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专题 05 九种函数与抽象函数模型归类
目录
题型一：三大补充函数：对勾函数.....................................................................................................................................1
题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数.....................................................................................................4
题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数）.............................................................................................................6
题型四：一元三次函数.........................................................................................................................................................9
题型五：高斯取整函数.......................................................................................................................................................12
题型六：绝对值函数...........................................................................................................................................................15
题型七：对数绝对值型.......................................................................................................................................................19
题型八：对数无理型...........................................................................................................................................................22
题型九：对数反比例型.......................................................................................................................................................24
题型十：指数反比例型.......................................................................................................................................................26
题型十一：抽象函数模型：过原点直线型.......................................................................................................................28
题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型...................................................................................................................30
题型十三：抽象函数模型：正切型...................................................................................................................................33
题型十四：抽象函数模型：一元二次型...........................................................................................................................35
题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型...................................................................................................................37
题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型.......................................................................................................39
题型一：三大补充函数：对勾函数
对勾函数： 图像特征
形如 称为对勾函数
1.有“渐近线”：y=ax
2.“拐点”：解方程 （即第一象限均值不等式取等处）
1.（2022秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）若对任意的 ，不等式 恒成立，
则 的最大值是 .
【答案】
【分析】令 ，讨论 的取值范围，确定函数的单调性，根据单调性确定函数的最大值与最小值，使 且 恒成立，进而确定 的取值范围以及 的取值范围，即求.
【详解】令
I.当 时，函数 显然单调递增，
所以 ， ，
由题意可得 ，
这与 矛盾，故舍去；
II，当 时， 在 单调递减， 单调递增，
①.当 时，即 ，所以 ，
由题意可得 ，
这与 矛盾（舍去）.
②．当 时，即 ，
所以 ，
，由题意得 ，a.当 时，此时 ，
所以 ，故 ，
而 ，故 ，b.当 时，此时 ，所以
，
故 ，而 ，故 .
③．当 时，即 ，所以 ， ，
由题意可得 ，这与 矛盾，
综上所述： .故答案为：
2.（2022·安徽合肥·高二校联考开学考试）已知函数 ，关于x的不等式 只有一
个整数解，则正数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将函数解析式变形，结合打勾函数的图像与性质可求得 的值域，进而结合不等式可知；因为不等式 只有一个解，因而计算 后与 比较即可
确定这个解为 ；进而由不等式成立条件可得正数a的取值范围.
【详解】函数 ，结合打勾函数性质可知， ，
关于x的不等式 ，因为求正数a的取值范围，因而 ，化简不等式可得 ，
所以 ，即 则 ，
因为关于x的不等式 只有一个整数解，
所以由以上数据可知整数解为 ，所以 ，
解得 ，所以 故答案为： .
3.．（2023·高三单元测试）已知函数 ，若存在 ，使得
，则正整数 的最大值为 .
【答案】4
【分析】根据单调性得到 ，要使正整数 尽可能大，则可以是 ，得到答案.
【详解】当 时， ， 单调递减，故 ，
要使正整数 尽可能大，则可以是 ，故 的最大值为4.
故答案为：4.
4.（2022·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知函数 ，若对任意的
，长为 的三条线段均可以构成三角形，则正实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出 的导数，分类讨论可得最小值和最大值，由题意可得最小值的2倍大于最大值，解不等
式即可得到所求 的范围．
【详解】函数 的导数为 ，
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减．
当 即 时， ， 为减区间，即有 的最大值为 ；
最小值为 ．
由题意可得只要满足 ，解得 ；
当 且 即 时， ， 为减区间， ， 为增区间，
即有 的最大值为 ；最小值为 ．
由题意可得只要满足 ，解得 ，所以 ；
当 且 （1）即 时， ， 为减区间， ， 为增区间，即有 的最大值为 ；最小值为 ．
由题意可得只要满足 ，解得 ，所以 ；
当 ，即 时， ， 为增区间，即有 的最小值为 ；
最大值为 ．
由题意可得只要满足 ，解得 ．
综上可得， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数
反比例与分式型函数
解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用
穿线法求解
形如： 。对称中为P ，其中
① ；
②
③一、三或者二、四象限，通过 计算判断
1.（2022·湖北武汉·高三校联考模拟）已知函数 为奇函数， 与 的图
像有8个交点，分别为 ，则
.
【答案】16
【分析】由 为奇函数可得函数 关于点 对称，分离常数
可知函数 关于点 对称，继而可得 与 图像的8个交
点关于点 对称，则 ， 可求，结果可得.
【详解】 为奇函数 函数 关于点 对称
函数 关于点 对称 与 图像的8个交点关于点 对称
, , , 可得
同理可知故答案为：
2.（2023·全国·高三对口高考）函数 的值域是 或 ，则此函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用反函数,可将原函数化为 ,(其中 或 ),求出 的值域即得 的定义域.
【详解】 ，其中 或 ，
当 时, 是减函数,此时 ，
当 时, 是减函数,此时 ，
∴函数 的定义域为 .
故答案为： .
3.（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，其中 且 ，函数 ，且
对任意 ，都有 ，则 的值是 ．
【答案】 或3.
【分析】先判断区间 与 的关系可得 ，再分析 时定义域与值域的关系，根据函数的
单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得 和 即可.最后分析当 时，
，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可
【详解】先判断区间 与 的关系，因为 ，故 或 .因为当 ，即 时，由题
意，当 时， ，故不成立；故 .
再分析区间 与 的关系，因为 ，故 或 .
