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专题一 函数与导数
第5 讲 利用导数研究函数的零点问题
【考情分析●明方向】
以指数函数、对数函数、三次有理函数、三角函数为载体，利用导数，通过研
究函数的单调性、极值和最值，求解函数零点或方程解的问题是高考的热点题
型．考查的角度主要是函数零点的综合应用．
【真题再现●明考向】
1．(2025·新课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2－kx3，其中0<k<.
(1)证明：f(x)在区间(0，＋∞)存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设x1，x2分别为f(x)在区间(0，＋∞)的极值点和零点．
①设函数g(t)＝f(x1＋t)－f(x1－t)．证明：g(t)在区间(0，x1)单调递减；
②比较2x1与x2的大小，并证明你的结论．
2．(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ax－－(a＋1)ln x.
(1)当a＝0 时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)恰有一个零点，求a 的取值范围．
3．(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝－ln x＋x－a.
(1)若f(x)≥0，求a 的取值范围；
(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1.
4．(2022·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex－ax 和g(x)＝ax－ln x 有相同的最小
值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，
并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
5．(2023·上海高考)已知a，c∈R，函数f(x)＝.
(1)若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c 使得f(x)是奇函数，说明理
由；
(2)若函数过点(1，3)，且函数f(x)与x 轴负半轴有两个不同交点，求此时c 的值
和a 的取值范围．
【考点突破●提能力】
考点一 判断函数零点的个数
【方法技巧】
利用导数研究函数零点问题的思路
(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0 可解)，转化确定g(x)的零点个数问
题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号
(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解．
(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导
数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间
上零点的个数．
【典例研析】
1．(2025·南昌模拟)已知函数f(x)＝－a(a＞0)，且x＝2 不是f(x)的极值点．
(1)求a 的值；
(2)判断f(x)的零点个数．
【跟踪训练】
1．(2025·山海关区三模)设函数f(x)＝exsin x.
(1)求f(x)的图象在(0，f(0))处的切线方程；
(2)记g(x)＝f(x)－ax，若0＜a≤1，试讨论g(x)在(0，π)上的零点个数．
考点二 根据零点的个数求参数的值(范围)
【方法技巧】
根据函数零点个数确定参数取值范围的基本思路也是数形结合，即根据函数的
单调性、极值、函数值的变化趋势大致得出函数y＝f(x)的图象，再根据零点个
数确定函数y＝f(x)的图象交点的个数，得出参数满足的不等式，求得参数的取
值范围，一个基本的技巧是把f(x)＝0 化为g(x)＝h(x)，据f(x)零点个数确定函数
y＝g(x)，y＝h(x)图象的交点个数，得出参数满足的不等式，求得参数的取值范
围．
【典例研析】
2．(2025·白银三模)已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋x－1.
(1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若f(x)在上有2 个零点，求a 的取值范围．
【跟踪训练】
2．(2025·重庆校级模拟)已知函数f(x)＝ex＋ax＋sin x－.
(1)当a＝－3 时，求证：f(x)在区间(－1，0)上单调递增．
(2)若函数f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有1 个零点，求a 的取值范围．
【限时训练】（限时：120 分钟）
一、单项选择题：本题共4 小题，每小题5 分．共20 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2025·海口一模)已知实数a 满足2a＋a＝2，则函数f(x)＝2x3－3x2＋1－a 的
零点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．(2025·齐齐哈尔三模)已知x1是函数f(x)＝xln x－e 的零点，x2是函数g(x)＝x
＋ln x－1 的零点，则x1x2的值为( )
A．
B．1
C．
D．e
3．(2025·河南二模)已知函数f(x)＝e2x＋a－ln(x＋5)＋－5 有零点，那么实数a 的
最大值为( )
A．
B．1
C．1＋ln 2
D．9－ln 2
4．(2025·新宁县校级模拟)已知f(x)＝x2e2x＋a|x|ex＋2(a∈R)有4 个零点，则实数
a 的取值范围为( )
A．(－∞，－2)
B．(－2，＋∞)
C．
D．
二、多项选择题：本题共2 小题，每小题6 分，共12 分．在每个小题给出的选
项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选
错的得0 分．
5．(2025·广东模拟)已知f(x)＝[ln x＋ln(2π－x)]·sin x，则下列结论正确的是(
)
A．f(x＋π)是奇函数
B．f(x)在区间上单调递增
C．f(x)有3 个零点
D．∀x∈(0，π]，f(x)≤2ln π
6．(2025·广安区校级二模)函数f(x)＝2xln x＋ax2－x，则下列说法正确的是(
)
A．当a＞0 时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．当a＝2 时，f(x)在x＝1 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
C．f(x)在(0，＋∞)上为减函数，则a≤－e
D．当a＜0 时，F(x)＝f(x)＋ax 有且只有一个零点，则a∈
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
7．(2025·铜仁市三模)已知函数f(x)＝x3－mx2的一个零点为3，则f(x)的单调减
区间是________.
8．(2025·平凉校级模拟)已知函数f(x)＝ex＋kx2在(0，＋∞)上只有一个零点，则
实数k 的值为________.
9．(2025·仁寿县校级三模)设函数f(x)＝ex－nx－n，函数g(x)＝－(n＋1)x＋e＋1
－n ，n≠0 ，n∈R. 若函数h(x) ＝恰有两个零点，则n 的取值范围为
________________.
四、解答题：每小题15 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
10．(2025·河南模拟)已知函数f(x)＝m(2－x2)－cos x(m∈R)．
(1)当m＝1 时，求f(x)的零点个数；
(2)若∀x∈R，f(x)≤0，求m 的最大值．
11．(2025·淮北模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋aln x.
(1)若a＝1，求函数f(x)在x＝1 处的切线方程；
(2)求证：当a≥0 时，f(x)有且仅有一个零点．
12．(2025·广东校级模拟)已知函数f(x)＝ax－ln x－2.
(1)当a≤0 时，讨论f(x)的零点个数；
(2)当a＝1 时，证明：f(x)在区间(3，4)内存在唯一的零点；
(3)若对于任意的x∈(1，＋∞)，都有xln x＋x＞k(x－1)，求整数k 的最大值．
13．(2025·安丘市模拟)已知函数f(x)＝x＋asin x－xcos x.
(1)当a＝1 时，求f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；
(2)若f(x)在区间上有零点，求实数a 的取值范围．
14．(2025·金川区校级二模)已知函数f(x)＝3a－x－(x＋1)ln(x＋1)，g(x)＝a2ex＋
(2－a)x2－3ax(x＞－1)，1≤a≤6，g(x)的导函数记为g′(x)，e 为自然对数的底
数，约为2.718.
(1)判断函数f(x)的零点个数；
(2)设x1是函数f(x)的一个零点，x2是函数g(x)的一个极值点，证明：－1＜x2＜1
＜x1.
