文档内容
重难点突破 02 活用隐圆的五种定义妙解压轴题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长........................................................................2
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值............................................................5
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°.........................................................................8
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值......................................10
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值..................................................................12
03 过关测试.........................................................................................................................................17活用隐圆的五种定义来妙解压轴题，关键在于理解和运用圆的五种基本性质。这五种定义包括：到定
点的距离等于定长（定义圆）、到两定点距离的平方和为定值、到两定点的夹角为90°、边与对角为定值
且对角互补、到两定点距离之比为定值。
解题时，首先要识别题目中的关键条件，看是否符合隐圆的某一定义。一旦确定，就可以利用圆的性
质来简化问题，如利用直径所对的圆周角是直角、同弦所对的圆周角相等或互补等性质。通过逆用这些性
质，可以找到隐形圆，进而利用圆的几何特征求解。这种方法能有效转化复杂问题，使解题过程更加清晰
明了。
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长
【典例1-1】已知 是单位向量， ，若向量 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】单位向量 满足 ，即 ，作 ，以射线OA，OB分别作为x、y轴非负半
轴建立平面直角坐标系，如图，
，设 ，则 ，由 得： ，
令 ，即 ，，其中锐角 满足 ，
因此，当 时， ，当 时， ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
【典例1-2】已知单位向量 与向量 垂直，若向量 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意不妨设 ，设 ，则 ．
∵ ，∴ ，即表示圆心为 ，半径为1的圆，设圆心为P，∴
．
∵ 表示圆P上的点到坐标原点的距离， ，∴ 的取值范围为
，
故选：C．
【变式1-1】如果圆 上总存在两个点到原点的距离为 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】问题可转化为圆 和圆 相交，
两圆圆心距 ，
由 得 ，
解得 ，即 .
故选：D
【变式1-2】设 ，过定点A的动直线 和过定点B的动直线 交于点
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】由题意可知，动直线 经过定点 ，
动直线 即 ，经过定点 ，
时，动直线 和动直线 的斜率之积为 ，始终垂直，
时，也垂直，所以两直线始终垂直，
又P是两条直线的交点， ， ．
设 ，则 ， ，
由 且 ，可得 ，
，
， ，
，
，
故选:D．
【变式1-3】设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，
则 的最大值是（ ）
A．4 B．10 C．5 D．
【答案】C
【解析】由题意可知，动直线 经过定点 ，
动直线 即 ，经过定点 ，
因为 ，所以动直线 和动直线 始终垂直，
又是两条直线的交点，
则有 ， ，
故 （当且仅当 时取“ ” ，
故选：C．
【变式1-4】设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，
则 的值为（ ）A．5 B．10 C． D．
【答案】B
【解析】由题意，动直线 经过定点 ，则 ，
动直线 变形得 ，则 ，
由 得 ，
∴
，
故选：B．
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值
【典例2-1】在平面直角坐标系 中， 为两个定点，动点 在直线 上，动点 满
足 ，则 的最小值为 ．
【答案】5
【解析】设点 ，由 得： ，
即 ，即 ，
在以 为直径的圆上，不妨设 ， ，
则 ， ，
，
，其中 为辅助角，
令 ， ，则 ， ．
，令 ， ， ，
在 ， 上单调递增，
故当 时， 取得最小值 ，
再令 ， ，
显然 在 ， 上单调递增，
故 时， 取得最小值 ，
综上，当 ， 时， 取得最小值25．
故 的最小值为5,
故答案为：5．
【典例2-2】（2024·江苏盐城·三模）已知 四点共面， ， ， ，则
的最大值为 ．
【答案】10
【解析】设 ，由题意可得： ，
则： ，
ABC构成三角形，则： ，解得： ，
由余弦定理：
，
当 时， 取得最大值为10.
【变式2-1】已知圆 ，点 ， 设 是圆 上的动点，令 ，
则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】设 ， ， ，
，
当 取得最小值时， 取得最小值，
由圆 ，则圆心 ，半径 ，易知 ，则 .
故答案为： .
【变式2-2】已知圆 : ，点 ， .设 是圆 上的动点，令
，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】
由已知 ， ，
设P(x ,y )， ， ，
0 0
所以 ，
因为 ，所以当|OP|取得最小值时， 取得最小值，
由|OP|的最小值为 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【变式2-3】正方形 与点 在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且 ，则
的取值范围为 .
