文档文本内容
培优点05 活用抽象函数模型妙解压轴题
目录
01 重点解读...........................................................................................................................................2
02 思维升华...........................................................................................................................................3
03 典型例题...........................................................................................................................................5
题型一：一次模型................................................................................................................................5
题型二：正弦模型................................................................................................................................7
题型三：余弦模型................................................................................................................................9
题型四：指数模型..............................................................................................................................12
题型五：对数模型..............................................................................................................................13
题型六：二次模型..............................................................................................................................16
题型七：幂模型..................................................................................................................................18
题型八：正切模型..............................................................................................................................20
题型九：其他模型..............................................................................................................................22
04 课时精练.........................................................................................................................................26
活用抽象函数模型解高考压轴题，是高考数学中极具挑战性与区分度的考查方向。此类题目常位于试
卷末尾，定位为高难度综合题。抽象函数模型不给出具体解析式，仅通过函数性质（如单调性、奇偶性、
周期性等）或特定运算关系描述，着重考查学生抽象思维、逻辑推理与知识迁移能力。考生需精准把握函
数性质，灵活运用赋值法、特殊值法、数形结合等策略，将抽象问题具象化，突破思维瓶颈，从而在高考
中脱颖而出，展现扎实的数学功底与卓越的解题能力。
抽象函数主要研究
求
、
明函数的性
、解不等式等
赋值
值
证
质
,一般通
代入特殊
求
、通
过
值
值
过
的
判定
性、出
变换
单调
现
及
判定抽象函数的奇偶性、换x 为
确定周期性.
1、判断抽象函数
性的方法
单调
①若
出的是
给
“和型”抽象函数f(x+y)=…,判断符号
要
形
时
变
为
或
；
②若
出的是
给
“
型
积
”抽象函数
,判断符号
要
形
时
变
为
或
.
2、常
的抽象函数模型
见
（1）一次函数模型
（2）二次函数模型
（3）幂函数模型
或
（4）指数函数模型
或
且
)
（5）对数函数模型
或
或
且
)
（6）正切函数模型
（7）正弦函数模型
（8）余弦函数模型
或
（9）双曲函数模型
或
题型一：一次模型
【例1】已知函数
的定义域为R，对任意实数
满足
．且
，当
时，
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
为增函数
D．
为奇函数
【答案】B
【解析】函数
的定义域为R，对任意实数
满足
，
令
，可得
，即有
，故A 正确；由
，可得
，
，即
，可得
，故B 错误；令
，则
，即
，则函数
为奇函数，
故D 正确；
令
，可得
即
，当
时，
，
即
，
设
，即
，即有
，
则
在
上递增，故C 正确．
故选：B．
【变式1-1】已知函数
的定义域为
，对任意的
，若对任意的
，有
，则满足
的实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，有
，得
令
，
，所以函数
是奇函数，
由
可知，当
，
，即
，所以
单调递减，
不等式
，
所以
，解得：
.
故选：A
【变式1-2】（2025·高三·山东济宁·期中）已知函数
的定义域为
，满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
是奇函数
D．
是偶函数
【答案】C
【解析】因为
，
所以令
，可得
，
令
，则
，
所以
，
则
既不是奇函数又不是偶函数，
且
，
所以
是奇函数.
故选：C
【变式1-3】（2025·甘肃庆阳·一模）已知函数
的定义域为R，
，
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
D．
的图象关于点
对称
【答案】D
【解析】取
，则
，即
，得
，故A 正确；
取
，则
，得
，故
是奇函数，B 正确；
对任意的
都有
，可得
，
因此
的图象关于点
对称，故D 错误；
由于
且
是奇函数，得
，即
，
因此
，C 正确.
故选：D
【变式1-4】已知函数
的定义域为
，
，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数D．
为奇函数
【答案】D
【解析】对于A， 令
，则
，得
，
所以
或
，
当
时，
不恒成立，所以
，所以A 错误，
对于B，令
，则
，得
，
所以
，或
，
由选项A 可知
，所以
，所以B 错误，
对于CD，令
，则
，由选项A 可知
，
所以
，所以
，
令
，则
，
所以
为奇函数，即
为奇函数，所以C 错误，D 正确，
故选：D
题型二：正弦模型
【例2】（2025·辽宁·一模）对任意
，都有
，且
不恒为0，
函数
，则
（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
【答案】B
【解析】令
，可得
，所以
，
令
，可得
，
因为
不恒为0，所以
，所以
是奇函数，
因为
，
所以
.
