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专题01 三次函数的图象和性质
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 三次函数的单调性问题
1. 标准三次函数
，求导得二次导函数
；
2. 单调性判定核心看导函数判别式
：
①
：
恒不变号，
全程单调递增，
全程单调递减，无极值；
②
：
有两不同实根
；
：
递增，
递减；
：
递减，
递增；
③
：导函数仅有一重零点，函数在
上单调；
3. 含参单调恒成立：区间上单调递增
恒成立；单调递减
恒成立，转化二次
函数恒成立判别式/分离参数；
4. 复合三次型：结合同增异减，同时保证内层、外层定义域；
5. 分段三次：分段各自单调+分段点左段函数值≤(增)/≥(右段)函数值。
1．（2026 高三·广东广州·阶段检测）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026 高三·全国·期末）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
,
，
B．
,
C．
,
，
D．
,
3．（2026 高三·上海·期末）若函数
在
上是严格增函数，则
的取值范围是
__________．
4．（2026 高三·江苏扬州·期末）已知函数
在
上单调递增，则实数
的最大
值为_____．
5．（2026 高三·河南·阶段检测）已知函数
（
且
）在区间
上单调递减，
则
的取值范围是________．
6．（2026 高三·北京·阶段检测）已知
，设函数
在
上是增函数，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026 高三·四川眉山·期末）已知函数
，若
，
，
，都有
，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
8．（天津市宝坻区2025-2026 学年第二学期期末练习高三数学试卷）已知函数
，则不等式
的解集为__________．
9．（2026 高三·山西·期末）已知函数
的部分图象如图所示，
为函数
的导函数，则关于
的不等式
的解集为_________．
10．（2026 高三·河北承德·期末）已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，求函数
在区间
上的最大值．
题型02 三次函数的极值问题
1. 极值存在前提：导函数二次方程有两个不等实根
；
2. 判定规则：
在零点左右符号改变才是极值点；左正右负为极大值点，左负右正为极小值点；
3. 已知极值/极值点求参：
①极值点满足
；
②极值点对应函数值等于给定极值，联立方程，事后检验左右导数符号，排除重根无极值情况；
4. 极值点韦达：两根之和
，可快速求极值点之和；
5. 方程有三解：极大值
且极小值
；
6. 切线与极值结合：切点导数为斜率，极值点切线水平。
11．（2026 高三·湖北武汉·期末）函数
的极大值点为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026 高三·广东深圳·期末）三次函数
在
处的切线方程为
.
(1)求
，
的值；
(2)求
的单调区间和极值.
13．（2026 高三·广东深圳·期末）已知函数
在
处取得极小值．
(1)求
；
(2)若关于
的不等式
在
恒成立，求
的取值范围．
14．（重庆市九龙坡区2025-2026 学年高三学期期末学业质量测评数学试题）函数
的所有极值点之和为_____.
15．【多选】（2026 高三·云南楚雄·期末）已知
是函数
的极大值点，则（ ）
A．
B．
C．
有两个零点
D．
是奇函数
16．（2026 高三·天津武清·阶段检测）设函数
在
及
时取得极值．
(1)求出a，b 的值；
(2)若当
时，关于
的方程
有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．
17．（2026 高三·天津和平·期末）已知函数
在
处取得极小值2．
(1)求
，
的值；
(2)求函数在区间
上的最大值与最小值．
18．（2026·安徽·模拟预测）已知函数
的极小值点为3，则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．【多选】（2026 高三·辽宁辽阳·阶段检测）已知函数
