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2026-2027 学年八年级上学期数学周周测02
13.3 三角形的内角与外角
一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1.在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是 ( )
A. ∠A = 90° −∠C
B. ∠A = ∠B −∠C
C. ∠A = 2∠B = 3∠C
D. ∠A = ∠B =
1
2 ∠C
【答案】C
【详解】根据三角形内角和为 180∘ 判断是否为直角三角形。
A. ∠A = 90∘−∠C，则 ∠A + ∠C = 90∘，所以 ∠B = 90∘，是直角三角形。
B. ∠A = ∠B −∠C，则 ∠A + ∠C = ∠B，代入得 2∠B = 180∘，所以 ∠B = 90∘，是直角三角形。
C. 设 ∠A = 6x，∠B = 3x，∠C = 2x，则 6x + 3x + 2x = 180∘，11x = 180∘，三角度数中没有 90∘，不是直
角三角形。
D. ∠A = ∠B =
1
2 ∠C，则
1
2 ∠C +
1
2 ∠C + ∠C = 180∘，所以 ∠C = 90∘，是直角三角形。
2.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE//BC，∠A = 44∘，∠1 =
57∘，则∠2的度数为( )
A. 44∘
B. 114∘
C. 101∘
D. 123∘
【答案】C
【详解】因为 DE ∥BC，根据两直线平行，同位角相等，得∠B = ∠1 = 57∘。
又 ∠2 是 △ABC 的外角，所以∠2 = ∠A + ∠B = 44∘+ 57∘= 101∘。
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3.如图，△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CF = CD，DG = DE，则∠E的度数为
( )
A. 25∘
B. 20∘
C. 15∘
D. 7.5∘
【答案】C
【详解】因为 △ABC 是等边三角形，所以 ∠ACB = 60∘，
则 ∠ACD = 180∘−60∘= 120∘。
因为 CF = CD，所以 △CFD 是等腰三角形，∠CDF =
180∘−120∘
2
= 30∘。
因此 ∠FDE = 180∘−30∘= 150∘。
又因为 DG = DE，所以 △DEG 是等腰三角形，∠E =
180∘−150∘
2
= 15∘。
4.如图，在△ABC中，∠A = 50°，∠1 = 30°，∠2 = 40°，则∠D的度数是 ( )
A. 110°
B. 120°
C. 130°
D. 140°
【答案】B
【详解】在 △ABC 中，∠ABC + ∠ACB = 180∘−∠A = 180∘−50∘= 130∘。
所以∠DBC + ∠DCB = 130∘−(∠1 + ∠2) = 130∘−30∘−40∘= 60∘。
在 △BDC 中，∠D = 180∘−(∠DBC + ∠DCB) = 180∘−60∘= 120∘。
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5.如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1 + ∠2 = 230∘，则∠A的度数是( )
A. 35∘
B. 50∘
C. 65∘
D. 70∘
【答案】B
【详解】四边形内角和为 360∘，已知两个内角和为 230∘，
所以剩余两个内角和为360∘−230∘= 130∘。
这两个角恰好是 △ABC 中的另外两个内角，因此∠A = 180∘−130∘= 50∘。
6.如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，AD与BE相交于点F，∠C = 74∘，
∠ABC = 46∘，则∠BFD的度数为( )
A. 75∘
B. 70∘
C. 65∘
D. 60∘
【答案】D
【详解】
在 △ABC 中，∠BAC = 180∘−∠ABC −∠C = 180∘−46∘−74∘= 60∘。
因为 AD 平分 ∠BAC，所以∠BAD =
1
2 ∠BAC = 30∘。
因为 BE 是高，所以 ∠AEB = 90∘。
在 △AEF 中，∠AFE = 180∘−90∘−30∘= 60∘。
又因为 ∠ABE = 90∘−∠BAC = 30∘，
在 △ABF 中，∠AFB = 180∘−30∘−30∘= 120∘。
所以∠BFD = 180∘−∠AFB = 180∘−120∘= 60∘。
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7.如图是可调节躺椅的示意图(数据如图所示)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变，为了舒
适，需调整∠D的大小，使∠EFD = 110∘，则∠D应( )
A. 增加10∘
B. 减少10∘
C. 增加20∘
D. 减少20∘
答案】B
【详解】
∵∠A = 50∘，∠B = 60∘
∴∠ACB = 180∘−50∘−60∘= 70∘
∵∠ECD与∠ACB是对顶角
∴∠ECD = 70∘
由飞镖模型外角结论：∠EFD = ∠ECD + ∠E + ∠D
∵∠EFD = 110∘，∠E = 30∘
∴110∘= 70∘+ 30∘+ ∠D，解得∠D = 10∘
∵原∠D = 20∘
∴20∘−10∘= 10∘，∠D应减少10∘
8.如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P = 70∘，则∠B的度数为( )
A. 42∘
B. 40∘
C. 38∘
D. 35∘
【答案】B
【详解】由外角平分线模型可知，∠P = 90∘−
1
2 ∠B。
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代入 ∠P = 70∘，得70∘= 90∘−
1
2 ∠B，
所以
1
2 ∠B = 20∘，∠B = 40∘。