故选：B.
【变式2-1】已知函数
的定义域为
，且满足
，
则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
【答案】B
【解析】令
，则
，解得
，故A 正确；
令
，则
，即
，
因为
不恒为0，所以
，且定义域为
，故函数为奇函数，故C 正确；
令
，则
，因为
不恒为0，且
，
所以只能
，从而
，周期为4，
显然
，故B 错误D 正确.
故选：B
【变式2-2】已知函数
的定义域为R，
，且当
时，
，则
下列正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是周期函数
C．当
时，
D．当
时，
【答案】D
【解析】对于A
，
令
，则
，得
，
令
，得
，
由
整理可得
，
由题干可知
不恒为0，故
，
即
，故
是奇函数，不是偶函数，A 错误；
对于B，设
，则
，
则
，
且
，
故
，则
，
又
，
是奇函数，故
是增函数，
由
是增函数可得
不是周期函数，故B 错误；
对于C，
时，
，
，
，
，C 错误；
对于D，
时，
，
，
，D 正确.
故选：D.
【变式2-3】（2025·河北保定·一模）已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【解析】函数
的定义域为
，且有
，
令
，得
，解得
；
令
，得
，则
，
而
，即
不恒为0，因此
，函数
为奇函数，
由
为偶函数，得
，则
，
于是
，
，8 为
的一个周期，
由
，得
，即
，因此
，所以
.
故选：B
题型三：余弦模型
【例3】已知函数
满足：
，对任意实数
都有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，得
，即
，
所以
，两式相加可得
，
所以
，则
，可得
，
所以
的周期为6，
由
，得
，
令
，则
，即
恒成立，则
，
由
，得
，
所以
，
且
，
由
，得
，则
，
从而
，
∴
.
故选：B
【变式3-1】已知函数
的定义域为R
且
则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【解析】令
得，
，
又
，所以
①，
①中将
替换为
，得
②，
由①+②，得
③，
③中将
替换为
，得
，
③中将
替换为
，得
，
所以
的周期为6，
令
，得
.
由①，易得
，
同理
，
所以
，
.
故选：A
【变式3-2】若
，且
，则
（ ）
A．-2
B．-1
C．
D．0
【答案】A
【解析】令
，
，得
，得
，
令
，
，
又
，故
，即
，
故
得到周期
，
令
，
，即
，故
是偶函数，
又
，
，所以
得到图象关于
对称，
所以
，
，
，
，
所以
.
故选：A
【变式3-3】已知函数
的定义域为
，
，且
，则
（ ）
A．1
B．
C．2024
D．
【答案】B
【解析】令
，
，则
，因为
，所以
，
令
，则
，
则
，
则
，所以
以6 为周期，
令
，得
，所以
，
则
．
故选：B．
题型四：指数模型
【例4】已知函数
满足：
，
，则
的值（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
,
,
令
,得
,所以
,
令
可得
所以
.
故选:C.
【变式4-1】如果函数
对任意
满足
,且
,则
A．505
B．1010
C．2020
D．4040
【答案】C
【解析】
函数
对任意
，
满足
，且
，
，
．
故选
．
【变式4-2】如果函数
对任意
，
满足
，且
，则
A．504
B．1009
C．2018
D．4036
【答案】C
【解析】根据
以及
，找到规律，由此求得所求表达式的值.由于函数
对任
意
，
满足
，且
，
令
，则
；
令
，则，
；
以此类推，可知
，
所以
.
故选：C
题型五：对数模型
【例5】已知集合
，定义在
上的函数
满足：
，
，
当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，得
，故
，
令
，得
，故
，
令
，得
，即
，
令
，则
定义域为
，且
，故
为偶函数.
，且
，
则
，
∵
，∴
，
∵
时，
，∴
，故
，
∴
，即
，
∴
在
上为增函数，在
上为减函数，
由
得，
，即
，
∴
，解得
且
，故不等式的解集为
.
故选：D.
【变式5-1】已知定义在
上的函数
，满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，则
，解得
，
令
，则
，解得
，
令
，则
，解得
，
令
，则
，解得
，
，
依次类推可得
。
故选：C
【变式5-2】（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）已知定义
在上的函数
满足
,且当x>1 时，
， 则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由题意，
，
.
