专题01 一网打尽高中函数
题型脑图·核心考法搭建
考法深研·解题技能进阶
题型01 函数基础：指数与对数函数对应关系
指数函数与对数函数，要遵循以下函数图像生成过程，便于学生理解并记忆：
1.
2.还要通过代入“同一真数比高低”来转对比函数图像高低。
3.代值时候，要注意，可以通过
这个优美简洁的计算来达到快速“出图”的
目的。
4.对数或者指数“变异”型，要遵循“左加右减上加下减，翻折对称”等图像规律技巧。
1．（2026·安徽·模拟预测）已知
,则 x1+ x2=（ ）
A．40
B．32
C．72
D．64
【答案】D
【分析】根据题干信息构造单调函数
，将
换元转化为
，利用函数单
调性得
，即
，代入原式即可求出
.
【详解】令
，易知f ( x)在
上单调递增.
由
，得
.
对
变形，设
，则
.
代入得
，即
.
因为f ( x)单调递增，函数值相等则自变量相等，所以
.
即
，也就有
.
结合
，替换得
.
2．（25-26 高三·全国·一轮复习）设平行于
轴的直线分别与函数
和
的图象相交于点
，
，
若函数
的图象上存在点
，使得
为等边三角形，则这样的直线（ ）
A．不存在
B．有且只有一条
C．至少有两条
D．有无数条
【答案】B
【分析】设直线的方程为
，求得点
，
，得到
，再由
CD⊥AB，得到点
，根据点
在函数
的图象上，得到关于
的方程，即可求解.
【详解】根据题意，设直线的方程为y =m，则
，
，AB =1，
设
，因为
是等边三角形，所以点
到直线
的距离为
，所以
，
所以
，又
，
所以
，所以
，解得
，
故而符合条件的直线只有1 条．
3．（2026·山西晋中·三模）已知
且
，若函数
的值域为
，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．[2,+∞)
【答案】D
【详解】当
时，
单调递增，则
，
当
时，
，要使函数
的值域为
，
则需
在
时的值域包含(1,+ ∞)，故需满足
，
解得a≥2.
4．（2026·江西·三模）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．a<b<c
【答案】D
【详解】因为
，且
，所以
，
同理，由
，可得
，
由
，可得
.
令
，得
，所以
在
上单调递减，
满足
的
即为函数
与
交点的横坐标；
满足
的
即为函数
与
交点的横坐标；
满足
的即为函数
与
交点的横坐标；
在同一平面直角坐标系中画出
的图象，如图所示：
从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为a<b<c.
题型02 函数基础：幂函数的图像“区域分类”
幂函数的图像，要从两方面建立：
1.函数在第一象限永远有图像，所以图像的“根”在第一象限，恒过（1,1）点。
2.第二、三是否有图像，要结合函数的奇偶性来判断推导确认。
1．（2026·湖南常德·二模）已知实数
满足：
，则（ ）
A．
B．y ≥1
C．
D．
【答案】C
【分析】利用指数函数单调性分析不同
取值对应的
与1 的大小关系，从而判断
的符号.
【详解】 因为
，所以
，即
，所以
，
设
，求导得
，
因为
，
，因此
，即
在(0,+∞)上是单调递增.
若 y =1，则
，对应
，得
，此时
；
若
，由
单调递增得
，即
，
又
是增函数，故x>1，此时
，得
；
若 y <1，由
单调递增得
得
，解得x<1，此时
；
综上，所有情况都满足
，选C.
【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，核心是利用函数单调性判断变量的取值范围，体现了函数思想
在不等式判断中的应用.
2．（25-26 高三下·湖北孝感·开学考试）若
，则下列不等关系一定不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对已知等式进行恒等变形，通过构造函数，利用数形结合思想进行判断即可.
【详解】当
时，显然
不成立，
当
时，由
，
令
，设
，
在同一直角坐标系内画出三个函数的图象如下图所示：
由数形结合思想可知：只有选项C 不可能，
故选：C
3．（25-26 高一上·四川达州·期末）已知函数
的图象分别与函数
和
的图象
交于
，
两点，设两交点的横坐标分别为x1，x2，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据反函数及反比例函数的对称性得到点
与点
关于直线y = x对称，再进一步求解即可.
【详解】设
，
，
则
.
因为函数
和
互为反函数，图象关于直线y = x对称，函数
的图象也关于直线
y = x对称，
所以
，
关于直线y = x对称，即
，
，
又
，所以
.
故选：C.
4．（25-26 高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数
的图象关于y轴对称，且在
上单调递减，则满足
的实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合幂函数性质由条件求
，结合函数
的性质化简不等式，解不等式可得结论.
【详解】因为函数
在(0,+ ∞)上单调递减，
所以
，又
，
所以
，
因为函数
的图象关于y轴对称，
所以
为偶数，
不符合题意舍去，所以
，
函数
的定义域为
，
且函数
在(-∞,0)和
上单调递减，
当x<0时，y <0，当
时，
，
所以不等式
可化为
或
或
，
所以
或
，
所以
的取值范围为
.
故选：C.
题型03 三大补充函数：对勾函数
对勾函数
对勾函数：
图像特征
形如
称为对勾函数
1.有“渐近线”：y=ax（倾斜）,x=0（竖直）两条渐近线
2.
