文档文本内容
培优点05 活用抽象函数模型妙解压轴题
目录
01 重点解读...........................................................................................................................................2
02 思维升华...........................................................................................................................................3
03 典型例题...........................................................................................................................................5
题型一：一次模型................................................................................................................................5
题型二：正弦模型................................................................................................................................7
题型三：余弦模型................................................................................................................................9
题型四：指数模型..............................................................................................................................12
题型五：对数模型..............................................................................................................................13
题型六：二次模型..............................................................................................................................16
题型七：幂模型..................................................................................................................................18
题型八：正切模型..............................................................................................................................20
题型九：其他模型..............................................................................................................................22
04 课时精练.........................................................................................................................................26
活用抽象函数模型解高考压轴题，是高考数学中极具挑战性与区分度的考查方向。此类题目常位于试
卷末尾，定位为高难度综合题。抽象函数模型不给出具体解析式，仅通过函数性质（如单调性、奇偶性、
周期性等）或特定运算关系描述，着重考查学生抽象思维、逻辑推理与知识迁移能力。考生需精准把握函
数性质，灵活运用赋值法、特殊值法、数形结合等策略，将抽象问题具象化，突破思维瓶颈，从而在高考
中脱颖而出，展现扎实的数学功底与卓越的解题能力。
抽象函数主要研究
求
、
明函数的性
、解不等式等
赋值
值
证
质
,一般通
代入特殊
求
、通
过
值
值
过
的
判定
性、出
变换
单调
现
及
判定抽象函数的奇偶性、换x 为
确定周期性.
1、判断抽象函数
性的方法
单调
①若
出的是
给
“和型”抽象函数f(x+y)=…,判断符号
要
形
时
变
为
或
；
②若
出的是
给
“
型
积
”抽象函数
,判断符号
要
形
时
变
为
或
.
2、常
的抽象函数模型
见
（1）一次函数模型
（2）二次函数模型
（3）幂函数模型
或
（4）指数函数模型
或
且
)
（5）对数函数模型
或
或
且
)
（6）正切函数模型
（7）正弦函数模型
（8）余弦函数模型
或
（9）双曲函数模型
或
题型一：一次模型
【例1】已知函数
的定义域为R，对任意实数
满足
．且
，当
时，
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
为增函数
D．
为奇函数
【变式1-1】已知函数
的定义域为
，对任意的
，若对任意的
，有
，则满足
的实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2025·高三·山东济宁·期中）已知函数
的定义域为
，满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
是奇函数
D．
是偶函数
【变式1-3】（2025·甘肃庆阳·一模）已知函数
的定义域为R，
，
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
D．
的图象关于点
对称
【变式1-4】已知函数
的定义域为
，
，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数D．
为奇函数
题型二：正弦模型
【例2】（2025·辽宁·一模）对任意
，都有
，且
不恒为0，
函数
，则
（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
【变式2-1】已知函数
的定义域为
，且满足
，
则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
【变式2-2】已知函数
的定义域为R，
，且当
时，
，则
下列正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是周期函数
C．当
时，
D．当
时，
【变式2-3】（2025·河北保定·一模）已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
题型三：余弦模型
【例3】已知函数
满足：
，对任意实数
都有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】已知函数
的定义域为R
且
则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【变式3-2】若
，且
，则
（ ）
A．-2
B．-1
C．
D．0
【变式3-3】已知函数
的定义域为
，
，且
，则
（ ）
A．1
B．
C．2024
D．
题型四：指数模型
【例4】已知函数
满足：
，
，则
的值（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】如果函数
对任意
满足
,且
,则
A．505
B．1010
C．2020
D．4040
【变式4-2】如果函数
对任意
，
满足
，且
，则
A．504
B．1009
C．2018
D．4036
题型五：对数模型
【例5】已知集合
，定义在
上的函数
满足：
，
，
当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】已知定义在
上的函数
，满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）已知定义
在上的函数
满足
,且当x>1 时，
， 则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：二次模型
【例6】（2025·高三·河北保定·期末）已知函数
满足：
，
，
成立，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】（2025·山东济南·三模）已知函数
的定义域为R，且
，则下列
结论一定成立的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
有最小值
D．
在
上单调递增
【变式6-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．方程
有解
C．
是偶函数
D．
是偶函数
题型七：幂模型
【例7】（多选题）已知函数
的定义域为
，若
，则以下一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
为奇函数
D．
在
上是增函数