【答案】
【解析】如图，以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则 ，
设点 ，则由 ，
得 ，
整理得 ，
即点 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆，圆心M到点D的距离为 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°
【典例3-1】已知向量 ， ， 满足 ， ， 与 的夹角为 ， ，则 的最
大值为 .
【答案】
【解析】设 ， ， ，
以 所在的直线为 轴， 为坐标原点建立平面直角坐标系，
因为 ， ， 与 的夹角为 ，
所以 ， ，设 ，
即 ， ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
圆心坐标为 ，半径 ， 表示点 到坐标原点的距离即为圆上的点到坐标原点的距离，
因为圆心 到原点的距离为 ，所以 .
故答案为： .【典例3-2】已知向量 为单位向量，且 ，若 满足 ，则 的最大值是 .
【答案】
【解析】向量 为单位向量，且 ，
不妨设 ，令 ，
则 ，
即 ，它表示以 为圆心， 为半径的圆，
可知 表示圆上的点到原点距离，故其最大值是 .
故答案为：√2.
【变式3-1】已知点 ， ，若圆 上存在点 ，使得
，则实数 的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】圆 即为： ，
其圆心为（3，4），半径为1，
设AB的中点为M，
因为点 ， ，
所以M（0，0），
以AB为直径的圆的方程为： ，
，
若圆 上存在点 ，使得 ，
则圆C与圆M有公共点，即 ，
解得 ，所以实数 的最大值是6.
故选：C
【变式3-2】已知圆 ： 和点 ，若圆 上存在两点 ， 使得 ，则实
数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】圆 ： ，则半径为 ， ，
如上图，对于直线 上任意一点 ，
当 均为圆的切线时 最大，
由题意， 即 时，此时 为满足题设条件的临界点，
此时有 .
当 在临界点之间移动时，有 ，即 ，
即有： ，解得： .
故答案为： .
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值
【典例4-1】已知 是平面向量， ，若非零向量 与 的夹角为 ，向量 满足
，则 的最小值是 .
【答案】 /
【解析】设 ，则由 得 ，可得 ，
由 得 ，因此， 表示圆 上的点 到直线 上的点 的距离；
故其最小值为圆心 到直线 的距离 减去半径1，即 .
故答案为：
【典例4-2】设向量 满足 ， ， ，则 的最大值等于( )
A．4 B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】
因为 ， ，所以 , .
如图所以，设 ，则 , , .
所以 ，所以 ，所以 四点共圆.
不妨设为圆M，因为 ,所以 .
所以 ,由正弦定理可得 的外接圆即圆M的直径为 .
所以当 为圆M的直径时， 取得最大值4.
故选：A.
【变式4-1】（2024·天津·一模）如图，梯形 中， ,E和 分别
为AD与 的中点，对于常数 ，在梯形 的四条边上恰好有8个不同的点 ，使得 成立，
则实数 的取值范围是
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】以 的中点为坐标原点， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，则
， .
当 在边 上时，设 ，则 ；
当 在边 上时，设 ，则
；
当 在边 上时，设 ，则 ；
当 在边 上时，设 ，则
.
综上所述，实数 的取值范围是 .故选D.
【变式4-2】（2024·广东广州·一模）在平面四边形 中，连接对角线 ，已知 ， ，
， ，则对角线 的最大值为 ．
【答案】27
【解析】画出图像如下图所示，由于 、 为定值，故 在以 为弦的圆上运动，由正弦定
理得 ，故圆心的坐标为 ， 的最大值即为 的值，也即是 的值，由两
点间的距离公式有 .题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值
【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点 及动点 ，若 （
且 ），则点 的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏
圆”）．在平面直角坐标系中，已知 ，直线 ，直线 ，
若 为 的交点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，此时 ，交点为 .
当 时，由 ，斜率为 ，
由 ，斜率为 ， ，
综上， .
又 ， 直线 恒过 ，
， 直线 恒过 ，
若 为 的交点，则 ，设点 ，
所以点 的轨迹是以 为直径的圆，除去 点，
则圆心为 的中点 ，圆的半径为 ，
故 的轨迹方程为 ，即 ，则有 .
又 ，易知O、Q在该圆内，
又由题意可知圆 上一点 满足 ，取 ，
则 ，满足 .
下面证明任意一点 都满足 ，即 ，
，
又 ，
.
所以 ，
又 ，
所以 ，
如图，当且仅当 三点共线，且 位于 之间时，等号成立
即 最小值为 .
故选：A.
