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专题 3-4 构造函数解不等式（选填）
目录
..................................................................................1
题型一：构造 或 ( ，且 )型......................................1
题型二：构造 或 ( ，且 )型.....................................9
题型三：构造 或 型.................................................................14
题型四：构造 或 型................................................................18
题型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数......................................................................24
.............................................................29
一、单选题.......................................................................................................................................29
二、多选题.......................................................................................................................................35
三、填空题.......................................................................................................................................37
题型一：构造 或 ( ，且 )型
【典例分析】
例题1．（2022·福建龙岩·高二期末）已知定义在 上的函数 满足：
，且 ，则 的解集为___________.
【答案】【详解】由题意得，构造 ，
则 ，则 在R上为单调递增函数，
因为 ，所以 ，
所以 可变形为 ，
因为 在R上为单调递增函数，
所以 ，则 的解集为
故答案为：
例题2．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））已知定义在 上的偶函数
满足：当 时，恒有 ．若 ， ， ，则
， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 时，有 ，可得 ，
构造函数 ， ，
即函数 在 上单调递减，
函数 为偶函数，由 可知函数 为偶函
数，
， ， ，
由单调性可得 ，
故选：A
例题3．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）已知定义域为 的偶函数
，其导函数为 ，对任意正实数 满足 且 ，则不等式 的
解集是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令 且 ，则 ，又 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
由 为偶函数，则 ，故 也为偶函数，
而 ，且 等价于 ，
所以 ，故 .
故选：D
例题4．（2022·安徽滁州·高二期中）已知 是定义在 上的函数 的导函
数，且 ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令 ，则 ．
因为 对于 恒成立，
所以 ，即 在 上单调递增，
又 ， ， ，且 ，所以 ，即 ．
故选：A
【提分秘籍】
构造可导积（商）函数模型：
①
高频考点1： 高频考点2
②
高频考点1： 高频考点2
【变式演练】
1．（2021·陕西汉中·模拟预测（文））已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，
当 时， ，若 ，则 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设 ，则 ，
由题意知当 时， ，即 ，
故 在 时单调递增，
故 ，即 ，
故选：D.
2．（2022·江苏连云港·高三期中）设函数 的导函数为 ，对任意 ，都有成立，则（ ）
A． B．
C． D． 与 的大小不确定
【答案】C
【详解】设 ，则 ，由已知可知，当 时，
成立，所以 ，
因此函数 在 时单调递减，
因为 ，所以 ，
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数 是定义在R上的可导函数，其导函数为
，当 时，有 ，则不等式 的
解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令 ，则 ，
因为当 时，有 ，
所以当 时， ，
所以 在 上为增函数，
因为 为奇函数，所以 ，所以 ，
所以 为R上的奇函数，
所以 在R上为增函数，
由 ，得
，
，
所以 ，
因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，得 ，
所以不等式的解集为 ，
故选：C
4．（2022·河南·南阳中学高二阶段练习（理））函数 是定义在区间 上的可导
函数，其导函数为 ，且满足 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令 ，
则 ，
所以 在 单调递增，不等式 化为 ，
即 ，所以 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
故选：D.
5．（2022·河北·唐山一中高二期中） 在 上的导函数为 ，
，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令 ，则 ，
， ， 在 上单调递增，
，即 ， .
故选：A.
5．（2022·辽宁·北镇市满族高级中学高三阶段练习）设 是定义在R上的奇函数，且
，当 时，有 恒成立，则不等式 的解集为______.
【答案】
【详解】令 ，
则当 时， ，所以 在 单调递减，因为 是定义在R上的奇函数，所以 是偶函数，在 单调递增，
则 ，
由 可得 ，
当 时， ，即 ，解得 ，
当 时， ，即 ，解得 ，
综上，不等式 的解集为 .
故答案为： .
