文档文本内容
专题01 函数的概念与性质
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01 知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系
02 考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点
▶基础梳理・自主夯基
考点01 函数的相关概念
考点02 函数的单调性
考点03 函数的奇偶性
考点04 函数的周期性与对称性
▶高阶思维・探究拓展
难点解读01 部分奇偶性的应用
难点解读02 双对称推导函数的周期
难点解读03 类周期函数
难点解读04 抽象函数的性质
03 素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养
▶高考解密・母题探究
题型01 根据函数的单调性求参数
题型02 函数单调性的判断及应用
题型03 奇偶性、周期性、对称性综合
▶重点突破・考法深研
重点01 已知定义域恒成立求参数
重点02 已知值域限定条件求参数
重点03 分段函数的综合应用
重点04 函数性质综合：恒成立与存在性问题
▶技法提炼・审题点拨
技法点拨01 同一个函数的判定
技法点拨02 函数的定义域与值域求解
技法点拨03 函数解析式的常用解法
技法点拨04 抽象函数不等式问题解法
技法点拨05 周期性的快速推导技法
▶易错剖析・避坑攻略
易错点01 忽略内层值域与外层定义域关系致错
易错点02 判断函数奇偶性时忽略定义域致错
易错点03 忽略分段函数的分段点致错
04 优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用
知识脑图·核心脉络搭建
考点深研·知能分层突破
考点01 函数的相关概念
1、函数的定义：一般地，设
是非空的数集，如果对于集合
中的任意一个数
，按照某种确定的对
应关系
，在集合
中都有唯一确定的
和它对应，那么就称
为从集合
到集合
的一个函
数，记作
.
2、函数的三要素
（1）在函数
中，
叫做自变量，
的取值范围
叫做函数的定义域；
（2）与
的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B
的子集．
（3）函数的对应关系：
.
3、相等函数与分段函数
（1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等．
（2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量
取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称
为分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部
分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交．
【新题对点练】（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数
，若
，则
（ ）
A．1 或3
B．
或1
C．0 或
D．1 或
【答案】D
【解析】当
时，
，解得
；
当
时，
，解得
.
综上所述，
或
.
考点02 函数的单调性
1、单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1, x2，
当x1<x2时，都有f ( x1)<f ( x2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数。
当x1<x2时，都有f ( x1)>f ( x2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。
单调性的图形趋势（从左往右）
上升趋势 下降趋势
2、函数的单调区间
若函数y＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D
叫做y＝f(x)的单调区间．
【注意】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定
义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D⊆定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示．
3、函数单调性的性质
若函数f ( x)与g( x)在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质：
（1）f ( x)与f ( x)+C （C 为常数）具有相同的单调性．
（2）f ( x)与−f ( x)的单调性相反．
（3）当a>0 时，af (x)与f ( x)单调性相同；当a<0 时，af (x)与f ( x)单调性相反．
（4）若f ( x)≥0，则f ( x)与√f ( x)具有相同的单调性．
（5）若f ( x)恒为正值或恒为负值，则当a>0 时，f ( x)与
a
f ( x) 具有相反的单调性；
当a<0 时，f ( x)与
a
f ( x) 具有相同的单调性．
（6）f ( x)与g( x)的和与差的单调性（相同区间上）：
简记为：↗+ ↗=↗;（2）↘+ ↘=↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
（7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，
若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．
【新题对点练】（2026·北京昌平·一模）下列函数中，在区间
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，由反比例函数性质知
在
上单调递增，故错误；
对于B，
，
由二次函数性质
在
上单调递减，在
上单调递增，故错误；
对于C，函数
在
上单调递增，
在
单调递减，
故由复合函数单调性法则（同增异减）得
在
上单调递减，故正确；
对于D，
，
故函数
在
上单调递减，在
上单调递增，故错误；
考点03 函数的奇偶性
1、函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
的定义域内任意一个x，都
有
，那么函数f(x)是偶函数
关于y 轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
有
，那么函数
是奇函数
关于原点对称
2、函数奇偶性的几个重要结论
（1）
为奇函数⇔
的图象关于原点对称；
为偶函数⇔
的图象关于y 轴对称．
（2）如果函数
是偶函数，那么
．
（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即
，x∈D，其中定义域D 是关于原点对称的
非空数集．
（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于
原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
【新题对点练】（25-26 高三下·北京·阶段检测）已知函数
，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
为奇函数
D．
为偶函数
【答案】B
【解析】对于A，
，
设
，
，
，其中
，
故
不为奇函数，
为偶函数，故A 错误，B 正确.