赋值
，得
；
赋值
，得
，即
，
当
时，
，
当
时，则
，所以
，即
；
所以
，A 正确，
取
，则
，
，显然
不成立，B 错，
赋值
，得
，解得
，
即
；
由
，
，
得
，
其中由
，可知
，
当
时，
，即
；
当
时，
，即
；故C 错误；
，得
；
又
，所以
，
则
，
故
，且
不恒为
，故D 正确.
故选：AD.
题型六：二次模型
【例6】（2025·高三·河北保定·期末）已知函数
满足：
，
，
成立，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，则
，所以
，
令
，则
，
所以
，
令
，则
，所以
，
令
，则
，
所以
，
则当
时，
，
则
，
当
时，上式也成立，
所以
，
所以
.
故选：C.
【变式6-1】（2025·山东济南·三模）已知函数
的定义域为R，且
，则下列
结论一定成立的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
有最小值
D．
在
上单调递增
【答案】C
【解析】由于函数
的定义域为R，且
，
令
，则
，得
，
时，
恒成立，无法确定
，A 不一定成立；
由于
不一定成立，故
不一定为偶函数，B 不确定；
由于
的对称轴为
与
的位置关系不确定，
故
在
上不一定单调递增，D 也不确定，
由于
表示开口向上的抛物线，故函数
必有最小值，C 正确，
故选：C
【变式6-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．方程
有解
C．
是偶函数
D．
是偶函数
【答案】C
【解析】对于A，因为函数
的定义域为
，且满足
，
取
，得
，则
，
取
，得
，则
，故
错误；
对于B，取
，得
，则
，
所以
，
以上各式相加得
，
所以
，
令
，得
，此方程无解，故B 错误.
对于CD，由
知
，
所以
是偶函数，
不是偶函数，故C 正确，
错误.
故选：C.
题型七：幂模型
【例7】（多选题）已知函数
的定义域为
，若
，则以下一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
为奇函数
D．
在
上是增函数
【答案】AC
【解析】对于A，令
，可得
，所以
，故A 正确；
对于B，当
时，显然符合题设条件，此时
，不一定有
，
故B 错误.
对于C，令
，
，所以
，
令
，
时可得
，所以
为奇函数，
故C 正确；
对于D，当
时，显然符合题设条件，此时
在
上不具备单调性，故D 错误.
故选：AC.
【变式7-1】（多选题）已知函数
的定义域为
，且
，则下列选项正确
的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
是偶函数
【答案】ABC
【解析】对于A 选项，令
，则
，即
，A 正确；
对于B 选项，令
，则
，令
，则
，则
，故
.B 正确；
对于C 选项，
是奇函数，C 正确；
对于D 选项，
是非奇非偶函数，D 不正确.
故选：ABC.
【变式7-2】（多选题）已知函数
的定义域为
，对任意的实数
，
满足
，
且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
为
上的减函数
D．
为奇函数
【答案】AD
【解析】依题意
，且
，
令
，得
，故A 选项正确.
令
，则
，
即
，故B 选项错误
由于
，故C 选项错误.
令
，得
，
即
，
即
，
所以
为奇函数，故D 选项正确.
故选：AD
【变式7-3】（多选题）已知函数
的定义域是
，对任意的实数
、
满足
，且
，当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．函数
为
上的增函数
D．函数
为奇函数
【答案】ACD
【解析】对于A 选项，对任意的实数
、
满足
，
令
可得
，解得
，A 对；
对于B 选项，令
，
可得
，
即
，解得
，
再令
可得
，B 错；
对于D 选项，令
，
由
可得
，
即
，且
，
令
，则
，即
，
所以，函数
为奇函数，D 对；
对于C 选项，由题意可知，当
时，
，
当
时，
，即
时，
，
故当
时，
，
任取
、
且
，
则
，
即函数
在
上为增函数，C 对.
故选：ACD.
【变式7-4】（多选题）（2025·高三·山西运城·期末）已知函数
的定义域为
，且
，若
，则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．函数
是
上的增函数
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，令
，则
，所以
，即A 正确；
对于B，由
得
，
令
，则有
，
令
，则有
即
，
所以
是奇函数，即B 正确；
对于C，根据选项B 可知，令
为一次函数，
可得
，函数
不一定是R 上的增函数，即C 错误；
对于D，由
，
令
，
则有
，
所以
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，所以
，即D 正确.
