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2026-2027 学年八年级上学期数学周周测08
第二章实数单元综合检测
一、选择题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．在实数：
，
，
，
，
，
中，无理数有（
）
A．个
B．
个
C．个
D．
个
【答案】B
【分析】根据无理数的概念判断即可．
【详解】解：在所列实数中，无理数有
，
这
个．
2．如图，数轴上表示
的点落在（
）
A．段①
B．段②
C．段③
D．段④
【答案】B
【分析】根据
，结合数轴求解即可；
【详解】解：
，
，
根据数轴的意义，得落在段②；
3．若二次根式
在实数范围内有意义，则
的取值范围是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解即可得到
的取值范围．
【详解】∵二次根式
在实数范围内有意义，
∴被开方数需满足非负要求，
即
，
解不等式得
．
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4．下列计算中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用二次根式的加减法的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、
与
不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；
B、与
不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；
C、
，故符合题意；
D、
，故不符合题意．
5．若
，则
与
的值不可能是（
）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】根据二次根式运算法则，将各选项代入计算即可．
【详解】解：A、当
，
时，
，故该选项符合题意；
B、当
，
时，
，故该选项不符合题意；
C、当
，
时，
，故该选项不符合题意；
D、当
，
时，
，故该选项不符合题意．
6．数轴的正半轴上有A，B，C 三点，A，B 表示的数分别为1 和
，点C 到原点O 的距离与点B 到点A
的距离相等，则点C 所表示的数为（
）
A．1
B．
C．
D．
或
【答案】C
【详解】解：∵点A 表示的数为，点B 表示的数为
，且
，
∴
，
∵点C 在数轴正半轴上，到原点的距离等于
的长度，
∴点C 表示的数为
.
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7．在如图所示的运算程序中，若输入
的值是729，则输出
的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可．
【详解】解：当输入
的值是729 时，取算术平方根得
，
27 是有理数，再取立方根得
，
3 是有理数，再取算术平方根得
，
由于
是无理数，
所以输出的
值是
．
8．在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数
之积为（
）
1
3
2
6
A．
B．
C．6
D．
【答案】C
【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实
数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算．
【详解】∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整，
∴所有方向的共同乘积为
，
设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b，
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∵第一行乘积等于共同乘积，
∴
，
解得：
，
∵第三行乘积等于共同乘积，
∴
，
解得：
，
∴两个空格中的实数之积为
．
9．如图，正方形A，B，C 的边长分别为
，1 和
，则图中阴影部分的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】用大长方形的面积减去正方形A，B，C 的面积求解即可.
【详解】解：图中阴影部分的面积为
.
10．如图，四边形
的对角线
，
交于点
，
，
，将
沿
翻折，点
落在
上的点
处，若
，
，则
的长为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】过点
作
于点
，由翻折可得
，由
得
，
根据勾股定理可得
，进而得
，根据题意由
证明
，得
，
，
由勾股定理可得
，设
，则
，在
中，根据勾股定理得
，
列关于
的方程求解，计算
即可．
【详解】解：如图，过点
作
于点
，
由翻折可得，
，
垂直平分
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
在
中，
，即
，
解得
，
．
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二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．实数
的相反数是______．
【答案】
/
【详解】解：
的相反数为
．
12．若
，则
__________．
【答案】
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，分别求出a 和b 的值，代入即可求解．
【详解】解：
，
，
，
，
，
．
13．对于任意两个正数
、
，新定义一种运算“
”如下，
，则
_____．
【答案】
【详解】解：∵新运算定义为
，本题中
，
，
∴
．
14．如图1，土楼是中国传统的夯土民居建筑，图2 是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环．已
知大圆和小圆的面积分别为
和
，则圆环的宽度
________
．（
，结果化为最简二次
根式）
【答案】
【分析】根据圆的面积公式分别求出大圆和小圆的半径，再利用圆环宽度等于大圆半径减去小圆半径进行
计算．
【详解】解：设大圆的半径为
，小圆的半径为
，
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由题意得
，
，
解得
，
，
．
15．有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是
，则其中较大的自然数的算术平方根是
___________．
【答案】
【分析】根据平方根的定义得到较小自然数，再利用连续自然数的性质得到较大自然数，最后求出较大自
然数的算术平方根．
【详解】解：∵较小的自然数的平方根是
，
∴较小的自然数为
，
∵两个数是连续的自然数，
∴较大的自然数为
，
∴较大的自然数的算术平方根是
．
16．学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规
律：
，
，
，
，…
【实践探究】
（1）按照此规律，计算：