，其中
，
设
，则
，
故
故
既不是奇函数，也不是偶函数，故CD 错误.
考点04 函数的周期性与对称性
1、函数的周期
（1）周期函数的定义：对于函数
，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，
都有
，那么就称函数
为周期函数，称T 为这个函数的周期．
（2）最小正周期：如果在周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
的最小正周期．
2、函数的对称性
（1）函数关于线对称：若函数
满足
，则函数
关于直线
对称，
特别地，当a＝b＝0 时，函数
关于y 轴对称，此时函数
是偶函数．
（2）函数关于点对称：若函数
满足
，则函数
关于点(a，b)对称，特
别地，当a＝0，b＝0 时，
，则函数
关于原点对称，此时函数
是奇函数．
【新题对点练】（2026·湖南·三模）已知
是定义在
上的奇函数，
的图象关于
对
称，
，则
（ ）
A．0
B．
C．3
D．4
【答案】C
【解析】因为
是定义在
上的奇函数，
所以
，
因为
的图象关于
对称，
，
令
可得，
，
所以
，故函数
的一个周期为4，
所以
．
难点解读01 部分奇偶性的应用
1、函数奇偶性分解
对于一个定义域关于原点对称的函数
，构建函数
，
，这
样使得
．而对于函数
来说，
，得到
是偶函
数；对于函数
来说，
，得到
是奇函数．这样就说明任何一个定
义域关于原点对称的函数都可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和．
2、部分奇偶性
对于一个非奇非偶函数
，已知
求
通常采用以下步骤处理：
第一步：观察函数
的解析式，看哪部分构成偶函数，哪部分构成奇函数，即构造出
，其中函数
是偶函数，函数
是奇函数．
第二步：根据函数
，
的奇偶性得到
与
的关系式，进而求出
的值．
①如果偶函数
是无参或相对简单的，以奇函数
桥梁构建等式，根据
解决问题．
②如果奇函数
是无参或相对简单的，以偶函数
桥梁构建等式，根据
解决问题．
值得注意的是，实际操作中的第一步是通过观察函数
的解析式来完成，而非直接构造
，
，前面的证明只是为了说明函数的奇偶性分解是可行的．
3、奇函数的性质延伸——“常数”模型
若
，其中
是奇函数，
是不为零的常熟，当奇函数
有最大值和最小值时，
也有最大值和最小值，且
．
难点破解
1．（25-26 高三上·北京·阶段检测）下列函数中，既是偶函数，又在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】选项A：
的定义域为
，不关于原点对称，不具奇偶性，故A 错误；
选项B：
，
不是偶函数，故B 错误；
选项C：
，是偶函数，因为
在
上单调递增，且恒大于0，
在
上单调递减，故C 错误；
选项D：
，
当
时，
，根据对数函数性质知
在
内单调递增，故D 正确．故选：D．
2．（25-26 高三上·贵州六盘水·阶段检测）已知函数
在区间
上的最大值是2，则
在区间
上的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得
，
设
，则
，
故
是奇函数，则在区间
上，
，
，
可得
，故C 正确.故选：C
难点解读02 双对称推导函数的周期
已知函数
的图象的两条对称轴、两个对称中心或一条对称轴加一个对称中心都可以得到
的周期
的结论．
①两条对称轴：
已知函数
的图象关于直线
和直线
对称，则函数
是周期为
的周期函数．
特别的，当
为偶函数且函数
的图象关于直线
对称，函数
是周期为
的周期函数．
①两个对称中心：
已知函数
的图象关于点
和点
中心对称，则函数
是周期为
的周期函数．
特别的，当
为奇函数且函数
的图象关于点
中心对称，函数
是周期为
的周期函
数．
③一条对称轴＋一个对称中心：已知函数
的图象关于点
中心对称且关于直线
对称，则函
数
是周期
的周期函数．
难点破解
1．（2026·江苏南京·模拟预测）已知定义在
上的函数
的图象关于直线
对称，且
．当
时，
，则
____．
【答案】
【解析】由函数
的图象关于直线
对称，可得对任意
，
，
替换得
①，
由已知
，整理得：
②，
联立①②得
，
替换得
，
进一步推导得：
， 即
是周期为的周期函数.
