文档内容
第10讲 同构函数问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】双变量同构问题............................................................................................................2
【考点二】指对同构问题................................................................................................................4
【专题精练】.................................................................................................................................5
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
同构函数问题，是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维．同构函数问题是指在不等式、方程、
函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有双变量同构
和指对同构，一般都是压轴题，难度较大．
真题自测
一、填空题
1．（2023·湖北武汉·二模）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数 和
图象上的动点，若对任意 ，有 恒成立，则实数m的最大值为 ．
二、解答题
2．（2022·浙江·高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证
明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
3．（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
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学科网（北京）股份有限公司考点突破
【考点一】双变量同构问题
一、单选题
1．（2024·山东济南·一模）若不等式 对任意的 恒成立，则 的最小值为
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·吉林长春·模拟预测）已知a，b满足 ， ，其中e是自然对数的底数，则
ab的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（22-23高三上·广东·阶段练习）已知定义在 上的函数 的图像连续不间断，当 时，
，且当 时， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 在 上单调递增
C．若 ，则
D．若 是 在区间 内的两个零点，且 ，则
4．（23-24高二上·重庆·期末）已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．若函数 存在两个极值，则实数 的取值范围为
B．当 时，函数 在 上单调递增
C．当 时，若存在 ，使不等式 成立，则实数 的最小值为
D．当 时，若 ，则 的最小值为
三、填空题
5．（2023·福建三明·三模）已知不等式 恒成立，其中 ，则 的最大值为
.
6．（2023·湖南郴州·模拟预测）已知函数 有两个极值点 ，则实数
a的取值范围为 ；若 ，则 的最大值为 ．
四、解答题
7．（2023·北京通州·三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知 有两个零点 ， ，求实数a的取值范围并证明 .
8．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知函数 ， ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)设 是函数 的两个极值点，证明： ．
规律方法：
含有地位相等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式
(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题．
【考点二】指对同构问题
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学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．（2023·湖北武汉·三模）已知 ， ， ，则
a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三上·河北·期末）设实数 ，若 对 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高三上·河南·期中）已知实数m，n满足 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知 ,若 ,其中
是自然对数的底数,则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2023·湖南郴州·三模）设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则
实数 的取值范围为 .
6．（2022高三·全国·专题练习）已知函数 有两个零点，则实数a的取值范围是
．
四、解答题
7．（23-24高三上·陕西汉中·期中）已知函数 ， .
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学科网（北京）股份有限公司(1)求函数 的极值；
(2)若 ，求函数 的最小值；
(3)若 有两个零点 ， ，证明： .
8．（2022高三·全国·专题练习） ，若 ，求a的取值范围.
规律方法：
指对同构的常用形式
(1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)＝xex；
②同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)＝xln x；
③取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋ln(b>1)，构造函数f(x)＝x＋ln x.
(2)商型：≤，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：≤，构造函数f(x)＝；
②同右构造形式：≤，构造函数f(x)＝；
③取对构造形式：a－ln a≤ln b－ln(ln b)(b>1)，构造函数f(x)＝x－ln x.
(3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)＝ex±x；
②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)＝x±ln x.
专题精练
一、单选题
1．（21-22高二下·陕西西安·期末）已知 ，且 ，其中e为自然对数的底数，则
下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·模拟预测）已知函数 ，对于任意的 、 ，
当 时，总有 成立，则 的取值范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
3．（2023·广西柳州·模拟预测）函数 的图象与函数 的图象交点的横坐标
，则 ＝ （ ）
A． B．－ C． D．
4．（2023·全国·模拟预测）若方程 在 上有实根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（21-22高三上·福建三明·期末）已知函数 有两个极值点 ， ，则（ ）
A．a的取值范围为（－∞，1） B．
C． D．
6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知 ， ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高三下·浙江杭州·开学考试）直线 与函数 的图像有4个不同的交点，
并且从左到右四个交点分别为 ，它们的横坐标依次是 ，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在 使得A点处切线与 点处切线垂直
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学科网（北京）股份有限公司8．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数 则下列结论正确的有（ ）
A．当 时， 是 的极值点
B．当 时， 恒成立
C．当 时， 有2个零点
D．若 是关于x的方程 的2个不等实数根，则
三、填空题
9．（22-23高三上·安徽六安·期末）已知函数 ， ，若 ， ，
则 的最大值为 ．
10．（2024·全国·模拟预测）若存在正数 ，使得不等式 有解，则实数 的取值范围是 ．
11．（2023·安徽安庆·二模）已知函数 ，其中 ，若不等式 对任意
恒成立，则 的最小值为 .
12．（23-24高二上·江苏徐州·期末）若实数t是方程 的根，则 的值为 .
四、解答题
13．（2024·广东湛江·二模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ， ，且 ，证明： .
14．（2022高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，若 对
恒成立，求实数 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司15．（2023·四川内江·一模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调递增区间；
(2)若函数 恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为 ，求 的取值范围.
16．（2023·浙江温州·二模）已知函数 ．
(1)若 ，求方程 的解；
(2)若 有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为 ，求 的取值范围并证明 ．
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