故选：ABD
题型八：正切模型
【例8】定义在
的函数
，当
时
，若
，
，
，则P，Q，R 的大小为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】取
，则
，
所以，
，令x=0,则-f(y)=f(-y),故函数在(-1,1)上是奇函数，
当-1<x<0 时，f(x)<0,则当0<x<1 时，f(x)>0,所以P>R,Q>R,
由
，得：
=
所以
所以
所以
．
故选D．
【变式8-1】已知函数
定义在区间
上，
，且当x，
时，恒有
，又数列
满足
，
，设
，对于任意的
，
的最小自然数m 的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解析】令
时，则由已知有
，
可得
再令
，
，
则有
，即
，
是
上的奇函数.
令
，
，于是
，
由已知得
，
，
数列
是以
为首项，
2 为公比的等比数列.
，
，
，
又任意的
，
，
，即
，
故自然数m 的最小值为5.
故选：C.
题型九：其他模型
【例9】（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数
满足：
，且
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，用
代换
，可得
，
联立方程组
，可得
，即
，
又由函数
为偶函数，且
，可得
与
同号，
所以
，可得函数
是周期为
的函数，
因为
，
与
同号，则
，
令
，可得
，所以
，
则
.
故选：C.
【变式9-1】（多选题）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
对任意实数a，b 都有
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若x 为正整数，则
【答案】ABD
【解析】令
，得
，
因为
，所以
，故A 对；
令
得
，
令
得
，故B 对；
由
得
，
所以函数
是周期为8 的函数，
又
，
所以
，
所以
，
所以
，
又
，函数
是周期为8 的函数，
如
，则
，故C 错；
若x 为正整数，则
，
所以
，故D 对；
故选：ABD
【变式9-2】（2025·高三·河北承德·期中）设
为定义在整数集上的函数，
，
，
，对任意的整数x，y 均有
，则
（ ）
A．0
B．1012
C．2024
D．4048
【答案】B
【解析】令
，则
，∴
．
令
，则
，
又
，
．
令
，则
，
∴函数
的图象关于直线
对称．
令
，则
，
∴
∴
的图象关于点
对称．
∴
，
∴
是周期
的函数．
又
，
，
，
，
∴当
为偶数时，
．
当
为偶数时，
也为偶数，此时
；
当
为奇数时，令
，
，则
．
．
故选：B．
【变式9-3】已知函数
满足：对
，都有
，且
，则以下选项错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，令
，则
，
令
，则
，所以
，
因为
，所以
，
令
，则
，故A 正确；
对于B，结合选项A 可得
，所以
或
，
若
，则
，
所以
，此时与
矛盾，舍去；
若
，则
，解得
，
因为
，所以
，故B 错误；
对于C，令
则
，
因为
，
，所以
，所以
为偶函数，
令
，则
，
所以
，令
，则
，
即
，故C 正确；
对于D，由
为偶函数，得
，
则
，则
，
所以
，故D 正确.
故选：B.
1．已知函数
满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【解析】由题，
，
，
令
，可得
，
则
，
即
，即
，
所以
，函数
是周期为12 的周期函数，
则
.
故选：C.
2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在
上的函数
满足对任意
均有
，则称
为“
函数”.已知
为“
函数”，且
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．1
【答案】A
【解析】令
，则
，所以
；
令
，则
，
所以
的图象关于直线
对称；
令
，则
，
因为
不恒成立，所以
恒成立，所以
为奇函数，
所以
，所以
，
所以
是周期为8 的周期函数，令
，则
，
解得
，又
为奇函数，所以
，
所以
.
故选：A.
3．已知定义域为
的函数
满足：
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
，
【答案】D
【解析】对A，令
，则
，
由
，则
，即
，所以
，故A 错误；
对B，令
，则
，因为
，
所以
，解得
，故B 错误；
对于C，令
，则
，
又
，所以
，则
，
当
时，
，不满足奇函数的定义，
所以
不是奇函数，故C 错误；
对D，由C 选项知，
，即
，
所以
，
，故D 正确.
故选：D
4．已知函数
的定义域为
，且
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
为增函数
【答案】C
【解析】令
，则
，
则
，故A 错误；
令
，则
，
则
，故B 错误；
令
，
则
，
所以
为偶函数，故C 正确；
由
，
，可知
不是增函数，D 错误.
故选：C
5．已知函数
的定义域为R，且对任意实数x，y，都有
.若
，
则
（ ）
A．
B．-1
C．
D．0
【答案】D
【解析】对任意实数x，y，都有
，
，
取
，得
，即
，解得
，
取
，得
，即
，解得
，
任意
，则
，因此
，
取
，得
，则
，
，
所以
.