故
.
2．（2026·陕西渭南·三模）已知
是定义在
上的奇函数，
是偶函数，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．4
【答案】A
【解析】由函数
是定义在R 上的奇函数，可得
，且
，
又由
是偶函数，即函数
的图象关于
轴对称，
可得函数
的图象关于
对称，即
，
因为
，可得
，
即
，所以函数
是以
为周期的周期函数，
可得
因为
，可得
，
所以
.
难点解读03 类周期函数
1 、类周期函数的定义：从周期函数
进行延伸拓展，若函数
满足
，我们可称函数
为类周期函数．其中
的情
形就是周期函数．
2、类周期函数问题的处理方法
对于满足
的类周期函数
来说，往往知道其在
（或
）上的解析式．此时通常采用以下步骤处理：
第一步：利用函数
的类周期性，找到函数
各段值域之间的关系，如涉及精细分析则需要将函数
各段的解析式求出来，如有必要，则画出函数
各段的图象．
第二步：对函数
各段开展分类讨论，或根据函数
各段的图象解决问题．
难点破解
1．（2026·安徽合肥·模拟预测）设函数
在定义域
上满足
，且当
时，
，则当
时，
的最大值是（ ）
A．16
B．4
C．2
D．1
【答案】D
【解析】因为
，则当
时，
，
因为当
时，
，又因为当
时，
，
则
，
当
时，
的最大值是.故选：D.
2．（25-26 高三下·云南怒江·开学考试）已知函数
的定义域为
，
，当
时，
.若
，
，
（
），则
的取值范围
为________.
【答案】
【解析】因为
的定义域为
，
，则当
时，
，
所以当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
，
的部分图象如图所示，
又当
时，
，
所以
时，
，则当
时，
，
又
，
，
（
），则
，
，
又
，结合
的图象可得
，
则
的取值范围是
.
难点解读04 抽象函数的性质
1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某
处的函数值或某抽象代数式的值．常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令
等特
殊值求抽象函数的函数值．
2、判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论；
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系．有时可能要进行多次尝试．
①若给出的是“和型”抽象函数
y
x
f
，判断符号时要变形为：
1
1
1
2
1
2
)
(
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
2
1
2
1
2
)
(
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
；
②若给出的是“积型”抽象函数
xy
f
，判断符号时要变形为：
1
1
2
1
1
2
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
1
2
2
1
2
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
．
难点破解
1．（2025·山东聊城·模拟预测）已知偶函数
的定义域为
，且
，则
的值域为__________.
【答案】
【解析】对
，令
，则
，解得
；
对
，令
，则
，
又
为偶函数，
，故
，解得
。
又
，故其值域为
.
2．（25-26 高三上·山西大同·阶段检测）已知函数
的定义域为
，若对于任意的
，
，
都有
，当
时，都有
，且
，则函数
在区间
上的最大值
为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】令
，则
，令
有
，
又
，所以
，
令
，所以
，所以
，
设
，则
，所以
，
所以
，
则
，故
在
上单调递增，
所以函数
在区间
上的最大值为
.故选：D.
