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专题01 一网打尽高中函数
题型脑图·核心考法搭建
考法深研·解题技能进阶
题型01 函数基础：指数与对数函数对应关系
指数函数与对数函数，要遵循以下函数图像生成过程，便于学生理解并记忆：
1.
2.还要通过代入“同一真数比高低”来转对比函数图像高低。
3.代值时候，要注意，可以通过
这个优美简洁的计算来达到快速“出图”的
目的。
4.对数或者指数“变异”型，要遵循“左加右减上加下减，翻折对称”等图像规律技巧。
1．（2026·安徽·模拟预测）已知
,则 x1+ x2=（ ）
A．40
B．32
C．72
D．64
2．（25-26 高三·全国·一轮复习）设平行于
轴的直线分别与函数
和
的图象相交于点
，
，
若函数
的图象上存在点
，使得
为等边三角形，则这样的直线（ ）
A．不存在
B．有且只有一条
C．至少有两条
D．有无数条
3．（2026·山西晋中·三模）已知
且
，若函数
的值域为
，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．[2,+∞)
4．（2026·江西·三模）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．a<b<c
题型02 函数基础：幂函数的图像“区域分类”
幂函数的图像，要从两方面建立：
1.函数在第一象限永远有图像，所以图像的“根”在第一象限，恒过（1,1）点。
2.第二、三是否有图像，要结合函数的奇偶性来判断推导确认。
1．（2026·湖南常德·二模）已知实数
满足：
，则（ ）
A．
B．y ≥1
C．
D．
2．（25-26 高三下·湖北孝感·开学考试）若
，则下列不等关系一定不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高一上·四川达州·期末）已知函数
的图象分别与函数
和
的图象
交于
，
两点，设两交点的横坐标分别为x1，x2，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数
的图象关于y轴对称，且在
上单调递减，则满足
的实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 三大补充函数：对勾函数
对勾函数
对勾函数：
图像特征
形如
称为对勾函数
1.有“渐近线”：y=ax（倾斜）,x=0（竖直）两条渐近线
2.
“拐点”：解方程
（即第一象限均值不等式取等处）
“对勾”函数核心型函数：类二次函数：
1.偶函数；2.右边是增函数；
1．（25-26 高三·浙江·阶段检测）已知定义在
上的函数
满足
，则函数
的最大值为（ ）
A．
B．-2❑√2
C．2
D．
2．（25-26 高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三·江苏无锡·阶段练习）已知函数
，若实数a，b 满足
且
，则
的值为（ ）
A．10
B．6
C．8
D．4
4．（25-26 高三上·河北保定·阶段检测）已知函数
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 三大补充函数：双刀函数
双曲函数（双刀函数）:可以理解为“双沟函数改变一个符号”
1.有“渐近线”：y=ax 与y=-ax
2.
“零点”：解方程
（即方程等0 处）
类三次函数
1．（2025·广东肇庆·一模）已知
，若
成立，则x 的取值范围是（ ）
A．
B．(1,+∞)
C．
D．
2．（25-26 高三·浙江 阶段练习）已知函数
，若对任意的正实数
、
，满足
，则
的最小值为（ ）
A．5
4
B．9
4
C．
D．
3．（25-26 高三上·上海嘉定·期中）已知函数
，则不等式
的解
集为（ ）.