故选：D
6．已知函数
的定义域为
，
，则（ ）
A．
B．函数
是奇函数
C．若
，则
D．函数
在
单调递减
【答案】B
【解析】对于A，令
，可得
，解得
，故A 错误；
对于B，令
，可得
，又
，
则
，所以函数
是奇函数，故B 正确；
对于C，令
，得
，则
是周期函数，周期为2，所以
，故C 错误；
对于D，令
，
，且
，则
，
即
，而
时，
与2 大小不定，故D 错误.
故选：B.
7．已知函数
的定义域为
，且
，若
，则下列结论错误的是
（ ）
A．
B．
C．函数
是偶函数
D．函数
是减函数
【答案】C
【解析】对于A，令
、
，则有
，
又
，故
，即
，
令
、
，则有
，
即
，由
，可得
，
又
，故
，故A 正确；
对于C，令
，则有
，
则
，故函数
是奇函数，故C 错误；
对于D，有
，即
，
则函数
是减函数，故D 正确；
对于B，由
，令
，有
，故B 正确．
故选：C.
8．已知函数
的定义域为
，若
，则下列选项不正确的有
（ ）
A．
B．
C．函数
是增函数
D．函数
是奇函数
【答案】C
【解析】在
中，
令
，则
，
因为
，所以
．
令
，则
，
所以
，故A 对．
令
，则
，
则
，所以
，故B 对．
是减函数，故C 错．
，所以
是奇函数，故D 对．
故选：C．
9．（2025·山西·一模）已知函数
是定义在
上不恒为零的函数，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
为奇函数
【答案】C
【解析】令
，则
，故
，A 选项错误；
令
，则
，故
，B 选项错误；
令
，则
，故
为偶函数，C 选项正确；
因为
为偶函数，又函数
是定义在
上不恒为零的函数，D 选项错误.
故选：C
10．（多选题）（2025·四川成都·三模）已知函数
，对任意
，均有
，且
为
的导函数，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
【答案】ABD
【解析】令
，得
，解得
，故A 正确；
令
，得
，所以
，即
为奇函数，故B 正确；
令
，得
.
因为
，所以
，
所以
，
所以
的周期是4，所以
，
所以
，故C 错误；
对
两边求导，得
，所以
的周期为4.
对
两边求导，
，所以
.对于
中关于
求导，
可得
，
令
，可得
，
令
，可得
.又因为
，
所以
，所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
11．（多选题）若定义在R 上的函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
在
上是减函数
D．若
，则不等式
的解集为
【答案】AB
【解析】对A，令
，得
，A 正确；
对B，
，所以函数
为奇函数，B 正确；
对C，在R 上任取
，则
，所以
,
又
，
所以函数
在R 上是增函数，C 错误；
由
，
得
．
由
得
．
因为函数
在R 上是增函数，所以
，解得
或
．
故原不等式的解集为
或
，D 错误．
故选:AB．
12．（多选题）已知函数
的定义域为
，对任意实数
满足
，且
，当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
为减函数
D．
为奇函数
【答案】AD
【解析】对A，令
可得，
，解得
，A 正确；
对B，令
可得，
，
再令
可得，
，解得
，B 错误；
对C，因为
，
，所以
,C 错误；
对D，令
，则
，
所以
，即
，
所以函数
为奇函数，D 正确；
故选:AD.
13．（多选题）已知函数
的定义域为
，对任意
，
总有
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
为奇函数
D．函数
在
上单调递增
【答案】ACD
【解析】对任意
，
总有
，
对于A，令
，得
，解得
，A 正确；
对于B，令
，得
，解得
，B 错误；
对于C，
，
，
为奇函数，C 正确；
对于D，令
，则
，当
时，
，
对
，恒有
，即
，
，则
，
，
，
因此函数
在
上单调递增，D 正确.
故选：ACD
14．（多选题）已知函数
的定义域为
，且
，若
，则（ ）
A．
B．
C．方程
有唯一的实数解
D．函数
有最小值
【答案】ABD
【解析】令
，得
.
因为
，所以
，即
，A 正确.
令
，得
，由
，得
.
又
，所以
.
令
，得
，即
，所以
，
因为
为增函数，且
，所以
，B 正确.