素养进阶·答题技法突破
题型01 根据函数的单调性求参数
考情定位：常结合二次函数、分段函数、复合函数综合命题，侧重考查分类讨论与区间约束思维，多以选
填中档题形式考查．
核心考法：①二次函数结合对称轴与区间位置关系，逆向求单调参数；②分段函数满足整体单调性的参数
范围求解；③复合函数依托内外层单调性规则，逆向约束参数与区间．
解题要点：二次函数单调性求参，核心依托对称轴与定义域区间的位置关系列式；分段函数需同时满足各
分段单调、分段端点衔接单调，缺一不可；复合函数严格遵循“同增异减”原则，结合内层定义域与单调
性，反向锁定参数取值范围．
【真题溯源】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在R 上单调递增，则a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
在
上单调递增，且
时，
单调递增，
则需满足
，解得
，
即a 的范围是
.故选：B.
题型02 函数奇偶性的判断与应用
考情定位：新高考基础高频考点，是函数性质考查的核心内容，常单独考查或结合周期、对称综合命题，
适配选择、填空各类基础与中档题型．
核心考法：①不同方法判定函数奇偶性；②利用奇偶性特征求解函数值、化简解析式；③依托奇偶性恒等
关系求解解析式参数．
解题要点：优先验证定义域是否关于原点对称，这是判定奇偶性的前置条件；可通过定义法、图象法、性
质法三种方式快速判定奇偶性；求值类题型利用奇偶性对称特征，将未知区间函数值转化为已知区间函数
值计算；求参类题型借助奇偶性恒等关系列等式，结合系数对等性构建方程，精准求解参数并检验．
【真题溯源】（2025·全国二卷·高考真题）（多选）已知
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．当
时，
C．
当且仅当
D．
是
的极大值点
【答案】ABD
【解析】对A，因为
定义在
上奇函数，则
，故A 正确；
对B，当
时，
，则
，故B 正确；
对C，
， 故C 错误；
对D，当
时，
，则
，
令
，解得
或（舍去），
当
时，
，此时
单调递增，
当
时，
，此时
单调递减，
则
是
极大值点，故D 正确；故选：ABD.
题型03 函数奇偶性、周期性、对称性综合
考情定位：新高考多选题、小题压轴高频考点，侧重奇偶性、周期性、对称性多性质融合考查，综合性强、
区分度高，侧重考查函数整体性质的综合运用能力．
核心考法：①判定函数奇偶性，利用奇偶性求解函数值、补全残缺解析式；②借助周期性化简大范围、无
穷区间的函数表达式，求解任意自变量对应的函数值；③推导并应用函数轴对称、中心对称性质解题；④
融合奇偶、周期、对称三大性质，解决抽象函数综合问题．
解题要点：解题优先验证函数定义域的对称性，以此作为奇偶性判定的前提；处理多性质综合题型，优先
通过赋值法推导函数周期与对称特征，化简复杂区间与函数式，简化整体运算，依托核心性质逐步拆解综
合问题．
【真题溯源】（2025·全国一卷·高考真题）已知
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知
对一切
成立，
于是
.故选：A
重点01 已知定义域恒成立求参数
核心解题要点：核心是保证解析式限制条件对全体实数恒成立，重点针对二次型结构分类讨论：区分二
次项系数为0 的一次型特例与系数不为0 的二次型情况，结合开口方向与判别式锁定参数范围，同时兼
顾分式、对数等隐性定义域限制．
高频陷阱：忽略二次项系数为0 的特殊情况；只看判别式忽略开口方向；遗漏分母、对数的隐性定义域
约束．
【典例1】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）若函数
定义域为R，则k 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
的定义域为R，所以
在R 上恒成立，
所以
在R 上恒成立.
当
时，
符合题意；
当
时，
，解得
.
综上，实数
的取值范围是
；故选：D
【典例2】（25-26 高三上·安徽·阶段检测）已知函数
的定义域为
，则m 的取值范
围是_______.
