文档文本内容
培优点13 一网打尽恒（能）成立问题
目录
01 重点解读..........................................................................................................................................2
02 思维升华..........................................................................................................................................3
03 典型例题..........................................................................................................................................5
题型一：转化为单调性问题................................................................................................................5
题型二：任意存在型............................................................................................................................5
题型三：指对同构法............................................................................................................................6
题型四：直接法(换元、虚设零点）..................................................................................................6
题型五：参数全分离............................................................................................................................7
题型六：换元后参数分离....................................................................................................................8
题型七：参数半分离............................................................................................................................9
题型八：主元变换法..........................................................................................................................10
题型九：一阶端点效应...................................................................................................................... 11
题型十：二阶端点效应......................................................................................................................12
题型十一：必要性探路......................................................................................................................13
题型十二：朗博同构..........................................................................................................................14
题型十三：整数恒成立问题..............................................................................................................15
题型十四：共零点模型......................................................................................................................16
题型十五：双参数问题......................................................................................................................17
题型十六：放缩变形、两边夹..........................................................................................................17
题型十七：双重最值恒成立..............................................................................................................18
题型十八：已知恒成立，求具体参数值..........................................................................................19
04 课时精练........................................................................................................................................21
不等式恒成立与能成立问题是高考数学的重要考点，常与函数、导数等知识结合，以压轴题形式出现。
恒成立问题要求不等式在定义域内对所有变量值都成立，需通过求函数最值确定参数范围；能成立问题则
只需不等式在定义域内有解，通常转化为求函数值域问题。解题时，需灵活运用参数分离、数形结合、分
类讨论等方法。考生需熟练掌握函数性质、导数应用等基础知识，加强综合运用能力训练，以应对高考中
不等式恒成立与能成立问题的挑战。
在处理不等式恒成立或能成立问题时，以下是一些常用的解题策略：
1、完全参数分离法
方法描述：首先，将原不等式中的参数与变量进行完全分离，使得不等式转化为形如
（或
）的形式。
应用条件：当分离后的函数
结构相对简单，且易于求取其最值时，此方法尤为有效。
解题步骤：
（1）对原不等式进行变形，将参数与变量完全分离。
（2）求解函数
的最值。
（3）根据最值确定参数的取值范围。
2、 部分参数分离法
方法描述：将原不等式转化为形如
（或
）的形式，其中
是一个
既包含参数 a 又包含变量 x 的函数。
应用条件：当完全参数分离法难以实施或结果复杂时，可考虑此方法。
解题步骤：
（1）对原不等式进行变形，实现部分参数分离。
（2）通过绘制函数图像或分析临界状态（如切线、端点等），确定参数 a 的取值范围。
3、不分离参数法（隐零点、端点效应）
方法描述：在某些情况下，不直接分离参数，而是利用函数的隐零点或端点效应来求解不等式。
应用条件：当参数与变量之间的关系复杂，难以直接分离时，此方法可能更为适用。
解题步骤：
（1）分析函数的性质，如单调性、极值点等。
（2）利用隐零点或端点效应，结合不等式的条件，确定参数的取值范围。
4、 特殊方法（如同构法）
方法描述：针对某些具有特殊结构的不等式，可以采用同构等特殊方法进行求解。
应用条件：当不等式具有某种特定的结构或形式时，可考虑使用此方法。
解题步骤：
（1）识别不等式的特殊结构或形式。
（2）应用同构等特殊方法，将不等式转化为更易求解的形式。
（3）求解转化后的不等式，确定参数的取值范围。
综上所述，解决不等式恒成立或能成立问题时，应根据不等式的具体形式和特点，选择合适的解题策
略。
题型一：转化为单调性问题
【例1】若对
，
，
，
恒成立，则的最小值为 .
【变式1-1】已知函数
对于
恒有
则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】任意实数
，当
时，恒有
成立，则的范围为 .
【变式1-3】（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数
，其中为实常数.对于函数图象上对
任意不同两点
，
，设直线
的斜率为，若
恒成立，的取值范围
为 .
【变式1-4】已知函数
，若
，
且
，有
恒成立，
则实数的取值范围是 .
题型二：任意存在型
【例2】已知函数
，函数
，若对任意的
，存在
，使得
，则实数m 的取值范围为 .
【变式2-1】已知
若存在
，使得
成立，则
的
最大值为 .
【变式2-2】设函数
，函数
，若对于
，使
成立，则实数的取值范围是 .
【变式2-3】已知函数
，
，对于任意的
，存在
，
使得
成立，则
的最大值为 ．
题型三：指对同构法
【例3】（2025·江西新余·模拟预测）若关于的不等式
在
上恒
成立，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】已知对任意的正数，不等式
恒成立，则正数的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式3-2】对任意
，不等式
恒成立，则正数的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】已知
对
恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-4】（2025·甘肃金昌·三模）若关于的不等式
在
上恒成立，则实数的
取值范围为（ ）.
