文档文本内容
1 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
第一章 二次函数压轴综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、二次函数图象性质的综合判断问题
题型2、利用数形结合讨论字母取值范围
题型3、利用二次函数的性质讨论字母参数的取值
题型4、二次函数背景下数形结合与代数计算综合
题型5、二次函数与一次函数的综合
题型6、二次函数自定义问题
题型7、二次函数与几何的综合
题型8、二次函数的实物建模问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
二次函数压轴综合问题，要熟练掌握二次函数的图象与性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、最
值、增减性等；数形结合是核心思想，要善于借助函数图象分析字母取值范围、交点个数、不等关系等；
与一次函数、几何图形、实际情境结合时，需灵活运用待定系数法、方程思想、分类讨论思想；自定义问
题与新定义问题要准确理解定义，转化为熟悉的二次函数模型；压轴综合题要善于设参、建系、列方程，
并注意临界状态与特殊位置的探究．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
目 录
2 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
题型1、二次函数图象性质的综合判断问题
典例1 （25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线
与轴交于点
和点
，与
轴交于点
．下列说法：①
；②抛物线的对称轴为直线
；③当
时，
；④当
时，
随的增大而增大；⑤
（
为任意实数），其中正确的个数
是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】根据抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，可得
，根据
和点
可得抛物线
的对称轴为直线
，即可判断②；推出
，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当
时，抛物线有最大值
，即可得到
，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，
∴
，
∵抛物线与x 轴交于点
和点
，
∴抛物线对称轴为直线
，故②正确；
∴
，
∴
，
∴
，故①错误；
由函数图象可知，当
时，抛物线在x 轴上方，
∴当
时，
，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线
且开口向下，
∴当
时，y 随x 的增大而减小，即当
时，y 随x 的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线
且开口向下，
∴当
时，抛物线有最大值
，
3 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，共个．
题型模版
1.特征：综合判断二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点、最值、与坐标轴交点等性质．
2.方法：根据二次项系数判断开口；用对称轴公式或配方法求顶点与对称轴；结合特殊点与判别式分析结论
正误．
变式1-1 （25-26 八年级下·湖南长沙·期末）已知函数
的图象如图所示，下列四个结论中，
正确的是（ ）
A．当
时，函数有最大值是4
B．图象与轴的交点为
和
C．当
或
时，函数值
随值的增大而减小
D．若直线
与函数图象至少有3 个公共点，则
的取值范围是
【答案】C
【分析】将函数解析式化为顶点式，求出对称轴、顶点坐标及与轴交点坐标，结合图象分析函数的增减性、
最值及直线与图象交点个数即可判断
【详解】解：
，
函数图象关于直线
对称，翻折后的顶点坐标为
，
令
，则
，解得
，
，
图象与轴交点为
和
，故B 错误；
由图象可知，当
或
时，图象呈下降趋势，即
随的增大而减小，故C 正确；
当
时，
，但函数图象两端向上无限延伸，无最大值，故A 错误；
若直线
与函数图象至少有个公共点，观察图象可知
，故D 错误；
故选：C．
4 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
变式1-2 （25-26 九年级下·江苏镇江·阶段检测）已知一次函数
与二次函数
（
）
的图像交于点
，且直线与抛物线只有一个公共点，二次函数的对称轴为直线
，给出以下五个结
论：
①
；②
；③ 点 P 是抛物线的顶点；④ 当
时，
；⑤ 若点
在
抛物线上，点
在直线上，则
的最小值为 0，其中正确结论的序号是_________．
【答案】
【分析】先根据已知条件求出，，，的值，再逐一判断每个结论即可．
【详解】解：∵ 点
在一次函数
上，
∴ 将
代入得
，
解得
，故②正确．
∵ 二次函数
的对称轴为
，
∴
，得
．
∵ 点
在抛物线上，
∴
，
将
代入得
．
联立一次函数与二次函数得
，
整理得：
，
∵ 直线与抛物线只有一个交点，
∴ 该方程判别式
，
解得
，故①错误．
∴
，
，
将抛物线配方得
，
∴ 抛物线顶点坐标为
，不是
，故③错误．
对任意，
，
5 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
即
，仅当
时等号成立．
∵当
时，
，
∴
，故④错误．
∵
在抛物线上，
在直线上，
∴
，
该式的最大值为，不存在最小值，故⑤错误．
综上，正确结论的序号是②．
变式1-3 抛物线
（
是常数且
）经过点A（3，0）．下列四个结论：
①该抛物线一定经过
；
②
；
③点
，在抛物线上，且
，则
；
④若
是方程
的两个根，其中
，则
．
其中正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】由函数解析式可得函数的对称轴为直线
，再根据二次函数的图像和性质，逐一分析，
判断对错即可解答．
【详解】解：①∵抛物线经过点
，
，
，
当
时，
，
，
∴该抛物线一定经过
，
故此项正确；
②由①得：
，
，
6 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
，
，
故此项正确；
③抛物线的对称轴为直线
，
当
时，
，
，
，
也符合题意与
矛盾，
故此项错误．
④∵抛物线
，对称轴为直线
，抛物线
对称轴为直线
，
∴抛物线
图象向左平移2 个单位得到抛物线
的图象，
∵抛物线
经过点
，
∴抛物线
经过点
，
是方程
的两个根，
是抛物线
与直线
交点的横坐标，
，
，
故此项正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质和数形结合的思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是
解题的关键．
7 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
题型2、利用数形结合讨论字母取值范围
典例2 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数
（为常数，
）的图象
为抛物线
．
(1)求证：不论为何值，抛物线
与轴总有两个不同的交点；
(2)当
时，
，求的取值范围；
(3)设点
、
，若抛物线
与线段
只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
或
(3)
或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，解题的关键是利用数形结合的思想
求解．
（1）根据根的判别式证明即可；
（2）先确定对称轴为直线
，然后分两种情况讨论，根据二次函数的图象与性质分析求解；
（3）令
，问题转化为该函数在
上与轴只有一个交点，然后分类讨论，画图分
析即可求解．
【详解】（1）证明：当
，则
∴
，
∴不论为何值，抛物线
与轴总有两个不同的交点；
（2）解：对于二次函数
，
对称轴为直线
，
①当
时，在
时，
随着的增大而增大，
∴当
时，函数取得最大值，即
，
∴要使得当
时，
，则
，
∴
，
∴
；
当
时，在
时，
随着的增大而减小，
8 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴当
时，函数取得最大值，即
，
∴要使得当
时，
，则
，
∴
，
∴
，
∴当
时，
，的取值范围为
或
；
（3）解：
与
联立得
，
问题化为方程
在
只有一个实数根，
令
，即该函数在
上与轴只有一个交点，
当
时，
；
时，
，
①当
时，如图：
∵抛物线
经过
，
∴只能是抛物线对称轴右侧的图象与轴交点在
个范围内，
9 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴当
时，
∴
；
②当
时，
时，
，如图：
∴只能顶点
在轴上符合题意，
∴
，
∴
，
综上：的取值范围是
或
．
题型模版
1.特征：借助二次函数图象，讨论字母参数或自变量的取值范围．
2.方法：画出函数草图；确定临界位置（如顶点、交点、端点）；结合不等式或方程求解并验证边界．
变式2-1 （25-26 八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，抛物线
经过点
和
．
(1)求c 的值，并用含a 的式子表示b；
(2)已知直线
是x 轴上一点，过A 作x 轴的垂线，交抛物线于点
，交直线
于点
．
①m 为何值时，
和
重合．
10 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
②已知
，过B 作x 轴的垂线，交抛物线于点
，交直线
于点
．若对于
都有
，求a 的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)①
或
；②
或
．
【分析】对于小问（1），因为抛物线过
点，代入抛物线方程可直接得到c 的值；再把
代入抛物线
方程，结合已得的c 值，即可用a 表示b．
对于小问（2）①，因为
横坐标均为m，二者重合意味着纵坐标相等，所以将
分别代入抛物线
和直线解析式，令纵坐标相等，解方程即可求m．②，先求出
的长度表达式，二者均为同横坐
标下两点纵坐标差的绝对值；因为
是只含a 的定值，所以要让
内的
都大于该定
值，结合
的函数性质，分析与函数对称轴的位置关系，列出关于a 的不等式求解．
【详解】（1）解：将点
代入抛物线
，
得：
，
．
再将点
、
代入抛物线，
得：
，
整理得
．
此时抛物线可整理为：
．
（2）解：①过
作轴垂线，
、
横坐标均为
：
在抛物线上，纵坐标为
；
在直线
上，纵坐标为
．
两点重合，则纵坐标相等，
∴
， （
），
两边同除以，得
，
因式分解得
，
解得
或
，
11 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
即
或
时，
和
重合．
②横坐标相同的两点
、
的距离为纵坐标差的绝对值：
，
，
，
∴
．
．
∵
，
∴
，
两边同除以
，得：
．
∵
，
∴
整理得
，
当
时，
或
，
∴
的解集为：
或
．
题目要求对任意
，不等式都成立，
∴需全部满足
或全部满足
：
若全满足
，
则左端点
，解得
；
若全满足
，
则右端点
，解得
．
12 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
因此的取值范围是
或
．
变式2-2 材料一：对于任意的实数a，其绝对值都是一个非负数，即
同理，对于任意关于
x 的绝对值函数
都有
例如
材料二：数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在函数学习中，常应用函数图象解
决代数问题．例如关于的不等式
，可解读为函数
的图象不高于函数
的图象，不
等式的解集则可理解为该部分图象上所有点的横坐标所构成的取值范围，通过图象(如图)，可得该不等式的
解集为
根据材料完成下列题目：
13 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
(1)认真阅读材料一，解关于x 的方程：
，要求写出解答过程．
(2)认真阅读材料二，仿照该方法解关于x 的不等式：
请完善下列解答思路：
步骤 1：利用数形结合思想不等式可理解为：函数 的图象不低于函数 的图象．
步骤2：在方格纸中画出图象．
步骤3：解出交点坐标，观察图象，并得出不等式的解集为 ．
(3)若关于x 的不等式
有解，请直接写出k 的取值范围．
【答案】(1)
或
或
(2)步骤 1：
；
；
步骤2：在方格纸中画出函数
，
的图象，如图所示．
步骤3：
(3)
【分析】（1）根据绝对值的意义，分情况讨论，解方程，即可求解；
（2）根据材料二，可得
即为函数
的图象不高于函数与
的图象，画出函数图象，
根据函数图象即可求解；
14 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
（3）先去绝对值得出
，进而画出函数图象，得出函数
的图象不高
于
的函数图象部分的自变量的取值范围即为不等式的解，观察图象可得，当
与
只有1 个交点时，则
，则方程
即