6．（2022·湖北·高二期中）设函数 是奇函数 的导函数． ，当
时， ，则使得 成立的 的取值范围为______．
【答案】
【详解】令 ，当 时， ，
所以函数 在 上为减函数，
又因为 为奇函数， 的定义域为 ，
所以 ，
所以 为偶函数，得 在 上为增函数，
因为 ，所以 ，
作出 的大致图象如图所示，
当 时， ，得 ，当 时， ，得
所以 的取值范围为
故答案为：
题型二：构造 或 ( ，且 )型
【典例分析】
例题1．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（理））已知 为 上的可
导函数，其导函数为 ，且对于任意的 ，均有 ，则
（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】D
【详解】构造函数 ，所以 在 上递增，
所以 ，
即 .
故选：D
例题2．（2022·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）已知定义域为 的函数 的导
函数为 ，且 ，若实数 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令 ，则
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，
令 ，则
所以当 时， ， 单调递减
当 时， ， 单调递增
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，即
故选：C
例题3．（2022·福建省诏安县桥东中学高三期中）已知函数 的定义域和值域均为
， 的导函数为 ，且满足 ，则 的范围是
______．【答案】
【详解】解：令 ，则
即 的范围是 .
故答案为：
【提分秘籍】
构造可导积（商）函数模型：
① 高频考点1：
② 高频考点1：
【变式演练】
1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 的导函数为 ，且 对任意
的 恒成立，则（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】D
【详解】令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，所以 ， ，即 ， ，故 ， ．
故选：D.
2．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中（文））设定义域为R的函数 满足
，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：令g（x）＝ ，则 ＝ ＞0，
故g（x）在R上单调递增，
不等式ex﹣1f（x）＜f（2x﹣1），
即 ＜ ，
故g（x）＜g（2x﹣1），
故x＜2x﹣1，解得：x＞1，
故选：B.
3．（2022·黑龙江·虎林市高级中学高三开学考试）定义域为 的可导函数的导函数
为 ，满足 ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
即函数 在定义域上单调递减，
因为 ，
所以不等式 等价于 ，等价于 ，
解得 ，
故不等式的解集为 .
故选：D．
4．（多选）（2022·全国·高二专题练习）已知 是函数 的导函数，函数 对
任意的 ，都满足 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】令 （其中 ）， ，
因为 ， ，所以 ，
所以 在R上单调递增，
所以 ，即 ，即 ，所以A正确，B错误；
，即 ，即 ，所以C错误，D正确.
故选：AD.
5．（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）已知 的定义域是 ，
为 的导函数，且满足 ，则不等式 的解集是______.
【答案】 或
【详解】设 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
由 ，则 ，即 ，
所以 ，解得 或 .
故答案为： 或
题型三：构造 或 型
【典例分析】
例题1．（2021·重庆市实验中学高二阶段练习）已知函数 对任意 ，满
足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：令 ，则 ，
因为函数 对任意 ，满足 ，
所以 时， ，
所以 在 上单调递增，对于A，因为 ，所以 ， ，得 ，所以A
错误，
对于B，因为 ，所以 ，即 ，得 ，
所以B正确，
对于C，因为 ，所以 ，即 ，得
，所以C错误，
对于D，因为 ，所以 ，即 ，即
，所以D错误，
故选：B
例题2．（2022·全国·高二专题练习）函数 的定义域是 ，其导函数是 ，
若 ，则关于 的不等式 的解集为______．
【答案】
【详解】 变形为 ，
变形为 ，
故可令g(x)＝f(x)sinx， ，
则 ，∴g(x)在 单调递减，
不等式 即为g(x)＜g( )，
则 ，
故答案为： .