9.如图是一款儿童小推车的示意图，若AB//CD，∠1 = 30∘，∠2 = 70∘，则∠3的度数为( )
A. 40∘
B. 35∘
C. 30∘
D. 20∘
【答案】A
【详解】因为 AB ∥CD，所以可利用平行线形成的内错角与外角关系。
由图可知，∠2 等于 ∠1 与 ∠3 的和，即∠2 = ∠1 + ∠3。
所以∠3 = ∠2 −∠1 = 70∘−30∘= 40∘。
10.如图，把▵ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外面时，此时测得∠1 = 112 ∘，∠A = 40 ∘，
则∠2的度数为( )
A. 32 ∘
B. 33 ∘
C. 34 ∘
D. 36 ∘
【答案】A
【详解】由折叠性质可知，∠A′ = ∠A = 40∘。
根据三角形外角性质，∠1 = ∠A + ∠A′ + ∠2。
代入已知条件，112∘= 40∘+ 40∘+ ∠2，
所以∠2 = 32∘。
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分．
11.如图，一束平行于主光轴(图中的虚线)的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相
交于点P，F为焦点.若∠1 = 150∘，∠2 = 25∘，则∠3的度数为 ．
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【答案】55∘
【详解】∠1 = 150∘，所以它的邻补角为180∘−150∘= 30∘。
根据三角形外角性质，∠3 = 30∘+ ∠2 = 30∘+ 25∘= 55∘。
12.如图，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F的度数为 ．
【答案】360∘
【详解】利用对顶角和三角形内角和性质，可将∠A, ∠B,∠C, ∠D,∠E, ∠F
转化为两个三角形的内角和。
因为一个三角形内角和为 180∘，所以∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = 360∘。
13.如图，在锐角三角形ABC中，AD和CE分别是边BC和边AB上的高，若AD与CE所夹的锐角是58∘，则
∠BAC + ∠BCA = ∘．
【答案】122
【详解】因为 AD, CE 是高，所以∠AEF = 90∘，∠CDF = 90∘。
在四边形 BEFD 中，∠B + ∠BEF + ∠BDF + ∠EFD = 360∘。
所以∠B = 360∘−90∘−90∘−（180
∘−58∘）= 58∘。
所以∠BAC + ∠BCA = 180∘−58∘= 122∘
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14.如图，在△ABC中，点O是△ABC内部∠ABC的平分线上一点，连结OC，点P是∠BOC、∠OCB平分线的
交点，若∠P = 100∘，则∠ABC的度数为 °.
【答案】40∘
【详解】在 △BOC 中，∠BOC + ∠OCB + ∠OBC = 180∘。
因为点 P 是两内角平分线交点，所以∠P = 90∘+
1
2 ∠OBC。
代入 ∠P = 100∘，得100∘= 90∘+
1
2 ∠OBC，
所以
1
2 ∠OBC = 10∘，∠OBC = 20∘。
因为OB 平分∠ABC
∴∠ABC=2∠OBC = 40∘
15.如图所示的是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形ABCDE表示帐篷，线段BF，BG表示绳
索，点F在AB的延长线上，且点F，G都在DC的延长线上.若∠ABC = 130∘，∠BCD = 90∘，FG = FB，则
∠BGF = ∘．
【答案】20
【解析】∵∠BCD = 90∘，
∴∠BCF = 90∘，
∵点F在AB的延长线上，∠ABC = 130∘，
∴∠BFC = ∠ABC −∠BCF = 40∘，
∵FG = FB，∠BFC = ∠BGF + ∠GBF，
∴∠BGF = ∠GBF =
1
2 ∠BFC = 20∘．
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16.如图，在△ABC中，∠A = 52∘，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点
D2，⋯，依次类推，∠ABD3与∠ACD3的平分线交于点D4，则∠D4的度数是 ．
【答案】60∘
【解析】∵∠A = 52∘，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，
∴∠ABC + ∠ACB = 128∘，
∠CBD1 =
1
2 ∠ABC，∠BCD1 =
1
2 ∠ACB，
∴∠CBD1 + ∠BCD1 =
1
2 (∠ABC + ∠ACB) = 64∘，
即∠ABD1 + ∠ACD1 = 64∘，∴∠D1 = 116∘．
∵∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2，
∴∠D2BD1 + ∠D2CD1 =
1
2 (∠ABD1 + ∠ACD1) = 32∘，
∴∠CBD2 + ∠BCD2 = ∠D1BD2 + ∠D1BC + ∠D2CD1 + ∠D1CB = 96∘，
∴∠D2 = 84∘．
同理可得∠D3 = 68∘，∠D4 = 60∘．
故答案为60∘．
三、解答题：本题共6 小题,第17 题6 分，第18~20 题每题8 分，第21 题10 分，第22 题12 分，共52
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(6 分)如图，在Rt △ABC中，∠ACB = 90∘，∠A = 40∘，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线
于点E．
(1)求∠CBE的度数;
(2)过点D作DF//BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
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【详解】
(1)∵∠ACB=90∘,∠A=40∘,
∴∠CBD=130∘.