有两个相等的实
数根，进而求得，观察函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：
当
时，即
时，
，
解得：
当
时，即
时，
，
解得：
或
（2）步骤 1：利用数形结合思想不等式可理解为：函数
的图象不低于函数
的图象
步骤2：略．
步骤3：当
时，即
时，
，
解得：
（舍去）或
当
时
，
∴交点坐标为
，
当
时，即
时，
，此方程无解；
观察图象，得出不等式的解集为
（3）当
时，
，
当
时，
∵
时，
又
，
∴
的解集为
或
则
的解集为
15 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴当
时，
当
时，
同理可得
时，
当
时，
，
∴
∵
∴函数
的图象不高于
的函数图象部分的自变量的取值范围即为不等式的解，
当
时，如图所示，
观察图象可得，当
与
只有1 个交点时，则
，
16 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
则方程
，即
有两个相等的实数根，
∴
解得：
，
∴
时，观察函数图象可得
【点睛】本题考查了解一元二次方程，绝对值的意义，一次函数与反比例函数交点问题，一次函数与二次
函数交点问题，二次函数的平移，根据函数图象,解决不等式问题是解题的关键．
变式2-3 （25-26 八年级下·湖南长沙·期末）如图，抛物线
与轴交于
两
点（点
在点
左侧），与
轴交于点
，点
是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接
、
、
、
，延长
交
轴于点
．
(1)若
，求点
的坐标和线段
的长度；
(2)若对任意
，
、
两点总关于轴对称，求点
的坐标（用含
的式子表示）；
(3)当点
运动到某一位置时，恰好使得点
是线段
的中点．
①求证：
；
17 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
②该抛物线上存在一点
，若此时恰好满足
，且对于动点
总有实数满足
恒成立，求实数n 的取值范围．
【答案】(1)
，
的长度为4
(2)点
的坐标为
(3)①证明：由题可知点
．
∵点
是线段
的中点，
，即点
在线段
的垂直平分线上．
∵
，
∴点
的横坐标为3，即
，代入抛物线
，
得
，即点
的坐标为
．
∵点
是线段
的中点，
设点
，
∴
，即
，
∴点
的坐标为
，即
．
由(2)知点
的坐标为
，即
，
；
②
或
【分析】（1）当
时，得
，当
时，得
，可得点
，
进而可得
的长，当
时，可得
的坐标；
（2）首先，得到
，再当
时，
，且
，可得
，然后，由
、
两点总关于x 轴对称，得
，进而可得直线
的解析式为
，接着，由点
为
直线
与抛物线的交点，联立成方程组，解方程组即可得到点D 的坐标；
（3）①由题可知点
，由点
是线段
的中点，得点
在线段
的垂直平分
18 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
线上，再由
，可得点
的横坐标为3，代入抛物线的解析式得
，进而得点
的坐标为
，
由点
是线段
的中点，设点
，可得点
的坐标为
，即
，进而可证得结论；
②由①可知点
的坐标为
，可得
，再由
，
，
，
可得
，进而得
，解得
，接着，可得抛物线的解析式为
，然后，由动点
在抛物线上，可得
，令
，得其对称轴为直线
，可得当
时，随
的增大而增大，
当
时，得
的最小值为
，进而得
，即
，令
，
结合图象即可得出n 的取值范围．
【详解】（1）解：当
时，
，
当
时，
，
解得
，
∵抛物线
与轴交于
两点（点
在点
左侧），
∴
．
∴
的长度为
．
当
时，
，
∴
；
（2）解：由题可知当
时，
，
∴
，
当
时，
，且
，
整理，得
，
解得
，
∴
，即
，
∵对任意
，
、
两点总关于x 轴对称，
∴
，
19 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
设直线
的解析式为
，
将
代入，可得
，解得
，
∴直线
的解析式为
，
∵点
为直线
与抛物线的交点，
∴解方程组
，得
或
(点
舍去），
∴点
的坐标为
；
（3）①略；
②解:由①可知点
的坐标为
．
∴
，
，
，
，
．
∴
，
，即
．
∴抛物线的解析式为
．
∵动点
在抛物线上，
．
令
，
∴其对称轴为直线
．
则当
时，
随
的增大而增大．
∴当
时，
有最小值，
的最小值为
．
，即
．
20 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
令
，
当
时，
，解得
，
结合
的图象可得，当
时，即
的取值范围为
或
．
题型3、利用二次函数的性质讨论字母参数的取值
典例3 （25-26 九年级下·浙江杭州·阶段检测）如果
，
，
都在二次函数
的图象上，且
，则
的取值范围（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】由
关于对称轴对称得
，且
在对称轴左侧，
在对称轴右侧；确定抛
物线与
轴交点
，此交点关于对称轴的对称点为
，结合已知确定出
；再分类讨论：
都在对称轴左边时，
分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可，存在待定参数的情况下，
对可能情况作出分类讨论是解题的关键．
【详解】解：∵
关于对称轴对称，
，
∴
，且
在对称轴左侧，
在对称轴右侧，
令
，则
，
∴抛物线与
轴交点为
，抛物线对称轴为直线
，
21 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴此交点关于对称轴的对称点为
，
∵
且
，
，
∴
，
解得：
，
当
都在对称轴左边时，
∵
，
∴
，
解得：
，
∴
，
当
分别在对称轴两侧时，
∵
，
∴
到对称轴的距离大于
到对称轴的距离，
∴
，
解得：
，
∴
，
综上所述，
或
．
题型模版
1.特征：利用二次函数的性质（对称性、最值、增减性）讨论字母参数的取值．
2.方法：先用含参解析式表示对称轴、顶点；根据条件列方程或不等式；注意参数对开口方向与最值的影响．
变式3-1 已知二次函数
（a 为常数，且
）．
(1)求二次函数的对称轴；
(2)若
，当
时，函数的最大值为1，求的值；
(3)在（2）的条件下，如果
，
在二次函数
（
）的图象上，
其中
，求
的最大值．
【答案】(1)对称轴为直线
；
(2)
；
(3)
．
22 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）根据对称轴公式即可求解；
（2）根据二次函数的性质求解即可；
（3）先判断出点A，点B 位于对称轴左侧部分的图象上，然后求出
，最后
根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：
二次函数
，
，
抛物线的对称轴为直线
；
（2）解：
，
抛物线开口向上，
抛物线的对称轴为直线
，且
，
当
时，函数值在
处取得最大值，
将
，
，代入
，
得
，解得
；
（3）解：由（2）得，
，
，
，
自变量的取值范围
位于对称轴的左侧，
∴如图，点A，点B 位于对称轴左侧部分的图象上，
∵
，
∴当
时，函数值离对称轴越远值越大，
∴要使
取得最大值，
，
，
∴
，
整理得，
，
∵
，
∴当
时，
.
23 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
变式3-2 （25-26 九年级上·浙江温州·阶段检测）二次函数
经过点
．
(1)求c 的值．
(2)在x 正半轴上取点
，过点P 作
轴交抛物线于点D，交直线
于点E．
①若
，
，求
的值．
②点P 从原点运动到
的过程中，若点D 始终在点E 的上方，
的长随着m 的增大而减小，求a
的取值范围．
【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】（1）把点
代入解析式求出c 的值即可；
（2）①把
代入得到解析式，然后求出
时两个函数的函数值，求出解答即可．
②把
代入解析式，得到点D 和点E 的纵坐标，然后根据点D 在点E 的上方求出
长，然后根据二次
函数的增减性解答即可．
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题
的关键．
【详解】（1）解：把点
代入
得
，
解得
；
（2）①当
时，
抛物线与直线的解析式分别为
，
，
当
时，
，
24 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴
；
②∵
轴，且点
，
∴
，
∵点D 在点E 的上方，
∴
，
∵
，
∴
的长是关于m 的一元二次函数，
∴
，
解得
；
∵对称轴为直线
，且
的长随着m 的增大而减小，
∴
，即
，
∴a 的取值范围是
．
变式3-3 在平面直角坐标系中，若点
的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点
为“美丽点”．例如
点
，
，
，…，都是“美丽点”．
(1)直接写出抛物线
上的“美丽点”为 ．
(2)若二次函数
的图象上无“美丽点”，则的取值范围为 ．
(3)已知二次函数
的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美丽点”是
，当
时，函数
的最小值为
，最大值为，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将
和
分别代入
求解即可；
（2）将
和
分别代入
，再根据二次函数
的图象上无“美丽点”，可得
，计算即可；
25 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
（3）将
代入
可得
，再由
的图象上只有三个“美丽
点”，可得对应的一元二次方程必有一个两个相等的实数根，可求得、，进而可求
得取值范围．
【详解】（1）解：当
时，有
，
，
或
，
当
时，有
，
，
或，
“美丽点”为
，
故答案为：
；
（2）解：当
时，有
，
的图象上无“美丽点”，
，
，
，
当
时，有
，
的图象上无“美丽点”，
，
，
，
的取值范围为：
，
故答案为：
；
（3）解：
一个“美丽点”是
，
，
，
26 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
的图象上只有三个“美丽点”，
对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根，
当
时，有
，
，
化简得：
，
，此方程无解，
当
时，有
，
，
化简得：
，
，
，
，
原二次函数为
，
，
，
当
时，二次函数有最大值为，
当
时，
，
关于抛物线的对称轴直线
的对称点为
，
当
时，函数
的最小值为
，最大值为，
的取值范围为：
．
【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题以及函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，能正确理解
题意是解决本题的关键．
27 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
题型4、二次函数背景下数形结合与代数计算综合
典例4 （25-26 九年级上·浙江台州·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线
与
交于点
，若经过点
的直线
与两抛物线交于点
，
，则
的长为
（ ）
A．4
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】联立
与
，联立
与
，可得
，
，得
，
，得
．
【详解】解：联立
与
，
得
，
∴
，
即
，
其两根为3（对应点P）和
∴
，
∴
，
联立
与
，
得
，
∴
，
28 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
即
，
其两根为3 和
，
∴
，
∴
，
∵点A、B 在直线
上，
∴
∴
，
∵
，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，
函数的交点性质，一元二次方程的根与系数的关系，两点之间的距离公式，是解题的关键．
题型模版
1.特征：二次函数背景下数形结合与代数计算相结合的综合问题．
2.方法：联立函数解析式建立方程；利用根与系数关系、两点距离公式；结合图象分析交点与范围．
变式4-1 （24-25 九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与轴交于
、
两点，过该函数顶点且与轴平行的直线与抛物线
交于
、
两点，若
，则
和
满足的关系为（ ）
29 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了抛物线与x 轴交点问题以及二次函数图象上点的坐标特征，平行于x 轴上的两点，
依据题意，先求出抛物线
与x 轴的交点横坐标得出
，再求出
，然后根据
，
进而可以判断得解．
【详解】解：由题意，对于
，
令
，则
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵抛物线
的顶点为
，
∴令
，
∴
或
，
∴
，
∵