【典例5-2】（2024·江西赣州·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为
亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的
是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为 ，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿
氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆 、点 和点 ，M为圆O上的动点，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】设 ，令 ，则 ，
由题知圆 是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且 ，
设点 ，则 ，
整理得： ，
比较两方程可得： ， ， ，即 ， ，点 ，
当点M位于图中 的位置时， 的值最大，最大为 .
故选：B.
【变式5-1】（2024·湖南·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平
面内到两个定点A，B的距离之比为定值 （ ）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命
名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 中， ，若点P是满足
的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线 上的动点，Q在直线 上的射影为R，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
则 ，
化简整理得 ，所以点 的轨迹为以 为圆心 为半径的圆，
抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
则
，
当且仅当 （ 两点在 两点中间）四点共线时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：D.
【变式5-2】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，
他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆
是他的研究成果之一，指的是：已知动点 与两定点 ， 的距离之比为 ，那么点 的轨
迹就是阿波罗尼斯圆．如动点 与两定点 ， 的距离之比为 时的阿波罗尼斯圆为
．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆 上的动点 和定点 ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，点M在圆 上，取点 ，连接 ，有 ，当点 不共线时， ，又 ，因此 ∽ ，
则有 ，当点 共线时，有 ，则 ，
因此 ，当且仅当点M是线段BN与圆O的交点时取
等号，
所以 的最小值为 .
故选：C
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历
山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 的距离之比为定值 ，且 的点
的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系 中， ，点 满足 .
设点 的轨迹为曲线 ，则下列说法错误的是（ ）
A． 的方程为
B．当 三点不共线时，则
C．在C上存在点M，使得
D．若 ，则 的最小值为
【答案】C
【解析】设 ，由 ，得 ，化简得 ，故A正确；
当 三点不共线时， ，所以 是 的角平分线，所以 ，故B正
确；
设 ,则 ，化简得 ，因为 ，
所以C上不存在点M，使得 ，故C错
误；
因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 在线段 上
时，等号成立，故D正确.
故选：C.1．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成
果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比 ，那么点 的轨迹就是阿
波罗尼斯圆．已知动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 ，定点 为 轴上一点，
且 ，若点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ，所以 ，
又 ，所以 ．
因为 且 ，所以 ，
整理可得 ，
又动点M的轨迹是 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，因为 ，
所以 的最小值为 ．
故选：C．
2．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥
曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果
之一，指的是：已知动点M与两个定点A、B的距离之比为 （ ， ），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O： 和点 ，点 ，M为圆O上的动点，则 的最小
值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，所以 ，
整理 ，得 ， ，点M位于图中 、 的位置时，
的值最小可得答案.设 ，令 ，则 ，
由题知圆 是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且 ，
设点 ，则 ，整理得：
，
比较两方程可得： ， ， ，
即 ， ，点 ，
当点M位于图中 、 的位置时，
的值最小，最小为 .
故选：B.
3．已知 ， 是单位向量， ，若向量 满足 ，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ 是单位向量，∴ .
∵
且 .
∴ ，又∵ ，
(θ是 与 的夹角)．
∴又 ，
∴ ，
.
∴根据一元二次不等式的解法，
解得 .
故选：D.
4．如果圆 上总存在两个点到原点的距离为2，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如果圆 上总存在两个点到原点的距离为2
则圆 和圆 相交，
又圆 的圆心为 ，半径为
两圆圆心距 ，
由 得 ，
解得 ，即 ．
故选：D．
5．设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，则
的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得动直线 经过定点 ，
动直线 经过定点 ，
且两条直线互相垂直，且相交于点 ，
所以 ，即 ，
由基本不等式可得 ，
即 ，可得 ，
故选：C.
6．设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，动直线 经过定点 ，
动直线 ，即 ，经过点定点 ，
动直线 和动直线 的斜率之积为 ，始终垂直，
又是两条直线的交点，
， ．
设 ，则 ， ，
由 且 ，可得 ，
，
， ，
， ，
， ，
， ，
故选：B．7．设向量 ， ， 满足： ， ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ， ， ，
，又 ， ，
设 ， ， ，则 ， ，
又 ， ，
、 、 、 四点共圆，
当 最大时，有 ， 为该圆的半径，
由 ，所以，
在 中，由正弦定理可得 ，
当且仅当 是 的平分线时，取等号，此时 的最大值为圆的直径大小为 .
