文档文本内容
专题01 函数图象与性质
（3 种重要函数图象+5 种抽象函数图象+7 种函数性
质）
内容导航
速度提升
技巧掌握
手感养成
重难考向聚焦
锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向
重难考向保分攻略
授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近近三年：根据2024 年2025 年高考数学的考纲和真题，函数专题在高考中的分值占比比较大，分值比较
高，多以小选择题和填空题题型，难易度分布，是从容易题到小题压轴都有出现，24 年全国卷还在大题第18
题有函数性质的针对性考察。
函数是高考数学的核心考点之一，主要考察函数的性质、图像、运算及应用。函数性质是重点考察。函数
性质考察，多从以下方面来考察
单调性：判断函数在区间上的增减性，常通过导数或定义分析 。
奇偶性：偶函数关于y 轴对称（如二次函数），奇函数关于原点对称（如三次函数） 。
周期性：不仅仅出现在三角函数中，涉及到函数特别是抽象函数，有对称中心或者对称轴来生成周期性
来考察。
函数图像考察，则从见函数图像：一次函数（直线）、二次函数（抛物线）、指数函数（指数增长/衰
减）、对数函数（反函数） 来考察，涉及到图像变换，平移、翻转等操作需结合具体函数分析，如反比
例函数平移后的渐近线位置 。
预测2026 年：函数模块的考察从以下方向考察：
基础性质考察是函数考察的核心点。函数的单调性、奇偶性、周期性始终是必考内容，尤其注重抽象函数
性质的判断与应用。涉及到通过复合函数“同增异减”规律分析性质，或结合对称性推导周期性等方向。
并且结合新高考的考试指导性方向，函数实际应用考察会持续深化，命题可能结合科技创新场景方向，来
考查函数建模与分析能力。所以再复习函数备考函数时，要重视原理理解，引导学生避免机械刷题，需深
入掌握函数性质的定义,性质，理解并掌握推导过程和推导思维，强化思维训练，以解决压轴大题或压轴
小题题形式的综合应用。
考向01 重要函数图像：对勾函数
对勾函数：
图像特征
形如
称为对勾函数
1.有“渐近线”：y=ax
2.“拐点”：解方程
（即第一象限均值不等式取等处）
1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
，若对任意的
，满足
，则恒有（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·北京大兴·三模）已知函数
.若
的最小值为
，则
的一个取
值为 ；
的最大值为 ．
考向02 重要函数图像：双曲函数
.双曲函数（双刀函数）
1.有“渐近线”：y=ax 与y=-ax
2.
“零点”：解方程
（即方程等0 处）
1．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知
，且
，则下列可能成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三·河北邯郸）已知函数
，若
恒成立，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数
．若
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知
，若
有唯一解，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
考向03 重要函数图像：分式型
.反比例与分式型函数
解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高
次不等式，再用穿线法求解。形如：
。对称中为P
，其中
。
1．（23-24 高三·广东 阶段练习）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 上·江苏阶段练习）已知函数
，
，则不等式
的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三·云南昭通·阶段练习）已知函数
，若对任意的
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24·湖南长沙阶段练习）已知函数
满足
，若函数
的图像与
的图像有4 个交点，分别为
，
，
，
，则
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．2a
考向04 抽象函数图像：函数方程
函数方程,多采用轮换式代换技巧。函数方程中的轮换式代换技巧是一种通过变量轮换来简化方程或发现
隐藏对称性的方法。其核心思想是：如果方程在变量轮换后形式不变，则可以利用这种对称性进行代换
或推导。
核心原理是：对于函数方程f(g(x)) +f(r(x))形式，若变量轮换后形式不变，可尝试设t =g（x）与t=r（x）
来代换，通过代换，再通过解方程消去，转化为单一变量的函数解析式
常见技巧：
变量代换：通过轮换变量，再通过相加或相减消元，将复杂方程转化为更简单的形式。
对称性利用：若方程是轮换对称式，其因式分解或解的结构往往具有对称性，可据此简化问题
周期性结合：在函数方程中，轮换对称性常与周期性结合使用，通过多次轮换代换，寻找出代换的周期
性，来推导函数的解析式
1．（2025·浙江·二模）定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则函数
在区间
内的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在
上的函数
满足
，
，则
等于（ ）
A．33
B．32
C．31
D．30
3．（2024·青海·二模）定义在
上的函数
满足
，
是函数
的
导函数，以下选项错误的是（ ）
A．
B．曲线
在点
处的切线方程为
C．
在
上恒成立，则
D．
4．（2025·广西·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足
，则
．
考向05 抽象函数图像：构造正弦与双曲正弦模型
.正弦与双曲正弦型：
1．（24-25·广西南宁·一模）已知函数
的定义域为
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
是增函数
D．
是周期函数
2．（24-25 高三·甘肃陇南 ）已知函数
的定义域为
，且满足
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
3．（24-25 高三·浙江舟山·阶段练习）已知函数
的定义域为
，且
，
的图像关于直线
对称，
，
在
上
单调递增，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．
的一条对称轴是直线
C．
D．
4．（24-25 高三上·广西·阶段练习）已知函数
的定义域为
，且当
时，
，则下列正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是周期函数
C．当
时，
D．当
时，
考向06 抽象函数图像：构造余弦与双曲余弦模型
.余弦与双曲余弦模型
1．（24-25 高三·辽宁大连·阶段练习）定义域为
的函数
，对任意
，且
不恒为0，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．若
，则
2．（24-25·高三广西南宁开学考）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
为奇函数C．
有零点
D．
3．（24-25 高三·重庆渝中·阶段练习）定义在
上的函数
满足对任意
都有
，且
，
，则下列命题错误的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是周期函数
C．
D．
的图象关于点
对称
4．（24-25·广东开学考试）已知定义在
上的函数
满足：
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的周期为4
C．
关于
对称D．
在
单调递减
考向07 抽象函数图像：构造一元三次型
.