，
，
30 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
．
故选：D．
变式4-2 在平面直角坐标系
中，已知二次函数
．
(1)当
时，
随的增大而减小，当
时，
随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理
由；
(2)当
，
时，将二次函数
的图象记为
，一次函数
的图象记为
，过点
作轴的垂线分别交
，
于点
，
．当
时，
点与
点的距离存在最大值，求的取
值范围．
【答案】(1)
，理由
当
时，
随的增大而减小，当
时，
随的增大而增大，且
，
二次函数
图象的对称轴为
，
，
；
(2)
【分析】（1）由当
时，
随的增大而减小，当
时，
随的增大而增大，且
，可知抛物线
的对称轴为
，根据对称轴公式可得与关系；
（2）根据的取值范围与二次函数图象的性质分情况讨论．
【详解】（1）略
（2）解：当
，
时，二次函数为
设点
，
，则
，
，
解方程
，
可得：
，
，
当
时，可得：
，
当
时，可得：
，
31 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
与
的交点坐标为
和
，
设
点与
点的距离为
，
（ⅰ）如下图所示，
当
时，
，
，
当
时，
随的增大而减小，
当
时，
，
当
时，
，
；
（ⅱ）如下图所示，
当
时，
，
当
时，
随的增大而增大，
当
时，
随的增大而减小，
当
时，
的最大值为
；
（ⅲ）如下图所示，
32 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
当
时，
，
此时
随的增大而增大，
，
令
，则
，
，
，
令
，
解得：
依题意，得
，
解得：
，
当
时，
存在最大值，
结合函数的图象，得
．
变式4-3 定义：向量
，则
．已知
，
，
．
(1)当
时，求函数
的解析式；
(2)当
时，求函数
的最小值(用含的代数式表示)，并求最小值
的范围；
(3)在（1）的条件下，将（1）中的函数图象向右移2 个单位，再上移一个单位，得函数
的图象，记
，
直线过点
且与函数
的图象恰有三个交点，求直线的解析式．
【答案】(1)
33 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
(2)
，
(3)
或
【分析】（1）根据定义
，计算即可；
（2）求出对称轴为直线
，再分当
时，当
时，当
时三种情况讨论，分别求
出解析式，然后写成分段函数解析式，分别求出不同范围下
的范围，再把所得范围合并即可；
（3）先求得函数
的图象与x 轴的两个交点
，接着分以下三种情况讨论，即可：①直线经
过A 点，此时在B 点的右侧必有一个交点，因此在
上还需要有一个交点；②直线经过B 点，此
时在A 点的左侧必有一个交点，因此在
上还需要有一个交点；③直线与抛物线
在
上有一个使得联立方程组并消去y 后的一元二次方程
的交点(这个交点可称之为切点)．
【详解】（1）解：当
时，
，
∴
即函数
的解析式是：
（2）∵
，
∴
对称轴为直线
①当
即
时，若
，则
随增大而增大，
∴当
时，
②当
即
时，若
，则对称轴处取最值，
∴当
时，
③当
即
时，若
，则
随增大而减小，
∴当
时，
34 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
综上所述，
，
当
时，
，即
当
时，
，
，
，即
当
时，
∴最小值
的范围为
（3）在（1）的条件下，
∴
∴
∵直线过点
，设的解析式为
，则
∴
令
，解得
，
∴
．
结合图象可知，要使得直线过点
且与函数
的图象恰有三个交点，则有三种情况；①直线经过A
点，此时在B 点的右侧必有一个交点，因此在
上还需要有一个交点；②直线经过B 点，此时在A
点的左侧必有一个交点，因此在
上还需要有一个交点；③直线与抛物线
在
上有一个使得联立方程组并消去y 后的一元二次方程
的交点(这个交点可称之为切点)．
直线经过A 点或B 点，此时在
上有且只有一个交点
35 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
①当直线经过A 点时，将点
代入
得：
解得：
∴直线的解析式是：
由
解得：
或
即直线与函数
的图象在
存在一个交点
符合题意．
②当直线经过B 点时，将点
代入
得：
解得：
∴直线的解析式是：
由
消去
得
解得
，
∴直线与函数
的图象在
没有公共点，不符合题意．
③直线与抛物线
在
上有一个使得联立方程组并消去y 后的一元二次方程
的交
点(这个交点可称之为切点)，
由
，消去
得
由
得，
或
当
时，
，满足
，此时直线的解析式为
当
时，由②知道此时不符合题意．
综上，直线的解析式为
或
．
【点睛】本题在新定义背景下考查二次函数的图象与性质，也考查了特殊角的三角函数值，注意分类讨论
和数形结合是解题的关键．运算量多，难度比较大．
36 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
题型5、二次函数与一次函数的综合
典例5 （25-26 九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图所示，二次函数
的图象与y 轴交于点
C，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数
的图象经过该二次函数图
象上的点
及点
．
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象，请直接写出满足
的x 的取值范围．
【答案】(1)
，
；
(2)x 的取值范围为
或
．
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，根据图象确定x 的取值范围，勾股定理等．
（1）先将点A 代入二次函数解析式中求出m,即可得到二次函数的解析式，进而求出对称轴，再根据对称点
的特征求出点B 的坐标即可；
（2）根据图象，要求
的x 的取值范围，即一次函数图象在抛物线下方所对应的x 的范围．
【详解】（1）解：将点
代入
中得
，
解得
，
∴二次函数的解析式为
，
对称轴为
，
当
时，
，
，
∵点C 和点B 关于对称轴对称，
，
37 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
将
，
代入
，
得
，
解得
，
∴一次函数的表达式为
；
（2）解：∵
即一次函数图象在抛物线下方，
∴x 的取值范围为
或
．
题型模版
1.特征：二次函数与一次函数图象交点、不等关系及综合应用．
2.方法：联立解析式求交点；通过比较函数值大小确定不等式解集；注意图象位置与对应区间．
变式5-1 （2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点
为坐标原点，抛物线
交
轴于
、
两点，交
轴于点
，点
的坐标为
，点
的坐标为
．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点
是第四象限抛物线上一点，连接
交y 轴于点D，点F 在y 轴正半轴上，
，连接
，设点
的横坐标为，线段
的长的平方为d，求d 与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取
值范围）．
(3)如图2，在（2）的条件下，过点
作
的平行线
，对于任意的值，直线
都经过点
，点
在线
段
上，连接
，
，若
，
，求点
的坐标．
【答案】(1)
(2)
38 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案；
（2）求出
．
．利用勾股定理即可求出答案；
（3）利用相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识求出的值即可得到点
的
坐标．
【详解】（1）解：把
代入
，
得
．
抛物线的解析式为
．
（2）由已知，得
．
设直线
的解析式为
．
把
代入
，得
．
．
当
时，
．
．
．
．
在
中，
39 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
．
．即
．
（3）
，
设直线
的解析式为
．
则
，
解得
直线
的解析式为
．
直线
，
设直线
的解析式为
．
把
代入
，得
．
直线
的解析式为
．
对于任意的值，直线
过点
，
．
当
时，
．即
．
连接
．
对于
．当
时，
．
．
40 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
四边形
为平行四边形．
为菱形．
∴菱形
为正方形．
连接
．
．
，
．
．
．
．
，
．
，
．
．
．
在
延长线上取点
，使
，连接
．
，
．
．
．
41 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
．
，
．
在
中，
，
在
中，
，
即
．
，
，
．
解得
（舍）．
．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、勾股定理、待
定系数法、特殊四边形的判定和性质等知识，综合性强，难度大．
变式5-2 （2025·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线
．
(1)若
，抛物线与x 轴只有一个交点．
①求证：
；
②抛物线的顶点为A，与y 轴相交于点B，直线
的表达式为
．求在
范围内，x 等于多
少时，
取得最大值？
(2)点
在该抛物线上，
．若
，求t 的取值范围．
【答案】(1)
42 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
①证明：把
代入
得：
，
把
代入得：
，
∵抛物线与x 轴只有一个交点，
∴
，
整理得：
，
∵
，
∴
，
∴
；
②当
时，
取最大值
(2)
或
【分析】
（1）①把
代入
得：
，根据根的判别式得出
，
即可得出答案；
②先求出顶点A 的坐标为
，点B 的坐标为
，求出直线
的解析式为：
，得出
，根据二次函数的最值，求出结果即可；
（2）先求出对称轴为直线
，根据
，得出点P 一定在对称轴的右侧，根据二
次函数性质得出当
时，
取最大值，当
，
取最小值，分两种情况：当点Q 在对称轴右侧
时，当点Q 在对称轴左侧时，分别列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：①略
②∵
，
∴
，
∴顶点A 的坐标为
，
把
代入
得：
，
∴点B 的坐标为
，
43 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
把
和
代入
得：
，
解得：
，
∴直线
的解析式为：
，
∴
，
，
∵
，
∴当
时，
取最大值；
（2）解：
的对称轴为：直线
，
∵
，
∴点P 一定在对称轴的右侧，
∵
，
∴在对称轴的右侧
随x 的增大而减小，在对称轴的左侧
随x 的增大而增大，
∴当
时，
取最大值，当
，
取最小值，
当点Q 在对称轴右侧时，要使
则
，
解得：
；
当点Q 在对称轴左侧时，
当
时，点P 关于直线
对称点的横坐标为：
，
要使
则
，
解得：
；
44 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
综上分析可知：
或
时，
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，解题的关键
是熟练掌握二次函数的性质．
变式5-3 （25-26 八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线
，
与x 轴交于A、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C．点M 是x 轴上一动点，其横坐标为m；点N 是直
线
上一动点，其横坐标为
．
(1)分别写出A、B、C 三点坐标；
(2)当点N 在抛物线上时，求m 的值；
(3)当
时，将
绕点M 顺时针旋转
，得到
，连结
．
①当
的面积被直线
分为
两部分时，求m 的值；
②当
内部的抛物线，y 随x 的增大而增大时，求m 的取值范围．
【答案】(1)
，
，
(2)
，
(3)①
，②
【分析】（1）根据交点坐标求解即可；
（2）
点坐标为
，将
点代入抛物线，求解即可；
（3）由旋转性质得
点坐标为
，分步求解即可．
【详解】（1）解：令抛物线
中
，
解方程：
，
得
，
，
45 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
由
在
左侧，得
点坐标为
，
点坐标为
，
令抛物线中
，得
，故
点坐标为
；
（2）解：∵点
横坐标为
，且在直线
上，
∴
点坐标为
，
将
点代入抛物线得：
，
整理得：
，
解得
，
；
（3）解：分别过点N、P 作
轴，
轴，
∵旋转，
∴
，
，
∴
，
∵
轴，
∴
，
∴
，
又∵
轴，
轴，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，且
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
①∵点
在直线
上，直线
与线段
交于点
，且面积比为
，