“拐点”：解方程
（即第一象限均值不等式取等处）
“对勾”函数核心型函数：类二次函数：
1.偶函数；2.右边是增函数；
1．（25-26 高三·浙江·阶段检测）已知定义在
上的函数
满足
，则函数
的最大值为（ ）
A．
B．-2❑√2
C．2
D．
【答案】B
【分析】由题可得
，结合基本不等式求解即可.．
【详解】由
，得
，
联立方程
，解得
，
因为
，所以
，当且仅当
时取等号，
则
，当且仅当
，即
取等号．
2．（25-26 高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
可得对称性，进而根据函数的单调性，可得
求解．
【详解】由
，
得
的图象关于直线
对称，
设
，则
，
因为
在[2,+∞)上单调递增，且
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
由
，可得
，
所以
，整理得
，
解得
或
．
3．（25-26 高三·江苏无锡·阶段练习）已知函数
，若实数a，b 满足
且
，则
的值为（ ）
A．10
B．6
C．8
D．4
【答案】B
【分析】根据函数解析式，利用指数的运算性质进行求解即可.
【详解】由
，得：
；
由
，得：
；
.
故选：B
4．（25-26 高三上·河北保定·阶段检测）已知函数
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
可得对称性，进而根据函数的单调性，即可得
求解.
【详解】由
，知
的图象关于直线
对称，
设
，则
，
因为
在
上单调递增，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增．
由
，可得
．
，整理得
．
解得
或
．
故选：D．
题型04 三大补充函数：双刀函数
双曲函数（双刀函数）:可以理解为“双沟函数改变一个符号”
1.有“渐近线”：y=ax 与y=-ax
2.
“零点”：解方程
（即方程等0 处）
类三次函数
1．（2025·广东肇庆·一模）已知
，若
成立，则x 的取值范围是（ ）
A．
B．(1,+∞)
C．
D．
【答案】A
【分析】确定给定函数的奇偶性及单调性，进而求解不等式.
【详解】函数
的定义域为R，
，则函数f ( x)是奇函数，
而函数
在R 上都单调递增，则函数f ( x)在R 上单调递增，
不等式
，则
，解得
，
所以x 的取值范围是
.
故选：A
2．（25-26 高三·浙江 阶段练习）已知函数
，若对任意的正实数
、
，满足
，则
的最小值为（ ）
A．5
4
B．9
4
C．
D．
【答案】D
【分析】利用奇函数定义与指数函数单调性可得
性质，即可得
、
间关系，再利用基本不等式计算
即可得.
【详解】
，又
定义域为
，
故
为奇函数，则
，
又
在
上单调递增，故
在
上单调递增，
则a=2-2b，即
，
故
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
故
的最小值为
.
故选：D.
3．（25-26 高三上·上海嘉定·期中）已知函数
，则不等式
的解
集为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】得出
在
上单调递增，
，然后将不等式等价变形为
即可求解.
【详解】设函数
，则函数f ( x)是定义域为
，
因为y =e
x -1是增函数，
是减函数，
是增函数，
所以
在
上单调递增；
因为
，
所以其图象关于点
对称，即有
，即
．
由
得
，
即
，
即
，所以
，解得
．
故选：A．
4．（24-25 高三·广西·阶段练习）已知函数
，则不等式
的解集
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】构造函数
，可得
是奇函数，且在
上是增函数，将不等式转化为
，得到
，结合
的单调性，即可求解.
【解答过程】设函数
，可得其定义域为
，关于原点对称，
且
，即
，所以
为奇函数，
因为
是
上的增函数，
是
上的减函数，
所以
是
上的增函数，
由
等价于
，
即
，
又因为
是奇函数，可得
，
可得
，即
，解得
或
.
所以不等式的解集为
.
故选：B.
题型05 三大补充函数：复合反比例型
反比例与分式型函数
解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再
用穿线法求解
反比例与分式型函数
方法一：分离常数，左加右减上加下减
方法二：中心对称法，如下
·形如：
。对称中心为P
，其中
1．（24-25 高一下·云南昭通·开学考试）已知函数
，若对任意的
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先用基本不等式求最值，再解一元二次不等式即可.
【详解】对任意的
，
，
因为
，令
，
，
因为
，当且仅当
，即t =-1，即
时，等号成立，
所以
，
因为
恒成立，所以
，即
，解得：
，
故选：D.
2．（25-26 高三·全国·一轮复习）函数
，则下列结论错误的是（ ）
A．函数f ( x)在定义域
上为奇函数
B．函数f ( x)在区间
上单调递增
C．函数f ( x)的值域为
D．函数f ( x)的图像与直线y = 3
4 x有且只有两个交点
【答案】D
【分析】根据奇函数定义判断A；结合
时函数的单调性和奇函数性质判断B；根据
时，
并结合奇函数性质判断C；根据
时，
与y = 3
4 x有一个交点
并结
合奇函数性质判断D.
【详解】解：函数定义域为
，且
，故函数为奇函数，故A 选项正确；
当
时，
，该函数在
上为增函数，
所以，结合奇函数的性质，可知函数在
上为增函数，
所以，函数f ( x)在区间
上单调递增，故B 选项正确；
当
时，
，
所以，结合奇函数性质，可得函数f ( x)的值域为
，故C 选项正确；
当
时，
，与y = 3
4 x联立方程
，解得
，
所以，
时f ( x)的图像与直线y = 3
4 x有一个交点，坐标为
因为y = 3
4 x也是奇函数，
所以，其图像含有两个交点，分别为
，
所以，函数f ( x)的图像与直线y = 3
4 x有三个交点，故D 选项错误.
