华到学校的速度为
，故②正确；
由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时 分钟，跑的路程为 米，因此小明跑步的速度为 ，故③正确；
由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误．
故答案为：①③
【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关
键．
3．某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一天生产零件的个数y与生产时间t(时)的关
系如图所示．
(1)根据图象填空：
①甲、乙两人中， 先完成一天的生产任务；在生产过程中， 因机器故障停止生产 小时；
②当 时，甲、乙生产的零件个数相等；
(2)试求出甲在 时内每小时生产零件的个数．
【答案】(1)①甲，甲，2；②3或5.5
(2)甲在 时内每小时生产零件的个数为10个
【分析】（1）①根据图象可直接得出的结论；
②根据图象的交点可以得解；
（2）根据图象可知 时内的工作量，从而得解．
【详解】（1）解：由题意得：
①甲、乙两人中，甲先完成一天的生产任务；
在生产过程中，甲因机器故障停止生产： (小时)；
②由图象可得，当 或5.5时，甲、乙生产的零件个数相等．
（2）解： (个/时)，
即甲在 时内每小时生产零件的个数为10个．
【点睛】本题主要考查了用图象表达变量之间的关系，解答时理解清楚图象的意义是解答此题的关键．【经典例题八 函数图象的识别】
【例8】如图所示，现有一个计时沙漏，开始时盛满沙子，沙子从上部均匀下漏，经过10分钟漏完，H是
沙漏中沙面下降的高度，则H与下落时间t（分钟）的函数关系用图象表示应该是（如图所示）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查函数的图象，主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力，解题关键是根据题意
得出两个变量之间的关系．根据一个10分钟沙漏计时器，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，则该
沙漏中沙面下降的高度逐渐增大，且增大的速度由慢变快，以此即可选择．
【详解】解：沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，则相同时间内，玻璃球内的含沙量的减少量相同，
从计时器开始计时到计时 止，则该沙漏中沙面下降的高度逐渐增大，且增大的速度由慢变快，故选
项D的图象符合题意．
故选：D
【变式训练】
1．我们知道 ，小明同学据此画出了函数 的大致图象，你认为小明同学所作图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查函数的图象和性质，根据 时， ，得到图象一定过 点，即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，
∴图象一定过 点，
故满足题意的只有选项B，
故选：B．
2．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序号即可）
①圆的周长C是半径r的函数；
②表达式 中，y是x的函数；
③如表中，n是m的函数；
m 1 2 3
n 6 3 2
④如图中，曲线表示y是x的函数．
【答案】①②③
【分析】根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案．
【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数；表述正确，故①符合题意；②表达式 中，y是x的函数；表述正确，故②符合题意；
③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意；
在④中的曲线，当 时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键．
3．下列各情景分别可以用哪幅图来近似地刻画？
(1)一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）；
(2)一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）；
(3)足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）；
(4)匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）．
【答案】(1)C
(2)D
(3)A
(4)B
【分析】确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解．
【详解】（1）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小到环境温度，故可以用图象C刻画；
（2）一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，旗帜的高度逐步增加到一定的高度，故可以用D刻画；
（3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后落地，故可以用A来刻画；
（4）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，故可以用B来刻画．
【点睛】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键．
【经典例题九 从函数的图象获取信息】
【例9】某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向勾速步行，先到终点的人休息．已知