一元三次模型
1．（24-25·青海百校联考）已知定义在
上的函数
，其导数为
，且满足
，
，
，给出下列四个结论：①
为奇函数；②
；③
：④
在
上单调递减.其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②
B．①③
C．②③④
D．①②④
2．（多选）（24-25 高三上·陕西安康·开学考试）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
，当
时，
，且
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
为偶函数
B．
C．
在
上单调递增
D．
3．（多选）（（24-25 高三·河南·阶段练习）已知非常数函数
的定义域为
，且
，则（ ）
A．
B．
或
C．
是
上的增函数D．
是
上的增函数
4．（多选）（（24-25·贵州·三模）已知定义域为
的函数
满足
为
的导函数，且
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．设
，则
考向08 抽象函数图像：赋值与构造型
几个特殊的构造：
1.反比例模型：
2.对数反比例型：
3.一元二次函数型模型：
模型特征：线性抽象+xy 型
1．（24-25 高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数
，对任意的
都有
，
且
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
是
上的增函数
D．
2．（2024·安徽合肥·一模）已知函数
的定义域为
，且
，
记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三·湖南·阶段练习）已知函数
是定义在R 上不恒为零的函数，对任意的x，
均满足：
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．(多选）（24-25 高三上·海南·阶段练习）已知函数
，对任意的
都有
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
是
上的增函数
D．
考向09 函数对称：中心与轴对称
1.重要的中心对称函：
数
特别的：对称中心横坐标如果相同，可以叠加纵坐标为合成中心
2.重要的轴对称函数：
对数-指数复合反比例型：
对数-指数复合反比例型原理：
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，
，则函数
的图象与x，y 轴围成的封闭图形的面积是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
2．（2025·河北·模拟预测）若
（其中
）是偶函数，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
3．（2025·江苏苏州·三模）已知函数
，定义域为R 的函数
满足
，
若函数
与
的图象有四个交点，分别为
，
，
，
，则
（ ）
A．0
B．4
C．8
D．12
4．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知
的定义域为
，将
的图象绕原点旋转
后所得图象与原
图象关于
轴对称，且
，
，
，则
（ ）
A．2024
B．
C．2025
D．
5．（25-26 高三·山东·阶段练习）直线
经过函数
图象的对称中心，则
的最小值为 .
考向10 函数对称：重心偏移型
重心偏移，主要值的是具有中心对称且有单调性形式的函数，一般如下图两种形式：
1．（23-24 高三·安徽合肥·阶段练习）已知函数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·高三河北邯郸阶段练习）已知函数
，设
（
）为实数，且
．
给出下列结论：
①若
，则
；
②若
，则
．
其中正确的是（ ）
A．①与②均正确
B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确
D．①与②均不正确
3．（23-24 高三·河北·阶段练习）已知函数
，若
，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三浙江·阶段练习）已知函数
，若对任意
，都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在
上的函数
，满足不等式
，则
的取值范围是 ．
考向11 函数对称：周期与求和
周期性性质：
①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b.
②常见的周期函数有：
f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a.