【答案】
【解析】因为
的定义域为
，所以
恒成立，
则
，解得
，
所以m 的取值范围是
.
重点02 已知值域限定条件求参数
核心解题要点：值域由定义域与单调性共同决定，二次函数重点分析对称轴与区间的位置关系，依托区
间最值构建参数不等式；分式、根式函数通过换元法、分离常数法转化为基础函数，结合基础函数值域
特征限定参数．
高频陷阱：混淆单调区间与定义域区间；忽略区间端点最值差异；换元后遗漏新元取值范围．
【典例1】（25-26 高三上·四川·阶段检测）若函数
的值域为
，则
_______.
【答案】7
【解析】因为
，
当且仅当
，即
时等号成立，
依题意，
，得
.
【典例2】（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）若函数
的值域为
，则
______．
【答案】
【解析】令
，
，则
，
令
，则
或
，
由
，可得
；由
，可得
.
由
单调递增，可知在
上
，
上
，
同理，由
单调递增，可知在
上
，
上
，
因为函数
的值域为
，即
，需满足
，解得
.
故答案为：.
重点03 分段函数的综合应用
核心解题要点：题型覆盖分段函数求值、逆向求自变量、不等式求解、图象辨析、单调性与最值、含参
性质分析等高频考法．解题严格遵循“先定区间、再代解析式、最后检验端点”的核心原则，含参题型
必须分类讨论，复杂题型依托数形结合画图辅助分析，简化解题思路．
高频陷阱：忽略分段区间边界判定，代错解析式；未校验分段端点取值，导致最值、单调性判定失误；
含参问题分类讨论不全面，出现漏解；仅凭单段区间判定整体函数性质，忽略函数整体性．
【典例1】（2026·山西晋城·三模）若函数
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以
，
.
【典例2】（2026·海南·模拟预测）已知函数
，若
，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知得
，当
时，
，
所以
，当
时，同理有
，可知
是奇函数．
又当
时，
，所以
在
上单调递增，
从而可得
在
上单调递增．
不等式
即
，
所以有
，解得
．
重点04 函数性质综合：恒成立与存在性问题
核心解题要点：先借助奇偶性、周期性化简函数，结合单调性求解区间最值．恒成立属于任意性问题，
遵循“恒小取最大、恒大取最小”；存在性属于存在性问题，遵循“能小取最小、能大取最大”．存在
性条件更宽松，解题最终需校验定义域与区间端点取值．
高频陷阱：混淆恒成立与存在性的最值选取逻辑；忽略函数化简后的定义域限制；区间端点等号取舍失
误，造成参数范围偏大或偏小．
【典例1】（2026·山东枣庄·一模）已知函数
，若
恒成立，则
的取
值范围是______．
【答案】
【解析】根据题意知
，
，所以可知
为奇函数，
而
单调递增，
单调递减，即
单调递增，所以
单调递增，
而
恒成立，则即
恒成立，
所以可得
恒成立，
当
，
恒成立，所以符合条件；
当
，
恒成立，则需要
且
，
化简可得
，综上所述
.
故答案为：
【典例2】（25-26 高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数
，
（
），若
存在实数
，
，使得
成立，则
______．
【答案】
【解析】因为
，
当且仅当
时，
取得最大值
，
，
当且仅当
时，
取得最小值2，所以
．
又
，所以
，则
，
，
．
技法点拨01 同一个函数的判定
两个函数为同一函数的充要条件为定义域、对应关系完全一致，与函数符号、解析式书写形式、值域均
无关，二者缺一即可判定为不同函数．
【典例1】（2026·江苏南京·二模）下列函数
和
为同一函数的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】B
【解析】对于A，函数
的定义域为
，
函数
的定义域为
，而
，
所以函数
和
不为同一函数；
对于B，函数
的定义域为
，
函数
的定义域为
，
而
，
，
所以函数
和
为同一函数；
对于C，函数
的定义域为
，
函数
，则
的定义域为
，
所以函数
和
不为同一函数；
对于D，函数
的定义域为
，
函数
的定义域为
，
而
，
所以函数
和
不为同一函数.