故选：D
3．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数
是奇函数，
，且f ( x)与
的图像
的交点为( x1, y1)，( x2, y2)，⋯，
，则
A．0
B．6
C．12
D．18
【答案】D
【分析】
，由此
的图像关于点
中心对称，
关于点
中心对称，故
交点的横纵坐标之和为定值．
【详解】
，由此
的图像关于点
中心对称，
是奇函数
，由此
，所以
关于点
中心对称，
，
，所以
，故选D
【点睛】函数的对称性分轴对称和对称中心，图像关于点中心对称，那么对称点的横纵坐标之和为对称中
心横纵坐标的2 倍
4．（24-25 高三·重庆·阶段检测）设函数
是奇函数，函数
的图像与
的图
像有2022 个交点，则这些交点的横，纵坐标之和等于（ ）
A．
B．
C．10110
D．5050
【答案】A
【分析】先利用题意判断出
与
均关于点
对称；然后利用对称性求解即可.
【详解】由题可知
，得
，所以
关于点
对
称；
，显然
关于点
对称；因为函数
的图
像与
的图像有2022 个交点，则这些交点也关于点
对称，所以每两个对称点纵坐标之和为
，
个交点有
组对称点，所以这
交点得纵坐标之和为
；因为函数
的图像与
的图像有2022 个交点，则这些交点也关于点
对称，所以每两个对称点横坐标之和为
，
个交点有
组对称点，所以这
交点得纵坐标之和为
；故这些交点得横纵坐标之和为
故选：A
题型06 对数函数的“反比例性质（积定）”
对数绝对值型函数的反比例定值性质：xy=1
对于
，
若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
1．（25-26 高三·湖南长沙·阶段检测）已知函数
，若关于
的方程
（
k ∈R）有四个不同的根，它们从小到大依次记为x1，x2，
，x4，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．函数
有8 个零点
【答案】AD
【分析】因为x ≤0时
是二次函数，可配方求值域和零点情况；
时去绝对值分析
的单调性、值域，所以能画出
的大致图象，找到方程
有四个不同实根时k的取值范
围.对于
，因为是x ≤0时二次方程
的两个根，所以用韦达定理可直接得到x1+ x2、
的
表达式.对于
，因为是
时方程
的两个根，所以去掉绝对值后可得
，
，进而推导
、
的取值范围，再结合
的结果得到
的范围.分析
的零点：先令
，解方程
得到的所有取值，再分别判断每个对应的
的实根个数，相加得到g( x)的零点总数.
【详解】x ≤0时，
，值域为
，顶点(- 1
2 ,0)，
时
；
时，
，值域为
作出函数图像如图：
方程
有四个不同根的条件是
，故A 正确；
x1, x2是方程
即
的两根，由韦达定理：
；
是
的两根，得
，
，
故
，即
；
因此
，其取值范围为
，故B 错误；
，
，故
，
，其取值范围为
，故C 错；
的零点等价于
，
解得
的根为：
； 分别计算
的根个数：
t =-1：
无实根；
：
共2 个实根；
当
时，
有个实根.
因此
的总零点个数为
个，D 正确.
2．（25-26 高一上·湖北孝感·期末）已知函数
，若
有四个零点x1，x2，
，x4，且满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先画图确定函数
有四个零点时m 的取值范围，再利用韦达定理及对数性质求出
和
，最后通过换元法求取值范围.
【详解】作出函数
的图象，如图：
因为
有四个零点，所以0<m≤1，
因为
，
，
所以
，即
，所以
，
则
，
因为x1, x2是方程
的根，即
的根，
所以
，
又
，所以
，
令
，则
，
令
，则
，
所以
，
因为
在
上单调递减，
所以
，即
的取值范围是
.
3．（25-26 高三·安徽安庆·阶段检测）已知函数
，若
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．[0,1]
【答案】A
【分析】利用分段函数图象的对称性，先推出
，再将
转化为关于
的二次
函数，结合
即可确定取值范围.
【详解】作出函数
的图象如图所示：
则
，
且
，
，
，
，
由
，得
，得
，
所以
，即
，
于是
，
又
，所以
，所以
，
即
的取值范围是
．
4．（25-26 高三·浙江衢州·阶段练习）已知函数
，若方程
有四
个不同的解
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先画出分段函数图象，然后利用数形结合，结合韦达定理先得出
，再由对数函数性质得
出
，所求式子可化为
，换元后利用函数单调性求范围.
【详解】作函数的大致图象，如图，
当x ≤-1时，
，即
，化简可得
，
所以
，所以
，
当
时，又
，即
，
则
，则
，
由图形可知
，即
，解得
，
令
，又
在
上单调递增，所以
，
故
的取值范围是
.
题型07“取整”函数与“去整” 函数
取整函数（高斯函数）
表示不超过
的最大整数，又叫做“高斯函数”.如右图。“去整”函数
如右下图。注意函数两段端点的“开闭”
1．（25-26 高三·全国·一轮复习）对于任意实数
,符号
表示“不超过
的最大整数”，如
，
，
，定义函数
．给出下列四个结论：
① 函数
的值域是[-1,1]；
② 函数
是奇函数；
③ 函数
是周期函数，且最小正周期为4；
④ 函数
的图像与直线
有三个不同的公共点．
其中错误结论的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】根据已知分析函数
的图象和性质，逐一判断四个结论的真假，可得结论．
【详解】解：∵函数
．
∴f（-1
2
）=sin（-π
2
）=-1；
f（1
2
）=sin（0
）=0．
故①函数
是奇函数，错误；
作出
的图像，如图所示
函数
的值域是{-1，0，1}，故②错误；
函数
是周期函数，且最小正周期为4，故③正确；
函数
的图象与直线y=x-1 有无公共点，故④错误．
故假命题的个数为3，
故选：C
2．（24-25 高三·山西大同·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”
的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为设
，用
表示
不超过
的最大整数，则
称为高斯函数，例如
，
，已知函数
，
，则下列叙述正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．f ( x)在
上是增函数
C．f ( x)的值域是
D．
的值域是
【答案】B
【分析】根据奇偶性的定义即可判断A,根据常见函数的单调性即可判断B,由函数的单调性即可判断C，根
据高斯函数的定义即可求解D.