周期性技巧：可以类比正余弦函数
1．（25-25 四川成都九月月考）设
为定义在整数集上的函数，
，
，
，对任
意的整数
均有
，则
=（ ）
A．0
B．1013
C．2025
D．4050
2．（25-26 安徽合肥阶段练习）定义域为R 的函数
，其图象关于直线
对称，已知
为奇
函数，且
，则
（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
3．(多选题）（）25-26 高三上·四川绵阳·)已知定义在
上的偶函数
，满足
，当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
4．（多选题）(25-26 高三上·四川绵阳涪城区绵阳南山中学实验学校·)定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，已知当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在区间
上单调递减
C．
D．
5．（多选）（25-26 山东实验模拟）设
是定义域为R 的奇函数，且
的图象关于直线
对称，若
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．
在
上单调递减
C．
D．
在区间
上有3543 个零点
考向12 函数对称：双函数方程传递
“双函数”
双函数常规思维：是依赖单调性、中心对称性、周期性来推导函数。
双函数实战思维：
1.双函数各自自身对称性
2.形如
。借助数形结合，f（x）的性质，可以传递给g（x）。
3.形如
，与
，可以借助函数方程消去一个，剩余另一个函
数，再借助函数性质得到图像特征。
1．(多选题）（24-25 高三上·山东菏泽·开学考试）已知函数
的定义域均为
的图象关
于
对称，
是奇函数，且
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
2．(多选题）（24-25 高三福建阶段练习）已知函数
的定义域均为
，且
,
，若
的图象关于直线
对称，则以下说法正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
C．
，
D．若
的值域为
，则
3．(多选题）（2025·湖北黄冈·一模）定义在
上的函数
和
，
为奇函数，
为偶函
数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于
对称
D．8 为
的一个周期
4．(多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知函数
、
定义域为
，其中
为偶函数，
，且
，
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
考向13 函数单调性综合：同构
函数单调性转化关系：
①一般认为，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ；
②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ；
单调性的定义的等价形式：设x1，x2 [
∈a，b]，那么有：
>0
①
⇔f(x)是[a,b]上的
增函数
；
同构型：
通过同除或者同乘等等凑配技巧，构造结构相同的新函数，然后新函数满足单调性定义。
1．（25-26 高三·云南·阶段练习）已知函数
，若对于任意的
、
，且
，都
有
成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三·贵州阶段练习）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
.若对
，
，且
，都有
，则关于
的不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三吉林 阶段练习）已知函数
的定义域为
，
，对于任意的
，当
时，有
.若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三下·陕西商洛·阶段练习）已知定义在
上的函数
满足
，对任意的
，且
，
恒成立，则不等式
的解
集为 .
考向14 函数单调性综合：优函数放缩
函数放缩：
有
，则称
为优函数。
类似这类函数不等式，可以借助“类周期”思维进行放缩。
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足：
，且
，则
（ ）
A．1364
B．1363
C．1264
D．1263
2．（2025·湖南长沙·三模）设函数
的定义域为
，若
，且对任意
，满足
，则
的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·江西·二模）已知函数
是定义在
上的函数，
，且对任意的
都有
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河北·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足：
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河南·二模）已知定义在
上的函数
的图象是一条连续不断的曲线，且
满足当
时，
，当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考向15 函数单调性综合：单调性综合
1．（25-26 高三上·江苏扬州·月考）已知函数
和
的定义域均为
，且
，若
是偶函数，则
.
2．（25-26 高三上·浙江·阶段练习）若对
，
恒成立，则实数
的取值
范围为 .
3．（25-26 高三上·山东临沂·阶段练习）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，
，则
.
4．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）已知定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函
数的和，设
，其中
分别为奇函数和偶函数，则
；
若正项数列
满足
，且
，则
．
5．（25-26 高三上·浙江温州·阶段练习）已知函数
的定义域为
，对任意
，有
且
.若
，则
.
冲刺练
（建议用时：60 分钟）
1．(25-26 高三上·山东济南第一中学·期中)已知
是定义域为
的奇函数，满足
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．50
D．
2．(25-26 高三上·山东淄博实验中学·期中)设奇函数
的定义域为
，对任意的
，
，且
，都有不等式
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．(25-26 高三上·四川射洪中学校·期中)函数
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．(25-26 高三河北阶段练习·)如图是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 山东潍坊阶段练习）已知函数
，若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．(24-25 高三 河北石家庄阶段练习·)定义域为
的函数
满足
，当
时，
，若
时，
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．(25-26 高三上·山东聊城·期中)定义在
上的奇函数
满足
，若
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．(25-26 高三上·陕西西安高新第一中学·三模)设
与其导函数
的定义域均为
，若
，
的图象关于直线
对称，
在区间
上单调递减，且
，则下
列结论正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
D．
的极小值为
二、多选题
9．（多选）（2025 全国专题练习）已知定义在R 上的连续函数
是偶函数，且满足
，且
，
，
，都有
，则（ ）
A．
B．
在
单调
C．
D．
在
有三个极值点
10．(25-26 高三上·安徽华师联盟·期中)已知函数
，
的定义域均为
，且
，
.若
是偶函数，
，则（ ）
A．
是奇函数
B．4 是
的一个周期
C．
D．
11．(25-26 高三上·河北部分重点中学·)已知函数
的定义域为
，满足
，且
，则下列结论正确的为（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
，使得
D．若
，则
三、填空题
12．（25-26 高三重庆县域联考）已知函数
，且满足
，
则实数
的取值范围为 .
13．（2026 高三江苏前黄期中）已知函数
，若
的图象关于
中心对
称，则
；
．
14．(25-26 高三上·福建厦门第一中学·月考)已知
，
，
是函数
且
的三个零点，则
的取值范围是 .