【变式7-1】（多选题）已知函数
的定义域为
，且
，则下列选项正确
的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
是偶函数
【变式7-2】（多选题）已知函数
的定义域为
，对任意的实数
，
满足
，
且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
为
上的减函数
D．
为奇函数
【变式7-3】（多选题）已知函数
的定义域是
，对任意的实数
、
满足
，且
，当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．函数
为
上的增函数
D．函数
为奇函数
【变式7-4】（多选题）（2025·高三·山西运城·期末）已知函数
的定义域为
，且
，若
，则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．函数
是
上的增函数
D．
题型八：正切模型
【例8】定义在
的函数
，当
时
，若
，
，
，则P，Q，R 的大小为
A．
B．
C．
D．
【变式8-1】已知函数
定义在区间
上，
，且当x，
时，恒有
，又数列
满足
，
，设
，对于任意的
，
的最小自然数m 的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
题型九：其他模型
【例9】（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数
满足：
，且
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【变式9-1】（多选题）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
对任意实数a，b 都有
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若x 为正整数，则
【变式9-2】（2025·高三·河北承德·期中）设
为定义在整数集上的函数，
，
，
，对任意的整数x，y 均有
，则
（ ）
A．0
B．1012
C．2024
D．4048
【变式9-3】已知函数
满足：对
，都有
，且
，则以下选项错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
1．已知函数
满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在
上的函数
满足对任意
均有
，则称
为“
函数”.已知
为“
函数
，且
”
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．1
3．已知定义域为
的函数
满足：
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
，
4．已知函数
的定义域为
，且
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
为增函数
5．已知函数
的定义域为R，且对任意实数x，y，都有
.若
，
则
（ ）
A．
B．-1
C．
D．0
6．已知函数
的定义域为
，
，则（ ）
A．
B．函数
是奇函数
C．若
，则
D．函数
在
单调递减
7．已知函数
的定义域为
，且
，若
，则下列结论错误的是
（ ）
A．
B．
C．函数
是偶函数
D．函数
是减函数
8．已知函数
的定义域为
，若
，则下列选项不正确的有
（ ）
A．
B．
C．函数
是增函数
D．函数
是奇函数
9．（2025·山西·一模）已知函数
是定义在
上不恒为零的函数，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
为奇函数
10．（多选题）（2025·四川成都·三模）已知函数
，对任意
，均有
，且
为
的导函数，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
11．（多选题）若定义在R 上的函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
在
上是减函数
D．若
，则不等式
的解集为
12．（多选题）已知函数
的定义域为
，对任意实数
满足
，且
，当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
为减函数
D．
为奇函数
13．（多选题）已知函数
的定义域为
，对任意
，
总有
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
为奇函数
D．函数
在
上单调递增
14．（多选题）已知函数
的定义域为
，且
，若
，则（ ）
A．
B．
C．方程
有唯一的实数解
D．函数
有最小值
15．（多选题）已知函数
的定义域为
，对任意
，均满足
，且
，则（ ）
A．函数
为偶函数
B．8 是
的一个周期
C．
的图象关于点
对称
D．
16．（多选题）已知函数
的定义域为
，且
，若
，则（ ）
A．
B．
C．方程
有唯一的实数解
D．函数
有极大值
17．（多选题）已知定义在
上的函数
，满足
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．若
，则
或
18．（多选题）（2025·高三·江苏南京·开学考试）已知定义在实数集
上的函数
，其导函数为
，
且满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（多选题）（2025·山西阳泉·三模）已知定义在
上的函数
满足
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
在
上单调递减
C．
是偶函数
D．
在
在上单调递增
20．（多选题）设函数
的定义域为
，且满足
，当
时，
，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
不是奇函数
C．函数
有10 个不同的零点
D．
21．（多选题）（多选）已知函数
的定义域为
，对任意实数
，
满足
，
且
，当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
为奇函数
D．
为增函数
22．（多选题）（2025·甘肃白银·三模）已知函数
的定义域为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．函数
的值域为
23．（多选题）（2025·海南·三模）已知函数
的定义域为R，且
，若
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
D．若
，则
24．（多选题）（2025·高三·江苏南通·期末）若函数
是定义在
上不恒为零的可导函数，对任
意的
，
均满足：
，
，记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（多选题）（2025·江西鹰潭·二模）若函数
是定义在
上不恒为零的可导函数，对任意的
均满足：
，
，记
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
D．
26．（多选题）（2025·重庆·三模）函数
是定义在
上不恒为零的可导函数，对任意的x，
均满
足：
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（多选题）（2025·高三·江苏苏州·开学考试）已知
是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意
都满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．若
，则
28．（多选题）已知
是定义在
上的不恒为零的函数，对于任意
都满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是偶函数
C．若
，则
D．若当
时，
，则
在
单调递减
29．（多选题）（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．
C．
D．
30．（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
的定义域为R，且
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
为偶函数B．
C．
D．
31．（多选题）定义在
上的函数
满足
，且当
时
，则
（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
在
上单调递增
D．
32．（多选题）定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，
则下列结论中正确的有（ ）
A．
是奇函数
B．
是增函数
C．
D．
33．（多选题）（2025·浙江·模拟预测）若定义在
上的函数
满足
，且
当
时，
，则下列结论正确的是（ ）．
A．若
，
，
，则
B．若
，则
C．若
，则
的图像关于点
对称
D．若
，则
34．定义在
上的函数
满足当
时，
，且对任意的
、
，有
，
，则不等式
的解集为 .
35．已知定义在
上且不恒为0 的函数
满足如下条件：（1）
，（2）当
时，
；则下列结论中正确的是 ．
①
；
②函数
是奇函数；
③函数
在
上是减函数；
④不等式
的解集为
36．若定义在
的函数
满足
，且有
对
恒成立，则
的最小值为 ．
37．已知函数
满足：对任意实数
、
，都有
成立，且
，
则
．
38．已知函数
满足
，
，则
的值为 .
39．如果
且
，则
．