所以
等价于
.设
，因为
，所以
在
上必有一个零点，又
，
所以
的零点不唯一，从而方程
的实数解不唯一，C 错误.
因为
，所以函数
有最小值，D 正确.
故选：ABD.
15．（多选题）已知函数
的定义域为
，对任意
，均满足
，且
，则（ ）
A．函数
为偶函数
B．8 是
的一个周期
C．
的图象关于点
对称
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，令
，得
，则
，
令
，得
，函数
为偶函数，
则
，因此函数
为奇函数，A 错误；
对于B，令
，
，
于是
，函数
周期为4，则8 也为函数的一个周期，B 正确；
对于C，由选项B 知
，函数
的图象关于
对称，
又
周期为4，
，因此
的图象关于点
对称，C 正确；
对于D，由
，得
，
所以
，D 正确.
故选：BCD.
16．（多选题）已知函数
的定义域为
，且
，若
，则（ ）
A．
B．
C．方程
有唯一的实数解
D．函数
有极大值
【答案】AB
【解析】对于A，令
，得
.
因为
，所以
，即
，A 正确；
对于B，令
，得
，由
，得
.
又
，所以
.
令
，得
，即
，所以
，
因为
为增函数，且
，所以
，故B 正确；
对于C，由B 项可知，
等价于
.设
，
因为
，所以
在
上必至少有一个零点，
又
，所以
的零点不唯一，从而方程
的实数解不唯一，故C 错误；
对于D，因
，故函数
只有极小值，没有极大值，故D 错误.
故选：AB.
17．（多选题）已知定义在
上的函数
，满足
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．若
，则
或
【答案】BCD
【解析】对选项A，令
，则
，所以
，
再令
，则
，所以
，所以选项A 错误；
对选项B，定义在
上的函数
，定义域关于原点对称，
令
，则
，
所以
，所以
，
所以
是偶函数，所以选项B 正确；
对选项C，设
，则
，
因为当
时，
，所以
，
由
，知
，
所以
，所以
，
所以
在
上单调递增，
因为
，所以
，所以选项C 正确；
选项D，由选项B 分析可知
是偶函数，由选项C 知
在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，又
，
若
，则
，解得
且
，所以选项D 正确．
故选：BCD．
18．（多选题）（2025·高三·江苏南京·开学考试）已知定义在实数集
上的函数
，其导函数为
，
且满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】对于A，令
，则有
，即
，
令
，则有
，所以
，
所以函数不关于
中心对称，故A 错误B 正确；
对于C，令
，则有
,即
，
则
,
，故C 正确；
对于D，令
，则有
,即
，则
，即
，又
，
令
,
，则有
，
所以数列
是等差数列，首项为
，公差为1，
所以
，
即
，
则
，故D 错误．
故选：BC．
19．（多选题）（2025·山西阳泉·三模）已知定义在
上的函数
满足
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
在
上单调递减
C．
是偶函数
D．
在
在上单调递增
【答案】AB
【解析】定义在
上的函数
满足
，
令
，则
，所以
，
令
，则
，所以
，
令
，则
，
所以
，
令
，则
，所以
，
因为
，且定义域关于原点对称，所以函数
是奇函数，
由反比例函数的单调性可得函数
在
和
上单调递减.
故选：AB.
20．（多选题）设函数
的定义域为
，且满足
，当
时，
，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
不是奇函数
C．函数
有10 个不同的零点
D．
【答案】AC
【解析】
，且
关于直线
对称；
又
，且
关于
中心对称；
，则
是周期为8 的周期函数；
对于
，令
，则
为偶函数，
正确；
对于
，令
，
则
为奇函数，
不正确；
对于
，作出
和
的图象如下图所示，
当
时，
，又
，
由图象可知：
与
共有10 个不同的交点，
则
有10 个不同的零点，
正确；
对于
，
错误.
故选：AC
21．（多选题）（多选）已知函数
的定义域为
，对任意实数
，
满足
，
且
，当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
为奇函数
D．
为增函数
【答案】ABC
【解析】对于选项A，令
，得
，故选项A 正确；
对于选项B，令
，
，得
，故选项B 正确；
对于选项C，令
，得
，故
，所以
为奇函数，故
选项C 正确；
对于选项D，因为
，所以
不是增函数，故选项D 错误；
故选：ABC．
22．（多选题）（2025·甘肃白银·三模）已知函数
的定义域为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．函数
的值域为
【答案】AC
【解析】令
，得
，解得
或
.