①当 ，即 时，因为 在区间 上为减函数，故当 ，
，因为 ，而 ，故此时 ，即 ，因为
，故 即 ，故 ，解得 ，因为 ，故.此时区间 在 左侧， 在 右侧.故当 时， ，
因为 ，故 ，所以 ，此时 ，故 ，解得
，因为 ，故 ；
②当 时， 在区间 上单调递减，易得
，故此时 且 ，即 且
，所以 ，故 ，故 ，即 ， ，因为
，故 ；
综上所述， 或3。故答案为： 或3.
4.（2023·浙江·高二校联考开学考试）已知函数 ，若函数 在 的最大值为2，
则实数 的值为 .
【答案】 或2
【解析】由题意可得三个非负端点值 ，分别令它们为最大值2求 ，再验证是否符合题设
即可求 的值.
【详解】 ，由题意知： ，
∴ 时， ； 时， ； 时， ；
若 时， 或 ，而 有 ， 有 ，故与题设矛盾；
若 时， 或 ，而 有 ，所以只有 时成立；
若 时， 或 ，而 有 ，所以只有 时成立；
综上有： 或 ，
故答案为： 或2题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数）
双刀函数
（两支各自增），或者 （两支各自减）
1.有“渐近线”：y=ax与y=-ax
2.“零点”：解方程 （即方程等0处）
1.（2023·江苏南通·高二统考期末）已知函数 ，则关于x的不等式 的解集是
.
【答案】
【分析】求出 是奇函数，且在定义域上是单减函数，变形 再利用单调
性解不等式可得解.
【详解】 ，
是奇函数，又 是 上的减函数， 是 上的增函数，
由函数单调性质得 是 上的减函数.
,则 ，由奇函数得
且 是 上的减函数. ， ，又
不等式 的解集是 故答案为：
2.（2023春·湖北·高二统考期末）已知奇函数 ，有三个零点，则t的取值范围为
.
【答案】
【分析】由 为奇函数求出 的值，再利用导数研究函数和单调性和极值点，由 有三个零点，求t
的取值范围.
【详解】若 ， ，函数没有三个零点，所以 ，
为奇函数，则 ，即 ，
得 ，设 ，函数定义域为R， ， 为偶函数，
， 是R上的增函数，且 ，
则 ，解得 ； ，解得 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
，由 ，则有 ，
所以 ， ，
由 ，当且仅当 时等号成立，则 ，
若 ，则 ， 单调递减，没有三个零点；
若 ，令 ，则方程 ，即 ，
判别式 ，方程有两个不相等实数根，设两根为 且 ，则有 ，
，所以 ，
令 ， ，由 ，则 且 ，
，即 ，即 ，解得 ，得 ；
，即 ，即 ，解得 或 ，得 或 ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，由 ，则有 ，
，
由函数 的单调性和递增速度可知， 时，存在 ， 的图像如图所示，
此时奇函数 有三个零点.综上可知，t的取值范围为 .故答案为：
3.（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知函数 若 ，则
．
【答案】3
【分析】利用 ，求得 的值.
【详解】根据题意，函数 ，则 ，则 ，
故有 ，又由 ，则 ，故答案为：3.
4...2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考）已知函数 ，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】令 ，分析函数 的定义域、奇偶性与单调性，将所求不等式变形为 ，结合函数 的单调性可得出关于 的不等式，解之即可.
【详解】设 ，则函数 是定义域为 ，
因为 ，故函数 为奇函数，
因为函数 、 、 、 均为 上的增函数，
故函数 为 上的增函数，
因为 ，
由 可得 ，
可得 ，
所以， ，即 ，解得 .
因此，不等式 的解集为 .
故答案为： .
题型四：一元三次函数
一元三次函数：
所有的三次函数 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图像的对称中心，
设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”．
1.．给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有
实数解 ，则称 为函数 的“拐点”．经研究发现所有的三次函
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图像的对称中心．若函数
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用题中给出的定义，得到 的拐点为 ，从而得到 的对称中心为 ，即
，由此分析计算即可．
【详解】解：因为函数 ，则 ， ，
令 ，解得 ，且 ，由题意可知， 的拐点为 ，故 的对称中心为 ，
所以 ，
所以 ．故选：A．2.已知函数 f (x)=ax3+3x2+1，若至少存在两个实数 m，使得 f (−m)，f (1)，f (m+2) 成等差数列，
则过坐标原点作曲线 y=f (x) 的切线可以作 ()
A. 3 条 B. 2 条 C. 1 条 D. 0 条
【答案】B 【解析】至少存在两个实数 m，使得 f (−m)，f (1)，f (m+2) 成等差数列，
可得 f (−m)+f (2+m)=2f (1)=2(a+4)，即有 f (x) 的图象关于点 (1,a+4) 对称， f (x) 的导数为
fʹ(x)=3ax2+6x，
1 ( 1 ) ( 1 ) 1
fʺ(x)=6ax+6，由 fʺ(x)=0，可得 x=− ，由 f − +x +f − −x 为常数，可得 − =1，解
a a a a
得 a=−1．
即有 f (x)=−x3+3x2+1， fʹ(x)=−3x2+6x，设切点为 (t,−t3+3t2+1)，可得切线的斜率为
−t3+3t2+1
−3t2+6t= ，化为 2t3−3t2+1=0，设 g(t)=2t3−3t2+1，gʹ(t)=6t2−6t，
t
当 01 或 t<0 时，gʹ(t)>0，g(t) 递增．
可得 g(t) 在 t=0 处取得极大值，且为 1>0；在 t=1 处取得极小值，且为 0．
可知 2t3−3t2+1=0 有两解，即过坐标原点作曲线 y=f (x) 的切线可以作 2 条．
3.（多选）（全国名校大联考2022-2023学年高三上学期第三次联考数学试卷）对于三次函数
，给出定义：设 是函数 的导数， 是函数 的导数，
若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个
三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数
，则下列说法正确的是（ ）
A． 的极大值点为
B． 有且仅有3个零点
C．点 是 的对称中心
D．
【答案】BCD
【分析】求出 ，得到函数的单调区间，即可求得极值，要注意极值点是一个数，可判
断A项；根据极大值、极小值的正负，可得到函数零点的个数，即判断B项；根据 的解的情况，
可判断C项；由对称中心可推得 ，用倒序相加法即可求得式子的和，判断D项.