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三·广西·阶段练习）已知函数
，则不等式
的解集
是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 三大补充函数：复合反比例型
反比例与分式型函数
解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再
用穿线法求解
反比例与分式型函数
方法一：分离常数，左加右减上加下减
方法二：中心对称法，如下
·形如：
。对称中心为P
，其中
1．（24-25 高一下·云南昭通·开学考试）已知函数
，若对任意的
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三·全国·一轮复习）函数
，则下列结论错误的是（ ）
A．函数f ( x)在定义域
上为奇函数
B．函数f ( x)在区间
上单调递增
C．函数f ( x)的值域为
D．函数f ( x)的图像与直线y = 3
4 x有且只有两个交点
3．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数
是奇函数，
，且f ( x)与
的图像
的交点为( x1, y1)，( x2, y2)，⋯，
，则
A．0
B．6
C．12
D．18
4．（24-25 高三·重庆·阶段检测）设函数
是奇函数，函数
的图像与
的图
像有2022 个交点，则这些交点的横，纵坐标之和等于（ ）
A．
B．
C．10110
D．5050
题型06 对数函数的“反比例性质（积定）”
对数绝对值型函数的反比例定值性质：xy=1
对于
，
若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
1．（25-26 高三·湖南长沙·阶段检测）已知函数
，若关于
的方程
（
k ∈R）有四个不同的根，它们从小到大依次记为x1，x2，
，x4，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．函数
有8 个零点
2．（25-26 高一上·湖北孝感·期末）已知函数
，若
有四个零点x1，x2，
，x4，且满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三·安徽安庆·阶段检测）已知函数
，若
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．[0,1]
4．（25-26 高三·浙江衢州·阶段练习）已知函数
，若方程
有四
个不同的解
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07“取整”函数与“去整” 函数
取整函数（高斯函数）
表示不超过
的最大整数，又叫做“高斯函数”.如右图。“去整”函数
如右下图。注意函数两段端点的“开闭”
1．（25-26 高三·全国·一轮复习）对于任意实数
,符号
表示“不超过
的最大整数”，如
，
，
，定义函数
．给出下列四个结论：
① 函数
的值域是[-1,1]；
② 函数
是奇函数；
③ 函数
是周期函数，且最小正周期为4；
④ 函数
的图像与直线
有三个不同的公共点．
其中错误结论的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．（24-25 高三·山西大同·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”
的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为设
，用
表示
不超过
的最大整数，则
称为高斯函数，例如
，
，已知函数
，
，则下列叙述正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．f ( x)在
上是增函数
C．f ( x)的值域是
D．
的值域是
3．（24-25 高三·黑龙江·阶段检测）符号
表示不超过
的最大整数，如
，
，
，
定义函数
则下列说法正确的个数是（ ）
①函数
的定义域为R
②函数
的值域为[0,1]
③函数
是增函数
④函数
是奇函数
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．（24-25 高三·江苏徐州·阶段检测）符号
表示不超过
的最大整数，如
，
，定义函
数
，那么下列说法正确的个数是（ ）
函数
的定义域为 R ，值域为 1, 0
②方程
有无数多个解
③对任意的
，都有
成立
④函数
是单调减函数
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型08 保值函数与保值放缩函数
一般地，若
的定义域为
，值域为
，则称
为
的“
倍跟随区间”；特别地，
若
的定义域为
，值域也为
，则称
为
的“跟随区间”，
把函数
存在区间
，使得函数
为
上的
倍域函数，结合函数的单调性，转化为
是解答的关键.
1．（24-25 高三上·河南郑州·阶段练习）对于函数
，若存在区间
，当
时的值域为
，则称
为k倍值函数.若
是k倍值函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高一上·上海杨浦·期末）对于函数
，常数
，若自变量
在区间
上变化时，函
数值
的取值范围恰为
，则称区间
是函数
的k倍值区间，区间长度为
.已知定
义域为
的函数y = g(x)的表达式为
，给出下列结论：
① 函数y = g(x)恰有2 个1 倍值区间；
② 函数y = g(x)的所有
倍区间长度之和为
.
下列说法正确的是（ ）
A．结论①成立，结论②不成立
B．结论①不成立，结论②成立
C．两个结论都成立
D．两个结论都不成立
3．（2026·上海·高考真题）对于函数
，
，设
.对于点集
，若
存在
，使得任取
，总有
，则称
为“最低点”.对于函数
和
y = g(x)，以下说法中正确的是（ ）
A．若
和y = g(x)都有最小值，则
有最低点；
B．若
有最低点，则
和y = g(x)都有最小值；
C．若
或y = g(x)有最小值，则
有最低点；
D．若
有最低点，则
或y = g(x)有最小值.