，
，则（ ）
A．曲线
过定点
B．
有2 个极值点
C．
在区间
上单调递减
D．
20．（2026 高三·河南南阳·期末）已知函数
．
(1)若
，证明：曲线
在点
处的切线过定点；
(2)若
是
的极值点，且
有个不同的零点，求
的取值范围；
(3)若对任意的
，且
，恒有
，求
的取值范围．
题型03 三次函数的最值问题
1. 闭区间
最值标准步骤：
①求导找出全部极值点，筛选落在区间内的极值点；
②计算区间端点
与区间内极值；
③全部数值对比，最大为最大值，最小为最小值；
2. 开区间
存在最值条件：最值只能在区间内极值点取得，要求极大/极小值为全局唯一高低点，
端点趋向无穷无最值；
3. 含参区间：移动区间边界，分极值点在区间内、左侧、右侧三类讨论；
4. 恒成立最值转化：
恒成立
；
恒成立
。
21．（四川成都市2025-2026 学年高三学期定时练习数学试题）函数
的最小值为
________.
22．（2026 高三·上海·期末）若函数
在区间
存在最大值，则
的取值范围为
__________.
23．（2026 高三·天津滨海新区·阶段检测）已知函数
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)若方程
恰有一个实数解，求实数a 的取值范围.
(3)若函数
在区间
存在最大值，求m 的取值范围.
24．（2026 高三·天津东丽·阶段检测）已知曲线
在坐标原点处的切线方程为
．
(1)求实数
的值；
(2)求
在
上的最值.
题型04 三次函数的零点问题
若三次函数f (x)=a x
3+b x
2+cx +d (a≠0)存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下：
性质
三次函数图像
说明
a＞0
a＜0
零
点
个
数
三
个
b
2−3ac>0
f (x1)⋅f (x2)<0
两个极值异与
图像与x轴有三个交点
两
个
b
2−3ac>0
f (x1)⋅f (x2)=0
有一个极值为0
图像与x轴有两个交点
存在极值时
一
个
b
2−3ac>0
f (x1)⋅f (x2)>0
不存在极值时，
函数单调，与x轴有一个交点
25．【多选】（2026 高三·广东深圳·期末）已知函数
，则方程
的实数根
个数可能为（ ）
A．1
B．5
C．6
D．9
26．【多选】（2026 高三·广东深圳·期末）若函数
的导函数
是偶函数，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
有3 个不同的零点
C．
最小值为
D．对任意
，
，都有
27．【多选】（2026 高三·安徽芜湖·期末）已知函数
则下列命题正确
的有（ ）
A．若
在定义域上是增函数，则
B．若
的极小值点与极小值均为0，则
C．若
有两个正的零点和极值0，则
D．对
，在函数
的图象上能构成平行四边形的四个点的组数有无数组
28．【多选】（2026 高三·安徽·阶段检测）已知函数
，则下列结论正确的是
（ ）
A．若
，则
的极大值为
B．若
，则函数
有极小值点
C．若
在区间
上单调递减，则
的最大值为
D．若函数
恰有
个零点，则
的值为
29．【多选】（2026 高三·重庆·阶段检测）已知函数
，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数
有两个极值点
B．直线
与
的图象有且仅有两个公共点
C．若
有三个零点，则
D．若
，对
，都有
30．【多选】（2026 高三·江苏南通·期末）设函数
，则（ ）
A．
在区间
上单调递增
B．直线
是曲线
的对称轴
C．直线
是曲线
的切线
D．
有三个零点
31．（2026 高三·湖北·期末）设a，
，
，
，函数
，从有序实数对
中随机抽取一个，则函数
恰有三个零点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
32．【多选】（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数
则（ ）
A．
B．
为
的极大值点
C．
有2 个零点
D．若
，则
在
上的值域为
33．（2026 高三·北京·竞赛）设
为整数，且函数
在区间
内正好有两个不同零点，
所有满足条件的整数
的和为______.
34．（四川攀枝花市2025-2026 学年高三学期教学质量监测数学样卷）已知函数
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若函数
有三个零点，求实数
的取值范围.
35．（山东济南市2025-2026 学年高三学期期末学情检测数学试题）已知函数
，其中
．
(1)若
在
处的导数为0．
（i）求实数
的值；
（ii）求
在区间
上的值域；
(2)若
有3 个不同的零点，求
的取值范围．
36．（2026 高三·重庆·期末）已知
在
处取得极大值
.