故选：B.
【典例2】（25-26 高三上·广东河源·阶段检测）下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【解析】对于A，函数
与
的值域不同，不是同一函数，所以A 错误；
对于B，函数
与
，
两函数的定义域都为
，且对应关系相同，所以是同一函数，所以B 正确；
对于C，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，
两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以C 错误；
对于D，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，两函数的定
义域不同，所以两函数不是同一函数，所以D 错误.
故选：B.
技法点拨02 函数的定义域与值域求解
定义域求解需遵循“所有限制条件取交集”的原则；
值域求解需根据函数类型择优适配方法，其中一次、简单根式函数适用观察法+单调性法，二次函数适
用配方法+区间对称轴分类讨论，一次分式函数适用分离常数法，根式复合函数适用换元法，复杂函数
适用数形结合法，全程严格遵循“无定义域不讨论值域”的核心原则．
【典例1】（25-26 高三下·浙江杭州·阶段检测）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，得
，解得
，
所以函数
的定义域是
.
【典例2】（2026·北京丰台·二模）下列函数中，定义域和值域相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于A，
的定义域为
，值域为
，
定义域与值域相同，故A 正确；
对于B，
的定义域为
，值域为
，
定义域与值域不同，故B 错误；
对于C，
的定义域为
，值域为
，
定义域与值域不同，故C 错误；
对于D，
的定义域为
，值域为
，
定义域与值域不同，故D 错误；
技法点拨03 函数解析式的常用解法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．
2、换元法：主要用于解决已知
f g x
的解析式，求函数
f x 的解析式的问题．
（1）先令
g x
t ，注意分析t 的取值范围；
（2）反解出x，即用含t 的代数式表示x；
（3）将
f g x
中的x 度替换为t 的表示，可求得
f t 的解析式，从而求得
f x ．
3、配凑法：由已知条件
f g x
F x ，可将
F x 改写成关于
g x 的表达式，然后以x 替代
g(x)，便得
f x 的解析式．
4、方程组法：主要解决已知
f x 与
f
x 、
1
f
x
、
1
f
x
……的方程，求
f x 解析式．
例如：若条件是关于
f x 与
f
x 的条件（或者与
1
f
x
）的条件，可把x 代为x （或者把x
代为x
1
）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出
f x ．
【典例1】（2025·辽宁沈阳·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，所以
，即
，
则
故选：D．
【典例2】（2025 高三上·广东中山·专题练习）已知函数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
两式联立可得
，故选：D.
技法点拨04 抽象函数不等式问题解法
①第一步：确定函数完整定义域；
②第二步：判断奇偶性、单调性化简函数；
③第三步：利用单调性脱去抽象符号“f”，转化为普通自变量不等式；
④第四步：与定义域取交集，校验端点，得出最终解集．
【典例1】（2026·贵州贵阳·二模）已知
是定义在
上的偶函数，且对任意
，总
有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因对任意
，总有
，可知
在
上单调递减，
又因
是定义在
上的偶函数，故
在
上单调递增，
故
，
两边取平方得
，即
，解得
或
，
故不等式
的解集为
.
【典例2】（2026·山西大同·一模）已知函数
的定义域为
，若对于定义域内给定的任意
，
，都有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
满足对任意的
，
，
，都有
，
设
，则
，所以
，即
，
所以
，令
，
因为当
时，都有
，
所以函数
在
上单调递增.
又不等式
两边同乘以
，
得
，即
，
即
，所以
，
故
，解得
，即
.
