文档内容
第10讲 同构函数问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................8
【考点一】双变量同构问题............................................................................................................8
【考点二】指对同构问题..............................................................................................................21
【专题精练】...............................................................................................................................30
1 / 65
学科网（北京）股份有限公司考情分析：
同构函数问题，是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维．同构函数问题是指在不等式、方程、
函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有双变量同构
和指对同构，一般都是压轴题，难度较大．
真题自测
一、填空题
1．（2023·湖北武汉·二模）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数 和
图象上的动点，若对任意 ，有 恒成立，则实数m的最大值为 ．
二、解答题
2．（2022·浙江·高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证
明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
3．（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
参考答案：
2 / 65
学科网（北京）股份有限公司1．
【分析】利用同构思想构造 ，得到其单调性，得到 ，再构造
， ，求导得到其单调性及其最小值，设设 ，利
用基本不等式得到 ，求出答案.
【详解】 ，令 ， ，
则
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
故 在 处取得极小值，也是最小值，故 ，
故 ，当且仅当 时，等号成立，
令 ， ，
则 ，
令 ，
则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
又 ，故当 时， ，当 时， ，
3 / 65
学科网（北京）股份有限公司故 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
故 在 处取得极小值，也时最小值，最小值为 ，
设 ，
由基本不等式得，
，
当且仅当 ， ， 时，等号成立，
故 ，则 ．
故答案为：
【点睛】导函数求解取值范围时，当函数中同时出现 与 ，通常使用同构来进行求解，本题
变形得到 ，从而构造 进行求解.
2．(1)f(x)的减区间为 ，增区间为 .
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ）
， ，则题设不等式可转化为 ，结合零点满足的方程进一
步转化为 ，利用导数可证该不等式成立.
4 / 65
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1） ，
当 ， ；当 ， ，
故 的减区间为 ， 的增区间为 .
（2）（ⅰ）因为过 有三条不同的切线，设切点为 ，
故 ，
故方程 有3个不同的根，
该方程可整理为 ，
设 ，
则
，
当 或 时， ；当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
因为 有3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： 且 ，
此时 ，
设 ，则 ，
故 为 上的减函数，故 ，
5 / 65
学科网（北京）股份有限公司故 .
（ⅱ）当 时，同（ⅰ）中讨论可得：
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
不妨设 ，则 ，
因为 有3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： ，
因为 ，故 ，
又 ，
设 ， ，则方程 即为：
即为 ，
记
则 为 有三个不同的根，
设 ， ，
要证： ，即证 ，
即证： ，
即证： ，
6 / 65
学科网（北京）股份有限公司即证： ，
而 且 ，
故 ，
故 ，
故即证： ，
即证：
即证： ，
记 ，则 ，
设 ，则 ，所以 ，
，
故 在 上为增函数，故 ，
所以 ，
记 ，
则 ，
所以 在 为增函数，故 ，
7 / 65
学科网（北京）股份有限公司故 即 ，
故原不等式得证：
【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程
的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.
3．(1)f(x)的减区间为 ，增区间为 .
(2)
(3)见解析
【分析】（1）求出 ，讨论其符号后可得 的单调性.
（2）设 ，求出 ，先讨论 时题设中的不等式不成立，再就 结合放缩
法讨论 符号，最后就 结合放缩法讨论 的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得 对任意的 恒成立，从而可得 对任意的 恒成
立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的减区间为 ，增区间为 .
（2）设 ，则 ，
又 ，设 ，
则 ，
8 / 65
学科网（北京）股份有限公司若 ，则 ，
因为 为连续不间断函数，
故存在 ，使得 ，总有 ，
故 在 为增函数，故 ，
故 在 为增函数，故 ，与题设矛盾.
若 ，则 ，
下证：对任意 ，总有 成立，
证明：设 ，故 ，
故 在 上为减函数，故 即 成立.
由上述不等式有 ，
故 总成立，即 在 上为减函数，
所以 .
当 时，有 ，
所以 在 上为减函数，所以 .
综上， .
（3）取 ，则 ，总有 成立，
令 ，则 ，
故 即 对任意的 恒成立.
9 / 65
学科网（北京）股份有限公司所以对任意的 ，有 ，
整理得到： ，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处
导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
考点突破
【考点一】双变量同构问题
一、单选题
1．（2024·山东济南·一模）若不等式 对任意的 恒成立，则 的最小值为
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·吉林长春·模拟预测）已知a，b满足 ， ，其中e是自然对数的底数，则
ab的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（22-23高三上·广东·阶段练习）已知定义在 上的函数 的图像连续不间断，当 时，
，且当 时， ，则下列说法正确的是（ ）
10 / 65
学科网（北京）股份有限公司A．
B． 在 上单调递增
C．若 ，则
D．若 是 在区间 内的两个零点，且 ，则
4．（23-24高二上·重庆·期末）已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数 存在两个极值，则实数 的取值范围为
B．当 时，函数 在 上单调递增
C．当 时，若存在 ，使不等式 成立，则实数 的最小值为
D．当 时，若 ，则 的最小值为
三、填空题
5．（2023·福建三明·三模）已知不等式 恒成立，其中 ，则 的最大值为
.