46 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴
或
，
即
或
，
∴
或
，
设直线
解析式为
，
将
、
代入得
，
解得
，
∴直线
解析式为
，
联立
与
，得
，
解得
，
将
代入
得
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵
或
，
∴
或
，
解得：
，
，
，
，
∵
，
∴
，
，
当
时，
，
，
横坐标为1，不在
内．
47 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
此时
在
的延长线上，直线并没有真正分割三角形内部，应舍去．
综上，
；
②抛物线
开口向上，对称轴为
，
当
时，
随
的增大而增大；
∴
内部包含对称轴右侧部分，且点M 在点A 右侧，点P 在y 轴右侧，
即
，
解得：
．
【点睛】本题考查了二次函数综合压轴题，结合平面直角坐标系，旋转性质，面积比例，函数单调性考点
分步求解．解题关键是数形结合和分类讨论．
题型6、二次函数自定义问题
典例6 如图1，已知抛物线
与轴交于点
和点
，与
轴交于点
．将抛物
线
沿直线
向右下方平移，得到函数
的图象，则称函数
为函数
的“关联函数”．
48 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
(1)求抛物线
的解析式，并直接写出点
的坐标；
(2)将抛物线
沿直线
向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数” 的图象，其顶点恰好是点
．
①若点
在函数
的图象上，且到
轴的距离小于或等于，求点
的纵坐标
的取值范围；
②如图，若点
在函数
的图象上，且在第二象限内，连接
并延长，交抛物线
于点
，分别过点
，
作轴的垂线，垂足分别为
，
，以
，
为邻边作矩形
，
与射线
交于点
，
设矩形
与矩形
的周长分别为
，．求证：
为定值；
(3)将抛物线
沿直线
向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”
的图象．若函数
的图象
恰好经过点
，当
时，
的最大值为
，直接写出
的值．
【答案】(1)
，
(2)①
；
②证明：设直线
的解析式为
，
将点
代入
，得
，
∴直线
的解析式为
，
联立直线
与抛物线
，得，
，
整理，得
，
解得
或
，
∴
，
联立直线
与抛物线
，得，
，
49 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
整理，得
，
解得
或
，
∴
，
∵
轴，
轴，点
在第二象限，
∴
，
，
∵矩形
的周长
，矩形
的周长
，
∴
，为定值，
即
为定值；
(3)
或
【分析】（1）使用待定系数法求出抛物线
的解析式，再求出点
的坐标即可；
（2）①先根据平移规律和顶点坐标求出
，利用二次函数的增减性求出
的取值范围；②设直线
的解析式为
，将直线
分别与抛物线
和抛物线
联立，计算得
，
，
从而得到
，
，求出两个矩形的周长，再作差即可证明；
（3）由平移方向可设
，代入
可得
，因此
．分为
，
和
三类讨论，结合二次函数的增减性与最值，求出符合要求的
的值．
【详解】（1）解：将点
，
代入
，得，
，解得
，
∴抛物线
的解析式为
，
令
，即
，
∴
，
解得
或
，
∴点
的坐标为
；
（2）解：①
，顶点为
，
∵将抛物线
沿直线
向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”
的图象，其顶点恰好是点
50 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
，
∴平移方式为：向右平移个单位，向下平移个单位，
∴
，
∴该抛物线的对称轴为直线
，图象开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴直线
越近，函数值越大，
∴
越小，
越大，
又∵点
到
轴的距离小于或等于，即
，
∴当
时，
取得最小值
；当
时，
取得最大值
；
综上，点
的纵坐标
的取值范围为
；
②略；
（3）解：∵抛物线
沿直线
向右下方平移，
∴等价于向右平移个单位，同时向下平移个单位，
∴平移得到的抛物线为
，
将点
代入
，得，
，
整理，得
，
解得
或
（不符题意，舍去），
∴
，该抛物线开口向下，对称轴为直线
，顶点坐标为
，
①当
，即
时，区间
在对称轴的左侧，
∴
随的增大而增大，
∴当
时，
取得最大值
，
∴
，
解得
或
（与
矛盾，舍去）；
②当
，即
时，区间
在对称轴的右侧，
51 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴
随的增大而减小，
∴当
时，
取得最大值
，
∴
，
解得
或
（与
矛盾，舍去）；
③当
，即
时，区间
包含
，
∴抛物线
在顶点处取得最大值，与题意矛盾；
综上所述，
的值为
或
．
题型模版
1.特征：以新定义或自定义规则为背景的二次函数综合问题．
2.方法：准确理解新定义；把新规则转化为二次函数的平移、对称、翻折或分段表示；逐问建立方程求解．
变式6-1 （25-26 八年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系
中的函数图象M 和多边形P，若多边形
P 的每条边均与图象M 有公共点，则称图象M 和多边形P 是交错的；若多边形P 的每条边均与图象M 有两
个公共点，则称图象M 和多边形P 是双重交错的，设
，
，
，
．
(1)设一次函数
的图象为图象M，下面的多边形中，M 和______是交错的（填所有满足要求的多边形
的序号）；
①
，②
，③
，④四边形
；
(2)设二次函数
的图象为图象M．
①若
，
，将M 向右平移
个单位长度得到图象
，若图象
和
是双重交错的，
则d 的取值范围是______；
②若存在实数c 使得图象M 和
是双重交错的，直接写出a 的取值范围．
【答案】(1)②
(2)①
；②
【分析】（1）逐一判断每个多边形的每一条边所在线段与直线
是否有公共点，可通过将线段端点代入
直线方程两侧或联立求交点坐标来判定，排除那些存在某条边与直线无交点的多边形，最终只需找出三条
边均与直线有公共点的那个多边形即可；
（2）①平移后的抛物线要与三角形每一边都有两个交点，关键在于确定临界状态，即抛物线与某条边恰好
52 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
相切（一个交点）时的
值，通过联立方程并令判别式为零求出临界
，再结合图形位置确定满足“两个交
点”的
取值范围；
②若存在实数使得抛物线与三角形三边均有两个交点，可先确定临界情形，即抛物线过顶点
且与对边
相切，将
的坐标代入抛物线可得
的关系式，由
的坐标得出
边所在直线解析式之后结合抛物线
与
相切的临界状态得出
的另一个关系式，两式联立即可解出,结合双重交错的定义以及函数图象，
即可确定满足条件的的取值范围．
【详解】（1）如图，在同一坐标系中画出
，以及
，
，
，四边形
，
与
中，
边与
无交点，四边形ABCD 中，
，
边与
无交点，均不符合题意，
三边均与
相交，因此图象
和
是交错的.
（2）①
，
，
二次函数解析式为
，
如图1，平移之前函数
与
每边均有两个交点，
将M 向右平移
个单位长度得到图象
，
所以平移后的二次函数解析式为
，
53 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
若图象
和
是双重交错的，
二次函数
与线段
均有两个交点，
如图2 ，为临界状态，此时图象
和
边相切，
设线段
所在直线解析式为
，
代入
，
解得
，
所以线段
所在直线解析式为
联立二次函数
与线段
所在直线解析式
得
，
整理得
，
所以
，
解得
，
所以要使图象
和
是双重交错的，则d 的取值范围是
．
②若存在实数c 使得图象M 和
是双重交错的，
如图3，临界状态为抛物线过点
且与线段
相切，则
54 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
设线段
所在直线解析式为
，
将
，
代入解得
，
所以线段
所在直线解析式为
，
当抛物线过点
时，代入
得
，
解得：
①，
当抛物线与线段
相切时，
联立抛物线与
解析式消去
得
，
整理得
，
当
时，
解得
②，
由①②得：
，
整理得
，解得
，
∴
因为与线段
必须有两个交点，
所以抛物线的对称轴须在
之间，
即
，
∴
，
综上所述，若存在实数c 使得图象M 和
是双重交错的，则
．
【点睛】本题以“双重交错”这一新定义为载体，核心考查一次函数与二次函数的图象性质（平移、对称
轴、开口方向），以及直线与抛物线交点个数的代数判定方法（联立方程、判别式
），解题的关键在熟悉
一次函数与二次函数的图像以及性质，特别是通过数形结合找到临界状态——当图象与某条边相切或经过
顶点时，交点个数发生会发生变化，通过联立方程并令
可求出参数的临界值，但必须进一步验证切点
或交点是否在线段上，且需结合对称轴位置（如第（2）②问中需满足
）确保抛物线与三条线段
同时满足双交点条件，而非仅与所在直线相交，整个过程体现了数形结合、分类讨论以及临界分析的核心
55 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
思想．
变式6-2 （24-25 九年级下·辽宁大连·期中）定义：点
是轴上一点，将函数的图象位于直线
右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象
记作
，函数的图象未翻折部分记作
，图象
和
合起来记作图象
．
例如：函数的解析式为
，当
时，它的相关函数的解析式为
．
(1)如图，函数的解析式为
，当
时，它的相关函数的解析式为 ；
(2)函数的解析式为
（
）．
①已知点
、
的坐标分别为
、
，当
，且图象
与线段
只有一个公共点时，结合函
数图象，求的取值范围；
②若
，点
是图象
上任意一点，当
时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直
接写出结果）．
【答案】(1)
(2)
或
或
；
或
【分析】（1）根据相关函数的定义即可求解；
（2）
根据题意先求出图象
的函数解析式，再分类讨论：当图象
的顶点在线段
下方，图象
与线
段
只有一个公共点时；当图象
的顶点在线段
上时，图象
与线段
无交点时；当图象
在其对
称轴左侧的部分与线段
只有一个公共点时；结合图象即可求解；
根据题意先求出解析式，根据点
是图象
上任意一点，当
时，的最大值始终保持不变，
列不等式求解即可．
【详解】
（1）解：由相关函数的定义可知，当
时，
的相关函数的解析式为
；
（2）解：
函数的解析式为
，
，
56 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
图象
的函数解析式为
，
把
代入
，得
；
把
代入
，得
，即图象
与
轴的交点坐标为
；
把
代入
，得
．
图象
的顶点坐标为
．
当图象
的顶点在线段
下方，图象
与线段
只有一个公共点时，如图1：
由题意，得
，
解得
．
当图象
的顶点在线段
上时，图象
与线段
无交点时，如图2：
∵图象
的顶点坐标为
，
∴
，此时，图象
与
轴的交点坐标为
，即图象
在线段
上方，符合题意；
当图象
在其对称轴左侧的部分与线段
只有一个公共点时，如图3：
57 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
由题意，得
，
解得
．
综上所述，的取值范围是
或
或
；
，
，
令
，则
，
解得
，
，
与轴交于
，
，
，
的顶点坐标为
，
点
是图象
上任意一点，当
时，的最大值始终保持不变，
当的最大值始终为时，
，
解得
；
当的最大值为时，
，
解得
，
的取值范围是
或
．
58 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
变式6-3 （25-26 八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系
中，对于给定的两个关于x 的函数，任取
自变量x 的一个值，当
时，它们对应的函数值互为相反数；当
时，它们对应的函数值相等，则称
这样的两个函数互为“
相关函数”．
(1)①在点
，
，
，
中，
在正比例函数
的“
相关函数”图象上的点是________；
②若一次函数
的“
相关函数”的图象是轴对称图形，则b 的值为________；
(2)已知
，
，
，
．
①若二次函数
的“
相关函数”图象与四边形
始终有2 个公共点，求h 的取值范围；
②若二次函数
的“
相关函数”的图象与线段
有2 个公共点，直接写出n 的取值范围．
【答案】(1)①
，
；②
(2)①
；②
或
．
【分析】（1）①根据“
相关函数”的定义，将分段函数表示出来，再将
分别代入对应的函数
中求出解，找出正确的答案即可；
②“
相关函数”的图象是轴对称图形，得到当
时，两个函数的值相等，从而求出答案；
59 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
（2）①根据“
相关函数”的定义，将分段函数表示出来，根据当
时，
，与原函数图
像关于轴对称，当
时，
，与原函数一致，所以要使二次函数
的“
相关函
数”图象要与四边形
始终有2 个公共点，需
的图像与四边形
始终有2 个公共点，