技法点拨05 周期性的快速推导技法
常见求周期的技巧：（a 是不为0 的常数）
（1）若
f x
a
f x ，则
T
a ； （2）若
f x
a
f x
a ，则
2
T
a ；
（3）若
f x
a
f x ，则
2
T
a ； （4）若
1
f x
a
f x ，则
2
T
a ；
（5）若
1
f x
a
f x ，则
2
T
a
； （6）若
f x
a
f x
b ，则
T
a
b （
a
b
）
【典例1】（2026·河南平顶山·模拟预测）若函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
则
，
所以4 是
的一个周期，
又当
时，
，则
，
所以
.故选：A
【典例2】（2026·河北保定·三模）已知定义在R 上的函数
满足
，且
，则
______.
【答案】
【解析】由
可得
，
所以
，
所以
，
所以
是周期为8 的函数，所以
，
又
，故
.
易错点01 忽略内层值域与外层定义域关系致错
在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为：
1、已知
)
(x
f
的定义域为A ，求
))
(
(
x
g
f
的定义域，其实质是
)
(x
g
的取值范围为A ，求x 的取值范
围；
2、已知
))
(
(
x
g
f
的定义域为B ，求
)
(x
f
的定义域，其实质是已知
))
(
(
x
g
f
中的x 的取值范围为B ，
求
)
(x
g
的范围（值域），此范围就是
)
(x
f
的定义域．
3、已知
))
(
(
x
g
f
的定义域，求
))
(
(
x
h
f
的定义域，要先按（2）求出
)
(x
f
的定义域．
【典例1】（25-26 高三上·湖南邵阳·期中）已知函数
的定义域为
，则
的定
义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由函数
的定义域为
，得此式中
，所以
，
因此在函数
中，
，解得：
，
所以函数
的定义域为
.故选：C
【典例2】（24-25 高三上·河北承德·期中）函数
的定义域为
，函数
，
则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
函数
的定义域为
，即
，则
，
的定义域为
，
需满足
，解得
且
，
的定义域为
，故C 正确．故选：C．
易错点02 判断函数奇偶性时忽略定义域致错
函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．若不具备这个条件，一定是非奇非偶函数．在定
义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x 都有
，则
为奇函数；如果对定
义域内任意x 都有
，则
为偶函数，如果对定义域内存在
使
，则
不是奇函数；如果对定义域内存在
使
，则
不是偶函数．
【典例1】（25-26 高三上·安徽·阶段检测）下列函数中，既是偶函数又是
上的增函数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，当
时，
为减函数，故A 错误；
对于B，函数
的定义域为
，定义域不关于原点对称，
则函数
不是偶函数，故B 错误；
对于C，函数
的定义域为
，
且
，
所以函数
是偶函数，
当
时，
为增函数，故C 正确；
对于D，
的定义域为
，
且
，所以函数
不是偶函数，故D 错误.故选：C
【典例2】（25-26 高三下·上海虹口·阶段检测）以下函数为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于选项A，
，函数定义域为
，且
，所以函数为偶函数；
对于选项B，
，函数定义域为
，所以函数为非奇非偶函数；
对于选项C，
，定义域为
，且
，所以函数为偶函数；
对于选项D，
，函数定义域为
，
且
，所以函数为奇函数；
易错点03 忽略分段函数的分段点致错
分段函数的单调性与分段点息息相关，在判断分段函数的单调性或者根据分段函数单调性解参数的题目
中，除了考虑每一段的单调性还需要单独考虑分段点的情况．
【典例1】（2026·湖南常德·一模）已知函数
在
上单调递减，则
的最小
值是（ ）
A．
B．2
C．
D．5
【答案】B
【解析】对函数
，
由对勾函数可得
在
和
上单调递减，
因为函数
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
，解得
，
所以
的最小值为2.
【典例2】（2026·河北保定·二模）已知函数
在
上单调递增，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
，求导得
，
在
上单调递增；
当
时，
，函数单调递增，则
，
当
时，
，当
时，
，
则
，解得
，
，即
．
优题精练·专题实战通关
一、单选题
1．（2026·北京·模拟预测）下列函数中，在
上单调递增的偶函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，
为指数函数，
是非奇非偶函数且在定义域内单调递减，故A 选项错误；
对于B，
，故
为偶函数，
当
时，
，
由对数函数性质可知
在
内单调递增，故B 选项正确；
对于C，
为正切函数，是奇函数，
由正切函数性质可知
在区间
上单调递增，但在定义域内不具有单调性，
如
，
，但
，故C 选项错误；
对于D 选项，
，
，
因为
，所以
为奇函数，
根据幂函数的相关性质得
在定义域内单调递增，故D 选项错误.