6．（2023·湖南郴州·模拟预测）已知函数 有两个极值点 ，则实数
a的取值范围为 ；若 ，则 的最大值为 ．
四、解答题
7．（2023·北京通州·三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知 有两个零点 ， ，求实数a的取值范围并证明 .
11 / 65
学科网（北京）股份有限公司8．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知函数 ， ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)设 是函数 的两个极值点，证明： ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A D ABD BC
1．A
【分析】因为 ，所以 ，即求直线 的纵截距 的最小值，设
，利用导数证明 在 的图象上凹，所以直线与 相切，切点横坐标越大，纵截距
越小，据此即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以即求直线 的纵截距 的最小值，
设 ，所以 ，
所以 在 单调递增，所以 在 的图象上凹，
所以直线与 相切，切点横坐标越大，纵截距越小，
令切点横坐标为 ，所以直线过点 ，且直线 斜率为
所以 的直线方程为 ，
当 时， ，
即直线 与 相切时，
直线 与 无交点，
设 ，所以 ，
12 / 65
学科网（北京）股份有限公司所以 在 时斜率为 ，在 时斜率为 ，均小于直线的斜率，
所以可令直线 在 处与 相交，在 处与 相交，
所以直线方程为 ，
所以截距为 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于 ， ，即求直线 的纵截距
的最小值的分析.
2．D
【分析】变换得到 ， ，构造函数 ，确定函
数单调递增，得到 ，化简得到答案.
【详解】 ，故 ， ，即 ；
，故 ，即 .
设 ， ， ，函数单调递增，
，故 ，即 ，
整理得到 ，即 .
故选：D.
13 / 65
学科网（北京）股份有限公司3．ABD
【分析】A选项通过赋值法令 可以解决，B选项对 两边同时求导，结合
以及函数图像连续不断的性质进行判断，C选项分 和 的大小关系，分情况进行
讨论，D选项先说明 ，在结合题目条件说明另一个不等号是否成立的问题.
【详解】对于A，在 中令 ，则 ，所以 ，故A正确；
对于 ，当 时， ，对 两边求导，则
，所以 时， ，故 ，
而 时 ，即 在 上单调递增，注意到 的图像连续不间断，故也有 在
上单调递增，故B正确；
对于C，由B知， 在 上单调递增， ，故当 时，
，即 在 上单调递减.由 知 不可能均大于等于
1，否则 ，则 ，这与条件矛盾，舍去.
①若 ，则 ，满足条件，此时， ；，
②若 ，则 ，由 ，取 ，则 ，则
所以 ，而 ，
所以 ，即 ，故C错误；
14 / 65
学科网（北京）股份有限公司对于D，由 在 上单调递增， 上单调递减，知 ，注意到
，根据零点存在定理，所以
，
若 ，根据C选项，则 ，则 ，
由 ， ，根据余弦函数的单调性，
，与 矛盾，舍去.
所以 ，所以 ，所以 ，
在 时， 中，
令 ，而由 ，由 ， 在 上单调递
减，所以 ，所以 ，于是 ，故D正确.
故选：ABD
4．BC
【分析】对A选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得；对B选项：结合导数讨论单调性即可得；
对C选项：结合 单调性，可转化为当 时，有 成立，求出 最小值即可得；
对D选项：采用同构法可确定 ，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.
【详解】对A选项： ，
15 / 65
学科网（北京）股份有限公司若函数 存在两个极值，则函数 必有两个变号零点，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
则当 时，h'(x)<0，当 时，h'(x)>0，
故h(x)在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
又当 时， 恒成立，
当 时， ，
故当 ，函数 有两个变号零点，
即若函数 存在两个极值，则实数 的取值范围为 ，
故A错误；
对B选项：当 时， ，
，
令 ，则 ，
则当x∈(0,1)时， ，当x∈(1,+∞)时， ；
故 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
故 ，故函数 在 上单调递增；
故B正确；
对C选项：当 时， ，
16 / 65
学科网（北京）股份有限公司，
令 ，则 ，
则当 时， ；当 时， ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，故 在R上单调递增，
则存在 ，使不等式 成立，
等价于存在 ，使不等式 成立，
则当 时，有 成立，
由当 时， ，且 在 上单调递增，
故 ，即实数 的最小值为 ，故C正确；
对D选项：当 时，由B、C可知， 、 均为定义域上的增函数，
由 ， ，故有 ， ，
由 ，则 ，
即 ，故 ，
又 ，故 ，
令 ，则 ，令 ，
则 ，
则当x∈(0,1)时， ，当x∈(1,+∞)时， ；
17 / 65
学科网（北京）股份有限公司故 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
即 ，故 在(0,+∞)上单调递增，
故 无最小值，即 无最小值，
故D错误.