___________；
（2）若
符合上述规律，则
___________．
【答案】
【分析】（1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解；
（2）根据题干所给式子得出规律计算即可．
【详解】解：（1）
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可得规律：
，其中
为大于的正整数．
；
（2）由（1）得：
，
∵
，
，
解得：
，
．
三、解答题：本题共8 小题,第17~22 题7 分，第23~24 题10 分，共62 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）第一步按照平方差公式和完全平方公式计算并化简，再做减法运算．
（2）先把每一项都化成最简二次根式，去括号注意变号，然后合并同类二次根式．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
18．我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置．
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(1)如图①，一个直角三角形的直角边
落在数轴上，点
与数轴原点
重合，
，
，
，
以
为圆心，
长为半径画弧，交数轴于点
，则
点表示的实数是；
(2)在图②中，作出实数
所在的位置．（保留必要的作图痕迹）
【答案】(1)
(2)如图，点
表示的实数为
．
构造直角
如图所示，直角边
落在数轴上，点
表示的数为，点
表示的数为
，
，则
，
，
由勾股定理得
，
以点
为圆心，
长为半径画弧，交数轴于点
，则
，
∴点
表示的实数为
．
【分析】（1）根据勾股定理求出
，得到
，即可解答；
（2）以实数
为圆心，半径长
作弧与数轴的交点即为表示的实数为
，通过构造直角三角形得
到半径长
即可．
【详解】（1）解：∵
，
，
，
∴
，
由作图，可知
，
∵点
与数轴原点
重合，
∴
点表示的实数是
；
（2）略
19．阅读材料：
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小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a 和b 比较大小，有如下规律：若
，则
；若
，则
；若
，则
．上面的规律，反过来也成立．课上，通
过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．
参考小明发现的规律，解决问题：
(1)比较大小：
________
；（填“<”、“=”或“>”）
(2)已知
，且
，若
，
，试比较A 和B 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）两数作差，根据
可求；
（2）根据
，且
，求得
，两式作差进而求解．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
20．解答下列各题
(1)
；
(2)
(3)已知
的平方根是
，
的立方根是4，c 是
的整数部分，求
的值．
【答案】(1)
，
．
(2)
．
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(3)
．
【分析】（1）先化简方程，再开平方求解即可．
（2）移项得到立方式，再开立方求解即可．
（3）根据平方根和立方根的定义求出
，
，估算
得到整数，代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
两边同除以
得
，
开平方得
，
解得
，
．
（2）
移项得
开立方得
解得
．
（3）解：由题意得
，解得
，
，解得
．
因为
，所以
的整数部分
．
代入得
．
21．小明打算利用一张面积为
的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作．
(1)求正方形卡纸的边长；
(2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为
，裁出的长方形的
面积能否为
？请通过计算说明；
(3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为
，求该正
方体的表面积．
【答案】(1)
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(2)
解：裁出的长方形的面积不能为
，理由如下：
设裁出的长方形的长为
，宽为
．
根据题意，得
，
解得
或
（舍去），
∵
，
∴裁出的长方形的面积不能为
；
(3)
【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关
键．
（1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可；
（2）设裁出的长方形的长为
，宽为
，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长
方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论；
（3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可．
【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为
．
根据题意，得
，
解得
或
（舍去）．
答：正方形卡纸的边长为
．
（2）略
（3）解：∵正方体的体积为
，
∴该正方体的棱长为
，
∴该正方体的表面积为
．
22．如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1 所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出
两张面积分别为
和
的正方形纸片A，B．
(1)求原长方形纸片的周长．
(2)写出图1 中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积．
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(3)小红能采用如图2 所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为
的正方形纸片吗？请说
明理由．
【答案】(1)
(2)阴影部分的长为
，宽为
，面积为6
(3)不能在长方形纸片上裁出两块面积是
的正方形纸片．理由见解析
【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方，结合正方形的面积即可计算正方形纸片A 的边长，正方形
纸片B 的边长，再得出原长方形纸片的长，宽，即可作答；
（2）先找出图①中阴影部分的长和宽，再结合面积公式列式计算，即可作答．
（3）先计算
，则
，据此即可作答．
【详解】（1）解：依题意，裁出的正方形纸片A 的边长为
；
裁出的正方形纸片B 的边长为
，
则原长方形纸片的长为
，宽为
，
∴周长为
.
