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1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第一章 二次函数压轴综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、二次函数图象性质的综合判断问题 题型2、利用数形结合讨论字母取值范围 题型3、利用二次函数的性质讨论字母参数的取值 题型4、二次函数背景下数形结合与代数计算综合 题型5、二次函数与一次函数的综合 题型6、二次函数自定义问题 题型7、二次函数与几何的综合 题型8、二次函数的实物建模问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次函数压轴综合问题，要熟练掌握二次函数的图象与性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、最 值、增减性等；数形结合是核心思想，要善于借助函数图象分析字母取值范围、交点个数、不等关系等； 与一次函数、几何图形、实际情境结合时，需灵活运用待定系数法、方程思想、分类讨论思想；自定义问 题与新定义问题要准确理解定义，转化为熟悉的二次函数模型；压轴综合题要善于设参、建系、列方程， 并注意临界状态与特殊位置的探究． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 目 录 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1、二次函数图象性质的综合判断问题 典例1 （25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ．下列说法：① ；②抛物线的对称轴为直线 ；③当 时， ；④当 时， 随 的增大而增大；⑤ （ 为任意实数），其中正确的个数 是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型模版 1.特征：综合判断二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点、最值、与坐标轴交点等性质． 2.方法：根据二次项系数判断开口；用对称轴公式或配方法求顶点与对称轴；结合特殊点与判别式分析结论 正误． 变式1-1 （25-26 八年级下·湖南长沙·期末）已知函数 的图象如图所示，下列四个结论中， 正确的是（ ） A．当 时，函数有最大值是4 B．图象与 轴的交点为 和 C．当 或 时，函数值 随 值的增大而减小 D．若直线 与函数图象至少有3 个公共点，则 的取值范围是 变式1-2 （25-26 九年级下·江苏镇江·阶段检测）已知一次函数 与二次函数 （ ） 的图像交于点 ，且直线与抛物线只有一个公共点，二次函数的对称轴为直线 ，给出以下五个结 论： 3 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ① ；② ；③ 点 P 是抛物线的顶点；④ 当 时， ；⑤ 若点 在 抛物线上，点 在直线上，则 的最小值为 0，其中正确结论的序号是_________． 变式1-3 抛物线 （ 是常数且 ）经过点A（3，0）．下列四个结论： ①该抛物线一定经过 ； ② ； ③点 ，在抛物线上，且 ，则 ； ④若 是方程 的两个根，其中 ，则 ． 其中正确的个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 题型2、利用数形结合讨论字母取值范围 典例2 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数 （ 为常数， ）的图象 为抛物线 ． (1)求证：不论 为何值，抛物线 与 轴总有两个不同的交点； (2)当 时， ，求 的取值范围； (3)设点 、 ，若抛物线 与线段 只有一个交点，结合函数图象，直接写出 的取值范围． 题型模版 1.特征：借助二次函数图象，讨论字母参数或自变量的取值范围． 2.方法：画出函数草图；确定临界位置（如顶点、交点、端点）；结合不等式或方程求解并验证边界． 变式2-1 （25-26 八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和 ． (1)求c 的值，并用含a 的式子表示b； (2)已知直线 是x 轴上一点，过A 作x 轴的垂线，交抛物线于点 ，交直线 于点 ． ①m 为何值时， 和 重合． ②已知 ，过B 作x 轴的垂线，交抛物线于点 ，交直线 于点 ．若对于 4 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 都有 ，求a 的取值范围． 变式2-2 材料一：对于任意的实数a，其绝对值都是一个非负数，即 同理，对于任意关于 x 的绝对值函数 都有 例如 材料二：数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在函数学习中，常应用函数图象解 决代数问题．