若
，令
，得
，则
，
此时
，而
，
显然
不恒成立.
若
，同理得
，代入恒等式中验证有
恒成立，
故
，A 正确，B 错误.
易知
是偶函数，且
在
上单调递增.
因为
，且等号不能同时成立，所以
，
则
，则
，C 正确.
，易得
的值域为
，D 错误.
故选：AC
23．（多选题）（2025·海南·三模）已知函数
的定义域为R，且
，若
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
D．若
，则
【答案】ABD
【解析】对于A，令
可得：
，
所以
，正确；
对于B，令
，可得：
，
令
可得：
，即
，
所以
，即
是奇函数，正确；
对于C：令
，可得
，
由B 可得：
，
所以
，C 错误；
对于D，令
，可得：
，
所以
所以
，
，
,
累加可得：
所以
，
化简可得：
，
当
时，代入可得
满足，
所以
，则
，
故选：ABD
24．（多选题）（2025·高三·江苏南通·期末）若函数
是定义在
上不恒为零的可导函数，对任
意的
，
均满足：
，
，记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】令
，得
，即
，故A 正确；
因为
，则
，
又因为
，
是定义在
上不恒为零的可导函数，所以可设
，
因为
，所以
，即
，则
，
所以
，则
，故B 错误；
令
，所以
，所以
，
所以
，所以
，则
，
所以
，
，
，
，
累加得：
，所以选项C 正确；
因为
，
所以
，
，
，
，
累加得：
，即
，
设
，则
，
所以
，即
，
所以
，
，
，
，
累加得
，
所以
，即
所以
，故D 正确.
故选：ACD.
25．（多选题）（2025·江西鹰潭·二模）若函数
是定义在
上不恒为零的可导函数，对任意的
均满足：
，
，记
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
D．
【答案】ACD
【解析】令
，得
，即
，故A 正确；
对于选项B：令
，可得
，解得
，
令
，
，可得
，所以
的图象不是偶函数，故B 错误；
令
，所以
，所以
，所以
，
所以
，则
，所以
，
，
，累加得：
，所以选项C 正确；
对于选项D，
，
又
，所以
，
设
，
则
，
所以
，
所以
即
，故D 正确．
故选：ACD．
26．（多选题）（2025·重庆·三模）函数
是定义在
上不恒为零的可导函数，对任意的x，
均满
足：
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】令
，得
，代入
，得
，
当
为正整数时，
，
所以
，
所以
，代入
，得
，
所以
，又当
时，也符合题意，
所以
.
当
不为正整数时，经验证
也满足
，
故
为任意实数时，都有
.
所以
，故A 正确；
，故B 正确；
所以
，
，故C 不正确；
所以
，
令
，
则
，
所以
，
所以
，所以
，故D 正确.
故选：ABD
27．（多选题）（2025·高三·江苏苏州·开学考试）已知
是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意
都满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．若
，则
【答案】ACD
【解析】因为
，所以令
，得
，故A 正确；
令
，得
，所以
，
令
，得
，所以
，故B 错误；
令
，得
，又
，所以
，
所以函数
是奇函数，故C 正确；
令
，得
，
又
，
，所以
，故D 正确；
故选：ACD.
28．（多选题）已知
是定义在
上的不恒为零的函数，对于任意
都满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是偶函数
C．若
，则
D．若当
时，
，则
在
单调递减
【答案】ACD
【解析】A：令
，可得
，对；
B：令
，则
，
由
在
上的不恒为零，故
不恒成立，错；
C：令
，则
，则
，
令
，则
，对；
D：若
，则
，即
，
取
，则
，显然
，即
，
所以
，即
，故
在
单调递减，对.
故选：ACD
29．（多选题）（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】对于A，因为
的定义域为
，且
，
令
，则
，故
，则
，
令
，则
，
又令
,结合
得
，所以
不是偶函数，故A 错误．
对于B，令
，则
．
而
，
，所以
，故B 正确．
对于C，由选项B 可知，
，
令
，则
，所以
．
又因为
为奇函数，所以
，所以
，故C 正确．
对于D，由选项B 以及
，可得
，
所以
，
，
令
得
,
结合
递推可得
，
．
因为
，故
，故D 错误．
故选：BC
30．（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
的定义域为R，且
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
为偶函数B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】令
，则
.
另令
，则
，由
，所以
不成立，
所以
，所以函数
为奇函数，故A 错误；
令
，
，则
，故B 正确；
令
，
，则
，
又
，所以
，故C 错；
令
得
.且
，
，
.