(1)求
在点
处的切线方程；
(2)若
，讨论
零点的个数.
题型05 三次函数的切线问题
1. 切点在曲线上（
）：
斜率
，切线方程
；
2. 点不在曲线上（过定点作切线）：
设切点
，写出切线方程，代入定点坐标，整理关于的三次方程；
方程实根个数=切线条数：1 根1 条切线、2 根2 条、3 根3 条；
3. 公切线：两条曲线导数相等+切点纵坐标相等联立参数；
4. 切线与零点结合：切线水平等价于切点为极值点。
37．（2026 高三·江西宜春·期中）已知曲线
，
(1)求函数的单调区间；
(2)求过点
且与曲线相切的直线方程.
38．（2026 高三·安徽·阶段检测）已知曲线
在点
处的切线的斜率为12，且在
处取得极值．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
的单调区间；
(3)讨论方程
的解的个数．
39．【多选】（2026 高三·河北承德·期末）实验室测试发现，某款手机的应用启动时间（单位：ms）与
系统资源占用率
（单位：%，
）近似满足函数关系
．下列关于函数
的说法，正确的有（ ）
A．函数
在区间
上有2 个极值点
B．函数
在区间
上单调递增
C．函数
的图象与直线
有3 个不同的交点
D．直线
与函数
的图象相切
40．（2026 高三·河北沧州·期末）已知函数
，若过点
可作曲线
的3 条不同切
线，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型06 三次函数的对称问题
1. 核心结论：任意三次函数
图像唯一对称中心：
横坐标
，对称中心
；
2. 对称中心等价条件：
对任意
恒成立；
3. 导数对称性质：三次函数中心对称
导二次函数关于直线
轴对称；
4. 极值对称：两个极值点横坐标关于对称中心
对称，即
；两点连线中点为对称中心；
5. 拓展：三次图像上任意两点关于中心对称，四点可构成平行四边形，有无穷多组。
41．【多选】（2026 高三·河南驻马店·阶段检测）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
在定义域内单调递增
B．
的对称中心为
C．若
，则
的最小值为
D．已知
，
为方程
的两个根，
且
，则
的取值范围为
42．【多选】（2026 高三·广东广州·期中）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．函数
有三个零点
D．点
为函数
的对称中心
43．【多选】（26-27 高三·云南昆明·阶段检测）已知函数
，则下列选项正确的有
（ ）
A．
的极大值点是
B．
在
上单调递增
C．当
时，
D．
是
的一个对称中心
44．【多选】（2026 高三·广东深圳·期末）设函数
，则（ ）
A．当
时，
B．直线
是曲线
的切线
C．点
是曲线
的对称中心
D．存在
，
，使得当
时，
45．【多选】（2026 高三·江西赣州·期末）已知函数
，则（ ）
A．
在
处取得极小值
B．
的图象关于点
中心对称
C．
有个零点
D．直线
是
的一条切线
题型07 三次函数根与系数的关系
设三次方程
三个实数根为
，展开
对
比系数得韦达公式：
1.
2.
3.
衍生推论：
（
）
应用场景：已知根的和/积求参数、已知直线与三次三交点，快速求和、中点坐标、对称中心。
46．【多选】（广东惠州市2025-2026 学年高三学期期末数学试题）设直线
与函数
的
图象有三个不同的交点，其坐标分别为
，
，
，且
，则（ ）
A．
的图象的对称中心为
B．
C．
D．
47．【多选】（2026 高三·安徽芜湖·期末）已知函数
（
），则下列说法正确的是
（ ）
A．
是函数
的极值点
B．若函数
有两个零点
和
，则
C．若
不是函数
的极值点，则
D．若
，
，
满足
，则A，B，C 三点必在一条直线上