故选：BC.
【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，其中D选项中涉及到多变量问题的求解，
求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系，将多变量转化为单变量的问题，从而将其转化为函数
最值问题的求解.
5．
【分析】分类讨论得出 ，从而得 即 ，构造函数求最值即可.
【详解】令 ，
若 ，则 在定义域上单调递增， 无最小值，不符合题意；
即 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
设 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 ，故 .
故答案为： .
6．
【分析】
由 有两个极值点 ，得 有两个变号零点，构造函数 ，利用导数研究函数的
18 / 65
学科网（北京）股份有限公司性质，得函数的草图，利用草图列式可求出 的取值范围；设 ，将 化为
，再构造函数 ，利用导数可求出其最大值.
【详解】
的定义域为 ， ，
由已知得 是 的两个变号零点，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ， ， ，
当 时， ， ， ，
如图：
由图可知，只需 即可，所以 ，
即实数a的取值范围是 ；
若 ，又 ，则令 ，
由已知 ，则 ，
则 ，则 ， ，
19 / 65
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上递增，又因为 ，
所以当 时， ，即 ，
所以函数 在 上递增，所以 ，
所以 的最大值为 ．
【点睛】
方法点睛：一般地，若 时，涉及到双变量的不等式的证明，函数的最值问题可以使用比值换
元，令 ，将问题转化为关于 的函数，利用导数进行求解.
7．(1)
(2)
(3) ，证明见解析
【分析】（1）切线方程的斜率为1，所以有 ，解方程即得实数a的值；
（2）依题意 在（0，+∞）上恒成立.，分参求解即可；
（3）求出函数 的单调性，结合零点存在性定理即可求实数a的取值范围；通过分析法要证明
，只需证 ，构造函数 即可证得
20 / 65
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）因为 ，所以 .
所以 ，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ..
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，
所以 在（0，+∞）上恒成立.
即 恒成立. ，即 ，
令 ，所以 ，
时 ， 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 .
（3）
定义域为
当 时， ，所以 在（0，+∞）上单调递减，不合题意.
当 时，
在（0， ）上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
函数 存在两个零点的必要条件是 ，
21 / 65
学科网（北京）股份有限公司即 ，又 ，
所以 在（1， ）上存在一个零点（ ）.
当 时， ，所以 在（ ，+∞）上存在一个零点，
综上函数 有两个零点，实数a的取值范围是 .
不妨设两个零点
由 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
要证 ，
只需证 ，
只需证 ，
由 ，
只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
令 ，只需证 ，
令 ，
，
22 / 65
学科网（北京）股份有限公司∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴ ，
即 成立，
所以 成立.
【点睛】极值点偏移问题，应熟练掌握对称构造的基本方法，同时结合处理双变量问题的常用方法比值代
换的技巧.
8．(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，然后求出f'(1)，f (1)，根据点斜式写出直线方程；
（2）求导，然后分 和 讨论求 的单调区间；
（3）根据极值点为导函数的零点，令 ，利用韦达定理将 用 表示，代入
，构造函数求其最值即可.
【详解】（1）当 时， ，
得 ，则 ， ，
所以切线方程为 ，即 ；
（2） ，
当 时，f'(x)>0恒成立， 在(0,+∞)上单调递增，无减区间，
当 时，令f'(x)>0，得 ， 单调递增，
23 / 65
学科网（北京）股份有限公司令f'(x)<0，得 ， 单调递减，
综合得：当 时， 的单调递增区间为(0,+∞)，无减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ；
（3） ，
则 ，
因为 是函数g(x)=f (x)-ax的两个极值点，
即 是方程 的两不等正根，
所以 ，得 ，
令 ，则 ，
得 ，
则 ，
所以
，
24 / 65
学科网（北京）股份有限公司则 ，
令 ，
则 ，
所以 在(0,1)上单调递增，
所以 ，
所以 ，
即 .
【点睛】关键点睛：对于双变量问题，我们需要通过换元转化为单变量问题，本题就是利用韦达定理，令
达到消元的目的，常用的换元有 等.
规律方法：
含有地位相等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式
(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题．
【考点二】指对同构问题
一、单选题
1．（2023·湖北武汉·三模）已知 ， ， ，则
a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三上·河北·期末）设实数 ，若 对 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
25 / 65
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高三上·河南·期中）已知实数m，n满足 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知 ,若 ,其中
是自然对数的底数,则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2023·湖南郴州·三模）设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则
实数 的取值范围为 .
6．（2022高三·全国·专题练习）已知函数 有两个零点，则实数a的取值范围是
．
四、解答题
7．（23-24高三上·陕西汉中·期中）已知函数 ， .
(1)求函数 的极值；
(2)若 ，求函数 的最小值；
(3)若 有两个零点 ， ，证明： .