甲先出发6分钟，在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如
图所示，则下列结论错误的是（ ）A．甲步行的速度为75米/分钟 B．起点到终点的距离为5940米
C．甲走完全程用了79分钟 D．乙步行的速度为90米/分钟
【答案】C
【分析】本题考查函数图象的应用，根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，
从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得：甲步行速度 （米/分钟），故A正确；
由图象知，乙用 （分钟）时到达终点，
设乙步行的速度为x米/分，
根据题意得： ，
解得 ，
∴乙步行的速度为90米/分，故D正确；
起点到终点的距离为 （米），故B正确；
甲走完全程所用时间为： （分钟），
故C错误；
∴结论错误的是C，
故选：C．
【变式训练】
1．如图所示的是小红从家去图书馆看书，又去超市买东西，然后回家的过程，其中 (分钟)表示时间，
(千米)表示小红离家的距离，且小红家、图书馆、超市在同一条直线上，则下列叙述不正确的是（ ）A．小红从家到图书馆用了 分钟，图书馆离小红家有 千米
B．小红在图书馆看书用了 分钟
C．超市离小红家有 千米，小红从超市回家的平均速度是 千米 分钟
D．从图书馆到超市用了 分钟，图书馆离超市有 千米
【答案】D
【分析】本题考查了函数的图象，观察图象，获取信息是解题关键．
根据图象，可得从家到图书馆，图书馆到超市的距离以及相应的时间，根据路程、速度与时间的关系，可
得答案．
【详解】解：由题意得：
小红从家到图书馆用了 分钟，图书馆离小红家有 千米，故选项A说法正确，不符合题意；
小红在图书馆看书用了： 分钟 ，故选项B说法正确，不符合题意；
超市离小红家有 千米，小红从超市回家的平均速度是： 千米 分钟 ，故选项C说
法正确，不符合题意；
从图书馆到超市用了： 分钟 ，图书馆离超市有： 千米 ，故选项D说法错误，符
合题意．
故选：D．
2．已知A、B两地是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙
先到达目的地，两人之间的距离 与运动时间 的函数关系大致如图所示，则下列结论正确的有
．
①两人出发 后相遇；②甲骑自行车的速度为 ；③乙比甲提前 到达目的地；④乙到达目的地时
两人相距 ．
【答案】①②④【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，解题的关键在于能够正确读懂函数图象．先根据在一开始
时，两人的距离为 ，得到A、B两地的距离为 ，从而可以求出甲的速度，即可判断②；根据
在出发 后，两人相距为 ，即可判断①；求出两人的合速度，从而求出乙到达目的地的花费时间即可
判断③④．
【详解】解：∵在一开始时，两人的距离为 ，
∴A、B两地的距离为 ，
∵乙先到底目的地，
∴甲到目的地花费的时间为 ，
∴甲的速度为 ，故②正确；
∵在出发 后，两人相距为 ，即此时两人相遇，故①正确；
∵两人出发2h相遇，
∴两人的合速度为 ，
∴乙的速度为 ，
∴乙到目的地花费的时间为 ，
∴乙比甲提前 到达目的地，故③错误；
∵ ，
∴乙到达目的地时两人相距 ，故④正确；
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
3．甲乙两车从 A 地出发，匀速驶向 B 地， 甲车以 的速度行驶 后，乙车才沿相同路线行
驶， 乙车先到 达 B 地并停留 后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇， 在此过程中， 两车之间
的距离 与乙车行驶时间 之间的函数关系如图所示．根据图象信息，解答下列问题：
(1)乙车的速度为 ；(2) ．
(3)点 H 的坐标为 ．
(4) ．
【答案】(1)120
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）设乙车的速度为 ，根据乙行驶2小时，两车距离为零，得到 ，解答即可．
（2）根据题意，乙车行驶6小时，甲车行驶 ，计算解答即可．
（3）根据题意，乙车休息 ，行驶路程为零，甲车行驶了 ，此时两车间距离为 ，时
间为7小时，由此即可得答案．
（4）乙车返程，两车在 的路程相遇，用时间为 ，此时计算即可得答案．
【详解】（1）设乙车的速度为 ，根据乙行驶2小时，两车距离为零，
得到 ，
解得 ，
故答案为：120．
（2）根据题意，此时乙车行驶6小时，甲车行驶 ，
根据题意，得 ，
故答案为：160．
（3）根据题意，乙车休息 ，行驶路程为零，甲车行驶了 ，此时两车间距离为
，时间为7小时，故点 H 的坐标为 ，故答案为： ．
（4）乙车返程，两车在 的路程相遇，用时间为 ，此时计算得 ．
故答案为： ．
【经典例题十 用描点法画函数图象】
【例10】变量 的一些对应值如下表：
… …
… …
根据表格中的数据规律，当 时， 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据表格描点，连线，发现函数图像的特征，列出函数的解析式，利用函数解析式求函数值即可．
【详解】解：根据表格数据画出图象如图：
由图象可知，函数的解析式为 ，把x＝﹣5代入得， ．
故选择：B．
【点睛】本题考查分段函数，读懂表格信息，会利用图像求函数的解析式，会利用解析式求函数值是解题
关键．
【变式训练】
1．小明在画函数 （ ＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一
个不在该函数图象上的点，这个点是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先将各选项代入计算看是否在直线上即可.
【详解】A 选项，当 代入 故在直线上.