【详解】
，
对于A，由于
，所以
，故
不是偶函数，故A 错误，
对于B,由于
单调递增且恒为正，所以
为单调递增，B 正确，
对于C，
，
，所以
，故C 错误，
对于D，由于
，所以
，故D 错误，
故选：B
3．（24-25 高三·黑龙江·阶段检测）符号
表示不超过
的最大整数，如
，
，
，
定义函数
则下列说法正确的个数是（ ）
①函数
的定义域为R
②函数
的值域为[0,1]
③函数
是增函数
④函数
是奇函数
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】根据题中定义、增函数的性质、奇函数的性质，结合特例法进行判断即可.
【详解】①：函数
的定义域为全体实数，故本说法正确；
②：因为
表示不超过
的最大整数，所以
，因此本说法不正确；
③：因为
，显然函数在整个实数集上不是增函数，所以本说法不正确；
④：因为
，
，
所以
，因此本函数不是奇函数，所以本说法不正确，
故选：A
4．（24-25 高三·江苏徐州·阶段检测）符号
表示不超过
的最大整数，如
，
，定义函
数
，那么下列说法正确的个数是（ ）
函数
的定义域为 R ，值域为 1, 0
②方程
有无数多个解
③对任意的
，都有
成立
④函数
是单调减函数
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】根据取整函数的定义，可得函数
的最小正周期为1，在区间
上是减函
数，且函数的值域为(-1,0].由此与各个选项加以比较，即可得到本题的答案.
【详解】对于①，根据
的定义，得x 为整数时，
，从而
，此时
得最大值；
当x 的小数部分不为0 时,
，故
.综上所述，得
的定义域为R，值域
为(-1,0]，故①正确.
对于②，当
时，
，从而
，因此方程
有无数多个解，故
②正确.
对于③，因为一个数增加1 个单位后，它的小数部分不变，而整数部分增加1，因此
，从而
得到
，所以对任意的
，都有
成立，故③正确.
对于④，函数
在区间
上是减函数，但是由于函数
是分段函数，图象不连续，
所以
不是R 上的减函数，故④不正确.
故选：C
【点睛】本题以取整函数为例，要我们判断关于函数
性质的几个命题的真假，着重考查了函
数的单调性、周期性以及函数的定义域、值域等知识，属于中档题.
题型08 保值函数与保值放缩函数
一般地，若
的定义域为
，值域为
，则称
为
的“
倍跟随区间”；特别地，
若
的定义域为
，值域也为
，则称
为
的“跟随区间”，
把函数
存在区间
，使得函数
为
上的
倍域函数，结合函数的单调性，转化为
是解答的关键.
1．（24-25 高三上·河南郑州·阶段练习）对于函数
，若存在区间
，当
时的值域为
，则称
为k倍值函数.若
是k倍值函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】可看出
在定义域
内单调递增，可得出a,b是方程
的两个不同根，从而得出
，通过求导，求出
的值域，进而可得到k的范围．
【详解】解：
在定义域
内单调递增，
，
即
，
即a,b是方程
的两个不同根，
∴
，
设
，
∴
时，g
'( x)<0；x>1时，
，
∴
是
的极小值点，
∴g( x)的极小值为：
，
又
趋向0 时，
趋向
；
趋向
时，
趋向
，
时，
和
的图象有两个交点，方程
有两个解，
∴实数k的取值范围是
．
故选B．
【点睛】本题考查了对k倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算
能力，属于难题．
2．（25-26 高一上·上海杨浦·期末）对于函数
，常数
，若自变量
在区间
上变化时，函
数值
的取值范围恰为
，则称区间
是函数
的k倍值区间，区间长度为
.已知定
义域为
的函数y = g(x)的表达式为
，给出下列结论：
① 函数y = g(x)恰有2 个1 倍值区间；
② 函数y = g(x)的所有
倍区间长度之和为
.
下列说法正确的是（ ）
A．结论①成立，结论②不成立
B．结论①不成立，结论②成立
C．两个结论都成立
D．两个结论都不成立
【答案】B
【分析】先分析得出
，再分
，
，
三种情况，根据函数的值
域为[a,b]和
可求a,b的值，即可得出结论.
【详解】作函数
的草图如下：
对①：设[a,b]为函数y = g(x)的1 倍值区间，即当
时，
.
因为
，所以
.
当
时，
在[a,b]上单调递减，
由
.
两式相减得
，
因为
，所以
，将其代入
，
得
或
.
因为
和1+ ❑√5
2
均不属于
，
所以当
时，函数
无1 倍值区间；
当
时，因为
，所以必有a=0，
又
，所以必有
，即
，又
，所以b=2.
所以区间
是函数y = g(x)的一个1 倍值区间.
当
时，
在[a,b]上单调递增，
所以
，且
，所以方程组无解，
即当
时，函数
无1 倍值区间.