8．（2022高三·全国·专题练习） ，若 ，求a的取值范围.
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A B ACD ACD
1．A
26 / 65
学科网（北京）股份有限公司【分析】设 ，对 求导，得到 的单调性的最值，结合对数函数和三角
函数的性质，即可证明 ，再证明 ，令 ，通过指数和对数函数的运算性质可证明
，即可得出答案.
【详解】设 ， ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
，
又 ，则 ，
，所以 ，
对于 ，令 ，则 ，
此时 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
2．B
【分析】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数 范围.
【详解】由 ，则 ， ，
27 / 65
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 恒成立，
即任意 ， 对 恒成立；
当 时， ，
即 ，其中 ，
构造函数 ，则 .
，因为 ，所以 ， 单调递增；
则有 ，则 ，
构造函数 ，
则 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
则 ， 即当 时， ，
故要使 恒成立，则 ，即 的取值范围为 .
故选：B.
【点睛】一般地，在等式或不等式中指对形同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题.解决问题的关键
在于指对分离，构造“指幂—幂对”形式，再构造函数求解.常见的同构式有： 与 ， 与
等.
3．ACD
28 / 65
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意可得 ，即 ，构造函数 ，利用其
单调性和函数值确定 ，进而等量代换将双未知量变为单未知量，即可一一求解.
【详解】由 可得， ，
即 ，则有 ，
也即 ，
设函数 ，则 ，
，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
且当 时， ；当 时， ；
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，即 ，A正确；
，B错误；
设 ， 在 恒成立，
且 ，
所以存在唯一 使得 ，
由 可得， ，所以 ，
，设 在 上单调递增，
29 / 65
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 ，C正确；
，
设 ， ，
令 ， ，
易得函数 在 单调递增，且 ，
所以函数 在 单调递减，
且 ，所以 恒成立，
所以 单调递增，
所以 ，即 ，
所以 正确，故D正确；
故选:ACD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用同构思想，将原等式化为 ，进而构造函数
，利用单调性和函数值确定 ，进而利用等量代换，即可求解.
4．ACD
【分析】由 得 ,由 得 ,构
造函数 ,易知函数 为 上的增函数,可得 , ,对于A,依据零点存在性
定理判断;对于B,依据条件进行判断即可;对于C,利用当 时, 判断即可;对于D,利用
30 / 65
学科网（北京）股份有限公司在 上的单调性判断即可.
【详解】由 得 ,①
由 得 ,
即 ,②
令 ,
易知函数 为 上的增函数,
又①式化为: ,所以 ,
②式化为: ,所以 ,
对于A,令 ,
根据函数单调性的性质,函数 在 上为增函数,
当 时, ;当 时, ,
则由零点存在性定理可知 ,故A正确;
对于B,因为 , ,
所以 ,则 ,故B错误;
对于C,设 ,
则 ,
31 / 65
学科网（北京）股份有限公司当 时, ,则函数 在 上为增函数,
所以函数 ,
即 ,
所以 ,故C正确;
对于D,由A知, ,
在 上递减,
当 时, ,故D正确.
故选：ACD.
【点睛】将 转化为 , 转化为
,构造函数 ,利用单调性得到 ， 是解本题的关键.
5．
【分析】将函数 化简成 ，构造同构函数，分析单调性，转化为
即求解 研究函数单调性即可解决.
【详解】因为 通分得： 即： ；设
，
32 / 65
学科网（北京）股份有限公司函数 在 单调递增，
恒成立，得： 即
设 ，
易知函数在 上单调递增，在 上单调递减
故答案为：
6．
【分析】通过同构简化函数形式，然后再转化成两个函数，画图确定参数范围.
【详解】 ，令 ， ，显然该函数单调递增，即
有两个根，即 有两个根，如下图，作出函数 的图像及其过原点的切线 ，可知
当 时有两个交点即 有两个根．
故答案为： .
7．(1)极大值为 ，无极小值
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导后解不等式 、 即可求得极值.
（2）运用导数研究 的单调性，进而可求得其最小值.
33 / 65
学科网（北京）股份有限公司（3）由已知可得 ，构造函数 ，根据其单调性可得
，构造函数 并研究其单调性，构造函数 并研究其单
调性，当 时，依次结合函数 、 的单调性即可证得结果.
【详解】（1）由题意知函数 的定义域为 ， ，
， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，极大值为 ，无极小值.
（2）由题意知函数 的定义域为 .
，
则 ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 .
（3）不妨设 ，则由（2）知 ， .
设 ，由 ，得 ，
即 ，
因为函数 在R上单调递增，所以 成立.
构造函数 ，则 ，
， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
34 / 65
学科网（北京）股份有限公司构造函数 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以当 时， ，即当 时， ，
所以 ，
又 在 上单调递减，
所以 ，即 .