例如关于 的不等式 ，可解读为函数 的图象不高于函数 的图象，不 等式的解集则可理解为该部分图象上所有点的横坐标所构成的取值范围，通过图象(如图)，可得该不等式的 解集为 根据材料完成下列题目： (1)认真阅读材料一，解关于x 的方程： ，要求写出解答过程． (2)认真阅读材料二，仿照该方法解关于x 的不等式： 请完善下列解答思路： 步骤 1：利用数形结合思想不等式可理解为：函数 的图象不低于函数 的图象． 步骤2：在方格纸中画出图象． 步骤3：解出交点坐标，观察图象，并得出不等式的解集为 ． (3)若关于x 的不等式 有解，请直接写出k 的取值范围． 变式2-3 （25-26 八年级下·湖南长沙·期末）如图，抛物线 与 轴交于 两 5 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，点 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 、 、 、 ，延长 交 轴于点 ． (1)若 ，求点 的坐标和线段 的长度； (2)若对任意 ， 、 两点总关于 轴对称，求点 的坐标（用含 的式子表示）； (3)当点 运动到某一位置时，恰好使得点 是线段 的中点． ①求证： ； ②该抛物线上存在一点 ，若此时恰好满足 ，且对于动点 总有实数 满足 恒成立，求实数n 的取值范围． 题型3、利用二次函数的性质讨论字母参数的取值 典例3 （25-26 九年级下·浙江杭州·阶段检测）如果 ， ， 都在二次函数 的图象上，且 ，则 的取值范围（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 题型模版 1.特征：利用二次函数的性质（对称性、最值、增减性）讨论字母参数的取值． 2.方法：先用含参解析式表示对称轴、顶点；根据条件列方程或不等式；注意参数对开口方向与最值的影响． 变式3-1 已知二次函数 （a 为常数，且 ）． (1)求二次函数的对称轴； (2)若 ，当 时，函数的最大值为1，求 的值； (3)在（2）的条件下，如果 ， 在二次函数 （ ）的图象上， 其中 ，求 的最大值． 6 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式3-2 （25-26 九年级上·浙江温州·阶段检测）二次函数 经过点 ． (1)求c 的值． (2)在x 正半轴上取点 ，过点P 作 轴交抛物线于点D，交直线 于点E． ①若 ， ，求 的值． ②点P 从原点运动到 的过程中，若点D 始终在点E 的上方， 的长随着m 的增大而减小，求a 的取值范围． 变式3-3 在平面直角坐标系中，若点 的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点 为“美丽点”．例如 点 ， ， ，…，都是“美丽点”． (1)直接写出抛物线 上的“美丽点”为 ． (2)若二次函数 的图象上无“美丽点”，则的取值范围为 ． (3)已知二次函数 的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美丽点”是 ，当 时，函数 的最小值为 ，最大值为 ，求 的取值范围． 题型4、二次函数背景下数形结合与代数计算综合 典例4 （25-26 九年级上·浙江台州·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线 与 交于点 ，若经过点 的直线 与两抛物线交于点 ， ，则 的长为 （ ） A．4 B． C．2 D． 题型模版 1.特征：二次函数背景下数形结合与代数计算相结合的综合问题． 2.方法：联立函数解析式建立方程；利用根与系数关系、两点距离公式；结合图象分析交点与范围． 变式4-1 （24-25 九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 、 两点，过该函数顶点且与 轴平行的直线与抛物线 交于 、 两点，若 7 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ，则 和 满足的关系为（ ） A． B． C． D． 变式4-2 在平面直角坐标系 中，已知二次函数 ． (1)当 时，随 的增大而减小，当 时，随 的增大而增大，用等式表示 与 关系，并说明理由； (2)当 ， 时，将二次函数 的图象记为 ，一次函数 的图象记为 ，过点 作 轴的垂线分别交 ， 于点 ， ．当 时， 点与 点的距离存在最大值，求 的 取值范围． 变式4-3 定义：向量 ，则 ．已知 ， ， ． (1)当 时，求函数 的解析式； (2)当 时，求函数 的最小值(用含 的代数式表示)，并求最小值 的范围； (3)在（1）的条件下，将（1）中的函数图象向右移2 个单位，再上移一个单位，得函数 的图象，记 ， 直线过点 且与函数 的图象恰有三个交点，求直线的解析式． 题型5、二次函数与一次函数的综合 典例5 （25-26 九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图所示，二次函数 的图象与y 轴交于点 C，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数 的图象经过该二次函数图 象上的点 及点 ． 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求二次函数与一次函数的表达式； (2)根据图象，请直接写出满足 的x 的取值范围． 题型模版 1.