【详解】由题意知 .
令 ，解得 或 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递增；
令 ，解得 ，所以在 上单调递减.
又 ， .
所以， 在 处有极大值 ，在 处有极小值 .
所以 的极大值点为-2，A项错误；
又极大值 ，极小值 ，作出 的图象，有图象可知， 有且仅有3个零点，故B正确；
，令 ，解得 ，
又 ，由题意可知，点 是 的对称中心，故C正确；
因为点 是 的对称中心，所以有 ，即 .
令 ，
又 ，
所以
，，所以 .故D正确.
故选：BCD.
4. （多选）（江苏省苏州市常熟市2022-2023学年高三上学期12月抽测二数学试题）对于三次函数
,给出定义:设 是函数 的导数, 是 的导数,若方程
有实数解 ,则称点 为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,
任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数 ,则以下说法正确
的是（ ）
A．
B．当 时, 有三个零点
C．
D．当 有两个极值点 时,过 的直线必过点
【答案】AB
【分析】根据题意令 二次导数为零即可求出拐点,即对称中心,即可得选项A的正误,先讨论 时是
否为零点,然后进行全分离,设新函数求导求单调性,求特殊值,画函数图象即可判断选项B的正误,根据选项
A,将 代入再相加即可得选项C 的正误,两点在一条直线上,则中点也在直线上,根据 为
极值点,令 导函数为0,用韦达定理即可得 ,根据选项A,可得 ,即可求出
中点坐标,即可判断选项D的正误.【详解】解:由题知 ,
关于选项A:
,令 可得 , 的拐点为 , ,
对称中心为 ,即 成立,-故选项A正确;
关于选项B:
当 时, , 不是 的零点,令 ,即 有三个根,
令 , ,
时, 单调递增, 时, 单调递减, 时, 单调递减,
, , , , 画 图象如下:
由图可知: 时, 与 有三个交点,
即 有三个零点,故选项B正确;
关于选项C:
由选项A可知: , ,
两式相加可得 ,故选项C错误;
关于选项D:
由于 有两个极值点 有两根 , ,
由于直线过 ,则直线一定过 中点,由选项A知 ,且有 ,
中点坐标为 ,则直线一定过 ,故选项D错误.
故选:AB
题型五：高斯取整函数
取整函数 表示不超过 的最大整数，又叫做“高斯函数”，
1.（黑龙江省大庆市铁人中学2022-2023学年高三月考数学试题）符号 表示不超过 的最大整数，如
， ， ，定义函数 则下列说法正确的个数是（ ）
①函数 的定义域为R
②函数 的值域为
③函数 是增函数
④函数 是奇函数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
根据题中定义、增函数的性质、奇函数的性质，结合特例法进行判断即可.
【详解】
①：函数 的定义域为全体实数，故本说法正确；
②：因为 表示不超过 的最大整数，所以 ，因此本说法不正确；
③：因为 ，显然函数在整个实数集上不是增函数，所以本说法不正确；
④：因为 ， ，
所以 ，因此本函数不是奇函数，所以本说法不正确，
故选：A
2.（广东省广州市第四中学2021-2022学年高三上学期月考数学试题）高斯（1777-1855）是德国著名数学
家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一，并享有“数学王子”之称，高斯一生的数学成就很多，其中：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如：
， ，已知函数 ， ，设函数 的值域为集合 ，则
中所有负整数元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
根据二次函数的性质求出函数的值域，然后再进行判断即可.
【详解】
函数 图象的对称轴为 ，当 时，易知 ， ，所以
的值域 ，故其值域中所有负整数元素为 ， ， ，个数为3.
故选：B.
3.（百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考（四）全国卷 I 理科数学试题）高斯
是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重
要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设 用 表示不超过 的
最大整数，则 称为高斯函数，例如： 已知函数 .设函
数 的值域为集合 ，则 中所有正整数元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求解出二次函数 的值域，然后根据高斯函数的定义确定出集合 ，从而 中
所有正整数元素个数可知.
【详解】
函数 图象的对称轴为 ，
当 时， ， ，
所以 ，
所以 的值域 ，
故其值域中所有正整数元素为 个数为 ，
故选： .
4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 ，用 表示不超过
的最大整数， 也被称为“高斯函数”，例如： ， .已知函数 ，
下列说法中正确的是（ ）
A． 是周期函数 B． 的值域是
C． 在 上是减函数 D． ，
【答案】AC
【分析】
根据 定义将函数 写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.
【详解】由题意可知 ， ，
可画出函数图像，如图：
可得到函数 是周期为1的函数，且值域为 ，在 上单调递减，故选项AC正确，B错误；对于
D，取 ，则 ，故D错误.
故选：AC．
题型六：绝对值函数
绝对值函数：
1.（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）定义 为与 距离最近的整数，令函数，如： .