【点睛】极值点偏移问题的方法指导：
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论 型，构造函数 ；对结论
型，构造函数 ，通过研究 的单调性获得不等式．
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换 化为单变量的函数不等式，利用函数单
调性证明．
8．
【分析】方法一：构造 ， ，对不等式进行变形为 ，结合函数的单调性求出
参数的取值范围；方法二：构造 ，对不等式变形为 ，结合函数单
调性解出不等式，求出参数取值范围.
【详解】方法一： 定义域为 ，
同构构造 ，
，当 时， 恒成立，
35 / 65
学科网（北京）股份有限公司则 在 上单调递增，
即 ，
结合函数单调递增，可知： ，即 ，
故 恒成立，
令 ， ，则 ，
当 时， ，当 时，
故 在 上单调递增，在 单调递减，且 ，
所以 ，
则 ，解得：
方法二：构造 ．
则 恒成立，故 单调递增，
因为
即 ，
所以 ，
故
令 ， ，则 ，
当 时， ，当 时，
故 在 上单调递增，在 单调递减，且 ，
所以 ，
则 ，解得：
36 / 65
学科网（北京）股份有限公司【点睛】同构适用于方程或不等式中同时出现指数函数与对数函数，常见的同构变形有 ，
， ， 等.
规律方法：
指对同构的常用形式
(1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)＝xex；
②同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)＝xln x；
③取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋ln(b>1)，构造函数f(x)＝x＋ln x.
(2)商型：≤，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：≤，构造函数f(x)＝；
②同右构造形式：≤，构造函数f(x)＝；
③取对构造形式：a－ln a≤ln b－ln(ln b)(b>1)，构造函数f(x)＝x－ln x.
(3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)＝ex±x；
②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)＝x±ln x.
专题精练
一、单选题
1．（21-22高二下·陕西西安·期末）已知 ，且 ，其中e为自然对数的底数，则
下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·模拟预测）已知函数 ，对于任意的 、 ，
当 时，总有 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37 / 65
学科网（北京）股份有限公司3．（2023·广西柳州·模拟预测）函数 的图象与函数 的图象交点的横坐标
，则 ＝ （ ）
A． B．－ C． D．
4．（2023·全国·模拟预测）若方程 在 上有实根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（21-22高三上·福建三明·期末）已知函数 有两个极值点 ， ，则（ ）
A．a的取值范围为（－∞，1） B．
C． D．
6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知 ， ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高三下·浙江杭州·开学考试）直线 与函数 的图像有4个不同的交点，
并且从左到右四个交点分别为 ，它们的横坐标依次是 ，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在 使得A点处切线与 点处切线垂直
8．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数 则下列结论正确的有（ ）
38 / 65
学科网（北京）股份有限公司A．当 时， 是 的极值点
B．当 时， 恒成立
C．当 时， 有2个零点
D．若 是关于x的方程 的2个不等实数根，则
三、填空题
9．（22-23高三上·安徽六安·期末）已知函数 ， ，若 ， ，
则 的最大值为 ．
10．（2024·全国·模拟预测）若存在正数 ，使得不等式 有解，则实数 的取值范围是 ．
11．（2023·安徽安庆·二模）已知函数 ，其中 ，若不等式 对任意
恒成立，则 的最小值为 .
12．（23-24高二上·江苏徐州·期末）若实数t是方程 的根，则 的值为 .
四、解答题
13．（2024·广东湛江·二模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ， ，且 ，证明： .
14．（2022高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，若 对
恒成立，求实数 的取值范围.
15．（2023·四川内江·一模）已知函数 .
39 / 65
学科网（北京）股份有限公司(1)当 时，求 的单调递增区间；
(2)若函数 恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为 ，求 的取值范围.
16．（2023·浙江温州·二模）已知函数 ．
(1)若 ，求方程 的解；
(2)若 有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为 ，求 的取值范围并证明 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B C BCD ABC ABD ABD
1．C
【分析】通过构造函数，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，所以 ，对函数 求导：
， 由 有： ，
由 有： ，所以 在 单调递增，在
单调递减，因为 ，由 有： ，
故A错误；
因为 ，所以 ，由 有： ，
故D错误；
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，故C正确；
40 / 65
学科网（北京）股份有限公司令 有：
= ，当 ， .所以
在 单调递增，当 时， ，
即 ，又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 在
内单调递减，所以 ，即 ，故B错误.
故选：C.
2．A
【分析】设 ，可知函数 为 上的增函数，即对任意的 ，
，利用导数求出函数 在 上的最小值，即可得出
实数 的取值范围.
【详解】不妨设 ，由 可得出 ，
即 ，
令 ，其中 ，
则 ，所以，函数 在 上为增函数，
则 ，则 ，
41 / 65
学科网（北京）股份有限公司令 ，其中 ， ，
令 ，其中 ，所以， ，
所以，函数 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以，存在 ，使得 ，则 ，
令 ，其中 ，则 ，故函数 在 上为增函数，
因为 ， ，所以， ，
由 可得 ，所以， ，可得 ，
且当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，
所以， .