特征：二次函数与一次函数图象交点、不等关系及综合应用． 2.方法：联立解析式求交点；通过比较函数值大小确定不等式解集；注意图象位置与对应区间． 变式5-1 （2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点 是第四象限抛物线上一点，连接 交y 轴于点D，点F 在y 轴正半轴上， ，连接 ，设点 的横坐标为，线段 的长的平方为d，求d 与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取 值范围）． (3)如图2，在（2）的条件下，过点 作 的平行线 ，对于任意的值，直线 都经过点 ，点 在线 段 上，连接 ， ，若 ， ，求点 的坐标． 变式5-2 （2025·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线 ． 9 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若 ，抛物线与x 轴只有一个交点． ①求证： ； ②抛物线的顶点为A，与y 轴相交于点B，直线 的表达式为 ．求在 范围内，x 等于多 少时， 取得最大值？ (2)点 在该抛物线上， ．若 ，求t 的取值范围． 变式5-3 （25-26 八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 ， 与x 轴交于A、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C．点M 是x 轴上一动点，其横坐标为m；点N 是直 线 上一动点，其横坐标为 ． (1)分别写出A、B、C 三点坐标； (2)当点N 在抛物线上时，求m 的值； (3)当 时，将 绕点M 顺时针旋转 ，得到 ，连结 ． ①当 的面积被直线 分为 两部分时，求m 的值； ②当 内部的抛物线，y 随x 的增大而增大时，求m 的取值范围． 题型6、二次函数自定义问题 典例6 如图1，已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ．将抛物 线 沿直线 向右下方平移，得到函数 的图象，则称函数 为函数 的“关联函数”． 10 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求抛物线 的解析式，并直接写出点 的坐标； (2)将抛物线 沿直线 向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数” 的图象，其顶点恰好是点 ． ①若点 在函数 的图象上，且到 轴的距离小于或等于 ，求点 的纵坐标 的取值范围； ②如图 ，若点 在函数 的图象上，且在第二象限内，连接 并延长，交抛物线 于点 ，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，以 ， 为邻边作矩形 ， 与射线 交于点 ， 设矩形 与矩形 的周长分别为 ， ．求证： 为定值； (3)将抛物线 沿直线 向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数” 的图象．若函数 的图象 恰好经过点 ，当 时， 的最大值为 ，直接写出 的值． 题型模版 1.特征：以新定义或自定义规则为背景的二次函数综合问题． 2.方法：准确理解新定义；把新规则转化为二次函数的平移、对称、翻折或分段表示；逐问建立方程求解． 变式6-1 （25-26 八年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系 中的函数图象M 和多边形P，若多边形 P 的每条边均与图象M 有公共点，则称图象M 和多边形P 是交错的；若多边形P 的每条边均与图象M 有两 个公共点，则称图象M 和多边形P 是双重交错的，设 ， ， ， ． (1)设一次函数 的图象为图象M，下面的多边形中，M 和______是交错的（填所有满足要求的多边形 的序号）； ① ，② ，③ ，④四边形 ； (2)设二次函数 的图象为图象M． ①若 ， ，将M 向右平移 个单位长度得到图象 ，若图象 和 是双重交错的， 则d 的取值范围是______； 11 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ②若存在实数c 使得图象M 和 是双重交错的，直接写出a 的取值范围． 变式6-2 （24-25 九年级下·辽宁大连·期中）定义：点 是 轴上一点，将函数的图象位于直线 右侧部分，以 轴为对称轴翻折，得到新的函数 的图象，我们称函数 是函数的相关函数，函数 的图象 记作 ，函数的图象未翻折部分记作 ，图象 和 合起来记作图象 ． 例如：函数的解析式为 ，当 时，它的相关函数 的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为 ，当 时，它的相关函数 的解析式为 ； (2)函数的解析式为 （ ）． ①已知点 、的坐标分别为 、 ，当 ，且图象 与线段 只有一个公共点时，结合函数 图象，求 的取值范围； ②若 ，点 是图象 上任意一点，当 时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直 接写出结果）． 