【答案】19
【分析】令 ，则 ，即 ，所以
，满足此不等式的正整数 的个数有 ，即
共有 个数，由此求解即可得出答案.
【详解】令 ，则 ，即 ，即
，
所以 ，满足此不等式的正整数 的个数有 ，
即 共有 个数；
时则有2个，即 ；
时则有4个，即 ；
时则有6个，即 ；
时则有18个，即 ，（其中 ）；
又 ，所以 ，
其中 共有10个数；
所以
.
故答案为：19.
2.（2023·天津和平·统考三模）已知函数 ，若关于 的方程 恰有三个不相等
的实数解，则实数 的取值集合为 .
【答案】
【分析】分类讨论 的不同取值，并作出 的图象，利用数形结合的思想，结合函数图象确定两个函数
图象的交点的个数即可求解.
【详解】 ，当 时， ，此时 无解，不满足题
意；
当 时，设 ，则 与 的图象大致如下，则 对应的2个根为 ，此时方程 均无解，即方程 无解，不
满足题意；
当 时，设 ，则 与 的图象大致如下，
则则 对应的2个根为 ，若方程 恰有三个不相等的实数解，
则 与函数 的图象共有3个不同的交点，
①当 时， 与函数 的图象共有2个交点，如图所示，
所以 与函数 的图象只有1个交点，
则 ，所以 ，解得 ；②当 时， 与函数 的图象共有2个交点，
所以 与函数 的图象只有1个交点，则 ，与 矛盾，不合题意；
③当 时， 与函数 的图象共有2个交点，如图所示，
所以 与函数 的图象只有1个交点，则 ，所以 ，解得 ；
综上， 的取值集合为 ，故答案为: .3.（2022·浙江·高三模拟）已知函数 ，有下列结论：
① ，等式 恒成立；
② ，方程 有两个不等实根；
③ ，若 ，则一定有 ；
④存在无数多个实数k，使得方程 在 上有三个不同的实数根．
则其中正确结论序号为 ．
【答案】①③④
【分析】①根据函数表达式计算判断；②举反例判断；③根据函数单调性判断；④用数形结合法判断.
【详解】已知函数 ，有下列结论：
对于①，因为 ， ，所以①对；
对于②，因为当 时，方程 ，只有一个实根 ，所以②错；
对于③，因为当 时， ，单调递增，
当 时， 单调递增，
所以 在 上单调递增，
所以 ，若 ，则一定有 ，所以③对；
对于④，方程 在 上有三个不同的实数根，
即方程 在 上有三个不同的实数根，
因为 必为一根，只要方程 有两个不同的实数根，即只要 有两个不同的实数根，
由函数图像知 ，即 ，所以④对．
故答案为：①③④·
4.（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知 若存在
，使得 成立的最大正整数 为6，则 的取值范围为
.
【答案】
【分析】由题意得 ，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.【详解】原问题等价于 ，当 时，函数图象如图
此时 ，则 ，解得：
；
当 时，函数图象如图 此时 ，
则 ，解得： ；
当 时，函数图象如图 此时 ，
则 ，解得： ；
当 时，函数图象如图 此时 ，
则 ，解得： ；综上，满足条件 的取值范围为 .
故答案为：
题型七：对数绝对值型对数绝对值型函数
对于 ， 若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
1.（2022·吉林白山·抚松县第一中学校考二模）已知函数 ，若方程 有4个不同
的根 ， ， ， ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出函数 与 的图像，得到 关于 对称， 化简条件，利用对勾函数的
性质可求解.
【详解】作函数 与 的图像如下：
方程 有4个不同的根 ， ， ， ，且 ，
可知 关于 对称，即 ，且 ，
则 ，即 ，则
即 ，则 ；
当 得 或 ，则 ； ；
故 ， ；
则函数 ，在 上为减函数，在 上为增函数；
故 取得最小值为 ，而当 时，函数值最大值为 .即函数取值范围是 .故选：D.
2.（2023春·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）设函数 ，若关于x的方
程 有四个实根 （ ），则 的最小值为（ ）
A． B．16 C． D．17
【答案】B
【分析】作出函数 的大致图象，可知 ，由 与 的图象有四个交点可得
，计算 求得 的值即可得 的范围，根据 可
得 与 的关系，再根据基本不等式计算 的最小值即可求解.
【详解】作出函数 的大致图象，如图所示：
当 时， 对称轴为 ，所以 ，
若关于 的方程 有四个实根 ， ， ， ，则 ，
由 ，得 或 ，则 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 .故选：B.
3.（2020秋·陕西延安·高三校考模拟）已知 ，则函数 的零点个数是
（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】首先由函数的零点转化为方程 和 的根，再利用数形结合即可求得函数的零点个
数.【详解】函数 的零点，
即方程 和 的根，
函数 的图象如下图所示：
由图可得方程 和 共有5个根，
即函数 有5个零点，
故选：A
4.（2023春·安徽安庆·高三统考模拟）设函数 ，若
（其中 ），则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析函数 的性质并作出图象，将问题转化为直线 与函数 的图象的四个交点问题，
结合图象性质再构造函数，借助单调性求解作答.