综上，函数
只有一个1 倍值区间
，故①错误；
对②：设[a,b]为函数y = g(x)的
倍值区间，即当
时，
.
因为
，所以
.
当
时，
在[a,b]上单调递减，
所以
，
两式相减得：
，
因为
，所以
,
代入
得
a=0或a= ❑√2（因为
故舍去）.
由a=0
.
所以当
时，
，
所以
是函数y = g(x)的一个
倍值区间；
当
时，因为
，所以必有a=0，
又
，所以必有
，即
，又
，所以
.
所以区间
是函数y = g(x)的一个
倍值区间.
当
时，
在[a,b]上单调递增，
所以
，且
，所以方程组无解，
即当
时，函数
无
倍值区间.
综上，函数
有两个
倍值区间
和
，
它们的区间长度之和为：
.故②正确.
故选：B
3．（2026·上海·高考真题）对于函数
，
，设
.对于点集
，若
存在
，使得任取
，总有
，则称
为“最低点”.对于函数
和
y = g(x)，以下说法中正确的是（ ）
A．若
和y = g(x)都有最小值，则
有最低点；
B．若
有最低点，则
和y = g(x)都有最小值；
C．若
或y = g(x)有最小值，则
有最低点；
D．若
有最低点，则
或y = g(x)有最小值.
【答案】D
【分析】可以举反例证明选项A、B、C 的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得
或
，再分类讨论即可.
【详解】对于A 项，取
，
，取
，
，
则
，
；而
无最低点，故A 错误；
对于B 项，取
，
，取
，
，
则
无最小值，
；而
有最低点
，故B 错误；
对于C 项，取
，
，取g(x)= x
2，
，
则
无最小值，
；
因为
的函数值可趋向于负无穷大，所以
无最低点，则
亦无最
低点，故C 错误；
对于D 项，因为
有最低点，不妨设(x0, y0)为
的最低点，
且
，y = g(x)且
，
所以
或
，
若
，则
且对任意的
，总有
，即
；
若
，同理可知
；
所以若
有最低点，则
或y = g(x)有最小值，故D 正确.
故选：D.
4．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数
的定义域为
，且当x<0时，
．对任意
，
定义集合
．
(1)若当
时，
，求
；
(2)若
是奇函数，
，且
，证明：
；
(3)设
满足：①若
，则
；②当
时，
．
（i）证明：
；
（ii）证明：f ( x)在区间
单调递增．
【答案】(1)
(2)由题意证明如下：
在
中，
是奇函数，当x<0时，
．
∴f (0)=0，当
时，
，
∴
在集合
中，
当x0<0时，
，
当x0=0时，
，
当
时，
，
∴
，
∵
，
∴
且x2≠0，即
，
，
∵
，
∴①当
时，解得
，
，
，
此时
，
②当
时，解得
，
，
，
此时
，
③当
时，解得
，
，
，
此时
，
综上，
.
(3)（i）由题意证明如下，
法一：
若
，则存在
，使得
，
条件①：若
，则
，
∴
，则
，
取
，则
，此时
，
∵
，则
，即
，
但
，相矛盾，∴
法二：
假设
，则存在
，使得
，
从而
，这导致
，但
，
∵根据条件又有
，矛盾，
∴假设不成立，
.
（ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下，
在集合
中，
要证
在
上单调递增，
即需证
，
，都有
，
即需证
，
，都有
，
①先证明：当
时，
，假设∃x0>0，使得
，
∵当x<0时，
，∴
，使得
，∴
，
而当x1<0时，
，
否则
，使得
，
，与
矛盾，
∴
，∴
，∴
，
由（3）（i）得，
，则
，由条件②：当
时，
，
则
，否则
时，
与
矛盾，
∴若∃x0>0，使得
，则
，
，（*）
∴
，使得
，
则
，
令
，
，
此时
，则
，则
，
∴
，
∵
，
∴易取
，x2满足
，
使得
，
根据（*）可得，此时
，与
矛盾，
∴当
时，
，
②证明：对
，
，都有
，
∵
，
，都有
，
∴
，
对任意给定的
，取
，则
，
∴对
，
，都有
，
∴
在
上单调递增.
【分析】（1）求出
，写出
表达式，即可求出
；
（2）求出
表达式，化简集合
并得出表达式，利用
得出
与
，对
的三种情况进行分类讨论，即可证明结论；
（3）（i）法一：假设
，则存在t ∈(-1,0)，使得
，取
，求出
，与
矛盾，进而证明结论；
法二：假设
，则存在
，使得
，取
，求出
，与
时
矛盾，进而证明结论；
（ii）将证明转化为证
，
，都有
，先证明：当
时，
，再证明对
，
，都有
，进而证明出
在
上单调递增.