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题关键点在处理函数 的极值点时，根据零点存在定理得
出其极值点 满足 ，通过利用指对同构结合函数 的单调性转化为 ，
42 / 65
学科网（北京）股份有限公司，利用整体代换法可求得 的取值范围.
3．B
【分析】由 ，代入整理变形可得 .构造函数
，求出导函数，根据导函数得出 在 上单调递增.即可得出 ，则
，代入即可得出答案.
【详解】由已知可得， ，即 ，
即 .
令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 恒成立，所以 在 上单调递增.
所以有 可得， ，则 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】思路点睛：由 得出 后，进行同构变形得到
然后构造函数，根据导函数得出函数的单调性，得到关于 的关系式，
即可得出答案.
4．C
43 / 65
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意，化简得到 ，设 ，得到 ，求得
，得到 为增函数，转化为方程 在 上有实根，设 ，
利用导数求得函数 的单调性，结合 ，进而求得 的范围.
【详解】由 ，可得 ，即 ，
因为 ，可得 ，所以 ，其中 ，
设 ，则 ，
又因为 ，所以 在 上为增函数，
所以 ，即 ，
所以问题转化为方程 在 上有实根，
设 （ ），则 ，所以 在 上是减函数，
所以 ，解得 ．
故选：C．
【点睛】关键点睛：解本题的关键是通过函数 的单调性，把 在 上有实根转化
为 在 上有实根，对于既含有指数式又含有对数式的等式或不等式，直接求导会出现越求导
式子越复杂的情况，此时可通过同构函数，再利用函数的单调性，把问题转化为较为简单的函数的导数问
题．
5．BCD
【分析】利用导数判断函数的单调性，根据零点的个数求出 的取值范围，进而确定 的取值范围，再
44 / 65
学科网（北京）股份有限公司利用不等式的性质、构造函数利用导数逐一判断即可.
【详解】由题设， 且定义域为 ，则 ，
当 时 ，则 单调递增，不可能存在两个零点，即 不可能存在两个极值点，A错误；
当 时 ，即 单调递增，当 时 ，即 单调递减，即
，
当 时， ，所以 至多有一个零点；
当 时， ，而 ，当 趋向于0时 趋于负无穷大，当 趋向于正
无穷时 趋于负无穷大，
综上， ， 在 内各有一个零点 ， 且 ，
B：由 且 趋向于0时 趋于负无穷大，所以 ，故 ，
令 ，
，
又 ，所以 单调递减，
故当 时， ，
又 ，所以 ，
而 ，因此 ，故正确；
C： ，
令 ，显然有 ，令 ，显然 ，
45 / 65
学科网（北京）股份有限公司因此有： ，
设 ，则 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
因为 ，所以 ，
令 ，即 ，
因为 ，所以 单调递增，
因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时， 单调递减，因此有 ，即 ，正确；
D：由 ，则 ，故 ，正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：构造函数 、 、
，利用导数研究单调性，根据单调性进行求解.
6．ABC
【分析】构造函数 ，则有 、 ，可得C、D，构造函
数 ，结合函数性质可得 ，构造函数 及
46 / 65
学科网（北京）股份有限公司，可得 .
【详解】令 ，则 ，
当 时，f'(x)<0，当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0，
故 在 、 上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
当 时， ，当 时， ，
，有 ，故 ，
又 ， ，
故 ，故有 ，
故 ，即C正确， ，即 ，故D错误，
令 ，则 ，
令 ，
则 ，
当 时， ，
当 时， ，
47 / 65
学科网（北京）股份有限公司故 在 上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
有 ，故 恒成立，即 恒成立，
故F(x)在 上单调递减，
又 ，
故当 时， ，当x∈(1,+∞)， ，
即当 时， ，当x∈(1,+∞)时， ，
令 ，即 ，此时 ，
故该方程有两个不相等的实根，设两根为 、 ，且 ，则有 ，
由 ，且 ，故有 ，
由 ，故 ，即 ，故A正确；
令 ，有 ，
则 ，
当x∈(0,1)时， ，当x∈(1,+∞)， ，
故 在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
有 ，又 ，故 ，
令 ，
48 / 65
学科网（北京）股份有限公司则 ，
由 ，故 ，即 ，
故 在(0,1)上单调递增，又 ，故 恒成立，
即 ，由 ，即有 ，
又 ，即有 ，有 ， ，
又 在(1,+∞)上单调递减，故 ，即 ，故B正确.
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：本题关键在于构造函数 ，结合函数性质，从而得到 、 、 、 的大
小关系，即可得C、D，构造函数 与函数 ，从而得到 、
与 的关系.
7．ABD
【分析】AB： 为方程 两根， 为方程 两根，由韦达定理
可判断选项正误.
C：由 图像可得 ，注意到
，
研究函数 ， 的单调性可判断选项.
D：由题可建立关于 的方程组 ，判断其解是否存在即可.