B 选项，当 代入 故在直线上.
C选项，当 代入 故在直线上.
D选项，当 代入 故不在直线上.
故选D.
【点睛】本题主要考查直线上的点满足直线方程，是考试的基本知识，应当熟练掌握.
2．描点法画函数图象的一般步骤：
第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．
第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．
第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．
【答案】 列表 描点 连线
3．有这样一个问题：探究函数 的图象与性质，小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 0 m 0 2.64 …
其中 _______．
(2)在如图所示的平面直角坐标系 中描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象．
(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质：__________．
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程 有______个互不相等的实数根；
②若关于x的方程 有3个互不相等的实数根，则a的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
(4)①2，2；②
【分析】本题考查了函数值的计算，描点法画函数图象，图象的性质，图象与x轴的交点，熟练掌握所学
相关知识是解题的关键．（1）求当 时的函数值即可．
（2）按照自变量从小到大的顺序用平滑的曲线依次连接起来即可．
（3）结合函数的图象，根据自变量的属性，分段描述性质即可．
（4）根据图象与x轴的交点、函数的图象的最高点和最低点可得出结论．
【详解】（1）解：当 时，
．
故答案为： ．
（2）解：根据列表，描点，画图象如下：
（3）解：观察函数图象，
当 或 时，y随x的增大而增大；
当 时，y随x的增大而减小；
故答案为：当 或 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小；
（4）解：①观察函数图象，
函数图象与x轴有2个交点，所以对应的方程 有2个互不相等的实数根；
故答案为：2，2；
②由图象可知，当 时，直线 与函数图象有3个交点，
a的取值范围是 ，故答案为： ．
【经典例题十一 动点问题的函数图象】
【例11】如图1，在 中， ，D，E分别是 ， 的中点，连接 ， ，点P从
点C出发，沿 的方向匀速运动到点A，点P运动的路程为 ，图2是点P运动时，
的面积 随 变化的图象，则a的值为（ ）
A．2.5 B．4 C．5 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键．
结合图形得，当点P运动到点E处时，运动路程为 ，即 ，由E为 的中点，得到
，当点P运动到点D处时，运动路程为 ，得 ，由 为中位线，求出
，根据 的面积s为 ，求出 ，再求出 ，根据勾股定理求出 ，即可求出
长，求出a．
【详解】解：结合图形得，
当点P运动到点E处时，运动路程为a，即 ，
∵E为 的中点，
∴ ，
当点P运动到点D处时，运动路程为 ，
∴ ，
∵ 为中位线，∴ ，
此时 的面积s为 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故选：C．
【变式训练】
1．如图（1），在 中， ， ，动点P从点B出发，沿 匀速
运动，设点P运动的路程为x， 的面积为y（当A，B，P点共线时，不妨设 ），y与x之间的函
数关系的图象如图（2）所示，则图（2）中a的值为（ ）
图（1） 图（2）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】C
【分析】本题首先根据图2得到对应的信息，当 点运动到 点时， 的面积和 的面积相等为
6，根据图中的10，可得到 ，然后根据 ，可得到 ，根据三角函数，
可得到 ，然后代入，可得 和 的长度，即可求出 的值．
本题考查动点问题和函数图象相结合，30度所对的直角边是斜边的一半，主要考查对函数图象的读图能力，
动点问题的特定点的寻找和基本计算能力．
【详解】解：由图（2）可知，当 点与 点重合是时， 的面积为6，当 点运动到 点时，共走的
路程为10，即 ，过 作 交 延长线于点 ，，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
可解得 ， ，
故 ，
故选 ．
2．如图1所示，在矩形 中，动点 从点 出发，沿矩形的边由 运动，设点 运动
的路程为 ， 的面积为 ，把 看作 的函数，函数图象如图 所示，则 的面积为
．
【答案】
【分析】本题考查了动点函数图象，由图象得出当 时， 的值最大，此时点 运动到点 ，说明，当 时， 的值最大，此时点 运动到点 ，说明 ，再由三角形面积公式计算即
可，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图可得：
当点 在 运动时， 的值逐渐增大，即 的面积逐渐增大，
当点 在 运动时， 的值不变，即 的面积不变，
当点 在 运动时， 的值逐渐减小，即 的面积逐渐减小，
函数图象上横坐标表示点 运动的路程，当 时， 的值最大，此时点 运动到点 ，说明 ，
当 时， 的值最大，此时点 运动到点 ，说明 ，
， ，
，
故答案为： ．
3．已知动点 从点 出发沿图1的边框按 的路径运动（边框拐角处都互相垂