根据图像找出特殊情况的值求解；
②
转化为
，然后根据“
相关函数”的定义将分段函数表示出来，根据
图像找出端点位置，根据图像判断的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意，当
时，
，当
时，
，
在点
，
中，
∵
，
∴当
时，
，
∴点
符合题意；
在点
，
中，
∵
，
∴当
时，
，
∴点
符合题意；
故答案为：
，
；
②一次函数
是关于“
相关函数”，
∴当
时，
，当
时，
，
∴
时，
，
，
∵“
相关函数”的图象是轴对称图形，
∴当
时，两个函数的值相等，即
，
解得
；
（2）解：①已知
，
，
，
，如图所示，
60 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
二次函数
的顶点坐标为
，对称轴为直线
，
当
时，
，与原函数图像关于轴对称，
当
时，
，与原函数一致，
∴二次函数
的“
相关函数”图象要与四边形
始终有2 个公共点，
需
的图像与四边形
始终有2 个公共点，
结合图形得到，
，
令
，
，
解得，
，
∴如图所示，
与四边形
只有一个交点，
二次函数
与四边形
始终有2 个交点，
则
，解得
，
∴的取值范围为
；
61 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
②
，
由题意得，当
时，
，
当
时，
，
作二次函数
与
的图像如下图，
情况一：当
时
的图象与线段
有两个交点，
时
的图象与
线段
没有交点，如图，
∴
，
解得
，
62 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
情况二：当
时
的图象与线段
有一个交点，
时
的图象与
线段
有一个交点，如图，
∴
，
解得
，
综上所述，的取值范围为
或
．
题型7、二次函数与几何的综合
典例7 如图，已知抛物线
与x 轴交于
，B 两点，与y 轴交于点C
．
63 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P 是抛物线上位于第四象限内一动点，
于点D，求
的最大值及此时点P 的坐标；
(3)如图2，点E 是抛物线的顶点，点M 是线段BE 上的动点（点M 不与B 重合），过点M 作
轴于N，
是否存在点M，使
为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当
时，
取得最大值为
．此时
(3)
为直角三角形时，点M 的坐标为：
或
【分析】（1）把点
坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求线
的解析式，设点
的横坐标为
，再用
的代数式表示
的长度建立二次函数求解即可；
（3）先求直线BE 的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）由题意得
，解得：
．
则抛物线的解析式为：
；
（2）过点P 作
轴于点H，交
于点G
当
时，
，解得
或3，
∴
设直线
的解析式为：
，
则
64 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
解得：
∴
设点
（
），则
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
∴
，
∴
．
∴当
时，
取得最大值为
．此时
．
（3）在
上存在点M，使
为直角三角形．
抛物线顶点
，设直线
的解析式为：
，
则
，解得：
，
∴
．
设
，
①∵
，∴
，不可能为直角；
②当
时，则
∴
轴，
65 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
则
，∴
，∴
．
③当
时，过点M 作
轴于点F．
∵
，
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得：
．
∵
，∴
不合题意，应舍去，∴
∴
综上所述，
为直角三角形时，点M 的坐标为：
或
．
66 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角
形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高
综合运用的能力．
题型模版
1.特征：二次函数与三角形、四边形、圆等几何图形的综合问题．
2.方法：建立平面直角坐标系；用坐标表示点与线段；结合相似、全等、勾股定理、面积公式列方程．
变式7-1 如图1，抛物线
与轴交于点
，与直线
交于点
，点
在
轴上．点
从点
出发，沿线段
方向匀速运动，运动到点
时停止．
(1)求抛物线
的表达式；
(2)当
时，请在图1 中过点
作
交抛物线于点
，连接
，
，判断四边形
的
形状，并说明理由．
(3)如图2，点
从点
开始运动时，点
从点
同时出发，以与点
相同的速度沿轴正方向匀速运动，点
停止运动时点
也停止运动．连接
，
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
四边形
是平行四边形．
理由：如图1，作
交抛物线于点
，垂足为
，连接
，
．
∵点
在
上，
67 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
，
连接
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
当
时，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
轴，
轴，
∴
，
∴四边形
是平行四边形；
(3)
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）作
交抛物线于点
，垂足为
，连接
，
，由点
在
上，可知
，
，连接
，得出
，则
，当
时，
，进而得出
，然后证明
，即可得出结论；
（3）由题意得，
，连接
．在
上方作
，使得
，
，证明
，根据
得出
的最小值为
，利用勾股定理求得
，
即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线
过点
，
∴
，
∴
，
68 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴
；
（2）略
（3）如图2，由题意得，
，连接
．
在
上方作
，使得
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
（当
，
，
三点共线时最短），
∴
的最小值为
，
∵
，
∴
，
即
的最小值为
．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角
形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
变式7-2 如图，抛物线
与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于
．
69 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
(1)设抛物线
的顶点为M，求四边形
的面积．
(2)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形
的面积最大？若存在，请求出D 的坐标；若
不存在，说明理由．
(3)在抛物线
上求点Q，使得
是以
为直角边的直角三角形．
【答案】(1)9；
(2)
(3)
或
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点M 的坐标和点A，点B 的坐标，连接
，根据
列式求解即可；
（2）连接
，设
，根据
可得
，据此可得答案；
（3）分两种情况：点B 为直角顶点和点C 为直角顶点，分别画出示意图，讨论求解即可．
【详解】（1）解：把点C 的坐标代入抛物线的解析式得
，
∴抛物线的解析式为
，
∴抛物线的顶点坐标为
，即
；
在
中，当
时，
，解得
或
，
∴
，
∴
，
∵
，
70 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴
；
如图所示，连接
，
∴
；
（2）解：如图所示，连接
，设
，
∴
，
∵
，
∴当
时，
有最大值，
此时
，
71 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴点D 的坐标为
；
（3）解：如图所示，当点B 为直角顶点时，设直线
交y 轴于点H，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
；
设直线
的解析式为
，
∴
，
∴
，
∴直线
的解析式为
，
联立得
，解得
或
，
∴点Q 的坐标为
；
72 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
如图所示，当点C 为直角顶点时，
∵直线
与直线
垂直，直线
与直线
垂直，
∴直线
与直线
平行，
∴可设直线
的解析式为
，
∵
，
∴
，
∴直线
的解析式为
，
联立得
，解得
或
，
∴点Q 的坐标为
；
综上所述，点Q 的坐标为
或
．
变式7-3 抛物线
与直线
交于点
和点H，
，直线
交直线于点
A，交抛物线于点B．
(1)求c 和k 的值（用含m 的代数式表示）；
(2)过点A 作x 轴的平行线交抛物线于M，N 两点（M 在N 的左侧），交y 轴于点C．求
的取值范围；
(3)在（2）的条件下，过点B 作x 轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E 是线段
的中点，探究
与
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
，理由如下：
连接
，
由（2）得，
，
，
．
73 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
抛物线
的对称轴为直线
．
轴，
∴点B，D 关于直线
对称．
为
中点，
．
设抛物线的对称轴与
交于点Q，则
．
．
．
又∵M，N 关于直线
对称，
．
．
，
，
，
．
．
．
．
【分析】（1）把
分别代入
和
，即可求得答案；
（2）由题意可得
，
，
，
，求得
，再根据不等式的性质即可求得
的取值范围；
（3）连接
，设抛物线的对称轴与
交于点Q，则
，根据中点得到
，则
，
，即可证明
，得到
，则
．
74 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：把
分别代入
和
，
得
，
，
，
；
（2）解：由（1）得，直线解析式为
，抛物线解析式为
．
当
时，
．
．
当
时，
．
．
，
∴点B 在点A 的上方．
．
当
时，
．
解得
，
．
，点M 在点N 的左侧，
，
．
．
．
，
，
，
．
75 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
（3）略
题型8、二次函数的实物建模问题
典例8 （25-26 九年级上·浙江宁波·阶段检测）某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所
示：在以发射点为原点，地平线为x 轴，垂直于地面的直线为y 轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包
括一、二两级运行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线
，当火箭运行的水平距离为
时，自
动引发火箭的第二级，火箭第二级沿直线
运行．
若火箭第二级的引发点的高度为
．
(1)求两段路径所在函数解析式；
(2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低
，求这两个位置之间的距离．
【答案】(1)
，
；
(2)两个位置之间的距离
【分析】此题考查了二次函数的实际应用．
（1）利用待定系数法求出函数解析式；
（2）根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为
，
76 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴抛物线
和直线
均经过点
，
∴
，
，
解得
，
，
∴函数解析式分别为：
，
；
（2）解：
，
∴最大值
，
当
时，则
，
解得
，
，
又∵
时，
，
∴当
时，则
．
解得
，
，
∴这两个位置之间的距离
．
题型模版
1.特征：利用二次函数解决实际问题中的最值、范围、方案设计等．
2.方法：建立合适的坐标系或函数模型；用待定系数法求解析式；根据实际意义确定自变量范围并求最值．
变式8-1 综合与实践问题情境：如图1，某生态景观园区为打造“滨水乐活”主题片区，安装了音乐喷泉装
置．喷泉的水柱从底座（水平面上）
点喷出，其距水面的竖直高度
（单位：m）与距喷口点
的水平距
离（单位：m）近似满足二次
．．函数关系，测得的几组数据如下表：并解决以下问题：
0
7
14
21
28
77 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
0
4.5
6
4.5
0