变式6-3 （25-26 八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系 中，对于给定的两个关于x 的函数，任取 自变量x 的一个值，当 时，它们对应的函数值互为相反数；当 时，它们对应的函数值相等，则称 这样的两个函数互为“ 相关函数”． (1)①在点 ， ， ， 中， 在正比例函数 的“ 相关函数”图象上的点是________； 12 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ②若一次函数 的“ 相关函数”的图象是轴对称图形，则b 的值为________； (2)已知 ， ， ， ． ①若二次函数 的“ 相关函数”图象与四边形 始终有2 个公共点，求h 的取值范围； ②若二次函数 的“ 相关函数”的图象与线段 有2 个公共点，直接写出n 的取值范围． 题型7、二次函数与几何的综合 典例7 如图，已知抛物线 与x 轴交于 ，B 两点，与y 轴交于点C ． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P 是抛物线上位于第四象限内一动点， 于点D，求 的最大值及此时点P 的坐标； (3)如图2，点E 是抛物线的顶点，点M 是线段BE 上的动点（点M 不与B 重合），过点M 作 轴于N， 是否存在点M，使 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：二次函数与三角形、四边形、圆等几何图形的综合问题． 2.方法：建立平面直角坐标系；用坐标表示点与线段；结合相似、全等、勾股定理、面积公式列方程． 变式7-1 如图1，抛物线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，点 在 轴上．点 从点 出发，沿线段 方向匀速运动，运动到点 时停止． 13 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求抛物线 的表达式； (2)当 时，请在图1 中过点 作 交抛物线于点 ，连接 ， ，判断四边形 的 形状，并说明理由． (3)如图2，点 从点 开始运动时，点 从点 同时出发，以与点 相同的速度沿 轴正方向匀速运动，点 停止运动时点 也停止运动．连接 ， ，求 的最小值． 变式7-2 如图，抛物线 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于 ． (1)设抛物线 的顶点为M，求四边形 的面积． (2)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形 的面积最大？若存在，请求出D 的坐标；若 不存在，说明理由． (3)在抛物线 上求点Q，使得 是以 为直角边的直角三角形． 变式7-3 抛物线 与直线 交于点 和点H， ，直线 交直线于点 A，交抛物线于点B． (1)求c 和k 的值（用含m 的代数式表示）； (2)过点A 作x 轴的平行线交抛物线于M，N 两点（M 在N 的左侧），交y 轴于点C．求 的取值范围； (3)在（2）的条件下，过点B 作x 轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E 是线段 的中点，探究 与 的数量关系，并说明理由． 14 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型8、二次函数的实物建模问题 典例8 （25-26 九年级上·浙江宁波·阶段检测）某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所 示：在以发射点为原点，地平线为x 轴，垂直于地面的直线为y 轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包 括一、二两级运行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线 ，当火箭运行的水平距离为 时，自 动引发火箭的第二级，火箭第二级沿直线 运行． 若火箭第二级的引发点的高度为 ． (1)求两段路径所在函数解析式； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 ，求这两个位置之间的距离． 题型模版 1.特征：利用二次函数解决实际问题中的最值、范围、方案设计等． 2.方法：建立合适的坐标系或函数模型；用待定系数法求解析式；根据实际意义确定自变量范围并求最值． 变式8-1 综合与实践问题情境：如图1，某生态景观园区为打造“滨水乐活”主题片区，安装了音乐喷泉装 置．喷泉的水柱从底座（水平面上） 点喷出，其距水面的竖直高度 （单位：m）与距喷口点 的水平距 离 （单位：m）近似满足二次 ．．