【提分秘籍】
构造可导积（商）函数模型：
① ②
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）定义在 上的函数 ， 是它的导函数，且恒有
成立，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】 ， ，
设 ，则 ，
则 在 上为增函数，对于A，因为 ，所以 ，
即 ，得 ，所以A错误，
对于B因为 ，所以 ，
即 ，得 ，所以B错误，
对于C，因为 ，所以 ，
即 ，得 ，所以C错误，
对于D，因为 ，所以 ，
即 ，得 ，所以D正确，
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 定义域为 ，其导函数是 ，当
时，有 ，则关于 的不等式 的解集为
__________．
【答案】
【详解】令 ，则 ，因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 在 上为减函数，
由 ，得 ，
所以 ，
因为 在 上为减函数，
所以 ，
所以不等式 的解集为 ，
故答案为：
题型四：构造 或 型
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，其导函数是
.有 ，则关于 的不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】令 ，
，
因为 ，
所以 ，
所以 在 上单调递减，
又 ，
所以 ，
解得
所以 .
故选：B
例题2．（2023·全国·高三专题练习）设函数 是定义在 上的函数 的导函
数，有 ，若 ， ， ，则 ， ，
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设函数 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上是增函数，， ，
，
所以 ，
故选：A
【提分秘籍】
构造可导积（商）函数模型：
① ；②
【变式演练】
1．（多选）（2022·全国·高二课时练习）已知定义在 上的函数 的导函数为
，且 ， ，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】令 ， ，则 .
因为 ，所以 在 上恒成立，所以
函数 在 上单调递减，所以 ，即 ， ，
故A错误；
又 ，所以 ，所以 在 上恒成立，
因为 ，所以 ，故B错误；又 ，所以 ，即 ，故C正确；
又 ，所以 ，即 ，故D正确.
故选：CD.
2．（多选）（2021·江苏·高二单元测试）已知偶函数 对于任意的 满足
(其中 是函数 的导函数)，则下列不等式中成立的是
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】∵偶函数 对于任意的 满足 ，
且 ，
∴可构造函数 ，则 ，
∴ 为偶函数且在 上单调递增，
∴ ， ，，
由函数单调性可知 ，即 ，
∴BD对，A错，
对于C， ，∴C正确，
故选：BCD．
3．（多选）（2022·山东·日照一中高三阶段练习）已知函数 对于任意的
，均满足 ，其中 是 的导函数，则下列不等式成立的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
对于A选项，因为 ，则 ，即 ，所以， ，A对；
对于B选项， ，
因为 ，则 ，即 ，
所以， ，即 ，B对；
对于CD选项， ，
因为 ，则 ，即 ，
所以， ，即 ，C对D错.
故选：ABC.
4．（多选）（2022·江苏·南京师大苏州实验学校高二阶段练习）已知函数 是偶函
数，对于任意的 满足 （其中 是函数 的导函
数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】构造函数 ，其中 ，则 ，∵对于任意的 满足 ，
∴ 当 时， ，则函数 在 上单调递增，
又函数 是偶函数， ，∴ ，
∴ 在 上为偶函数，
∴函数 在 上单调递减．
∵ ，则 ，即 ，即 ，化简得
，A正确；
同理可知 ，即 ，即 ，化简得
，B正确；
，且 即 ，即 ，化简得
，C错误；
，且 ，即 ，即 ，化简得
，D正确．故选：ABD.
题型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数
【典例分析】
例题1．（青海省海东市2022-2023学年高三上学期12月第一次模拟数学（文）试题）已
知定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，且 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设 ，则 .
因为 ，所以 ，即 ，
所以 在 上单调递减.
不等式 等价于不等式 ，即 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 在 上单调递减，所以 ，解得
故选：A
例题2．（2022·江西·金溪一中高二期末（文））已知 是定义在 上的函数，
是其导函数，若 ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设函数 ，则 ，即函数 在 上
单调递增，而 ，即 ，又 ，因此
，则有 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 ．
故选：B
例题3．（2022·山西大附中三模（理））已知定义在 上的函数 的图象关于点
对称，若对任意的 有 （ 是函数 的导函数）成
立，且 ，则关于 的不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为函数 的图象关于点 对称，所以函数 是奇函数，
因为 ，
所以 ．
令 ，则 在R上单调递增．
又 ， ，
所以 ， ．
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ．
故选：C．
【变式演练】
1．（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）定义在 上的函数 满足
，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：令 ，
因为定义在 上的函数 满足 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，
所以不等式 可转化为 ，即 ，
所以ex＞10，
所以x＞ln10，
所以不等式 的解集为 .