直），相应的 的面积 与 点移动路程 的关系图象如图2，根据图象信息回答下列问题：
(1) ， ；当 时，点 应运动到图1的顶点 处；
(2)根据以上信息，求 的值；
(3)当 时，求 的值．
【答案】(1)4，8，C
(2)15
(3) 或
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象：（1）结合点Q的运动路径以及函数图象，即可求解；
（2）根据题意得：当点 应运动到图1的顶点C处时， 的面积为 ，再根据三角形的面积公
式计算，即可求解；
（3）分两种情况：当点 在 上时，当点 在 上时，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
；
当 时，点 应运动到图1的顶点C处；
故答案为：4；8；C
（2）解：根据题意得：当点 应运动到图1的顶点C处时， 的面积为 ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：15
（3）解：当点 应运动到图1的顶点D处时， 的面积为 ，
当点 在 上时， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
当点 在 上时， ，
∵ ，
∴ ，解得： ；
综上所述，x的值为 或 ．
【经典例题十二 函数的三种表示方法】
【例12】李强一家自驾车到离家 的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程
与油箱剩余油量 之间的部分数据：
轿车行驶的路程 10 40
0 200 300 …
0 0
油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …
下列说法不正确的是（ ）
A．该车的油箱容量为
B．该车每行驶100km耗油8L
C．油箱剩余油量 与行驶的路程 之间的关系式为
D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余 油
【答案】C
【分析】根据表格中信息逐一判断即可．
【详解】解：A、由表格知：行驶路程为0km时，油箱余油量为 ，故A正确，不符合题意；
B、 时，耗油量为 ；100——200km时，耗油量为 ；故B正确，不
符合题意；
C、有表格知：该车每行驶 耗油 ，则 ，故C错误，符合题意；
D、当 时， ，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，明确题意、正确从表格中获取信息是解题的关键．
【变式训练】
1．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过 ，对这种型号的汽车进行了测试，测
得的数据如下表：
……
刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50
……
刹车距离（m） 0 5 10
下列说法中错误的是（ ）
A．自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离
B．刹车时的车速每增加 千米，刹车距离就增加
C．当刹车距离为 时，刹车时的车速为
D．当刹车时的车速为 时，与其前方距离为 的车辆不会追尾
【答案】C
【分析】根据函数的表达式特点判定，结合变量关系判定，确定函数的解析式表达方式判定即可．
【详解】A、根据函数表达方式的特点，自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离，正确，不符合题意；
B、根据表格，刹车时的车速每增加 千米，刹车距离就增加 ，正确，不符合题意；
C、根据函数表达方式的特点，转化为解析式表达方式为 ，当 ，得到
，解得 ，不正确，符合题意；
D、根据函数表达方式的特点，转化为解析式表达方式为 ，当 ，得到
，正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了函数的表达方式及其意义，正确理解各自表达方式的意义是解题的关键．
2．如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关
系的表达式是 ．
【答案】y=x+2x-2（x≥2）
【分析】根据题意得：第1个图：y=1+1+20，第2个图：y=3+2=2+1+21，第3个图：y=4+4=3+1+22，第4
个图：y=5+8=4+1+23，…以此类推第n个图：y=n+1+2n+1-2，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：第1个图：x=2=1+1，y=2+1=1+1+20，
第2个图：x=3=2+1，y=3+2=2+1+21，
第3个图：x=4=3+1，y=4+4=3+1+22，
第4个图：x=5=4+1，y=5+8=4+1+23，
…
以此类推：第n个图：x=n+1，y=n+1+2n+1-2，
y与x之间关系的表达式是：y=x+2x-2（x≥2），
故答案为：y=x+2x-2（x≥2）．
【点睛】本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可．
3．结合一次函数的学习经验，探究函数： 的图像和性质，请完善下面的研究过程．
(1)自变量 的取值范围为______；
(2)化简函数解析式：
①当 时， ______；
②当 时 ______；
③当 时 ______；
(3)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像；
(4)若关于 的方程： 有两个解，请直接写出 的取值范围是______．