【详解】（1）由题意，
在
中，
，
，
在
中，
，
∴
，
当
时，
，
，解得
，
当
时，
，解得
，
∴
，∴
.（2）略（3）（i）略（ii）略
题型09 中心对称函数：三次函数
一元三次函数：主要性质是中心对称，具有对称中心
遇到一元三次函数，首先要想它的对称中心。
所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图像的对称
中心，
设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”．
1.（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数 f (x)=a x
3+3 x
2+1，若至少存在两个实数 m，使得 f (-m)，
f (1)，f (m+2) 成等差数列，则过坐标原点作曲线 y = f (x) 的切线可以作 ()
A. 3 条
B. 2 条
C. 1 条
D. 0 条
【答案】B
【解析】至少存在两个实数 m，使得 f (-m)，f (1)，f (m+2) 成等差数列，
可得 f (-m)+ f (2+m)=2f (1)=2(a+ 4)，即有 f (x) 的图象关于点 (1,a+ 4) 对称， f (x) 的导数为
fʹ (x)=3a x
2+6 x，
fʺ (x)=6ax +6，由 fʺ (x)=0，可得 x =- 1
a
，由 f(- 1
a + x)+ f(- 1
a - x) 为常数，可得 - 1
a =1，解得
a=-1．
即有 f (x)=- x
3+3 x
2+1，fʹ (x)=-3 x
2+6 x，设切点为 (t ,-t
3+3t
2+1)，可得切线的斜率为
-3t
2+6t =-t
3+3t
2+1
t
，化为 2t
3-3t
2+1=0，设 g(t )=2t
3-3t
2+1，gʹ (t )=6t
2-6t，
当 0<t <1 时，gʹ (t )<0，g(t ) 递减；当 t >1 或 t <0 时，gʹ (t )>0，g(t ) 递增．
可得 g(t ) 在 t =0 处取得极大值，且为 1>0；在 t =1 处取得极小值，且为 0．
可知 2t
3-3t
2+1=0 有两解，即过坐标原点作曲线 y = f (x) 的切线可以作 2 条．
2．（24-25 河南洛阳·阶段练习）设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程f
″( x)=0
有实数解
，则称点( x0,f ( x0))为函数
的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，
且拐点就是对称中心．设
，数列
的通项公式为
，则
（ ）
A．2017
B．2018
C．8068
D．4034
【答案】D
【分析】先求出函数的对称中心，再结合等差数列的性质进行求解.
【详解】根据题意，三次函数
，
则
，则
，
若
，则有
，
又由
，则
，
即(2,2)是三次函数
的对称中心，
则有
，
数列
的通项公式为
为等差数列，
则有
，
则
，所以D 正确.
故选：D.
【点睛】本题将导数和数列的知识结合考查，难度较大.解答此题的关键，在于根据题中的已知信息，求出
函数
的对称中心，即可得到
；然后根据等差数列的性质可以得
到
，从而得到
.在平常的练习中，要多注意不同板块知识的结合考查，这
是高考的热点.
3．（24-25 高三上·甘肃兰州·阶段检测）三次函数有如下性质：①设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程f
″( x)=0有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”；②任何一个三
次函数都有“拐点”，且“拐点”就是该函数图象的对称中心．若直线
过函数
图象
的对称中心，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
❑√2
2
【答案】D
【分析】根据给定的性质求出函数
图象的对称中心，再求出最小值.
【详解】由函数
，求导得
，再求导得
，由
，得
，
因此函数
图象的对称中心为(1,3)，则
，化简得
，
于是
，当且仅当a=b= 1
2
时取等号，
所以
的最小值为
❑√2
2
.
故选：D
4．(多选）（24-25 高三·辽宁大连·阶段练习）直线
与曲线
：
交于
，
，
，
，曲线
在
，
处的切线总是平行的，则下列命题正确的
是（ ）
A．
，
B．曲线
对称中心是
C．经过点
作曲线
的切线有两条
D．设
，则
【答案】ABC
【分析】由题意可知直线恒过定点
，由曲线在
，
处的切线总是平行的，可得
，
两点关于曲线
的对称中心对称，从而可求出曲线的对称中心，由对称性，可得
的方程，则可求出
的值，进而可求
出经过点
的切线，求出
的值
【详解】因为曲线
在
，
处的切线总是平行的，
所以
，
两点关于曲线
的对称中心对称，
因为直线
恒过点
，
所以曲线
的对称中心为
，所以B 正确，
所以
，
由当
时，y = 5
3
，则
关于点
的对称点
在曲线
上，
所以
，即
，
由
，得
，所以A 正确，
所以曲线
为
，则
，设切点为( x0, y0)，则
，切线的斜率为
，
所以切线方程为
，
因为直线过点
，
所以
，化简得
，
即
，解得x0=2或x0=-1，
所以经过点
作曲线
的切线有两条，所以C 正确，
因为
，
所以
，
所以D 错误，
故选：ABC
题型10 中心对称函数：对数嵌套反比例
实战解题巧法：对称中心必然是定义域的“对称中点”处，可以借助这个特性来
直接解出参数值
1．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数
，
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再比较自变量大小即可得到结果.
【详解】函数
的定义域为
，关于原点对称，
又
，
所以
是奇函数，所以
，
因为
，
在
上，
，
，故
，
所以
在
上单调递增，
因为
，
，
又
，
，
所以
，
又
单调递增，所以
即
.
故选：A.
2．（24-25 高三下·甘肃白银·阶段检测）若函数
，则不等式
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．∅
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性和单调性来求解不等式即可.
【详解】因为
，
所以
，又因为定义域为
关于原点对称，
所以
是奇函数，
由于
，
可知函数
在定义域
上单调递减，
所以
即
，即
，
则
，该不等式组无解，所以解集为∅.
故选：D.
3．（24-25 高一上·北京·期中）关于函数
的性质，下列说法正确的是（ ）
A．
在
上是增函数，且曲线
存在对称轴
B．
在
上是增函数，且曲线
存在对称中心
C．
在
上是减函数，且曲线
存在对称轴
D．
在
上是减函数，且曲线
存在对称中心
【答案】B
【分析】分析函数
的单调性与奇偶性，可得出结论.