A．
B．
C．
D．
题型四：直接法(换元、虚设零点）
【例4】已知函数
，若函数
恒成立，求实数a 的取值范围．
【变式4-1】已知函数
，若对任意的
，不等式
恒成立，
则
的最小值是 ．
【变式4-2】（2025·湖北·模拟预测）已知函数
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若关于的不等式
恒成立，求实数的取值范围．
【变式4-3】已知函数
．
(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)若
在
上恒成立，求实数的取值范围．
【变式4-4】已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
时，
，求的取值范围.
题型五：参数全分离
【例5】已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，直接写出
的单调区间；
(3)当
时，
，
，求
的取值范围.
【变式5-1】已知函数
在
处取得极值，其图象在点
处的切线与
直线
平行．
(1)求
的值；
(2)若对任意
，都有
恒成立，求的取值范围．
【变式5-2】已知函数
．
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)若
时，都有
成立，求实数的取值范围．
【变式5-3】（2025·云南·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的解析式；
(2)若
在
内有两个零点，求m 的取值范围；
(3)若对任意的
，不等式
恒成立，求整数k 的值组成的集合．
【变式5-4】已知函数
，
,若对于任意的
,
恒成立，
则实数
的最小值为 .
题型六：换元后参数分离
【例6】函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，解方程
；
(3)当
时，不等式
恒成立，求的取值范围．
【变式6-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：
；
(3)若
，求的取值范围．
【变式6-2】（2025·山东烟台·三模）若不等式
恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】已知函数
.
( 1 )若
,求
的单调区间和极值点；
(2)若
,且当
时,
恒成立,求实数
的取值范围.
题型七：参数半分离
【例7】若不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【变式7-1】已知函数
，其中
．
(1)求
在
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间和极值；
(3)若关于x 的不等式
在
上有解，求实数a 的取值范围．
【变式7-2】（2025·河南·模拟预测）若
，
，且
，则实数的取值
范围是 ．
题型八：主元变换法
【例8】函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
存在唯一的极值点，求实数a 的取值范围；
(3)若存在
，使得
对任意
成立，求实数b 的取值范围．
【变式8-1】已知函数
（
），若对于任意的
，不等式
在
上恒成立，则的取值范围 ．
【变式8-2】已知不等式
对任意的
恒成立,求
的取值范围.
【变式8-3】已知函数
,对任意
和任意
,
恒成立,求实数
的取值范围.
题型九：一阶端点效应
【例9】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
，
．
(1)若
在其定义域上单调，求的取值范围；
(2)若
．
（ⅰ）证明：
；
（ii）若
，求
的取值范围．
【变式9-1】已知函数
(1)当
时，求
在
处的切线方程
(2)求函数
的单调区间和极值
(3)当
时，若不等式
恒成立，求实数m 的取值范围
【变式9-2】（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数
，其中
.
(1)证明：当
时，
；
(2)若
时，
有极小值，求实数的取值范围；
(3)对任意的
恒成立，求实数的取值范围.
【变式9-3】（2025·江苏扬州·三模）已知函数
.
(1)若
，且
，求a 的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求b 的取值范围.
【变式9-4】（2025·北京海淀·三模）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线；
(2)当
时，讨论函数
的单调性；
(3)当
时，若对任意的
，
恒成立，求的取值范围．
题型十：二阶端点效应
【例10】（2025·湖北·三模）已知函数
（为自然对数的底数）.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若当
时，不等式
恒成立，求实数的取值范围.
【变式10-1】（2025·北京东城·模拟预测）已知函数
，
，
．
(1)证明：
在区间
恒成立；
(2)若
的最小值为0，求的值；
(3)若
在区间
内恒成立，求的取值范围．
【变式10-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，曲线
与
关于点
中心对称，求函数
的解析式；
(2)讨论
在
上的单调性；
(3)若关于x 的不等式
在
上恒成立，求实数λ 的取值范围．
【变式10-3】已知函数
．
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
时，
，求的取值范围．
题型十一：必要性探路
【例11】已知函数
,若
恒成立,求实数
的取值范围.
【变式11-1】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数
有两个极值点
，满足
.
(1)求的取值范围；
(2)判断并证明函数
的对称性；
(3)若
恒成立，求实数的取值范围.
【变式11-2】（2025·江西·三模）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，求的取值范围.
【变式11-3】（2025·安徽合肥·三模）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若关于x 的不等式
恒成立，求m 的取值构成的集合．
题型十二：朗博同构
【例12】（2025·广东·模拟预测）已知函数
．
（1）求
的极值；
（2）当
时，
，求实数的取值范围．
【变式12-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数
，
．
（1）若过点
作曲线
的切线有且仅有一条，求实数t 的值；
（2）若
恒成立，求a 的取值范围．
【变式12-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数
，
，若
恒
成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十三：整数恒成立问题
【例13】已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
在
上恒成立，求整数的最大值．
【变式13-1】已知函数
.