∵BE 是∠CBD 的平分线,
∴∠CBE=
1
2 ∠CBD=65∘.
(2)∵∠ACB=90∘,∠CBE=65∘,
∴∠CEB=90∘-65∘=25∘.
∵DF//BE,
∴∠F=∠CEB=25∘.
18.(8分)如图，∠1 + ∠2 = 180∘，∠DEF = ∠A，∠BED = 70∘．
(1)试说明AB//FE;
(2)求∠ACB的度数．
【详解】
(1) 证明:∵∠1+∠2=180∘,∠1+∠DFE=180∘,
∴∠2=∠DFE.
∴AB//FE.
(2)解：由(1)知AB//FE,
∴∠B=∠FEC.
∵∠A+∠B+∠ACB=180∘,∠BED+∠DEF+∠FEC=180∘,∠DEF=∠A,
∴∠ACB=∠BED=70∘.
19.(8分)如图，CE平分▵ABC的外角∠ACD，且交BA的延长线于点E。
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(1)若∠B = 32∘，∠E = 36∘，求∠BAC的度数；
(2)试猜想∠BAC，∠B，∠E三个角之间的数量关系，并证明你的猜想。
【详解】
(1) 解：∵∠B = 32∘，∠E = 36∘，
∴∠ECD = ∠B + ∠E = 32∘+ 36∘= 68∘.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE = ∠ECD = 68∘，
∴∠BAC = ∠ACE + ∠E = 68∘+ 36∘= 104∘.
(2)猜想：∠BAC = ∠B + 2∠E.
证明如下：
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE = ∠ECD.
又∵∠ECD = ∠B + ∠E，
∴∠BAC = ∠ACE + ∠E = ∠ECD + ∠E = ∠B + ∠E + ∠E = ∠B + 2∠E，
即∠BAC = ∠B + 2∠E.
20.(8分)探究与证明：
如图 ①，在△ABC中，AD ⊥BC于点D，CE ⊥AB于点E．
(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由;
(2)如果∠ABC是钝角，如图 ②，(1)中的结论是否还成立?请说明理由．
【详解】
(1) 解:∠1=∠2.
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理由如下:
∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴△ABD 和△BCE 都是直角三角形.
∴∠1+∠B=90∘,∠2+∠B=90∘.
∴∠1=∠2;
(2)(1)中的结论仍然成立.
理由如下:
∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠D=∠E=90∘.
∴∠2+∠ABD=90∘,∠1+∠CBE=90∘.
又∵∠ABD=∠CBE,
∴∠1=∠2.
21.(10 分)如图，在△ABC中，∠A = 32∘，∠B = 76∘，CE平分∠ACB交AB于点E，CD ⊥AB于点D．
(1)求∠ACE的度数;
(2)若∠CDF = 68∘，证明：△CDF是直角三角形．
【详解】
(1)【解】∵∠A=32∘,∠B=76∘,
∴∠ACB=180∘-∠A-∠B=180∘-32∘-76∘=72∘.
∵CE 平分∠ACB,
∴∠ACE=
1
2 ∠ACB=
1
2 × 72∘=36∘.
(2)【证明】由(1)可知∠ACE=36∘.
∵∠A=32∘,
∴∠CED=180∘-∠AEC=∠A+∠ACE=32∘+36∘=68∘.
∵CD⊥AB,
∴在Rt△CDE 中,∠ECD=90∘-∠CED=90∘-68∘=22∘.
小学
初中
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在△CDF 中,∵∠CDF=68∘,
∴∠CFD=180∘-∠CDF-∠FCD=180∘-68∘-22∘=90∘,
∴△CDF 是直角三角形.
22.(12分)
△ABC中，∠C = 70∘，点D，E分别是△ABC的边AC，BC上的两个定点，点P是平面内一动点，令∠PDA =
∠1，∠PEB = ∠2，∠DPE = ∠α．
(1) 【初探】
如图(1)，若点P在线段AB上运动，
①当∠α = 60∘时，∠1 + ∠2 = ∘．
②写出∠α，∠1，∠2之间的关系： ．
(2) 【再探】若点P运动到边AB的延长线上，DP交CB于F，如图(2)，则∠α，∠1，∠2之间有何关系?并说明
理由．
(3) 【拓展】请你试着给出一个点P的其他位置，在图(3)中补全图形，写出此时∠α，∠1，∠2之间的关系，并
说明理由．
【详解】
(1)①130; ②∠1+∠2=70∘+∠α
(2)∠1=70∘+∠2+∠α.
理由:∵∠1=∠C+∠CFD,∠CFD=∠2+∠α,
∴∠1=70∘+∠2+∠α.
(3)(在平面内任选一个点P 的位置作答即可,答案不唯一)
当点P 在△ABC 内部时,如图(2)所示.∠1+∠2=430∘-∠α.
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理由:如图(2),连接CP.
∵∠1=∠DCP+∠DPC,∠2=∠ECP+∠CPE,
∴∠1+∠2
=∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC
=∠ACB+360∘-∠DPE
=70∘+360∘-∠α,
∴∠1+∠2=430∘-∠α.