故选：B.
2．（多选）（2022·湖南·长沙市同升湖高级中学有限公司高三阶段练习）定义在 上函数
的导函数为 ，满足 则下列正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】解：令 ，则 ，
， ，即 恒成立，
为 上的单调递增函数，则 ，
即 ，则 ，故选项A错误；
， ，
，故选项B正确；
， ，
，即 ，选项D正确．
所以 ，所以
故选项C正确，
故选：BCD．
3．（多选）（2022·重庆·高二阶段练习）定义在 上的函数 满足
，且 ，则满足不等式 的 的取值有（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】AB
【详解】构造函数 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 单调递减，又 ，所以 ，
不等式 变形为 ，即 ，
由函数单调性可得：
故选：AB
4．（2022·江苏·盐城中学高三阶段练习）定义在 上的函数 满足
，则不等式 的解集为___________.
【答案】
【详解】令 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增；
又因为 .
不等式 ,即为 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以不等式 的解集为： .
故答案为： .一、单选题
1．（2022·山西吕梁·高二期末）设 是定义在R上的函数，其导函数为 ，满足
，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．a，b的大小无法判断
【答案】A
【详解】设 ， ，
所以函数 在 单调递增，即 ，
所以 ，那么 ，即 .
故选：A
2．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知函数 为函数 的导函
数，满足 ， ， ， ，则下面大小关
系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据题意， ，
变换可得：，
分析可得， ， ， ， ，
， ，所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
故选：A.
3．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知偶函数 的定义域为 ， ，当
时， 恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令函数 ，
因为 是偶函数，
所以 也是偶函数．
当 时，因为 ．
所以 在 上单调递增．
因为 ，
所以不等式 等价于 ，
所以 ，即 ．故选：D.
4．（2021·陕西汉中·模拟预测（理））已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，
当 时， ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小
关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】构造函数 ，得 ，
由题知 时， ，所以 ，故 在 上单调递增，
，即 ，即 ，
故选： .
5．（2023·全国·高三专题练习）定义在 上的函数 的导函数 满足
，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 .
设 ， ，则 ，
故 在 上单调递减，则 ，
则 ， ，
但由于 ， ， ， 的正负不确定，
所以 ， 都未必成立.
故选：D
6．（2021·四川·仁寿一中高二阶段练习（文））已知函数 是定义域R上的可导函数，
其导函数为 ，对于任意的 恒成立，则以下选项一定正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：令 ，则 ，
因为对于任意的 恒成立，
所以 ，所以 在R上递减，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以A正确，C错误，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以BD错误，
故选：A
7．（2019·云南师大附中高三阶段练习（文））已知定义在 上的函数 是其导
函数，且满足 ,则不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【详解】令 ，则 在 上为增函数，又
，
可化为 ，即 ，
故选：
8．（2021·陕西渭南·高三阶段练习（文））已知 是定义在 上的偶函数，且当
时， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】当 时，令
所以 ，
所以 在 时单调递增，
对于A，由以上结论得 即
即 ，故A正确；
对于B，由以上结论得 即
即 ，故B错误；对于C，因为 ，
故只用判断 ，
由A选项知 ，
但 无法判断是否成立，故C错误；
对于D，只用判断 是否成立，
根据题设条件，无法判断 是否成立，故D错误.
故选:A.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，对
于任意 ，都有 ，则使不等式 成立的 的值可
以为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】CD
【详解】令 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，所以 在 上单调递增，
又 ，可得 的解集为 .
故选：CD.
10．（2020·全国·高二课时练习）已知函数 的导函数为 ，若
对 恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】BD
【详解】设 ， ， ，
则 ， .
因为 对 恒成立，
所以 ， ，所以 在 上单调递减， 在 上单调递增，
则 ， ，
即 ， 即 .