【答案】(1)全体实数
(2)① ；② ；③(3)见解析
(4)
【分析】本题考查了函数的图像，函数的解析式，绝对值的化简，解绝对值方程．
（1）根据函数的表达式，确定自变量取值范围是全体实数．
（2）①根据正数的绝对值是它本身，化简即可．
②根据零的绝对值是零化简即可．
③根据负数的绝对值是它的相反数化简即可．
（3）根据画图像的基本步骤画出图像即可．
（4）利用数形结合思想，只需函数值大于2即可即 ，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得自变量取值范围是全体实数，
故答案为：全体实数．
（2）解：∵ ，
∴①当 时， ，
故答案为： ．
②当 时 ，
故答案为： ．
③当 时 ．
故答案为： ．
（3）解：根据题意，画图像如下：．
（4）解：根据题意，方程有两个解的条件是函数值大于2，即 ，
故m的取值范围是 ．
【拓展培优】
1．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图 ，点 从四条边都相等的 的顶点 出发，沿 以
的速度匀速运动到点 ，图 是点 运动时， 的面积 随时间 变化的关系图象，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题综合考查了 性质，动点问题的函数图象，勾股定理，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．通过分析图象，点 从点 到 用 ，此时， 的面积为 ，依此可求
的高 ，再由图象可知， ，应用两次勾股定理分别求 和 ．
【详解】解：过点 作 于点
∵ 的四条边都相等，
∴ ．
由图象可知，点 由点 到点 用时为 ， 的面积为 ．
，
，
，
当点 从点 到点 时，用时为
，
中，
，
的四条边都相等，
，
中，
，
解得：
故选：C．
2．（2023·四川巴中·模拟预测）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：
张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中 表示张强离
家的时间， 表示张强离家的距离，则下列结论正确的是（ ）A．张强从家到体育场用了 B．体育场离文具店
C．张强在体育场锻炼了 D．张强从文具店回家的速度是
【答案】C
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象提供的信息，进行计算，逐项判断即可得解，
读懂函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图可得：
张强从家到体育场用了 ，故A选项错误，不符合题意；
体育场离文具店 ，故B选项错误，不符合题意；
张强在体育场锻炼了 ，故C选项正确，符合题意；
张强从文具店回家的速度是 ，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
3．（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数自变量的取值范围，根据二次根式被开方数非负，以及分式分母不为零，建立不等
式求解，即可解题．
【详解】解：由题意得， 且 ，
解得 且 ，
故选：B．
4．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）函数 的图象有两点，坐标分别为 ， ，若
，则下列等式一定正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查已知自变量值，求函数值．根据题意可知若 ，则 ，再将两个自变量分别代入 ，
再作加法即可得到 ，继而得到答案．
【详解】
解：∵函数 的图象有两点，坐标分别为 ， ，
∵ ，即若 ，则 ，
∴ ，
只有B选项成立，其他选项不一定成立
故选：B．
5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从
A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离 与骑行时间 之间的函数关系如图所示，下列
结论错误的是（ ）
A．A，B两村相距 B．出发 后两人相遇
C．甲每小时比乙多骑行 D．相遇后两人又骑行了 ，此时两人相距
【答案】D【分析】本题主要考查了函数图象，正确理解图中信息是解题关键．根据图像与纵轴的交点可得出A、B
两地的距离，当 时，即为甲、乙相遇的时候，结合一次函数的图像与性质逐一判断即可解答．
【详解】解：A.由图像可知A村、B村相离 ，故选项A正确，不符合题意；
B.由图像可知：当 时，甲、乙相距为 ，故在此时相遇，故②正确，不符合题意；
C.由图像可知：出发 后两人相遇，则有： ，即
∴甲的速度比乙的速度快 ，故C正确，不符合题意；
D.相遇后， 两人相距 ，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
6．（黑龙江省哈尔滨市部分学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试题）在函数 中，自变
量x的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的性质等知识点，根据被开方数大于等于0列式计算即可得解，熟练掌握其
性质是解决此题的关键．
【详解】由题意得， ，
解得 ，
故答案为： ．
7．（2023·江苏盐城·一模）某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点