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)试讨论函数
的单调性；
(3)当
时，不等式
恒成立，求整数的最大值.
【变式13-2】已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
时
（Ⅰ）函数
存在两个极值点
，
，求
的取值范围；
（Ⅱ）当
时，均有
恒成立，求整数的最小值.
【变式13-3】已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)当为整数时，若
恒成立，求的最小值．
【变式13-4】若
，恒有
，则正整数
的最大值为 ．（参考数据：
）
题型十四：共零点模型
【例14】设函数
，若
恒成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式14-1】已知函数
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．16
【变式14-2】设函数
，若
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【变式14-3】函数
，若
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十五：双参数问题
【例15】已知不等式
对任意的实数t 恒成立，则
的最大值为 ．
【变式15-1】设函数
，若
恒成立，则
的最小值为 ．
【变式15-2】已知
，若不等式
对任意实数恒成立，则
的最大值为 .
【变式15-3】已知函数
（
，
），
，若对
，不等式
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十六：放缩变形、两边夹
【例16】已知
．
(1)讨论函数
在
的单调性；
(2)当
时，若
恒成立，求b 的取值范围．
【变式16-1】（2025·湖北·模拟预测）已知a，b 为实数，若对任意
，都有
恒成
立，则
的最小值为 ．
【变式16-2】若不等式
恒成立，则
的取值范围为 ．
【变式16-3】设
，若不等式
成立，则
．
【变式16-4】已知实数，
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十七：双重最值恒成立
【例17】（2025·河南·三模）已知函数
，
，其中
．
(1)求函数
的零点；
(2)
．
（ⅰ）用
表示m，n 的最大值，证明：
；
（ⅱ）是否存在实数a，使得
，
恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理
由．
【变式17-1】（2025·高三·北京·开学考试）已知函数
，
，其中
．
(1)当
时，求曲线
在点
处切线的方程；
(2)求函数
的零点；
(3)用
表示
、的最大值，记
．问：是否存在实数，使得对任意
，
恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
【变式17-2】（2025·高三·湖南长沙·期中）已知函数
，
设
表示
的最大值，记
.
(1)讨论
在
上的单调性；
(2)当
时，
，求 的取值范围.
【变式17-3】（2025·贵州铜仁·三模）已知函数
，
．用
表示
的最大值，记
．若对任意
，
恒成立，则实数的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十八：已知恒成立，求具体参数值
【例18】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
在
处取得极小值.
(1)求
的值；
(2)证明：
；
(3)若
，求
的值.
【变式18-1】（2025·高三·云南·期中）已知函数
(1)求曲线
过点
的切线方程；
(2)若
（i） 当
时，求
的极值;
（ii） 若
恒成立，求实数.
【变式18-2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，证明：
恒成立；
(2)若对任意的
，
恒成立，求实数的取值范围.
【变式18-3】已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
，
恒成立，求的值；
1．已知函数
，若关于的不等式
恒成立，则实数的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江西·二模）已知
，若
在
上恒成立，则
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河北廊坊·模拟预测）当
时，关于的不等式
恒成立，则的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·湖北·二模）已知
，函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·辽宁·一模）设函数
，若
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
6．设函数
，若
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·安徽六安·模拟预测）设函数
，若
，则的取值范围是 ．
8．若关于的不等式
且
在
上恒成立，则实数的取值范围为 .
9．已知
恒成立，则正数的取值范围为 .
10．
，
，
恒成立，则最小值为 ．
11．（2025·河南信阳·模拟预测）若函数
的最小值为1，则实数的取值范围为 .
12．已知函数
，对任意
，
恒成立，则实数的取值范围是 .
13．（2025·高三·江苏南京·开学考试）已知函数
，若
，
且
，恒有
，则正实数的取值范围为 ．
14．关于x 的不等式
恒成立，则a 的取值范围为 ．
15．已知
，若关于x 的不等式
对一切正实数x 恒成立，则当
取最小值时，实
数的值为 .
16．已知函数
，其中
，若
恒成立，则实数a 与b 的大小关系是
．
17．（2025·高三·河北邢台·期末）已知不等式
对任意的实数恒成立，则
的最大值为 ．
18．已知对于任意
，不等式
都成立（是自然对数的底数），则
的最小值是 .
19．（2025·全国·模拟预测）已知，为正实数，若对任意的
，都有
成立，则
的
最大值是 ．
20．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
，
.
(1)讨论函数
的极值点情况；
(2)设
，若对任意
，
，有
恒成立，求实数的取值范围.
21．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)求
的单调区间；
(3)若对任意
，都有
成立，求整数的最大值.
22．已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，求
的极值；
(3)当
时，
，求的取值范围.