故选：A．
8．（2024·辽宁·模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿
基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点 及动点 ，若 （ 且 ），
则点 的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点 为圆
上一动点， 为圆 上一动点，点 ，则 的最小值为 ．
【答案】9
【解析】由 为圆 上一动点，得 ，
由 为圆 上一动点，得 ，
又 .因为 ，所以 ，
于是 .
当 共线且 时 取得最小值，即 .
所以 ，
当 共线时等号成立.
故答案为：9．
9．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、
B，动点P满足 （其中 是正常数，且 ），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗
尼斯圆”．现已知两定点 ，P是圆 上的动点，则 的最小值为
【答案】
【解析】如图，在 轴上取点 ，
， ， ， ，
（当且仅当 为 与圆 交点时取等号），
.
故答案为： .
10．（2024·高三·吉林通化·期末）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262-190年)，与欧几里得、阿基米
德并称古希腊三大数学家；他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他发现“平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点的
轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．比如在平面直角坐
标系中， 、 ，则点 满足 所得 点轨迹就是阿氏圆；已知点 ， 为抛物线
上的动点，点 在直线 上的射影为 ， 为曲线 上的动点，则
的最小值为 ．则 的最小值为 ．
【答案】 ；
【解析】设 ，由题意 ，即 ，整理得 ．
因为圆 可以看作把圆 向左平移两个单位得到的，那么 点平移后变为 ，
所以根据阿氏圆的定义， 满足 ，
结合抛物线定义 ，
（当且仅当 ， ， ， 四点共线，且 ， 在 ，
之间时取等号），此时 ，
故 的最小值为 ．
（当且仅当M，Q，F三点共线时等号成立），
根据光学的最短光程原理，我们从C点发出一束光，想让光再经过F点，光所用的时间一定是最短的，由
于介质不变，自然可以把时间最短看作光程最短。
而光的反射性质为法线平分入射光线与反射光线的夹角，并且法线垂直于过这一点的切线。于是我们得到，
当过点M的切线与 的角平分线垂直，即当过点M的圆的切线与直线 平行且离直线 近时，
取得最小值，此时切线方程为 ，联立 可得，此时 ，所以 .
故答案为： ； .
11．（2024·山东日照·一模）已知向量 满足 ， ，则
的最大值为 ．
【答案】 /
【解析】
设 ，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），
因 ，则 设 ，
由 可得：
即 ，整理得： ，∴点C在以 为圆心，1为半径的圆上，
则 表示点A，C的距离，即圆上的点与 的距离，∵圆心到点A的距离为 ，∴ 的最大
值为 .
故答案为： .
12．若向量 ，且向量 ， 满足 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设 ,因为向量 ，且向量 满足 ，
所以 ，
化为 ，
则点 的轨迹是以 为圆心，以1为半径的圆，
表示 上的点到原点的距离，
因为圆心 到原点的距离为2，半径为 ，
所以 的最大值为 ，最小值为 ，所以 的范围是 ，故答案为： .
13．如图，△ 是边长为1的正三角形，点 在△ 所在的平面内，且 （
为常数），满足条件的点 有无数个，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以 所在的直线为 轴， 中点为原点建立直角坐标系，如图所示：
则 设 则
化简得 即
当 时，点 不存在；
当 时，点 只有一个；
当 时，点 的轨迹是一个圆形，有无数个；
故答案为：
14．已知圆 和点 ，若圆 上存在两点 使得 ，则实数 的取值范围为
．
【答案】
【解析】圆 ： ，则半径为 ，圆心 ，
如图，对于直线 上任意一点 ，当 ，BM均为圆的切线时 最大，
由题意， 即 时，此时 为满足题设条件的临界点，
此时有 ，
当 在临界点之间移动时，有 ，即 ，
即有 ，解得 ，
故答案为： .
15．已知圆C： 和两点 ， 若圆C上存在点M，使得 ，
则m的最小值为
【答案】3
【解析】根据题意，点 ， ，则AB的中点为 ， ，
则以AB的中点为圆心，半径 的圆为 ，设该圆为圆O，
若圆C上存在点M，使得 ，则圆C与圆O有交点，必有 ，即 ，
又由 ，解可得： ，
即m的最小值为3；
故答案为：3．
16．已知 ，点 ， ，点 是圆上的动点，求 的最大值、最
小值及对应的 点坐标．
【解析】设 点的坐标为 ，
.
当 时，即 时， 取最大值74，解 得 ， ， 点坐标为 .
当 时，即 ， 取最小值34，
解 得 ， ， 点坐标为 ．