49 / 65
学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ，
当 时， ，仅当 等号成立，
而 与 有4个交点，显然 不可能存在交点；
当 ， ，仅当 等号成立，
由上易知： 在 上递减，在 上递增，且 ，
综上，在 、 上 ，在 上 ，
故在 、 上 ，在 上 ，
令 ，则 ，可得 或 ，
要使 与 有4个交点，则 ，
当 时 ；当 时 ；
据此可得 图像如下.
AB：由图及题意， 为 ，即 的两根，则 .
为 ，即 的两根，则 .
则 ， .故AB正确.
50 / 65
学科网（北京）股份有限公司C：注意到 ，又 在 上单调递增，
则 ，又 .
设 ，则 ，
所以 ，得 在 上单调递增，
则 ，从而 ，故C错误.
D：因A，B两点在 图像上，则 .
又在A，B两点处切线相互垂直， .
则过A点直线斜率为 ，过B点斜率为 ， .
则建立关于 的方程组 ，存在 相当于方程组有解.
因 ，则 .
设 ，由图可得 .
51 / 65
学科网（北京）股份有限公司，代入 ，
有
.
令 ，因 ，则 ，
又 ，则 ，
由上有 在 上有根.
令 ，注意到 ， ，得 在
上有根，
即存在 使得A点处切线与 点处切线垂直，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题涉及函数的零点与方程的根，难度较大.
AB选项，结合图像与题意找到 间关系，后用韦达定理解决问题.
C选项，为双变量问题，注意到 ，研究 在 上的单调性可得答案.
D选项，直接求得 难度较大，故将 的存在性转化为相关方程组有解.
52 / 65
学科网（北京）股份有限公司8．ABD
【分析】对于A，代入 后对 求导，利用导数与函数极值的关系即可得证；对于B，构造函数
，利用导数求得 ，从而可证得 ；对于C，举反例排除即可；对于
D，利用极值点偏移的证明方法即可证得 .
【详解】对于A，当 时， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是 的极大值点，故A正确；
对于B，令 ，得 ，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，
故当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减；
所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，整理得 ，即 恒成立，故B正确；
对于C，令 ，则 ，令 ，解得 ，故 只有1个零点，故C错误；
对于D，因为 是关于 的方程 的2个不等实数根，
53 / 65
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
所以问题等价于 有两个零点 ，证明 ，
不妨设 ，则由 得到 ，
要证 ，只需要证明 ，
即只需证明： ，
只需证明： ，即 ，
令 ，
只需证明： ，
令 ，
则 ，即 在 上单调递增，
又 ，所以 ，即 恒成立，
综上所述，原不等式成立，即 成立，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
54 / 65
学科网（北京）股份有限公司9．
【分析】对已知等式进行同构可得 ，令 ，利用导数可求得 单
调递增，由此可得 ，从而将所求式子化为 ；令 ，利用导数可求得 ，即为所求
最大值.
【详解】由 得： ；
由 得： ， ；
，
令 ， ，
， 在 上单调递增，
；
令 ，则 ，
则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
，即 的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解多变量的式子最值的问题；解题关键是能够对于已知等式进
行同构变形，将问题转化为某一单调函数的两个函数值相等的问题，从而确定两个变量之间的关系，将所
求式子化为单变量的式子来进行求解.
10．
55 / 65
学科网（北京）股份有限公司【分析】由 转化为 ，然后构造函数 ，再利用导数求函数的单调性，从
而求解.
【详解】因为 ， ，所以 ，不等式 可以化为 ，
令 ，则 ，所以 ．
当 时， ，故函数 在 上单调递增．
当 时， ，不合题意，舍去．
当 时， ，因为 在 上单调递增， ，
所以 ，即 ．令 ，则 ，
当 时， ，当x>1时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
当 时， ，所以 在 上单调递增，故 ，
所以 ，即 ，矛盾，故舍去．
当 时， ，所以当 时， ，
所以 ，即 ．
综上可得，实数 的取值范围是 ．
【点睛】根据不等式构造函数，利用导数研究求解函数单调性，从而求解不等式.
11．
【分析】首先求出 ，则问题即为 ，可同构变形为 ，构
造函数 ， ，利用导数说明函数的单调性，即可得到 ，参变分离得到
，再令 ， ，利用导数求出函数 的最大值，即可求出参数的取值范围，
56 / 65
学科网（北京）股份有限公司即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以不等式 即为 ，
即 ，
构造函数 ， ，则 ，
则 即为 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，而 ， ，
因此由 等价于 ，所以 ，
令 ， ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
故正实数 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是同构变形 ，从而可构造函数
，利用导数研究函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再进行参变分离.
12．
【分析】将方程进行合理变形可得 ，利用同构函数并结合定义域可构造函数
57 / 65
学科网（北京）股份有限公司，即可得出 ，利用对数运算即可得出结果.