【详解】当 时，函数 在 上递减，函数值集合为 ，在 上递增，函数值集合
为 ，
当 时，函数 在 上递减，函数值集合为 ，在 上递增，函数值集合为
，
作出函数 的图象，如图，设 ，
当 时，直线 与函数 的图象有四个交点，且交点的横坐标分别为 ，且
，
当 时，由 ，解得 或 ，于是 ，
由 ，得 ，则 ，即 ，而 ，因此 ，
令 ，显然函数 在 上递减，且 ，于是 ，
所以 的取值范围是 ．故选：D
题型八：对数无理型
对数与无理式复合是奇函数： ，如
1.（2023春·黑龙江绥化·高二校考期末）已知函数 ，若任意的正数 ， 均满足
，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】先判断出 的单调性和奇偶性，再由 得出 与 满足的等式，再由基本不
等式“1”的妙用求解即可.
【详解】∵ 恒成立，∴函数 的定义域为 ． ，有 成立，
，
，
∴ ，∴ 为定义在 上的奇函数．
由复合函数的单调性易知，当 时， 与 均单调递减，
∴ 在区间 上单调递减，
又∵ 为定义在 上的奇函数，∴ 在 上单调递减.
∴由 得 ，∴正数 ， 满足 ，即 ，
∴由基本不等式， ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，∴ 的最小值为 ．故答案为：
．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，则 的取值
范围是 .
【答案】
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，
解得即可.
【详解】因为函数 ，定义域为 ，且 ，则
，
即 ，即 为奇函数，
当 时 ， ， 均单调递增，所以 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，
所以 是奇函数且在 上单调递增，
由 ，可得 ，则 ，解得 ，
即 的取值范围为 .
故答案为：
3.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考模拟）已知函数
的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝ ．
【答案】
【分析】设 ，判断 是奇函数，故 ，从而可求解.
【详解】设 ，则 的定义域为 ，
则
，
∴ ， 是奇函数，因此 .
又 ， ，
∴ ， ．
故答案为: .
4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若正实数 满足 ，
则 的最小值为 .
【答案】16
【分析】根据题意设 ，利用函数奇偶性可以得到设 ，再利用基本不等式即
可求出结果.
【详解】由函数 ，设 ，则 的定义域为 ，
，则 ，所以 是奇函数，
则 ，又因为正实数 满足 ，所以 ，
，当且仅当 时取到等号.
故答案为：16.
题型九：对数反比例型1.（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数 ，若函数 的图象关于点 对称，
则 （ ）
A．-3 B．-2 C． D．
【答案】C
【分析】方法一：由题意，推出 是奇函数，根据定义域的对称性依次求得 的值，即可求得
；方法二：直接利用 ，将其化成 ，再由等式恒
成立得到 ，继而求得 .
【详解】方法一：依题意将函数 的图象向左移1个单位长度关于原点对称，即
是奇函数，
因奇函数的定义域关于原点对称，而 时函数 无意义，故 时 也无意义，
即 ，解得
此时 为奇函数，则
解得 故 .
故选：C．
方法二：依题意 恒成立，代入得
化简得， ,
整理得： ，
即 (*)，
依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使 ，则得 ，
回代(*)可得， ，即 ，故 .
故选：C.2.（21-22高三上·云南曲靖·阶段练习）设定义在区间 上的函数 是奇函数，且
.若 表示不超过 的最大整数， 是函数 的零点，则
A． B． 或 C． D．
【答案】C
【详解】由奇函数的定义可得 ，即 ，也即 ；当 时，
，则 ，与题设不符，所以 ，由
，所以 ．由于 ，所以若 时，
，则函数 的零点 ；则由题设中的新定义的概念可得 ．
若 时， ，则函数 无零点 ，则由题设中的新定义的
概念可得 ，应选答案C．
3.（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数 是定义在区间 上的奇函数，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 是奇函数求出 的值，再求出 的定义域即可求出 的取值范围.
【详解】 ，
，即 ，即 ，
， ，
是定义在区间 上的奇函数，
，即 ，
，解得 （舍）或 ，
的定义域为 ， .
故选：D.
4.（23-24高三上·浙江宁波·模拟）已知 是奇函数，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称,得到 ,即可求出 的值,求出函数的定义域，再由奇
函数的性质 ,求出 的值,即可得到结果。【详解】因为 是奇函数，可知 定义域关于原点对称，
由 ，可得 ，显然 ，则 且 ，可得 ，解得 ，
所以函数的定义域为 ，则 ，解得 ,
此时 ,且 ，即 ， 符合题意，
所以 .故选：D.
题型十：指数反比例型
变化
1.（23-24高三上·河南·模拟）已知函数 是定义在 上的奇函数，且对任意 ，不等式
恒成立，则实数 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值
【答案】D
【分析】先由奇函数确定 的值，然后对 变形得到其单调性，结合函数奇偶性将不等式等价变形为
对任意 恒成立，故只需求出函数 的最小值即可，由复合函数单调性，
即可得出其单调性，进而得到其最小值.
【详解】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，得 ， ，从而由复合函数单调性可知 在 上单调递增，且注意到 是定义在 上的奇函数，
所以不等式 等价于 ，
即等价于 ，亦即 ，
该不等式对任意 恒成立，则 不大于 的最小值．
因为由复合函数单调性可知 在区间 上单调递增，
所以当 时， 的最小值为
所以 ，等号成立当且仅当 ．故选：D.
2.（23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数 ，若实数 满足 ，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由题意推出 ，然后由基本不等式即可求解.
【详解】一方面由题意有 ，
另一方面若有 成立，结合以上两方面有 ，
且注意到 ，所以由复合函数单调性可得 在 上严
格单调递增，
若 ，则只能 ，因此 当且仅当 ；
又已知 ，所以 ，即 ，
由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最大值为 .故选：C.