【详解】对于函数
，由
可得
，解得
，
即函数
的定义域为
，
因为
，即函数
为奇函数，
设
，
因为内层函数
在
上为增函数，外层函数
为增函数，
故函数
在
上是增函数，故函数
不存在对称轴，且该函数的图象关于原点对称，
故选：B.
4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知
，且
为奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据奇函数的性质结合函数的定义域，可得a=3，进而利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】因为
的定义域为
为奇函数，所以a=3，则
，
由于
为减函数且值恒为正数，则
为单调递增函数，因此
为增函数.
因为
，所以
，所以
，故
.
故选：A
题型11 中心对称函数:对数嵌套绝对值型
实战解题巧法：对称中心必然是定义域的“对称中点”处，可以借助这个特性来
直接解出参数值
1．（北京市丰台区2024-2025 学年高三学期考试数学试题）已知函数
，则
（ ）
A．是偶函数，且在区间
上单调递增B．是奇函数，且在区间(-1,1)上单调递减
C．是偶函数，且在区间(-∞,-1)上单调递增D．是奇函数，且在区间(-∞,-1)上单调递减
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性和单调性求得正确答案.
【详解】
的定义域为
，
，
所以
是奇函数，AC 选项错误.
当
时，
，
在(-1,1)上单调递增，y =ln x在(0,+ ∞)上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知
在区间(-1,1)单调递增，B 选项错误.
当x>1时，
，
在
上单调递减，y =ln x在(0,+ ∞)上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知
在区间
单调递减，
是奇函数，则在区间(-∞,-1)上单
调递减，D 选项正确.
故选：D
2．（24-25 高三下·山西大同·期末）若
是奇函数，则（ ）
A．a= 1
2
，
B．
，
C．
，b=0
D．
，b=0
【答案】B
【分析】利用奇函数的定义域区间对称性求参数
，再由f (0)=0求参数
，进而验证即可得.
【详解】若
，则
的定义域为
，不关于原点对称，所以
．
若奇函数
有意义，则x≠1且
，所以x≠1且
．
因为奇函数的定义域关于原点对称，由
，解得
．
由f (0)=0，得
，所以
．
所以
，经验证满足题设.
故选：B
3．（2025·全国·模拟预测）若函数
（
）为奇函数，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得m= 1
4
，然后由f (0)=0可得n=2即可，
【详解】由奇函数性质可得，
（
）的定义域关于原点对称，由
，即
且
，
故
，解得m= 1
4
.
又
，故n=2，
此时
，满足
，函数为奇函数，
故
，
故选：A.
4．（24-25 高三下·浙江宁波·阶段检测）已知函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．- 1
4
C．1
4
D．
【答案】A
【分析】应用偶函数的定义列式结合对数运算计算求参.
【详解】因为函数
为偶函数，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，所以
且
，
则
.故选：A.
题型12 中心对称函数：指数分式中心型
1．（24-25 高三·广东揭阳·阶段练习）若命题
为奇函数，
为
偶函数，则
是
成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】命题
为奇函数，奇函数满足
，
即
，整理得2a=2，解得
故
成立的充要条件是
.
命题
为偶函数，偶函数满足
即
，整理得
，解得
或
故
成立的充要条件是
或
则
是
成立的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2025·四川泸州·模拟预测）已知
是奇函数，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】由奇函数性质可得
，列方程求
，再检验所得结果即可.
【详解】由
，可得
，所以
，
所以
的定义域为
，
因为
是奇函数，所以
，
又
，
，
所以
，解得a=-1.
当a=-1时，
，
函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
，所以此时
是奇函数
故选：D.
3．（24-25 高二下·浙江·阶段检测）已知函数
，若对任意
，都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合指数函数、幂函数的单调性确定
的单调性，构造函数
并探讨奇偶性，再
利用性质求解不等式.
【详解】函数
在
上单调递增，则函数
在
上单调递增，
令
，则函数
在
上单调递增，
，即函数
是奇函数，
不等式
，则
，
依题意，
在
上恒成立，而当
时，
，当且仅当
时取等号，
则
，所以实数
的取值范围是
.
故选：D
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，
，则函数
的图象与x，y 轴围成的封闭图形的面积是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】A
【分析】根据函数的对称性结合割补法求封闭图形的面积.
【详解】函数
的定义域为
，
因为
，所以
是奇函数，其图象关于原点对称．
又
，函数
在R 上单调递增，
所以
在
上单调递减，因此
在
上单调递减，且其图象关于点
对称.
由题知，
由函数的解析式和二次函数的性质可得g(x)在
上单调递减，
而
时，
，
当x<0时，同理有
，
故g(x)图象关于点
对称，
函数
与g(x)的图象如图1 所示．
因此
在
上单调递减，
且
，
故
图象关于点
对称，
又
，故点A (0,2)关于点
的对称点为
，
所以
，连接
，如图2．
易知
的图象与x，y 轴围成的封闭图形可以通过割补变成一个直角三角形，
如图中的
，其中
，
，故
，
即
的图象与x，y 轴围成的封闭图形的面积为4．
故选：A.
题型13 中心对称函数：对数嵌套无理型
对称中心横坐标如果相同，可以叠加纵坐标为合成中心
1．（25-26 高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数
，若正实数a，b 满足
，则
的最小值为（ ）
A．5
4
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
，根据函数单调性可得
，再结合基本不等式即可求解.