所以
；
；
所以
，又
，
，
所以
；
所以
；
所以
所以
，故D 正确.
故选：BD
31．（多选题）定义在
上的函数
满足
，且当
时
，则
（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
在
上单调递增
D．
【答案】ABC
【解析】对于A，令
，可得
，即
，故A 正确；
对于B，令
，可得
，且定义域为
，故B 正确；
对于C，令
，则
，
，
所以
，所以
，且当
时
，
所以
，即
，
所以
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，令
，可得
，
所以
，即
，
又函数为增函数，所以
，
所以
，故D 错误；
故选：ABC.
32．（多选题）定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，
则下列结论中正确的有（ ）
A．
是奇函数
B．
是增函数
C．
D．
【答案】ABC
【解析】对于选项A：因为
，
令
，则
，可得
，
令
得：
，
再以
代
，得：
，
两式相加得：
，即
，
令
，则
对任意
恒成立，
可知
在
上单调递增，且
，
所以
在
内的值域为
，
由
，
，即
，
，
所以定义在
上的函数
为奇函数，故A 正确；
对于选项B：因为函数
为定义在
上的奇函数，且当
时，
，
不妨设
，则
，
因为
，则
且
可知
，所以
，
则
，即
，
故函数
在
上为增函数，B 正确；
对于选项C，令
，且
，
则
，即
，故C 正确；
对于选项D：令
，且
，
则
，
因为
，且函数
在
上为增函数，可得
，
即
，所以
，故D 错误.
故选：ABC.
33．（多选题）（2025·浙江·模拟预测）若定义在
上的函数
满足
，且
当
时，
，则下列结论正确的是（ ）．
A．若
，
，
，则
B．若
，则
C．若
，则
的图像关于点
对称
D．若
，则
【答案】BC
【解析】令
，则
，
∴
为奇函数，把y 用
代替，得到
，
设
，
，∴
．
又∵当
时，
，∴
，
∴
在
上单调递减．
∵
，
，
当
时，
，则当
时，则
，
，
当
时，则
，
．
综上，
，∴A 错误．
令
，得
，∴
，
令
，得
，∴
，∴B 正确．
由
，得
，得
，
又∵
，
为奇函数，∴
，
则
，则
的图像关于点
对称，∴C 正确．
，
假设
，可得
，即
，
当
时，不成立得出矛盾假设不成立，∴D 错误．
故选：BC.
34．定义在
上的函数
满足当
时，
，且对任意的
、
，有
，
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【解析】对任意的
、
，有
，
设
得
，
即
，
，
对
，有
，
中有
，
由已知可得，当
时，
；
当
时，
；
当
时，
，
又
，
故对于一切
，有
，
，
函数
为增函数，
再令
，得
，得
，
，
，解得
，
故原不等式
的解集为
，
故答案为：
.
35．已知定义在
上且不恒为0 的函数
满足如下条件：（1）
，（2）当
时，
；则下列结论中正确的是 ．
①
；
②函数
是奇函数；
③函数
在
上是减函数；
④不等式
的解集为
【答案】①②③
【解析】①：令
，则
，
令
，则
，
所以
，故①正确；
②：令
，则
，
所以函数
为奇函数，故②正确；
③：
，且
，令
，则
，
所以
，又当
时
，则
，
所以
，故
，
所以函数
在
上是减函数，故③正确；
④：若
，则
，
由性质（2）可得
，得
，
由②可知函数
为奇函数，得
，
，
同理，当
时，
，当
时，
，
由
，得
或
，
所以不等式
的解集为
，故④错误.
故选：①②③.
36．若定义在
的函数
满足
，且有
对
恒成立，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为
，
所以
，
设
，则
，
因此
，
所以
，
取
，得
，
所以
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
37．已知函数
满足：对任意实数
、
，都有
成立，且
，
则
．
【答案】
【解析】在
中，令
，得
，
．
令
，
，得
，
．
又
，所以
，即
，
，
．
又
，
，
所以
．
故
，
．
38．已知函数
满足
，
，则
的值为 .
【答案】
【解析】由题意可得
、
，代入化简即可得解.由
，
，
令
，
，可得
，
所以
，
令
可得
，
所以
.
故答案为：
.
39．如果
且
，则
．
【答案】20
【解析】令
，
，则
，
，
.
故答案为：
.