【详解】由 可得 ，即
即可得实数t是方程 的根，即 ；
易知 ，所以 ；
令函数 ，则 在 上恒成立；
所以 在 上单调递增，因此需满足 ；
可得 ，
同时取对数得 ，即 ；
所以 ，即 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将方程变形后利用同构函数构造出 ，再结合定义域可知
，可得 定义域为 ，再利用单调性即可求得结果.
13．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，利用到数的几何意义，即可求得答案；
（2）设 ， ， ，原不等式即为 ，利
用 的单调性，继而转化为 ，继而再构造函数，利用函数的单调性
证明结论.
【详解】（1）由 ，得 ，
58 / 65
学科网（北京）股份有限公司则 ， ，.
故曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程为 ，
即 .
（2）证明：由 ， ，且 ，不妨设 ， ， ，
则证明 等价于证明 ， ，
即证 ，从而构造函数 ，利用其
调性证明结论.
令 ，则 ，当x∈(0,1)时， ， 在(0,1)单调递减，
故 ， ，即 ， ，
则
，
要证 ，
只需证 .
令 ，则 ，
令 ，得 .
令 ，x∈(0,1)，则 ，
令 ，x∈(0,1)，则 在(0,1)上恒成立，
59 / 65
学科网（北京）股份有限公司则 ，则φ'(x)>0在(0,1)上恒成立，则φ(x)在(0,1)上单调递增.
当 时， ，则 ，
则h'(x)<0，h(x)在 单调递减，
当 时， ，则 ，
则h'(x)>0，h(x)在 单调递增.
因为 ，所以 ，即 在 上恒成立，
从而 .
【点睛】难点点睛：本题查了导数的几何意义的应用以及利用导数证明不等式，难点就在于不等式的证明，
解答时要将原不等式转化为 ，继而构造函数，利用单调性证
明 成立.
14．
【分析】将不等式 展开并变形，即 ， 恒成立，构
造函数，求导数，判断函数的单调性，由此可求实数 的取值范围..
【详解】由题意得： ， 时恒成立，
即
即 ， 时恒成立,
设 ，
故 在 时单调递增，故 ，
60 / 65
学科网（北京）股份有限公司即 ，当且仅当 等号成立 ，
又设 ，
故 时单调递增函数，且 ，
而 ，故 ，
因为 ，故 ，当且仅当 等号成立 ，
故要使 ， 时恒成立，
当 时，上式显然成立；
时，只需 ，而 ，
所以只需 ，故实数 的取值范围为 .
15．(1) 和
(2)
【分析】（1）求导后，根据 正负可确定 的单调递增区间；
（2）求导后，根据正弦函数对称性可知 且 ，并可确定 的单调性，由此可
得 ，进而将 化为 ，令 ， ，利用
导数可求得 单调性，进而确定 的取值范围，即为 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
61 / 65
学科网（北京）股份有限公司的单调递增区间为 和 .
（2） ， 若有两个极值点分别为 ，
则 ， 关于 对称，
且当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
， ，
，
又 ， ，
，
令 ， ， ，
当 时， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
，又 ， ， ，
即 的取值范围为 .
【点睛】思路点睛；本题考查利用导数求解函数的单调区间、函数极值相关问题的求解；本题求解
取值范围的基本思路是将问题转化为关于变量 的函数的形式，结合 的范围，可求得函数的值域，即为
62 / 65
学科网（北京）股份有限公司所求的取值范围.
16．(1)解为
(2) ，证明见解析
【分析】（1） 用导数研究 的单调性与极值，只有在极值点处满足
；
（2）由 及 分别有两个零点，分离参数 ，数形结合得到 的取值范围，由 消去
代入 得 ，结合 进一步转化为证明 ，结合 的
范围，考察 的最值得证.
【详解】（1） ，定义域为 ，
令 ，设 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
故方程 的解为 .
（2）令 ，得 ，设 ，
故 在 单调递增，在 单调递减， ，
当 时 ，当 时 ，
若 有两个零点，则 ，故 ，
，令 ，得 ，
63 / 65
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
故 在 单调递增，在 单调递减， ，
当 时 ，当 时 ，
若 有两个极值点，则 ，
综上， .
不妨令 ，因为 且 ，由 与 图象得 ，
由 为 的两根得 ，
两式分别乘 并整理得 ，
所以 ，
要证 ，即证 ，
即证： ，
由于 ，所以 ，
只需证 ，即证 ，（ ），
令 ，（ ），
64 / 65
学科网（北京）股份有限公司当 时 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，故 ，得证.
【点睛】关键点点睛：由 为 的两根得 ……①，
……②，对含参双零点常用处理方法：
①+②得 ……③，用此式可代入消参，
①－②得 ……④，也用此式可代入消参，
由③④得 ，可直接消参.
本题中以上方法均不适合，结合要证的结论要想消参需要在①②两式分别乘 构造出 代入
即可.
65 / 65
学科网（北京）股份有限公司