【详解】由
，可知定义域为R，
又
，
即
，
则
，
所以
，
，
因为
在定义域内单调递增，
所以
在定义域内单调递减，故
在定义域内单调递增，
因为
在定义域内单调递增，
在定义域内单调递增，
由复合函数单调性可知，
在定义域内单调递增，
所以函数
在R上单调递增，
因为
，正实数
，
满足
，
，
若b≥1，则
，不满足
，
所以
，
因为
，所以
可变形为
,
又函数
在R上单调递增，故
，
即
，所以
，
则
，当且仅当
时，取等号，
即
的最小值为
，故选项C 正确.
2．（25-26 高三上·四川内江·阶段检测）已知函数
，若等差数列
的前
项和
为
，且
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．2026
D．4052
【答案】D
【分析】根据
的解析式，判断其为单调增函数且为奇函数，再结合等差数列的前
项和公式，即可求
得结果．
【详解】函数
，其定义域为
，
又
，故
为奇函数；
又
在
为单调增函数，
在
为单调增函数，故
在
单调递增，
又
为
上的奇函数，故
在
上为单调增函数；
又函数
为
上的奇函数，且为增函数，故
为
上的单调增函数且为奇函数；
，
，则
，
即
；故
．
故选：D
3．（25-26 高三·山西运城·阶段检测）设函数
，若任意
使不等式
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．(
1
2 ,+∞)
D．(-1,+∞)
【答案】C
【分析】先分析函数
的性质，再根据函数性质化简不等式
，最后根据不等式恒成
立求解实数
的取值范围即可.
【详解】函数
的定义域为
，即
恒成立，
的定义域为
，关于原点对称，
则
，
，
的图象关于点
对称，
又函数
和
在
上均为减函数，
函数
在
上为减函数，
不等式
可化为
，即
，
恒成立，
当
时，不等式化为
，舍去；
当
，要使
恒成立，则需满足
，解得a> 1
2
，
综上所述，实数
的取值范围为
.
故选：C.
4．（25-26 高一上·湖北武汉·阶段检测）已知函数
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先判断函数
为奇函数，然后对函数
表达式进行有理化化简，再用“同增异减”法则结合
奇偶性判断复合函数单调性，以及利用指数，对数函数的单调性，进而可得解.
【详解】函数
的定义域为R,
,所以函数
为奇函数，
又
，
在[0,+ ∞)单调递增，可以得到函数
在
上单调递增，
：因为
单调递减，所以
，即
；
：因为
，
，即
；
：因为
，
，且
，
，
要证
，等价于证
；
因
，则等价于证
，
因为
，不等式两边同乘
（不等号方向不变），
只需证：
因为
；
；
，
结合
，得
，故
，
将上述式子代入
，展开得：
，
则
=
，
因
，即
，
因
是单调递增函数，故
，即
，
因此
，即
，原不等式
成立，
因
，且
单调递增，故
，综上
，
所以：
，
因为
单调递增，所以
.
故选：A.
题型14 对称轴型：对数嵌套指数型
对数-指数复合反比例型：
对数-指数复合反比例型原理：
1．（25-26 高三上·黑龙江·阶段检测）设函数
，令
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将
整理为
，求出
的定义域为
，根据偶函数的定义得到
是
偶函数，构造函数
，利用导数法求出
的单调性，利用复合函数的单调性得到
在
(0,+ ∞)上单调递增，由
是偶函数，得
，再由对数换底公式和运算性质求出
，
，
，计算
，
利用基本不等式得到
，从而得到
，继而得到
，由
在(0,+∞)上
单调递增得到
.
【详解】
，
的定义域为
，
，
是偶函数，
令
，
，
当
时，g
' (x)>0，
在(0,+ ∞)上单调递增，
在(0,+ ∞)上单调递增，
在(0,+∞)上单调递增，
由
是偶函数，得
，
再由对数换底公式和运算性质，
得
，
，
，
，
所以
，所以
，又
在(0,+ ∞)上单调递增，
所以
.
故选：C.
2．（25-26 高二上·贵州遵义·期末）已知函数
，若
成立，则
实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】函数
的定义域为R，利用对数的运算对函数进行化简，证明函数
关于直线
对称，
利用复合函数的单调性说明函数
在
上单调递增，利用函数的对称性和单调性解不等式即可求
出答案.
【详解】函数
的定义域为R，
，
，
则函数
关于直线
对称，
当
时，令
，函数
在
上单调递增，
，
对勾函数
在
上单调递增，
根据复合函数的单调性可得
在
上单调递增，
又
为增函数，
根据复合函数的单调性可得
在
上单调递增，
因为
，
所以
，即
解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：C.
3．（2025·河北·模拟预测）已知函数
，则
是（ ）
A．偶函数，有最小值
B．偶函数，有最大值
C．奇函数，在
上单调递增
D．奇函数，在
上单调递减
【答案】B
【分析】由偶函数的性质结合对数的运算可判断为偶函数，换元法令
结合对数的运算和
复合函数的单调性可得有最大值.
【详解】函数
的定义域为R，
，
，故函数
为偶函数.
令
，则
，
，
所以
，由复合函数的单调性可得
在[2,+∞)上单调递减，
在
处取得最大值，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用对数的运算性质化简
和换元法化简
.
4．（24-25 高三上·贵州铜仁·期末）已知函数
是偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由函数为偶函数，可得
，从而
，根据其单调性比较大小.
【详解】根据题意，函数为偶函数，所以
所以
，即
令
，则
，且
在(1,+∞)上单调递增，
于是
在(1,+∞)上单调递增，从而
在(0,+∞)上单调递增.
且
.
，
因此
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：对于
，利用复合函数单调性法得其单调性.
Jieshu