出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在当天12点至
13点之间（含12点和13点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查从函数图象获取信息，不等式组的实际应用，根据所给图象得出甲的速度，根据时间、
路程、速度之间的关系列不等式组，即可求解．
【详解】解：根据图象可得，甲的速度为： （千米/时），由题意，得 ，
解得 ，
故答案为： ．
8．（23-24八年级上·浙江丽水·阶段练习）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀
速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物，装卸货物共用 ，立即按原路以另一速度匀
速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为 ，两车之间的距离 （ ）与货车行驶时间 （
）之间的函数图象如图所示，图中点 的坐标为
【答案】
【分析】本题考查了函数图象；设快递车从甲地到乙地的速度为 千米 时，根据3小时相距120千米即可
列方程求解，根据条件 段所用的时间是45分钟，利用甲和乙之间的距离减去货车行驶的距离即可求得
点对应的纵坐标，即可求解．
【详解】解：设快递车从甲地到乙地的速度为 千米 时，则
，
解得： ．
则甲、乙两地之间的距离是 （千米）；
快递车返回时距离货车的距离是： （千米），即点 的纵坐标为
∵装卸货物共用 ，
∴ 点的横坐标为
故答案为： ．
9．（2023·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是 ，点A在x 轴上，过点A作
x轴的垂线，与过点C垂直于y轴的直线交于点B，连接 ，作 的垂直平分线交 于点E，交 于点D，连接 ．设点E的坐标为 ，当 时，y关于x的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握线段垂直平
分线上的点到线段两端点的距离相等．根据题意可得 ，根据勾股定理得到
，即可进行解答．
【详解】解： 轴， 轴，
四边形 是矩形，
，
，
是 的垂直平分线，
，
在 中， ，
，即 ，
时，y 关于x 的函数解析式为： ，
故答案为： ．
10．（23-24八年级下·重庆黔江·阶段练习）如图，折线 描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程
中，汽车离出发地的距离 与行驶时间 之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正
确的是 ．
①汽车在行驶途中停留了0.5小时；②汽车在整个行驶过程的平均速度是 ；③汽车共行驶了 ； ④汽车出发 离出发地 ．
【答案】①③④
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，根据停留时距离S不发生变化可判断①；根据速度=路程÷时间
列式计算即可判断②；求得往返的路程和得出答案即可判断③；先求出 到 的速度，再求据出发地的
距离可判断④．
【详解】解：①汽车在行驶途中停留了 ，故①正确；
②平均速度： 千米/小时，故②错误；
③汽车共行驶了 故③正确；
④汽车自出发后 到 速度为： 千米/小时，
∴汽车出发4h离出发地距离为 千米，
故④正确．
∴正确的是①③④，
故选：C．
11．（2024·湖南·模拟预测）已知等腰三角形的周长为18，设腰长为x，底边长为y．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)求自变量x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，等腰三角形的性质：
（1）根据三角形的周长公式可得 ，即可求解；（2）根据题意可得 ，从而得到 ，再由三角形的三边关系，可得 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵等腰三角形的周长为18，腰长为x，底边长为y，
，
∴y关于x的函数解析式为 ；
（2）解：由题意可得 ，解得 ，
∵x，x，y构成三角形的三边，
∴ ，
即 ，
解得 ．
综上可知，自变量x的取值范围是 ．
12．（23-24八年级下·全国·随堂练习）画出函数 的图象．
(1)列表：
x … 0 1 …
y … …
(2)描点并连线；
(3)判断点 ， ， 是否在函数 的图象上；
(4)若点 在函数 的图象上，求出m的值．
【答案】(1)3，1，-1
(2)见解析
(3)点A、B不在函数 的图象上，点C在其图象上
(4)-4【分析】本题考查了画函数的图象，函数图象上的点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标特征是解题
的关键
（1）分别把 的值代入函数的解析式，计算求出 的值；
（2）在平面直角坐标系中描出点 、 和 ，再连线即可；
（3）分别把点的横坐标代入函数的解析式，计算求出点的纵坐标，再判定即可；
（4）把点 的坐标代入函数的解析式建立方程，求解即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故答案为：3，1， ；
（2）解：如图：
（3）解：∵当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
∴点 不在函数 的图象上，点C在其图象上．
（4）解：∵点 在函数 的图象上，
∴ ，解得 ．
13．（22-23七年级下·四川达州·期末）下图表示一辆汽车在行驶途中的速度 （千米/时）随时间 （分）
