文档内容
重难点突破 02 活用隐圆的五种定义妙解压轴题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长........................................................................2
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值............................................................3
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°.........................................................................3
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值........................................4
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值....................................................................4
03 过关测试...........................................................................................................................................6活用隐圆的五种定义来妙解压轴题，关键在于理解和运用圆的五种基本性质。这五种定义包括：到定
点的距离等于定长（定义圆）、到两定点距离的平方和为定值、到两定点的夹角为90°、边与对角为定值
且对角互补、到两定点距离之比为定值。
解题时，首先要识别题目中的关键条件，看是否符合隐圆的某一定义。一旦确定，就可以利用圆的性
质来简化问题，如利用直径所对的圆周角是直角、同弦所对的圆周角相等或互补等性质。通过逆用这些性
质，可以找到隐形圆，进而利用圆的几何特征求解。这种方法能有效转化复杂问题，使解题过程更加清晰
明了。
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长
【典例1-1】已知 是单位向量， ，若向量 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知单位向量 与向量 垂直，若向量 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】如果圆 上总存在两个点到原点的距离为 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】设 ，过定点A的动直线 和过定点B的动直线 交于点
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，
则 的最大值是（ ）A．4 B．10 C．5 D．
【变式1-4】设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，
则 的值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值
【典例2-1】在平面直角坐标系 中， 为两个定点，动点 在直线 上，动点 满
足 ，则 的最小值为 ．
【典例2-2】（2024·江苏盐城·三模）已知 四点共面， ， ， ，则
的最大值为 ．
【变式2-1】已知圆 ，点 ， 设 是圆 上的动点，令 ，
则 的最小值为 ．
【变式2-2】已知圆 : ，点 ， .设 是圆 上的动点，令
，则 的最小值为 ．
【变式2-3】正方形 与点 在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且 ，则
的取值范围为 .
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°
【典例3-1】已知向量 ， ， 满足 ， ， 与 的夹角为 ， ，则 的最
大值为 .
【典例3-2】已知向量 为单位向量，且 ，若 满足 ，则 的最大值是 .
【变式3-1】已知点 ， ，若圆 上存在点 ，使得
，则实数 的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
，【变式3-2】已知圆 ： 和点 ，若圆 上存在两点 ， 使得 ，则实
数 的取值范围是 .
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值
【典例4-1】已知 是平面向量， ，若非零向量 与 的夹角为 ，向量 满足
，则 的最小值是 .
【典例4-2】设向量 满足 ， ， ，则 的最大值等于( )
A．4 B．2 C． D．1
【变式4-1】（2024·天津·一模）如图，梯形 中， ,E和 分别
为AD与 的中点，对于常数 ，在梯形 的四条边上恰好有8个不同的点 ，使得 成立，
则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2024·广东广州·一模）在平面四边形 中，连接对角线 ，已知 ， ，
， ，则对角线 的最大值为 ．
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值
【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点 及动点 ，若 （
且 ），则点 的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知 ，直线 ，直线 ，
若 为 的交点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（2024·江西赣州·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为
亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的
是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为 ，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿
氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆 、点 和点 ，M为圆O上的动点，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·湖南·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平
面内到两个定点A，B的距离之比为定值 （ ）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命
名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 中， ，若点P是满足
的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线 上的动点，Q在直线 上的射影为R，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，
他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆
是他的研究成果之一，指的是：已知动点 与两定点 ， 的距离之比为 ，那么点 的轨
迹就是阿波罗尼斯圆．如动点 与两定点 ， 的距离之比为 时的阿波罗尼斯圆为
．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆 上的动点 和定点 ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历
山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 的距离之比为定值 ，且 的点
的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系 中， ，点 满足 .
设点 的轨迹为曲线 ，则下列说法错误的是（ ）A． 的方程为
B．当 三点不共线时，则
C．在C上存在点M，使得
D．若 ，则 的最小值为
1．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成
果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比 ，那么点 的轨迹就是阿
波罗尼斯圆．已知动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 ，定点 为 轴上一点，
且 ，若点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥
曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果
之一，指的是：已知动点M与两个定点A、B的距离之比为 （ ， ），那么点M的轨迹就是阿波
罗尼斯圆.若已知圆O： 和点 ，点 ，M为圆O上的动点，则 的最小
值为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ， 是单位向量， ，若向量 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．如果圆 上总存在两个点到原点的距离为2，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
5．设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设向量 ， ， 满足： ， ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·辽宁·模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿
基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点 及动点 ，若 （ 且 ），
则点 的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点 为圆
上一动点， 为圆 上一动点，点 ，则 的最小值为 ．
9．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、
B，动点P满足 （其中 是正常数，且 ），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗
尼斯圆”．现已知两定点 ，P是圆 上的动点，则 的最小值为
．
10．（2024·高三·吉林通化·期末）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262-190年)，与欧几里得、阿基米
德并称古希腊三大数学家；他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网
络殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他发现“平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点的
轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．比如在平面直角坐
标系中， 、 ，则点 满足 所得 点轨迹就是阿氏圆；已知点 ， 为抛物线
上的动点，点 在直线 上的射影为 ， 为曲线 上的动点，则
的最小值为 ．则 的最小值为 ．
11．（2024·山东日照·一模）已知向量 满足 ， ，则
的最大值为 ．
12．若向量 ，且向量 ， 满足 ，则 的取值范围是 ．
13．如图，△ 是边长为1的正三角形，点 在△ 所在的平面内，且 （为常数），满足条件的点 有无数个，则实数 的取值范围是 ．
14．已知圆 和点 ，若圆 上存在两点 使得 ，则实数 的取值范围为
．
15．已知圆C： 和两点 ， 若圆C上存在点M，使得 ，
则m的最小值为
16．已知 ，点 ， ，点 是圆上的动点，求 的最大值、最
小值及对应的 点坐标．