3.（21-22高三上·辽宁锦州·模拟）已知函数 的图像与过点 的直线有3个不同的交点
， ， ，则 （ ）
A．8 B．10 C．13 D．18
【答案】D
【分析】分析函数 的对称性，再借助对称性的性质计算作答.【详解】函数 定义域为R，且 ，即点 在函数图象上，
， ，因此，函数 的图象关于点 对
称，
依题意，不妨令 ，则点 与 关于点 对称，即 且 ，
所以 .
故选：D
4.（2024·河北衡水·模拟预测）设 ，若函数 是偶函数，则
（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据对数的运算性质，结合偶函数满足的等量关系，即可求解.
【详解】 的定义域为 ，关于原点对称，
故
所以 ，
故 或 （舍去），故选：D
题型十一：抽象函数模型：过原点直线型
--过原点直线型f（x）=kx
1.（23-24高三上·山东泰安·模拟）已知函数 对于任意的 ，都有 成立，
则（ 多选 ）A．
B． 是 上的偶函数
C．若 ，则
D．当 时， ，则 在 上单调递增
【答案】AC
【分析】A选项，令 ，得到A正确；B选项，令 ，得到 ，但f(x)不一定恒
为0可判断B；C选项，令 即可；D选项，令 ，得到 ，得到
在 上单调递减.
【详解】A选项，当 时， ，解得 ，A正确；
B选项，令 得 ，即 ，故 是 上的奇函数，
但不一定是偶函数,因为 不一定恒为0，B错误；
C选项，令 ，则 ，因为 ，则 ，C正确；
D选项，令 ，则 ，
则 ，故 在 上单调递减，D错误.
故选：AC
2.（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数 ， ，对于任意 ， ， ，
且当 时，均有 ，则（ 多选 ）
A．
B．
C．
D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】根据抽象函数的性质，利用赋值法可判断A，根据性质可判断B，由赋值法及性质可判断C，根据
抽象函数的性质判断函数的单调性可判断D.
【详解】令 ，则 ，解得 ，故A错；
因为 ，故B正确；
因为 ，所以 ，故C正确；
设任意的 ，且 ，则 ，所以
，
即 ，所以函数 为 上的增函数，因为 ，
所以 ，解得 ，故D正确.
故选：BCD
3.（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）定义在 上的函数 满足 ，当 时，
，则函数 满足（ ）
A． B． 是偶函数
C． 在 上有最小值 D． 的解集为
【答案】C
【分析】根据抽象函数的关系，利用赋值法可判断选项A；利用赋值法和函数奇偶性的定义可判断选项B；根据函数单调性的定义可判断选项C；根据函数的奇偶性和单调性可判断选项D .
【详解】令 ， ，由 可得： ，解得 ，故选项A
错误；
令 ，由 可得： ，即 ，
则 是奇函数，故选项B错误；
任取 ，且 ，
则 ，
所以 ，即
所以函数 在 上单调递减.
因为 是奇函数，
所以函数 为 上的减函数.
所以 在 上有最小值 ，故选项C正确；
因为 是为 上的奇函数，且为 上的减函数，
所以当 时有 ，解得 ，故选项D错误.
故选：C
4.（2023·广西玉林·三模）函数 对任意x， 总有 ，当 时， ，
，则下列命题中正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是R上的减函数
C． 在 上的最小值为 D．若 ，则实数x的取值范围为
【答案】C
【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A；
根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B；
根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C；
不等式转化为 ，利用函数的单调性，即可判断D.
【详解】解：取 ， ，则 ，解得 ， ，
则 ．即 ，函数 是奇函数，所以选项A错误；
令 ， ，且 ，则 ，因为当 时， ，所以 ．
则 ．即 ，
函数 是R上的增函数，所以选项B错误；
因为函数 是R上的增函数，所以函数 在 上的最小值为 ，
， ， ．
故 ， 在 的最小值为-2，所以选项C正确；
，即 ，
因为函数 是R上的增函数，所以 ，所以 ，
所以实数x的取值范围为 ，所以选项D不正确．
故选：C．
题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型1. （多选）（23-24高三上·四川成都·阶段练习）设函数 满足：对任意实数 、 都有,
且当 时， .设 .则下列命题正确的是（ ）
A． B．函数 有对称中心
C．函数 为奇函数 D．函数 为减函数
【答案】ABC
【分析】令 ，可得 ，再令 ，判断选项A；令 ，即可判断选项
B；由 ，判断选项C；令 ,利用函数的单调性定义进行判断选项D.
【详解】由对于任意实数 ， ，
令 ，则 ，即 ,
再令 ,则 ，
即 ，故A正确;
令 ，则 ，即 ，故B正确；
由 ，则 ，即 是奇函数，故C正确；
对于任意 ,则 ，当 时， ，则 ，所以 单
调递增，即 单调递增，故D错误.
故选：ABC
2. （多选）（23-24高三上·辽宁朝阳·模拟）若定义在R上的函数 满足 ，且
当 时， ，则（ ）
A．
B． 为奇函数
C． 在 上是减函数
D．若 ，则不等式 的解集为
【答案】AB
【分析】令 ，得 ，可求解选项A，利用奇函数的定义可求解选项B，利用函数单调性的
定义可求解选项C，利用函数的单调性解抽象不等式可求解选项D.