(1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图2 所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出
与的函数关系式．
(2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一
个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距
离不低于
，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）．
(3)如图3，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度
（单位：m）与距喷
水点
的水平距离（单位：m）近似满足关系式：
．在距喷口点
水平距离
处有一个
互动装置点
，要求水柱能落在距互动装置点
的范围内（含
），求的取值范围．
【答案】(1)
描点画图如答图所示：
(2)
(3)
【分析】（1）根据表格确定每一个点的坐标，然后在坐标系中描点，再连线即可作图，再由待定系数法求
解函数关系式；
（2）对于
，令
，则
，求出方程的根，即可求解这条观赏灯带
可铺设的最大长度；
78 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
（3）对于
中，令
，求出方程的根，根据题意可得
，即可求解的取值
范围．
【详解】（1）解：根据表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为
，
设
与的函数关系式为
，
∵当
时，
∴
解得
∴
与的函数关系式为
（2）解：由题意得，对于
，令
，
则
解得
，
∴
，
答：观赏灯带可铺设的最大长度为
；
（3）解：在
中，令
则
解得
（舍去），
根据题意，要使水柱能落在距互动装置点M
的范围内(含
)，
则
，即
，
∴
解得
．
变式8-2 （2025·广东深圳·三模）项目式学习：《无人机灯光秀图案的设计》
项目
背景
为庆祝建校百年，某中学的无人机社团计划在校庆夜空上演无人机灯光秀．同学们以抛物线为基础，
编排两组无人机组成“双翼彩虹”图案的表演．左侧无人机群的灯光轨迹近似看成一条抛物线：右
侧轨迹与左侧关于舞台中轴线对称，展现彩虹双翼的平衡之美．如图所示：
79 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
任务
1 建
立模
型
如图1 以地面为x 轴，舞台中轴线为y 轴，舞台中央点为原点，建立的直角坐标系，左侧抛物线过
顶点
，起始点为
，终点与起始点关于直线
对称，直接写出左侧抛物线解析式
______；
若右侧抛物线与左侧抛物线关于y 轴对称，直接写出抛物线解析式：_______．
任务
2 利
用模
型
为确保视觉效果，两侧无人机需要同时飞行移动至距离舞台地面中心5 米的高度处并交汇于点A 处，
如图所示，求两组无人机队伍交汇时，距离舞台地面中心7 米高度时无人机队列两侧的水平宽度．
任务
3 分
析计
算
在（2）的条件下，为达到更优的视觉效果，同学们提议，给交汇处的无人机装上射灯，并从交汇点
A 飞到舞台中央
点的正上方B 处发射两束光线，射出的光线与地面形成
夹角，如图3 所示
①若要使光线不被无人机队列所遮挡，求无人机上升距离
的最小值；
②若无人机计划飞到12 米才发射光线，则此时单侧光线与无人机队列之间的最短距离为______．
【答案】（1）
，
（2）
米（3）①
②
米
【分析】（1）设抛物线的解析式为
，代入
解答即可；根据对称，顶点坐标变成纵坐标
不变，横坐标变成相反数，形状不变，写出解析式即可．
（2）左侧抛物线向右平移1 个单位长度，再向上平移3 个单位长度，得到符合题意的新位置抛物线即
；右侧抛物线向左平移1 个单位长度，再向上平移3 个单位长度，得到
符合题意的新位置抛物线即
；当
时，求两个解析式的自变量值，用
80 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
最右侧值减去最左侧值解答即可．
（3）利用待定系数法，根的判别式解答即可．
【详解】（1）解：∵左侧抛物线过顶点
，
不妨设抛物线的解析式为
，
∵起始点为
，终点与起始点关于直线
对称，
∴终点坐标为
，
∴
，
解得
，
∴左侧抛物线解析式为
，
∵左侧抛物线过顶点
，
∴右侧抛物线过顶点
，
不妨设抛物线的解析式为
，
∵左侧抛物线起始点为
，
∴右侧抛物线起始点为
，
∴
，
解得
，
∴右侧抛物线解析式为
，
故答案为：
，
．
（2）解：左侧抛物线解析式为
，点
关于y 轴的对称点为
；左侧终点坐标为
关于y 轴的对称点为
,
根据题意，两侧无人机需要同时飞行移动至距离舞台地面中心5 米的高度处并交汇于点A
处，
故
平移到
，
平移到
，
故左侧抛物线向右平移1 个单位长度，再向上平移3 个单位长度，得到符合题意的新位置抛物线即
81 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
；
故右侧抛物线向左平移1 个单位长度，再向上平移3 个单位长度，得到符合题意的新位置抛物线即
；
当
时，
，
解得
，
当
时，
，
解得
，
故水平宽度为
，
答：水平宽度为
米．
（2）①解：设
，根据题意，射出的光线与地面形成
夹角，得到
，
设直线
的解析式为
，
故
，
解得
，
故直线
的解析式为
，
要使光线不被无人机队列所遮挡，
确定直线与抛物线只有一个交点时，为最小值，
故
，
故
，
，
82 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
解得
，
故无人机上升距离
的最小值为
；
②解：根据题意，得无人机计划飞到12 米才发射光线，此时单侧光线的解析式为
，
此时
，
由
，得
，
故直线与x 轴的交点坐标为
，
故两交点的距离为
，
根据题意，射出的光线与地面形成
夹角，
故与无人机队列之间的最短距离为
米．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一元二次方程根的判别式应用，等腰直角三角形的性质，平行
线之间的距离，熟练掌握待定系数法，根的判别式是解题的关键．
变式8-3 （2025·陕西渭南·一模）悬挂过山车是某游乐场经典项目之一、如图，
为
该过山车的一部分轨道，轨道
和
可以各自看成一段抛物线，其形状相同，B，E 分别
为两段轨道的最低点．建立平面直角坐标系如图，点A 在y 轴上，B，E 两点在x 轴上，其中
米，
米（轨道厚度忽略不计）．
(1)求抛物线
的函数表达式；
83 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
(2)已知在
轨道上有两个位置D 和C，且它们到地面的距离相等，轨道抛物线
最低点
E 的坐标为
，求点D 的坐标；
(3)现需要对轨道下坡段
进行安全加固，利用某种材料建造水平和竖直支架
、
、
、
，
且要求
．已知这种材料的价格是4500 元/米，请通过计算说明：当
多长时，造价最低？并求
最低造价为多少元？
【答案】(1)
(2)
(3)当
米时，造价最低，最低造价为
元
【分析】此题考查了二次函数的性质，求二次函数的最值，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数
的性质是解题的关键：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得
米得到点C 的横坐标为
，进而求得
，根据二次函数的对称性求解点D 坐标
即可；
（3）设
，则
，
，则
，
，设总长度为l 米，根
据坐标与图形性质得到
根据二次函数的性质求得l 的最小值，进而可求解．
【详解】（1）解：由题意，设抛物线
的函数表达式为
，
将
代入，得
∴
，
∴抛物线
的函数表达式为
，
（2）解：∵
米，点E 的坐标为
∴
（米），
∴点C 的横坐标为
，
将
代入
中，得
，
则
，
∵抛物线
对称轴为直线
，且轨道上的点D 和C 到地面的距离相等，
84 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴
（米），
∴点D 坐标为
；
（3）解：设
，则
，
，
由题意，
，
，
设总长度为l 米，
则
，
∵
，
，
∴当
时，l 最短，最短值为23.56，此时，造价最低，最低造价为
（元），
答：当
米时，造价最低，最低造价为
元
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．已知二次函数
（a，b，c 为常数，
）图象的顶点坐标是
，且经过点
，
．有下列结论：①
；②关于x 的方程
有两个不相等的实数根；③
；④对于任意实数t，总有
．⑤当
，
时，y 的最小值是1，
则
或6．其中正确的结论有（）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】先根据顶点坐标和已知点得到参数关系，再由 的范围得到 的取值范围，最后逐一判断各结论
即可．
【详解】解：∵二次函数顶点坐标为
，
85 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴对称轴为直线
，即
，得
，
设顶点式为
，
将
代入得
，
即
，得
，
当
时，
，代入
得
，
∵
，
∴
，
解得
，
∴
，
，
，
∴
，故①错误；
②原方程整理得
，左边为非负数，
当
时，
，方程无解，故②错误；
③
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，故③正确；
④代入
得：
，
∵
，
∴
，不满足对任意 都有
，故④错误；
⑤当
时，
得
，开口向上，对称轴
，
∴
，
∴
，
区间
中
最小值为，
若
，即
，最小值在
处，
86 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
解得
或
（舍）；
若
，即
时，当
时，取最小值
，无解；
若
，最小值在
处，
∴
，
解得
或
（舍），
故
或
，结论⑤错误；
综上，只有1 个结论正确．
2．点
是二次函数
图像上的四个点，下列说法一定
正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质及不等式，根据二次函数的对称轴及开口方向、确定各点
纵坐标值的大小关系是解题的关键．
先求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大
小关系即可解答．
【详解】解：∵二次函数
的对称轴为：
，且开口向下，
∴距离对称轴越近，函数值越大，
，
A.若
，则
不一定成立，故选项错误，不符合题意；
B.若
，则
不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C.若
，所以
不一定成立，故选项错，不符合题意；
D．若
，则
一定成立，故选项正确误，符合题意．
故选：D．
87 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
3．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P 是一个固定
观测点，运动点Q 从A 处出发，沿笔直公路AB 向目的地B 处运动．设AQ 为x（单位：km）（
），
为y（单位：
）．如图2，y 关于x 的函数图象与y 轴交于点C，最低点
，且经过
和
两点．
下列说法中，正确的有________．（填序号）
①
；②
；③点C 的纵坐标为240；④点
在该函数的图象上．
【答案】①④
【分析】结合图形和函数图象，图象上的点
表示点Q 运动的位置满足
，
，图象的最低点
D 表示点Q 运动到
的位置，且此时
，
，
据此画出图形，利用勾股定理求出
即可判断结论①；利用函数的对称性即可判断结论②
；点C 的纵坐标表示图形中
的值,故连接
，利用勾股定理求出
即可判断结论③；结合图形，求
时对应的
是否等于85 即可判断结论④．
【详解】解：结论①，如图，当
时，设点
运动到点
的位置，此时
，
；设点
运
动到
的位置为
，作
，此时
，
，
在
中，由勾股定理，得
，
解得
，故结论①符合题意；
结论②， 当
时，点
运动到点
，n 表示
的长，由①可知
，
，
88 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
由图象对称性易知，
，故结论②不符合题意；
结论③，由图象可知点C 的纵坐标表示图形中
的值，
，
点
的纵坐标为250，故结论③不符合题意；
结论④，设当
时，点
运动到点
，则
，
，
，
点
在该函数图象上，故结论④符合题意；
综上可知，符合题意的结论为①④．
【点睛】本题综合考查了动态几何的函数图象问题，熟练掌握相关知识，能从函数图象中抓住关键信息来
确定点的位置是解题的关键．
4．（25-26 八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数
的图象与x 轴交于点
，
与y 轴的交点B 在
和
之间（不包括这两点），对称轴为直线
．下列结论：①
；②
；③
；④
；⑤
．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序
号）．
【答案】①③⑤
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与
轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的
对称性求出与轴的另一个交点，进而判断
时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取
值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算
，根据的范围即可比较与的
大小．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，
∴
，
∵对称轴为直线
，
89 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
即
，
∵抛物线与
轴交点在
轴负半轴，
∴
，
∴
，故①正确；
②∵抛物线与轴交于点
，对称轴为直线
，
∴抛物线与轴的另一个交点为
，
∴当
时，
，
即
，故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴为直线
，
∴当
时，函数取得最小值
，
∵
时，
，且
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，故③正确；
④∵抛物线过点
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
∴
，故④错误；
⑤∵
，
，
∴
，
∵
，
90 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
即
，故⑤正确；
综上所述，正确结论有①③⑤．
5．（25-26 八年级下·北京·期末）将二次函数
的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得
新函数的图象如图所示，当直线
与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______．
【答案】
【分析】当直线
经过点
时，直线
与新函数的图象有个公共点，把点
的坐标代入解
析式求出
，当
时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是
，当直线
与
的图象有一个交点时，直线
与新函数图象有个交点，根据一元二次
方程根的判别式求出的值，即可得到的取值范围．
【详解】解：解方程
，
分解因式可得
，
可得
，
，
点
的坐标为
，点
的坐标为
，
当直线
经过点
时，
可得
，
解得
，
此时，直线
与新函数的图象有个公共点，
直线再往下平移，则直线
与新函数的图象有个公共点，
，
把抛物线
整理成顶点坐标式，
可得
，
91 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
抛物线
的顶点坐标是
，
点
关于轴对称的点的坐标是
，
当
时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是
，
当直线
与
的图象有一个交点时，直线
与新函数图象有个交点，
方程
有两个相等的实数根，
整理可得
，
，
解得
，
当
时，直线
与新函数的图象恰有个公共点．
6．在平面直角坐标系中，是自变量的函数，爱好创新的小鸣构建一个新函数：当
时，
，当
时，
，即
，将变换后的函数
称为原函数
的关联函数．例如：一次函数
的关联函数为
(1)直接写出二次函数
的关联函数
的函数表达式；
(2)若点
在一次函数
的关联函数
的图象上，求点
的坐标；
(3)对于二次函数
，是否存在实数n 满足当
时，该二次函数的关联函数
的取值范围
是
，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)点P 的坐标为
或
92 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
(3)解：不存在实数n 满足当
时，该二次函数的关联函数
的取值范围是
，理由如
下：
当
时，
，
∴此时函数
的开口向上，对称轴为直线
，
∴当
时，
随x 的增大而增大，
当
时，
，
∴当
时，
；
当
时，
，
∴此时函数
的开口向下，对称轴为直线
，
∴当
时，
随x 的增大而减小，
当
时，
，
∴当
时，
；
在
中，当
时，
，
解得
或
；
∵当
时，该二次函数的关联函数
的取值范围是
，
∴当
时，函数
的最大值为5，最小值为
；
当
时，在满足
时，函数
的最大值为5，最小值为
，
∴
，
∴
（舍去，
）；
当
时，在满足
时，函数
的最大值为5，最小值为
处的函数值，
∴
，
解得
（舍去，
）或
（舍去）；
综上所述，不存在实数n 满足当
时，该二次函数的关联函数
的取值范围是
；
93 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）根据定义求解即可；
（2）根据定义求出
，再利用待定系数法求解即可；
（3）当
时，
，可求出当
时，
；当
时，
，
可求出当
时，
；在
中，当
时，可求出
；当
时，在
满足
时，函数
的最大值为5，最小值为
，则
，解得
（舍去，
）；
当
时，在满足
时，函数
的最大值为5，最小值为
处的函数值，则
，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，当
时，
，
当
时，
，
综上所述，
；
（2）解：当
时，
，
当
时，
，
∵点
在一次函数
的关联函数
的图象上，
∴当
时，则
，解得
，符合题意，此时点P 的坐标为
；
当
时，则
，解得
，符合题意，此时点P 的坐标为
；
综上所述，点P 的坐标为
或
；
（3）略
7．已知抛物线
：
（
）与轴相交
，
两点（其中
为坐标原点），过点
作
直线
轴于点
，交抛物线于点
，如图所示．
(1)
________．
94 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
(2)若点
在抛物线的对称轴上，则
的长为________．
(3)把抛物线
在直线
右侧的部分（含点
）记为图象
．用含的式子表示图像
的最高点
的坐标；
(4)已知点
到
轴的距离为，把抛物线
在直线
左侧的部分（不含点
）记为图象
．图象
沿
轴
向下平移
个单位长度得到图象
．当图象
上恰好只有两个点到轴的距离等于该点到直线
的距离的倍时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)0
(2)12
(3)
或
(4)
或
或
【分析】（1）原点的横纵坐标代入解析式，即可求解；
（2）根据对称轴公式和题意，可得
，则
，对称轴为直线
，再求出点
的坐标，即可求
解；
（3）先求出抛物线的对称轴和顶点坐标，再根据图象和点
与对称轴的位置，分类讨论即可；
（4）根据题意，先求出，再根据解析式求出点
，顶点
以及平移后对应点
，
，
结合题意可得满足条件的两个点是图象
与直线
和
的交点，画出图象分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：
抛物线
：
（
）过原点
，
，则
；
（2）
，
对称轴为直线
，
点
在抛物线的对称轴上，
，解得
，
对称轴为直线
，
抛物线
与轴相交
，
两点，
，
两点关于对称轴对称，
，
95 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
；
（3）解：
，
，
抛物线的对称轴为直线
，顶点坐标为
，
轴，交抛物线于点
，点
，
，
，
，
当
时，即
时，图像
的最高点
的坐标为
；
当
时，即
时，图像
的最高点
的坐标为
；
综上所述：图像
的最高点
的坐标为
或
；
（4）解：设抛物线
的顶点为
，
点
到
轴的距离为，
，解得
或
，
，
，
抛物线
：
，点
的坐标为
，
抛物线的对称轴为直线
，顶点
，即点
在对称轴右侧，
图象
沿
轴向下平移
个单位长度得到图象
，
平移后点
，
的对应点坐标分别为
，
，
图象
上恰好只有两个点到轴的距离等于该点到直线
的距离的倍，
这两个点的纵坐标满足条件，
，即
或
，
满足条件的两个点是图象
与直线
和
的交点，
如图1，
96 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
当直线
过点
时，
，解得
，此时图象
(不包含
)与直线
和
各有一个
交点；
如图2，
当直线
过点
时，
，解得
，此时图象
与直线
和
各有一个交点；
如图3，
当直线
过点
时，
，解得
，此时图象
(不包含
)只与直线
有一个交点；
如图4，
97 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
当直线
过点
时，
，解得
，此时图象
只与直线
有一个交点；
综上所述，结合图象可得，当图象
上恰好只有两个点到轴的距离等于该点到直线
的距离的倍时，
的取值范围为
或
或
．
8．我们约定：如果一个函数的图象与轴、
轴都相交，并且各只有一个交点，设交点分别为
、
，若
，我们就说该函数是“ 倍距函数”．例如函数
与轴交于点
，与
轴交于点
，
，我们就说函数
是“ 倍距函数”．根据约定，解答下列问题：
(1)下列函数是“ 倍距函数”的有____________（填序号）；
①
；②
；③
；④
(2)若一次函数
（其中是自变量，
是的函数，
）是“ 倍距函数”，求的值；
(3)已知二次函数
（
，
）是“ 倍距函数”，该函数的图象经过点
，试求该二次
函数的解析式．
【答案】(1)②④
(2)
(3)该函数解析式为
或
【分析】（1）根据“ 倍距函数”的定义逐个判断即可；
（2）由函数的解析式可知
，根据“ 倍距函数”的定义可知一次函数与轴的交点为
或者
，
可得方程
与
，解方程即可求出的值；
98 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
（3）因为二次函数
（
，
）是“ 倍距函数”，所以二次函数
与轴、
轴都只有一个交点，所以二次函数的顶点式为
，根据“ 倍距函数”的定义可得：该二次函
数与轴的交点坐标是
，与
轴交于点
，可得：
，根据二次函数
经过点
，
可得方程
，整理可得：
，解方程组
求出、的值即可得到函数解析式．
【详解】（1）解：解方程
，
可得：
，
，
函数
的图象与轴有两个交点，
故①不符合题意；
当
时，
，
函数与
轴的交点坐标是
，
，
当
时，可得：
，
解得：
，
函数与轴的交点坐标是
，
，
，
函数
是“ 倍距函数”，
故②符合题意；
反比例函数
与坐标轴没有交点，
故③不符合题意；
当
时，可得：
，
解得：
，
函数
的图象与轴的交点坐标是
，
，
当
时，可得：
，
99 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
函数
的图象与
轴的交点坐标是
，
，
，
故④符合题意；
综上所述，是“ 倍距函数”的有②④；
（2）解：当
时，
，
，
一次函数
是“ 倍距函数”，
一次函数与轴的交点为
或者
，
将其代入一次函数中，得到方程
与
，
解方程：
，
可得：
，
整理
，可得：
，
方程无解，
综上所述，
；
（3）解：
，
，
对称轴
，
又
二次函数
是“ 倍距函数”，
二次函数
的顶点在轴的正半轴上．
设该二次函数的顶点式为
（
），
又
，
该二次函数与
轴交于点
，
代入
得；
①，
二次函数
经过点
，
100 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
，
化简得：
②，
将方程①代入方程②得：
③，
由③可得：
，
把
代入
，
可得：
，
解得：
，
，
当
时，可得：
，
当
时，可得：
，
该函数解析式为
或
．
9．在直角坐标系中，设函数
（a，b，c 是常数，
）．
(1)当
时，
①若该函数图象的对称轴为直线
，且过点
，求该函数的表达式；
②若该函数的图象与x 轴有且只有一个交点，求证：
；
(2)已知该函数的图象经过点
，
．若
，
，求a 的取值范围．
【答案】(1)①
；
②∵该函数解析式为
，且其图象与x 轴有且只有一个交点，
∴方程
有且只有一个实数解，
∴
，整理，得：
，即
，
∴
．
∵
，
∴
；
101 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
(2)
【分析】（1）①根据二次函数的对称轴公式即可求出b 的值，再将
代入该二次函数的解析式即可求出c
的值，即得出该函数的表达式；②根据该函数的图象与x 轴有且只有一个交点，即说明其相关一元二次方程
有且只有一个实数解，再利用其根的判别式即得出
，整理为
，进而可求出
，再配方，结合二次函数的性质即可求解；
（2）将
，
代入该二次函数解析式，得
，
，两式相减并整理得
．结合题意可求出
，根据
，说明
，即
．最后利用
，求出a 的取值范围即可．
【详解】（1）解：①∵
，
∴该函数解析式为
．
∵该函数图象的对称轴为直线
，
∴
，
解得：
．
∵该函数图象过点
，
∴
，
解得：
，
∴该函数解析式为
；
②略
（2）解：∵该函数的图象经过点
，
，
∴
，
，
∴
，
整理，得：
，
∴
．
∵
，
102 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴
．
又∵
，
∴
，即
．
∵
，
∴
，
解得：
．
10．已知抛物线
交x 轴于点
，B；交y 轴于点C，将点C 向右平移2 个单位长度，得
到点D，点D 在抛物线
上，点E 为抛物线顶点．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点E 的坐标；
