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专题一 函数与导数
微专题一 常用构造函数的几种方法
题型一 构造具体函数比较大小
【命题分析】
近几年高考客观题中的压轴题多以导数为工具来解决，这类问题具有结构独
特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解决导数问题的基本方法．构
造函数的规律方法归类总结如下．
【典例研析】
根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或结构形式的相同点，构
造具体的函数解析式，利用导数研究该函数的性质．
1．(1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c 的大小关系为( )
A．c<b<a
B．c<a<b
C．a<c<b
D．a<b<c
(2)设a＝，b＝9sin ，c＝，则( )
A．b<a<c
B．b<c<a
C．c<a<b
D．c<b<a
题型二 利用导数的运算法则构造函数解不等式或比较大小
【方法技巧】
构造函数的基本规律
(1)对于xf ′(x)＋f(x)>0(<0)，构造g(x)＝xf(x)．
(2)对于xf ′(x)＋kf(x)>0(<0)，构造g(x)＝xkf(x)．
(3)对于xf ′(x)－f(x)>0(<0)，构造g(x)＝.
(4)对于f ′(x)＋f(x)>0(<0)，构造函数g(x)＝exf(x)．
(5)对于f ′(x)－f(x)>0(<0)，构造g(x)＝.
(6)对于f ′(x)sin x＋f(x)cos x，构造F(x)＝f(x)sin x.
(7)对于f ′(x)cos x－f(x)sin x，构造F(x)＝f(x)cos x．
【典例研析】
2．(1)(利用f(x)与x 构造)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，设函数f(x)的导
函数为f ′(x)，若对任意的x>0 都有2f(x)＋xf ′(x)>0 成立，则( )
A．4f(－2)<9f(3)
B．4f(－2)>9f(3)
C．2f(3)>3f(－2)
D．3f(－3)<2f(－2)
(2)(利用f(x)与sin x(cos x)构造)已知函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f ′(x)cos
x＋f(x)sin x>0(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是(
)
A． f <f
B． f <f
C．f(0)<f
D．f(0)<2f
(3)(利用f(x)与ex构造)若定义在R 上的函数f(x)满足f ′(x)＋2f(x)>0，且f(0)＝
1，则不等式f(x)>的解集为________.
题型三 利用同构法构造函数
【方法技巧】
与ex和ln x 相关的常见同构模型
(1)aea≤bln b⇔ealn ea≤bln b，构造f(x)＝xln x(或aea≤bln b⇔aea≤(ln b)eln b，
构造g(x)＝xex)．
(2)<⇔<，构造f(x)＝，.
(3)ea±a>b±ln b⇔ea±ln ea>b±ln b，构造f(x)＝x±ln x(或ea±a>b±ln b⇔ea±a>eln
b±ln b，构造g(x)＝ex±x)．
【典例研析】
3．(2023·合肥模拟)设k，b∈R，若关于x 的不等式ln(x－1)－b≤x(k－1)在(1，
＋∞)上恒成立，则的最小值是 ________.
题型四 构造双函数
【方法技巧】本例的第(2)问把恒成立问题转化为求函数F(x)＝f(x)－－1 的最小
值，利用同构思想化简
F(x)＝f(x)－－1＝(xex－x－ln x－1)＝(ex＋ln x－x－ln x－1)，从而构造函数φ(x)＝
ex－x－1，
求导判断单调性，再结合零点的存在性定理可知∃x0∈，G(x0)＝x0＋ln x0＝0，
则F(x0)＝0，即f(x0)＝＋1.利用f(x)≥h(x)≥＋1 对x∈(0，＋∞)恒成立，所以，
f(x0)≥h(x0)≥＋1＝f(x0)，
所以f(x0)＝h(x0)，即ex0＝kx0＋b.再构造函数M(x)＝ex－kx－b，由M(x)≥0＝
M(x0)，知x＝x0是M(x)的一个极小值点，从而得到k＝ex0，
最终建立k－b＝ex0－(ex0－kx0)＝kx0＝x0ex0＝1，即可把直线方程化为h(x)＝kx
＋k－1＝k(x＋1)－1，即可得出结果．
【典例研析】
4．(2023·湖南模拟)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln(x＋1)＋1，h(x)＝kx＋b(k，
b∈R)．
(1)若直线y＝h(x)是曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的公切线，求h(x)的解析式；
(2)若f(x)≥h(x)≥＋1 对x∈(0，＋∞)恒成立，试问直线y＝h(x)是否经过点(－
1，－1)？请说明理由．