【详解】对A，令 ，得 ，A正确；
对B， ，所以函数 为奇函数，B正确；
对C，在R上任取 ，则 ，所以 ,又 ，
所以函数 在R上是增函数，C错误；
由 ，
得 ．
由 得 ．
因为函数 在R上是增函数，所以 ，解得 或 ．
故原不等式的解集为 或 ，D错误．
故选:AB．
3.（23-24高三上·湖南株洲·模拟）已知函数 对 ，都有 ，若
在 上存在最大值M和最小值m，则 （ ）
A．8 B．4 C．2 D．0
【答案】B
【分析】根据赋值法可得 ，进而根据奇函数的性质得 为奇函数，即可根据
奇函数的性质求解.
【详解】令 ，则 ，得 ；
令 ，则 ，
所以 ；令 ，
则 ，
所以 为奇函数，故 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
4.（23-24高三下·河南周口·开学考试）已知定义在 上的函数 满足
，若函数
的最大值和最小值分别为 ，则 ．
【答案】4048
【分析】利用赋值法可得 为奇函数，则 ，令
，根据定义法证得 为奇函数，则 ，结合
，即可求解.
【详解】令 ，得 ，令 ，则 ，
所以 ，令 ，
所以 ， 为奇函数， ．
令 ，
则 ，即 为奇函数，所以 ．
而 ，
所以 ．
故答案为：4048
题型十三：抽象函数模型：正切型
1.（20-21高三上·浙江宁波·模拟）已知函数 的图象是连续不断的，其定义域为 ，满足：当
时， ；任意的x， ，均有 .若 ，
则x的取值范围是（ ）（e是自然对数的底数）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，解得 ，再令 ，得到 ，从而 是奇函数，用 替
代 ，结合 是奇函数，得到 ，再由 时， ，利用
单调性定义得到 在 上递增，则 在 上递增，将 转化为 求解.
【详解】解：令 ，即 ，
则 ，令 ，即 ，则 ，
因为 定义域为 ，所以 是奇函数，由 ，用 替代 ，
得 ，因为 是奇函数，所以
，
，且 ，则 ，因为当 时， ，
所以 ， ，即 ，
所以 在 上递增，又 是定义域为 的奇函数，所以 在 上递增，
则 等价于 ，解得 ，故选：D
2.（山东·高考真题）给出下列三个等式： ， ，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依据指、对数的运算性质，和角公式，逐一验证各个选项满足的某个等式即可判断作答
【详解】对于A，因 ，则 满足 ，A不是；
对于C，因 ，则 满足 ，C不是；
对于D，因 ，则 满足 ，D不是；
对于B，显然 不能变形， ，因此 不满足三个等式中任一
个，B是.
故选：B
3. （多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且
， ，则（ 多选 ）
A．
B． 为偶函数
C． 为周期函数，且4为 的周期
D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A：令 中 ，即可得出答案；
对于选项B：令 中 ，得出 ，根据已知得出其定义域关于 轴
对称，即可根据函数奇偶性的定义得出答案；
对于选项C：令 中 ，得出 ，即可根据周期定义得出答案；
对于选项D：根据周期得出答案.
【详解】A选项：令 ，得 ，故A正确.
B选项：令 ，则 ，因此 ，
又 的定义域为 ，关于 轴对称，所以 为奇函数，故B错误.
C选项：令 ，则 ，
所以 ，因此 ，
所以 为周期函数，且周期为4，故C正确.
D选项： ，故D正确.
故选：ACD.
4.（20-21高三上·浙江宁波·模拟）已知函数 的图象是连续不断的，其定义域为 ，满足：当时， ；任意的x， ，均有 .若 ，
则x的取值范围是（ ）（e是自然对数的底数）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，解得 ，再令 ，得到 ，从而 是奇函数，用 替
代 ，结合 是奇函数，得到 ，再由 时， ，利用
单调性定义得到 在 上递增，则 在 上递增，将 转化为 求解.
【详解】解：令 ，即 ，
则 ，令 ，即 ，则 ，
因为 定义域为 ，所以 是奇函数，由 ，用 替代 ，
得 ，因为 是奇函数，所以
，
，且 ，则 ，因为当 时， ，
所以 ， ，即 ，
所以 在 上递增，又 是定义域为 的奇函数，所以 在 上递增，
则 等价于 ，解得 ，故选：D
题型十四：抽象函数模型：一元二次型
1.（23-24高三上·上海普陀·模拟）已知对于任意的整数 、 、 ， ，有
成立，且 ，则
【答案】
【分析】通过对 、 不断赋值，求得 ，可得出 ，利用累加法求出 的表达式，即可得出 的表达式.
【详解】在等式 中，
令 ，可得 ，解得 ，
令 ，可得 ，可得 ，
令 ， ，则 ，可得 ，
令 ， ，其中 ，则 ，
则当 且 时， ，
故当 且 时，
，
当 时， 也满足 ，
故对任意的 ， ，所以， .
故答案为： .
2.（23-24高三上·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数 的定义域为R， ，
，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． 是奇函数 D． 是偶函数
【答案】D
【分析】利用赋值法、特殊值法结合函数的奇偶性一一判定选项即可.
【详解】令 ，可得 ，故A正确；
令 ，可得 ，令 ， ，可得 ，
则 ，故B正确；
由 ，可得 ，令 ，
则 ，令 ，可得 ，令 ，
则 ，所以 是奇函数，即 是奇函数，
故C正确；
因为 ，所以 不是偶函数，故D不正确.
故选：D
3.（23-24高三上·吉林长春·模拟）函数 满足：任意 ， .且
.则 的最小值是（ ）
A．1775 B．1850 C．1925 D．2000
【答案】C
【分析】由 可得 ，设
，可得 ，从而可得结论.
【详解】因为 ，所以有 ，
设 ，那么 ，
因此，
因此 ，
取 ，得到 .所以 .