故选：BD.
11．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）已知 是定义在 上的函数
的导数，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】设 ，则 .
因为 ，所以 ，则 在 上单调递增.
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，则A正确；
因为 ， 的大小不能确定，所以 ， 的大小不能确定，则B错误；
因为 ，所以 ，则 ，所以 ，则C正确；因为 ， 的大小不能确定，所以 ， 不能确定，则D错误.
故选：AC
12．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且
， ，则下列判断中正确的是（ ）
A． < B． >0
C． > D． >
【答案】CD
【详解】令 ，则 ，
因为 ，所以 在 上恒成立，
因此函数 在 上单调递减，故 ，即 ，即
，故A错；
又 ，所以 ，所以 在 上恒成立，
因为 ，所以 ，故B错；
又 ，所以 ，即 ，故C正确；
又 ，所以 ，即 ，故D正确.故选：CD
三、填空题
13．（2020·全国·高三专题练习）已知偶函数 的定义域是 ， ， ，其导函
数为 ，对定义域内的任意 ，都有 成立，则不等式 （2）
的解集为______.
【答案】
【详解】当 时，由 ，
得 ，即 ．
令 ，则 在 ， ， 上也为偶函数，
且当 时， 总成立， 在 上是增函数．
不等式 （2） 可化为 （2），
则 ，又 ， ， ，解得 ， ， ．
故答案为：
14．（2020·广东·高二期末）已知定义在实数集R上的函数 满足 且 导函数
则不等式 的解集为______________
【答案】
【详解】设 ，则 ，所以函数 单调递减，
则将不等式变形： ，即： ，
由单调性： ，解得： .
15．（2022·全国·高二专题练习）设函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有
成立，且 ，则不等式 的解集为______________.
【答案】【详解】令 ,则 ,
因为 ,
所以 ,所以 是 上的增函数,
不等式 等价于 ,
因为 ,所以 ,
等价于 ,解得 ,
即不等式的解集为 .
故答案为：
16．（2022·广东·中山市迪茵公学高二阶段练习）已知定义在 上的函数 的导函数为
，且满足 ， ，则不等式 的解集为
_________．
【答案】
【详解】令 ，所以 ，所以 在 上单调递增，且
，因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以解集为 .
故答案为： .17．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 在R上的导函数为 ，对于任意的实
数x都有 ，当 时， ，若 ，则实数a
的取值范围是________．
【答案】
【详解】设 ， ，
因为当 时， ，所以 ， 为增函数.
又因为 ，所以 .
所以 ， 即 为偶函数.
所以 在 为减函数，在 为增函数.
因为
，
所以 ，解得 或 .
故答案为： .
18．（2022·全国·高二）已知函数 是定义在R上的函数，且满足 其中
是 的导函数，设 ， ， ， 的大小关系是
________．
【答案】
【详解】令 ， ，所以 在R上为增函数，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
故答案为： ．
19．（2021·全国·高二专题练习）已知定义在 上的偶函数 的导函数为 ，当
时，有 ，且 ，则使得 成立的 的取值范围是___________.
【答案】
【详解】∵当 时，有 ，令 ，
∴ ，
∴ 在 上递增，
又∵ 在 上的偶函数
∴ ，
∴ 在 上是奇函数
∴ 在 上递增，
又∵ ，
∴
当 时， ，此时，0＜x＜1，
当 时， ，此时， ，
∴ 成立的 的取值范围是 ．
故答案为： ﹒
20．（2022·全国·高三专题练习）设 为定义在 上的奇函数， . 当 时，
，其中 为 的导函数，则使得 成立的 的取值范围是
______．【答案】
【详解】令 ，
当 时， ，
即 在 上单调递增，
因为 为 上的奇函数，即 ，
于是得 ，
则 是奇函数， 在 上单调递增，
又 ，则 ，
当 时， ，得 ，
当 时， ，得 ，
综上，得： 或 ，
所以 成立的 的取值范围是 .
故答案为： .