函数关系，测得的几组数据如下表：并解决以下问题： 0 7 14 21 28 0 4.5 6 4.5 0 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图2 所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出 与 的函数关系式． (2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一 个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距 离不低于 ，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． (3)如图3，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度 （单位：m）与距喷 水点 的水平距离 （单位：m）近似满足关系式： ．在距喷口点 水平距离 处有一个 互动装置点 ，要求水柱能落在距互动装置点 的范围内（含 ），求的取值范围． 变式8-2 （2025·广东深圳·三模）项目式学习：《无人机灯光秀图案的设计》 项目 背景 为庆祝建校百年，某中学的无人机社团计划在校庆夜空上演无人机灯光秀．同学们以抛物线为基础， 编排两组无人机组成“双翼彩虹”图案的表演．左侧无人机群的灯光轨迹近似看成一条抛物线：右 侧轨迹与左侧关于舞台中轴线对称，展现彩虹双翼的平衡之美．如图所示： 任务 1 建 立模 型 如图1 以地面为x 轴，舞台中轴线为y 轴，舞台中央点为原点，建立的直角坐标系，左侧抛物线过 顶点 ，起始点为 ，终点与起始点关于直线 对称，直接写出左侧抛物线解析式 ______； 若右侧抛物线与左侧抛物线关于y 轴对称，直接写出抛物线解析式：_______． 任务 2 利 为确保视觉效果，两侧无人机需要同时飞行移动至距离舞台地面中心5 米的高度处并交汇于点A 处， 如图所示，求两组无人机队伍交汇时，距离舞台地面中心7 米高度时无人机队列两侧的水平宽度． 16 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 用模 型 任务 3 分 析计 算 在（2）的条件下，为达到更优的视觉效果，同学们提议，给交汇处的无人机装上射灯，并从交汇点 A 飞到舞台中央 点的正上方B 处发射两束光线，射出的光线与地面形成 夹角，如图3 所示 ①若要使光线不被无人机队列所遮挡，求无人机上升距离 的最小值； ②若无人机计划飞到12 米才发射光线，则此时单侧光线与无人机队列之间的最短距离为______． 变式8-3 （2025·陕西渭南·一模）悬挂过山车是某游乐场经典项目之一、如图， 为 该过山车的一部分轨道，轨道 和 可以各自看成一段抛物线，其形状相同，B，E 分别 为两段轨道的最低点．建立平面直角坐标系如图，点A 在y 轴上，B，E 两点在x 轴上，其中 米， 米（轨道厚度忽略不计）． (1)求抛物线 的函数表达式； (2)已知在 轨道上有两个位置D 和C，且它们到地面的距离相等，轨道抛物线 最低点 E 的坐标为 ，求点D 的坐标； (3)现需要对轨道下坡段 进行安全加固，利用某种材料建造水平和竖直支架 、 、 、 ， 且要求 ．已知这种材料的价格是4500 元/米，请通过计算说明：当 多长时，造价最低？并求 最低造价为多少元？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知二次函数 （a，b，c 为常数， ）图象的顶点坐标是 ，且经过点 ， ．有下列结论：① ；②关于x 的方程 有两个不相等的实数根；③ ；④对于任意实数t，总有 ．⑤当 ， 时，y 的最小值是1， 17 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则 或6．其中正确的结论有（） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．点 是二次函数 图像上的四个点，下列说法一定 正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 3．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P 是一个固定 观测点，运动点Q 从A 处出发，沿笔直公路AB 向目的地B 处运动．设AQ 为x（单位：km）（ ）， 为y（单位： ）．如图2，y 关于x 的函数图象与y 轴交于点C，最低点 ，且经过 和 两点． 下列说法中，正确的有________．（填序号） ① ；② ；③点C 的纵坐标为240；④点 在该函数的图象上． 4．（25-26 八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数 的图象与x 轴交于点 ， 与y 轴的交点B 在 和 之间（不包括这两点），对称轴为直线 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序 号）． 18 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5．（25-26 八年级下·北京·期末）将二次函数 的图象在 轴上方的部分沿 轴翻折后，所得 新函数的图象如图所示，当直线 与新函数的图象恰有 个公共点时， 的取值范围为______． 6．在平面直角坐标系中，是自变量 的函数，爱好创新的小鸣构建一个新函数：当 时， ，当 时， ，即 ，将变换后的函数 称为原函数 的关联函数．例如：一次函数 的关联函数为 (1)直接写出二次函数 的关联函数 的函数表达式； (2)若点 在一次函数 的关联函数 的图象上，求点 的坐标； (3)对于二次函数 ，是否存在实数n 满足当 时，该二次函数的关联函数 的取值范围 是 ，若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由； 7．