设 ，等号成立！故选：C.
4.（23-24高三上·河北保定·模拟）已知函数 满足： ， ， 成立，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，求出 ，令 ，求出 ，令 ，求出 ，再令
，可求出 的关系，再利用累加法结合等差数列前 项和公式即可得解.
【详解】令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
则当 时， ，
则
，
当 时，上式也成立，
所以 ，
所以 .
故选：C.
题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型
1. （多选）（2024·福建莆田·二模）已知定义在 上的函数 满足： ，
则（ ）
A． 是奇函数
B．若 ，则
C．若 ，则 为增函数D．若 ，则 为增函数
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，利用函数奇偶性的定义，单调性的定义和性质，结合赋值法的使用，对每个选项
进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A： 定义域为 ，关于原点对称；
对原式，令 ，可得 ，解得 ；
对原式，令 ，可得 ，即 ，
故 是奇函数，A正确；
对B：对原式，令 ，可得 ，
又 ，则 ；
由A可知， 为奇函数，故 ，故B正确；
对C：由A知， ，又 ，对 ，
当 时， ；当 时， ；
故 在 时，不是单调增函数，故C错误；
对D： 在 上任取 ，令 ，
则
，
由题可知 ，又 ，故 ，
即 ， ，故 在 上单调递增，
也即 在 上单调递增，故D正确；
故选：ABD.
2. （多选）（2024·贵州·三模）已知定义域为 的函数 满足 为
的导函数，且 ，则（ ）
A．
B． 为奇函数
C．
D．设 ，则
【答案】ABD
【详解】对于A：令 可得；对于B：令 可得；对于C ：先确定 的奇偶性，然后令
后对 两边同时求导，再代入 即可；对于D：利用累加法求通项公
式.
【点睛】对于A：令 得 ，所以 ，A正确；
对于B：令 得 ，所以 ，B正确；对于C：因为 ，所以 ，即 ，
所以 为偶函数，由 可得 ，
令 得 ，
则 ，令 ，得 ，
所以 ，C错误；
对于D：因为 ， ，
所以 ，且
所以 ，相加可得 ，
所以 ，则 ，D正确.
故选：ABD.
3. （多选）（2024·辽宁大连·一模）已知函数 是定义域为R的可导函数，若
，且 ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是减函数
C． D． 是 的极小值点
【答案】ACD
【分析】令 求出 ，令 可确定奇偶性，将 当作常数， 作为变量，对原式求导，然后
可通过赋值，解不等式求单调性及极值.
【详解】令 ，得 ，令 ，得 ，所以 是奇函数，A正确；
。令 ，
又 ，
，
令 ， ， ， 或
在 和 上为增函数， 在 上为减函数，
是 的极小值，故CD正确，B错误.
故选：ACD.
题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型（2）模型二：双曲余弦函数
1.（多选）（23-24高三上·浙江湖州·模拟）已知函数 对任意实数 ， 都满足
特征：
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是偶函数 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据 ，利用赋值法逐项判断.
【详解】因为 ，
令 ，得 ，因为 ，所以 ，故B错误；
令 ，则 ，即 ，所以 ，故A正确；
令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，则
，
所以函数周期为 ，则 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
2. （多选）（23-24高三上·河南许昌·模拟）已知函数 满足 ，
且 ，则下列命题正确的是（ ）
A． B． 为奇函数
C． 为周期函数 D． ，使得 成立
【答案】BC
【分析】先令 ，即可判断函数的周期性，即可判断C；再令 ，求出 ，进而可判断AD；再令 ，判断出函数的奇偶性，进而可判断B.
【详解】由 ，
令 ，则 ，
则 ，即 ，
所以 ，
所以函数 为周期函数，故C正确；
令 ，则 ，解得 或 ，
当 时，令 ，则 ，
所以 ，故AD错误；
所以 ，其图象关于原点对称，是奇函数；
当 时，令 ，则 ，
所以 ，所以函数 是偶函数，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
则 ，所以函数 为奇函数，
综上所述， 为奇函数，故B正确.
故选：BC.
3. （多选）（2024·河南·模拟预测）已知定义在 上的函数 ，满足 ，
且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． D．2是函数 的一个周期
【答案】ABD
【分析】对A：借助赋值法，令 ，计算即可得；对B：借助赋值法，令 ，结合偶函数定义
即可得；对C：计算出 ，其与 不满足该关系即可得；对D：借助赋值法，令 ，结合
的值与周期函数的定义计算即可得.
【详解】对A：令 ，则有 ，又 ，
故有 ，故 ，故A正确；
对B：令 ，则有 ，又 ，
故有 ，即 ，又其定义域为 ，
故 为偶函数，故B正确；
对C：令 ， ，则有 ，
故 ，又 ，不符合，故C错误；对D：令 ，则有 ，
由 ，故 ，则 ，故 ，
两式作差并整理得 ，故2是函数 的一个周期，故D正确.
故选：ABD.
4. （多选）（23-24高三下·重庆·阶段练习）函数 的定义域为R，且满足
， ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 的图象关于 对称
【答案】BC
【分析】
利用特殊值法，结合函数的奇偶性即可求解.
【详解】
由题可知
令 ， ，则 ，
即 ，可得 ，故A错；
令 ，则 ，即 ，
又因为 ， ，可得 ，故B正确；
令 ，可得 ，故C正确；
若 的图象关于 对称，则函数 满足 ，
而 ， ，显然 ，故D错，
令 ，可得 ，
的图象关于 对称.
故选：BC.