4．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数
的定义域为
，且当x<0时，
．对任意
，
定义集合
．
(1)若当
时，
，求
；
(2)若
是奇函数，
，且
，证明：
；
(3)设
满足：①若
，则
；②当
时，
．
（i）证明：
；
（ii）证明：f ( x)在区间
单调递增．
题型09 中心对称函数：三次函数
一元三次函数：主要性质是中心对称，具有对称中心
遇到一元三次函数，首先要想它的对称中心。
所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图像的对称
中心，
设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”．
1.（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数 f (x)=a x
3+3 x
2+1，若至少存在两个实数 m，使得 f (-m)，
f (1)，f (m+2) 成等差数列，则过坐标原点作曲线 y = f (x) 的切线可以作 ()
A. 3 条
B. 2 条
C. 1 条
D. 0 条
2．（24-25 河南洛阳·阶段练习）设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程f
″( x)=0
有实数解
，则称点( x0,f ( x0))为函数
的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，
且拐点就是对称中心．设
，数列
的通项公式为
，则
（ ）
A．2017
B．2018
C．8068
D．4034
3．（24-25 高三上·甘肃兰州·阶段检测）三次函数有如下性质：①设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程f
″( x)=0有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”；②任何一个三
次函数都有“拐点”，且“拐点”就是该函数图象的对称中心．若直线
过函数
图象
的对称中心，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
❑√2
2
4．(多选）（24-25 高三·辽宁大连·阶段练习）直线
与曲线
：
交于
，
，
，
，曲线
在
，
处的切线总是平行的，则下列命题正确的
是（ ）
A．
，
B．曲线
对称中心是
C．经过点
作曲线
的切线有两条
D．设
，则
题型10 中心对称函数：对数嵌套反比例
实战解题巧法：对称中心必然是定义域的“对称中点”处，可以借助这个特性来
直接解出参数值
1．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数
，
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三下·甘肃白银·阶段检测）若函数
，则不等式
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．∅
3．（24-25 高一上·北京·期中）关于函数
的性质，下列说法正确的是（ ）
A．
在
上是增函数，且曲线
存在对称轴
B．
在
上是增函数，且曲线
存在对称中心
C．
在
上是减函数，且曲线
存在对称轴
D．
在
上是减函数，且曲线
存在对称中心
4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知
，且
为奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型11 中心对称函数:对数嵌套绝对值型
实战解题巧法：对称中心必然是定义域的“对称中点”处，可以借助这个特性来
直接解出参数值
1．（北京市丰台区2024-2025 学年高三学期考试数学试题）已知函数
，则
（ ）
A．是偶函数，且在区间
上单调递增B．是奇函数，且在区间(-1,1)上单调递减
C．是偶函数，且在区间(-∞,-1)上单调递增D．是奇函数，且在区间(-∞,-1)上单调递减
2．（24-25 高三下·山西大同·期末）若
是奇函数，则（ ）
A．a= 1
2
，
B．
，
C．
，b=0
D．
，b=0
3．（2025·全国·模拟预测）若函数
（
）为奇函数，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
4．（24-25 高三下·浙江宁波·阶段检测）已知函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．- 1
4
C．1
4
D．
题型12 中心对称函数：指数分式中心型
1．（24-25 高三·广东揭阳·阶段练习）若命题
为奇函数，
为
偶函数，则
是
成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2025·四川泸州·模拟预测）已知
是奇函数，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
3．（24-25 高二下·浙江·阶段检测）已知函数
，若对任意
，都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，
，则函数
的图象与x，y 轴围成的封闭图形的面积是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
题型13 中心对称函数：对数嵌套无理型
对称中心横坐标如果相同，可以叠加纵坐标为合成中心
1．（25-26 高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数
，若正实数a，b 满足
，则
的最小值为（ ）
A．5
4
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·四川内江·阶段检测）已知函数
，若等差数列
的前
项和
为
，且
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．2026
D．4052
3．（25-26 高三·山西运城·阶段检测）设函数
，若任意
使不等式
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．(
1
2 ,+∞)
D．(-1,+∞)
4．（25-26 高一上·湖北武汉·阶段检测）已知函数
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型14 对称轴型：对数嵌套指数型
对数-指数复合反比例型：
对数-指数复合反比例型原理：
1．（25-26 高三上·黑龙江·阶段检测）设函数
，令
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高二上·贵州遵义·期末）已知函数
，若
成立，则
实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河北·模拟预测）已知函数
，则
是（ ）
A．偶函数，有最小值
B．偶函数，有最大值
C．奇函数，在
上单调递增
D．奇函数，在
上单调递减
4．（24-25 高三上·贵州铜仁·期末）已知函数
是偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
Jieshu