已知抛物线 ： （ ）与 轴相交 ， 两点（其中 为坐标原点），过点 作 直线 轴于点 ，交抛物线于点 ，如图所示． (1) ________． (2)若点 在抛物线的对称轴上，则 的长为________． (3)把抛物线 在直线 右侧的部分（含点 ）记为图象 ．用含 的式子表示图像 的最高点 的坐标； (4)已知点 到 轴的距离为，把抛物线 在直线 左侧的部分（不含点 ）记为图象 ．图象 沿 轴 向下平移 个单位长度得到图象 ．当图象 上恰好只有两个点到 轴的距离等于该点到直线 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的距离的 倍时，请直接写出 的取值范围． 8．我们约定：如果一个函数的图象与 轴、 轴都相交，并且各只有一个交点，设交点分别为 、 ，若 ，我们就说该函数是“ 倍距函数”．例如函数 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ，我们就说函数 是“ 倍距函数”．根据约定，解答下列问题： (1)下列函数是“ 倍距函数”的有____________（填序号）； ① ；② ；③ ；④ (2)若一次函数 （其中 是自变量， 是 的函数， ）是“ 倍距函数”，求 的值； (3)已知二次函数 （ ， ）是“ 倍距函数”，该函数的图象经过点 ，试求该二次 函数的解析式． 9．在直角坐标系中，设函数 （a，b，c 是常数， ）． (1)当 时， ①若该函数图象的对称轴为直线 ，且过点 ，求该函数的表达式； ②若该函数的图象与x 轴有且只有一个交点，求证： ； (2)已知该函数的图象经过点 ， ．若 ， ，求a 的取值范围． 10．已知抛物线 交x 轴于点 ，B；交y 轴于点C，将点C 向右平移2 个单位长度，得 到点D，点D 在抛物线 上，点E 为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E 的坐标； (2)连接 ，点M 为线段 上一动点，连接 ，作射线 ． ①在射线 上取一点F，使 ，连接 ．当 的值最小时，求点M 的坐标． ②点N 是射线 上一动点，且满足 ，连接 ，求 的最小值． 20 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11．抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．动点 在线段 上（点 与点 不重合）． (1)求抛物线 的表达式； (2)连接 ，在 的左上方以 为边作正方形 ． ①如图1，当 时，求正方形 的面积； ②如图2，当点 落在抛物线上时，求点 的坐标； (3)如图3，在动点 的正上方有另一动点 ，且 ，当点 从点 开始运动时，点 以相同的 速度同时出发，两点都沿 轴的正方向匀速运动，点 停止运动时点 同时停止运动．连接 ， ，求 的最小值和此时 的值． 12．小红帽百货商店用 元购进了第一批胶囊遮阳伞，很快就销售一空．面对即将到来的五一小长假， 大家对遮阳伞的需求量增大，小红帽百货商店瞄准商机，又用 元购进了第二批该款胶囊遮阳伞，每把 遮阳伞的进价比第一批多元，进货数量比第一批多了 ． (1)求第一批胶囊遮阳伞每把的进价； (2)若第二批胶囊遮阳伞按 元把的价格销售，销售了第二批进货数量的 后，根据市场情况，小红帽百 货商店决定对剩余的胶囊遮阳伞一次性打折销售，但要求销售第二批胶囊遮阳伞的总利润率不低于 ， 请问最多可以按几折销售？用不等式解决问题 (3)若第一批所进的胶囊遮阳伞销售单价为每把 元，每天可卖出 把，市场调查发现，每把降价元钱， 每天可多卖出把，若每天的利润为 元，售价为每把 元，写出 与 的关系式，求出每天获得最大利润 时，售价应定为每把多少元，并求出最大利润． 13．已知抛物线 经过点 ． (1)求该抛物线的对称轴； 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)点 在抛物线 上，点 在抛物线 上（两点均不与原点重合）． ①若 ，且 ，比较 、 的大小； ②若 ，且 是一个与 无关的定值，求a、b 的值． 14．已知抛物线 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，点A 坐标为 ． (1)求抛物线的解析式及B、C 两点的坐标． (2)若点M 是线段 上一个动点（不与A、C 重合），点N 是线段 上一个动点，设 ①如图1，当点N 运动到 的中点时，作 轴交 于点M，求证： ． ②当点N 在运动过程中，在x 轴上方的抛物线上是否存在点G，使得 且 恰好平分 ？ 若存在，求出此时点G 的横坐标和t 的值；若不存在，请说明理由． 15．已知抛物线 ，直线 ． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k 的值． (2)（a）若 ，当 时，二次函数 的最大值为 ，求n 的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x 轴向右平移 个单位长度，平移后的图象所对应的函数 在 的范围内有最大值2，求h 的值．