(2)连接
，点M 为线段
上一动点，连接
，作射线
．
①在射线
上取一点F，使
，连接
．当
的值最小时，求点M 的坐标．
②点N 是射线
上一动点，且满足
，连接
，求
的最小值．
【答案】(1)
，
(2)①
；②
【分析】（1）求出点D 的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）①连接
，根据题意可得点
，
，从而得到当点O，M，F 三点共线时，
取得最小值，最小值为
的长，即
，再求出点
，可证明四边形
为菱形，即可求解；
②在射线
上取点G，使
，连接
，证明
为等腰直角三角形，可得
，
可证明
为等腰直角三角形，再证明
，可得
，从而得到
，即可求解．
103 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：当
时，
，
∴点
，
∵将点C 向右平移2 个单位长度，得到点D，
∴点
，
把点
，
代入
得：
，解得：
，
∴抛物线的解析式为
，
∵
，
∴顶点E 的坐标为
；
（2）解：①如图，连接
，
∵
，
，
∴
轴，
，
∴
，
∴点
，
，
∵
，
∴当点O，M，F 三点共线时，
取得最小值，最小值为
的长，即
，
对于
，
当
时，
，
∴点
，
104 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
，
∴
，
∴四边形
为菱形，
∴点M 为
的中点，
∴点M 的坐标为
；
②如图，在射线
上取点G，使
，连接
，
∵
，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
105 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
，
∴
轴，即
，
∴
，
∵
，
，
在
中，
，
∴
，
即
的最小值为
．
11．抛物线
与轴交于
，
两点，与
轴交于点
．动点
在线段
上（点
与点
不重合）．
(1)求抛物线
的表达式；
(2)连接
，在
的左上方以
为边作正方形
．
①如图1，当
时，求正方形
的面积；
②如图2，当点
落在抛物线上时，求点
的坐标；
(3)如图3，在动点
的正上方有另一动点
，且
，当点
从点
开始运动时，点
以相同的
速度同时出发，两点都沿
轴的正方向匀速运动，点
停止运动时点
同时停止运动．连接
，
，求
的最小值和此时
的值．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
的最小值为
，此时
106 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）把
、
代入
，解方程组求出
，即可得出答案；
（2）①根据
、
得出
，根据点
，利用勾股定理求出
，即可求出正方形
的面积；
②过点
作
轴于
，
轴于
，得出四边形
是矩形，得出
，
，
根据正方形的性质及角的和差关系得出
，
，可证明
，得出
，
，设
，则
，
，根据
得出
，解方程求出
的值，即可得出答案；
（3）过点
作
轴，使
，连接
，得出四边形
是平行四边形，可得
，
得出当点
、
、
三点在同一条直线上时，
取最小值，最小值为
的长，根据抛物线解析式求
出
，利用勾股定理求出
，利用待定系数法求出直线
的解析式为
，进而求
出
，根据
，即可求出
．
【详解】（1）解：∵抛物线
与轴交于
，
两点，与
轴交于点
，
∴
，
解得：
，
∴抛物线的表达式为
．
（2）解：①∵
，点
在线段
上，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴正方形
的面积为
；
②如图，过点
作
轴于
，
轴于
，
107 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
∵在
的左上方以
为边作正方形
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
设
，则
，
，
∵
，
∴
，
解得：
，
（舍去），
∴
，
∴点
的坐标
．
（3）解：如图，过点
作
轴，使
，连接
，
108 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∵点
、
的速度相同，
∴
是定值，
∵
，
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
，
∴当点
、
、
三点在同一条直线上时，
取最小值，最小值为
的长，
∵
，
∴当
时，
，
解得：
，
，
∴
，
，
，
∴
，即
的最小值为
，
∵
，
，
∴
，
设直线
的解析式为
，
∴
，
解得：
，
∴直线
的解析式为
，
109 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
当
时，
，
∴
，
∵
，
，点
在点
上方，
∴
．
12．小红帽百货商店用
元购进了第一批胶囊遮阳伞，很快就销售一空．面对即将到来的五一小长假，
大家对遮阳伞的需求量增大，小红帽百货商店瞄准商机，又用
元购进了第二批该款胶囊遮阳伞，每把
遮阳伞的进价比第一批多元，进货数量比第一批多了
．
(1)求第一批胶囊遮阳伞每把的进价；
(2)若第二批胶囊遮阳伞按
元把的价格销售，销售了第二批进货数量的
后，根据市场情况，小红帽百
货商店决定对剩余的胶囊遮阳伞一次性打折销售，但要求销售第二批胶囊遮阳伞的总利润率不低于
，
请问最多可以按几折销售？用不等式解决问题
(3)若第一批所进的胶囊遮阳伞销售单价为每把
元，每天可卖出
把，市场调查发现，每把降价元钱，
每天可多卖出把，若每天的利润为
元，售价为每把元，写出
与的关系式，求出每天获得最大利润
时，售价应定为每把多少元，并求出最大利润．
【答案】(1)20
(2)7 折
(3)
；当售价定为每把
元时，最大值为
元．
【分析】（1）设第一批胶囊遮阳伞每把的进价为元，则第二批胶囊遮阳伞每把的进价为
元，利用数
量总价单价，结合第二批购进的数量比第一批多
，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可
得出结论；
（2）利用数量总价单价，可求出第二批购进的数量，设按
折销售，利用总利润销售单价销售数量
进货总价，结合利润率不低于
，即可得出关于
的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结
论；
（3）根据每天的利润每把伞的利润销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
【详解】（1）解：设第一批胶囊遮阳伞每把的进价为元，则第二批胶囊遮阳伞每把的进价为
元，
依题意得：
，
解得
，
110 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
经检验，
是原方程的解，且符合题意，
答：第一批胶囊遮阳伞每把的进价为
元；
（2）解：由（1）得第二批胶囊遮阳伞每把的进价为
（元），
则第二批购进数量为
（把），
设按
折销售，
依题意得：
，
解得
．
答：最多可以按折销售；
（3）解：根据题意得：
，
，
当
时，
有最大值，最大值为
，
与的关系式为
，当售价定为每把
元时，利润最大，最大值为
元．
13．已知抛物线
经过点
．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点
在抛物线
上，点
在抛物线
上（两点均不与原点重合）．
①若
，且
，比较
、
的大小；
②若
，且
是一个与
无关的定值，求a、b 的值．
【答案】(1)对称轴为直线
(2)①
②
，
【分析】（1）利用对称轴为直线
，其中
是抛物线与x 轴的交点坐标；
（2）①当
时，确定抛物线的解析式为
，利用作差的方法，求解即可；
②根据题意，得
．抛物线解析式为
，根据题意，得点
在抛物线
111 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
上，点
在抛物线
上，得
，
，化简得
，继而得到
，求解即可；
【详解】（1）解：抛物线
过原点
和
，
故对称轴为直线
；
（2）①解：当
时，抛物线解析式为
，
又都不经过原点，
，
，
②解：抛物线
经过点
，
故
，
解得
．
，
根据题意，得点
在抛物线
上，点
在抛物线
上
，
又
，
，
，
，
，
，
，
112 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
是一个与
无关的定值，
，
解得
，
故
．
14．已知抛物线
与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，点A 坐标为
．
(1)求抛物线的解析式及B、C 两点的坐标．
(2)若点M 是线段
上一个动点（不与A、C 重合），点N 是线段
上一个动点，设
①如图1，当点N 运动到
的中点时，作
轴交
于点M，求证：
．
②当点N 在运动过程中，在x 轴上方的抛物线上是否存在点G，使得
且
恰好平分
？
若存在，求出此时点G 的横坐标和t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
，
；
(2)
①如图：
设直线
的函数解析式为：
，
把
，
代入得：
113 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
，解得：
，
∴直线
的函数解析式为：
，
∵
，
，点N 运动到
的中点，
∴
，
把
代入
得：
，
∴
，则
，
∵
，
，
∴
，则
，
∵
，
，
，
∴
，
∵
轴，
∴
，
∴
，
∴
；
②存在，
，点G 的坐标为
．
【分析】（1）利用待定系数法先求出函数解析式，再根据函数图象与坐标轴的交点坐标的特征即可求解．
（2）①设直线
的函数解析式为：
，利用待定系数法求出
的解析式，由中点的性质
可求得
，进而可求得点
，即
，由
，则
，根据
，
，
，可得
，再由平行线的性质可得
，进而可得
，
进而可求解；②过点G 作
轴于点H，设点
，利用相似三角形的判定及性质可得
，解出方程即可求解．
【详解】（1）解：把
代入
得：
，
解得：
，
114 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴该抛物线的解析式为：
，
把
代入得：
，
∴
；
把
代入得：
，
解得：
，
∴
．
（2）①略
②过点G 作
轴于点H，
由①可得：
，
∴
，
∴
，则
，
设点
，
∵
，
∴
，
，则
，
∴
，整理得：
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
平分
，
115 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，即
，
整理得：
，
令
，则
，
解得：
，
当
时，不符合题意，舍去；
当
时，解得：
，
，
此时
，或
（舍），
综上：存在，
，点G 的坐标为
．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握待定系数法求函
数解析式，借助恰当的辅助线，构造相似三角形解决问题．
15．已知抛物线
，直线
．
(1)当直线经过抛物线的顶点时，求k 的值．
(2)（a）若
，当
时，二次函数
的最大值为
，求n 的值；
（b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x 轴向右平移
个单位长度，平移后的图象所对应的函数
在
的范围内有最大值2，求h 的值．
【答案】(1)2
(2)（a）
或
；（b）2
【分析】（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为
，代入直线解析式求解即可．
（2）（a）分
，
，
三种情况，结合函数的增减性，确定取得最值的位
置点，建立方程求解即可；
116 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
（b）根据平移，得到新抛物线的表达式为
．确定对称轴为直线
，且当
时，函数取得最大值，且最大值为3，结合函数
在
的范围内有最大值2，判定
不在
中，
，判定
一定在直线
的左侧，且y 随x 的增大而增大，得到
在
处取得最大值，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为
．
∵直线
经过抛物线的顶点，
∴将点
代入直线
中，得
，解得
．
（2）（a）解：由题意，
，此时抛物线的解析式为
．
∵
，
∴抛物线开口向下，且当
时，y 有最大值3，当
时，y 随x 的增大而增大，当
时，y 随x 的增
大而减小．
当
时，二次函数
的最大值为
．
①当
，即
时，
，
解得
或
（舍去）；
②当
，根据题意，得最大值为3，与二次函数
的最大值为
矛盾，不存在；
③当
时，
，解得
或
（舍去）．
综上所述，n 的值为
或
．
（b）解：∵
，∴抛物线的表达式为
．
∵抛物线向右平移h 个单位长度，
∴新抛物线的表达式为
．
∴对称轴为直线
，且当
时，函数取得最大值，且最大值为3，
∵函数
在
的范围内有最大值2，
∴
不在
中，
∵
，
∴
一定在直线
的左侧，且y 随x 的增大而增大，
117 / 117
学科网（北京）股份有限
学科网（北京）股份有限公司
∴
在
处取得最大值，
∴
，
解得
或0（舍去）．
∴
．