的变化示意图；(1)从点A到点 、点 到点 、点 到点 分别表明汽车在什么状态？
(2)分段描述汽车在第 分种到第 分钟的行驶情况；
(3)汽车在点A的速度是多少？在点 呢？
(4)司机在第 分钟开始匀速先行驶了 分钟，之后立即以减速行驶 分钟停止，请你在本图中补上从
分钟以后汽车速度与行驶时间的关系图．
(5)请你用语言描述这一过程．
【答案】(1)A到点 是匀速运动、点 到点 是匀加速运动、点 到点 匀减速运动
(2)从 、 、 是匀加速运动，从 、 是匀减速运动，从 、 、
是匀速运动
(3)汽车在点A的速度是 千米每小时，在点 的速度为 千米每小时
(4)见解析
(5)汽车首先匀加速行驶，然后匀速行驶，再匀减速行驶，接着停下来，又匀加速行驶，匀速行驶，再匀加
速行驶，匀速行驶，最后匀减速行驶，匀速行驶，匀减速行驶至停下来
【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过
程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
（1）根据图象可以确定从点 到点 、点 到点 、点 到点 分别表明汽车的运动状态；
（2）根据图象可以得到在第 分种到第 分钟的行驶情况；
（3）根据图象可以直接得到汽车在点A和点 的速度；
（4）结合已知条件利用图象可以画出从 分钟以后汽车速度与行驶时间的关系图；
（5）根据图象可以直接求解．
【详解】（1）解：根据图象知道：点A到点 是匀速运动、点 到点 是匀加速运动、点 到点 匀减
速运动；
（2）解：从 、 、 是匀加速运动，
从 、 是匀减速运动，从 、 、 是匀速运动；
（3）解：根据图象知道：汽车在点A的速度是 千米每小时，在点 的速度为 千米每小时；
（4）解：如图所示：
（5）解：<>汽车首先匀加速行驶，然后匀速行驶，再匀减速行驶，接着停下来，又匀加速行驶，匀速行
驶，再匀加速行驶，匀速行驶，最后匀减速行驶，匀速行驶，匀减速行驶至停下来．
14．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一
段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过
），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离 0 5 10 …
谛回答下列问题：
(1)当刹车时车速为 时，刹车距离是_______m；
(2)根据上表反映的规律写出该种型号汽车s与v之间的关系式：_________；
(3)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为 ，推测刹车时车速是多少？并
说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？ （相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速
公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里．）
【答案】(1)
(2)
(3)推测刹车时车速是 ，所以事故发生时，汽车是超速行驶．
【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关
键．
（1）根据表格数据可得答案；（2）根据刹车时车速每增加 ，刹车距离增加 ，可得答案；
（3）结合（2）的结论得出可得车速为 ，进而得出答案．
【详解】（1）解：由表格信息可得：当刹车时车速为 时，刹车距离是 ；
（2）由表格可知，刹车时车速每增加 ，刹车距离增加 ，
与 之间的关系式为： ，
（3）当 时， ，
，
，
事故发生时，汽车是超速行驶．
答：推测刹车时车速是 ，所以事故发生时，汽车是超速行驶．
15．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图①所示，在 ， 两地之间有一车站 ，甲车从 地出发经 站驶
往 地，乙车从 地出发经 站驶往 地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离 站的
距离 与行驶时间 之间的函数图象．
(1)填空： 的值为__________， 的值为__________， 两地的距离为__________ ．
(2)求 小时后，乙车离 站的距离 与行驶时间 之间的函数关系式以及自变量 的取值范围．
(3)请直接写出乙车到达 地前，两车与车站 的距离之和不超过 时行驶时间 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)当 时，两车与车站 的路程之和不超过 ．【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用：
（1）根据函数图象求出甲的速度 ，据此求出 的距离，即a的值，从而求出 的长度，再求
出乙的速度，进而求出m的值即可；
（2）根据路程 速度 时间列式求解即可；
（3）分两种情况讨论，当 时，且两车与车站 的距离之和等于 时， 当 时，且
两车与车站 的距离之和等于 时，分别列方程求出对应的时间即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，甲的速度 ，
∴ 的距离 ，
，
∴乙车速度 ，
，
故答案为： ；
（2）解：由（1）得乙车速度 ，
∴ ；
（3）解：当 时，且两车与车站 的距离之和等于 时，则 ，
，
当 时，且两车与车站 的距离之和等于 时，则 ，
解得 ，
∴当 时，两车与车站 的路程之和不超过 ．