（2）解：阴影部分的长
正方形纸片A 的边长，
即阴影部分的长为
，
宽为
∴阴影部分的宽为
，
∴阴影部分的面积
．
（3）解：不能裁出，理由如下：
∵面积为
的正方形纸片的边长为
，
则
，
∴不能在长方形纸片上裁出两块面积是
的正方形纸片．
23．阅读下面一段材料，并解答材料后的问题：
我们知道
是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑：
，
的整数部分为3，小数部分为
．再如：
，即
，
的整数部分为2，小数部
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分为
．
(1)若
的整数部分为m，小数部分为n，则
__________，
__________；
(2)已知
．
①若x 是整数，且
，求
的值；
②若x，y 分别是一张长方形纸片
的长和宽，将该纸片按如下图方式先折一下，然后剪开，可以得到
一个正方形
和一个长方形
，已知
．y 的整数部分__________．
【答案】(1)
，
；
(2)①
；②
【分析】（1）直接利用无理数的估算方法进行求解即可；
（2）①先利用无理数的估算写出
的整数部分和小数部分，再分别求出
的值，进而代入求值即可；②
先根据题意表示出
，
，再利用无理数的估算即可解答．
【详解】（1）解：
，
，
的整数部分为4，小数部分为
，
即
；
（2）解：①
，即
，
的整数部分为1，小数部分为
，
∴
，
∵x 是整数，且
，
∴
，
∴
；
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②由题意得，
，
∴
，
∵
，即
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴整数部分为4．
24．阅读下列材料，回答问题．
材
料
1
数形结合是重要的数学思想．将边长为1 的两个小正方形按如图1 所示
的方法进行剪拼成一个大的正方形，小正方形的对角线的长
就是大正
方形的边长．（选自课本P42 页）
材
料
2
实数与数轴上的点一一对应．如图2，正方形的边长为1 个单位长度，
以原点
为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与数轴分别交于点
，
，则点
对应的数为
，点
对应的数为
．（选自课本P54 页）
(1)材料中，数
是___________；点
与
之间的距离为___________；
类比探究：
(2)由以上材料，小连同学受到启发，若把长为2、宽为1 的两个长方形沿对角线剪开（对角线的长记为
），
得到四个形状大小一样的直角三角形，然后将它们拼成如图3 所示的大正方形
．．．．，中间恰好形成一个边长为
的小正方形
．．．．，求出
的值；
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(3)若要得到无理数
，可选择长与宽均为正整数的两个适当的长方形，参照图3 的剪拼方法得到一个中
间小正方形边长为
的大正方形．请在图4 的正方形网格图中用实线画出这个拼接成的大正方形和小正
方形，且该大正方形一条边与数轴重合，小正方形的一个顶点与原点
重合，并用圆规在数轴上画出表示
的点
．（保留作图痕迹，并标注点
）
【答案】(1)
；
(2)
的值为
(3)
中间小正方形边长为
的大正方形和点
为所求：
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案；②根据
即可求出答案；
（2）根据面积列方程并解方程即可；
（3）根据网格的特点和勾股定理作图即可．
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【详解】（1）解：①∵
,点
对应的数为
，
∴
；
②∵
∴点
与
之间的距离为
．
（2）根据题意可列方程：
解得
（
取正数）
所以
的值为
（3）略