2．（2026·河北·二模）已知
是定义域为
的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
是定义域为
的奇函数，可得
，
，令
，得
，
令
，得
，
又函数为
上的奇函数，故
.
3．（2026·安徽芜湖·二模）已知
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
在
上均为增函数，
则
在
上为增函数，
由
，得
，即
，
则不等式
的解集为
.
4．（2026·重庆·三模）若
是奇函数，则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的定义域为
，
由
是奇函数即
，
所以
，解得
，
则
，
因为
且
，所以
，
，则
，
即
，可得
，
所以函数
的值域为
．
5．（2026·辽宁锦州·二模）
是定义在
上的函数，满足
对
都成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
①，
令
，则
②，
令
，则
③，
令
，则
④，
联立③④，解得
，
，将
代入②，解得
，
再将
代入①，解得
.
6．（2026·山东济南·三模）已知实数
，函数
的值域为
，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
在
内单调递增，则
，
可知函数
在
内的值域为
；
又因为
在
内单调递增，则
，
可知函数
在
内的值域为
；
由题意可知：
，即
，
令
，
，则
，
因为
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
又因为
，且
，
则不等式
的解集为
，所以实数a 的取值范围为
.
7．（2026·福建漳州·三模）已知
是定义域为
的奇函数，则不等式
的
解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
是定义域为
的奇函数，
所以
，所以
，所以
．
因此，
，
，
即
，所以
．
因为
，所以
．
又
是减函数，
所以
，解得
．
8．（2026·福建三明·二模）已知函数
的定义域为
，
，
，且当
时，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
，
所以
，
所以
，
又
，
且当
时，
，所以
，
所以
.
二、填空题
9．（25-26 高三上·广东惠州·期末）已知函数
，若
，则
______.
【答案】2
【解析】由题意得
，
则
，
所以
，故
.
故答案为：2
10．（2026·河北雄安·三模）函数
的图象的对称中心为________．
【答案】
【解析】设函数
的图象的对称中心为
，
则有
，
即
，
整理得
，
则有
，解得
，
故函数
的图象的对称中心为
.
11．（25-26 高三上·江西·阶段检测）已知函数
满足在区间
内任意实数
，
都有
，则
的取值范围为___________．
【答案】
【解析】因为在区间
内任意实数
，都有
，
设
，则
，
所以函数
在
上单调递减，
令
，
根据复合函数的单调性即外层函数
单调递增，
则需满足：（1）
在
上恒成立；
（2）
在
上单调递减.
二次函数
开口向下，对称轴为
，
为使
在
上单调递减，只需
；
同时，
在
上恒成立，
由于
时
在
上递减，最小值在
处取得，
故需
，解得
，
综上，
的取值范围为
.
故答案为：
12．（24-25 高三上·辽宁·期末）已知函数
满足
，则
______.
【答案】
【解析】由
，①
将
替换成
，可得：
，②
再将①中
替换成：
，可得：
，③
①②相减可得：
，④
③④相加可得：
，
所以
，
故答案为：
13．（2026·陕西渭南·一模）已知函数
，则
________.
【答案】1
【解析】已知函数
，
当
时，其周期为2，
所以
，
当
时，
，
所以
.
故答案为：1
14．（2025·江苏·二模）已知
是定义在
上的函数，若函数
为偶函数，函数
为奇函数，
则
___.
【答案】0
【解析】由函数
为偶函数，得
，即
，
由函数
为奇函数，得
，即
，
则
，即
，因此
，
即函数
的一个周期为4，由
，得
，
则
，由
，令
得
，则
，
所以
.
故答案为：0
