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专题09 解答题15 题、16 题、17 题必会题
（6 阶题组）专项训练（三）
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.且
.
(1)求
的值；
(2)若
，
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用余弦定理及同角三角函数关系计算求解；
（2）先应用正弦定理计算得出
，再应用两角和正弦公式计算，最后面积公式计算求解.
【详解】（1）因为
，由余弦定理得
，所以
，
所以
，
所以
，所以
，
因为
，所以
.
（2）因为
，
，
由正弦定理得
，所以
，
因为
，所以
，
则
的面积为
.
16．DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024 年末 DeepSeek-R1 一经发布，
引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAI GPT-4.为提升工作效率，M 公司引入DeepSeek，并对
员工进行了DeepSeek 培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训.
(1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为
求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率；
(2)为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek 的能力，M 公司在培训过后举办了一次 DeepSeek
知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩 Z 近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000 名
员工，试估计这些员工中成绩超过93 分的人数；(结果精确到个位)
(3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3 道题，每答对1 道
题奖励现金800 元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为
且每题答对与否都相互独立，记
甲获得总奖金为X 元，求X 的分布列与数学期望E(X).
参考数据：若Z~N(μ，σ²)，则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，
P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973.
【答案】(1)
(2)317
(3)分布列见解析
【分析】（1）应用对立事件概率及独立事件概率乘积公式计算求解；
（2）应用正态分布性质计算概率；
（3）先根据独立事件概率乘积公式计算概率，再写出分布列计算数学期望即可.
【详解】（1）分别记甲、乙、丙培训合格为事件A，B，C，
则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率
（2）由已知得μ 的近似值为90，σ 的近似值为3，
所以
而
，
所以估计这些员工中成绩超过93 分的人数为317.
（3）X 的所有可能取值为0，800，1600，2400，
所以X 的分布列为
x
0
800
1
600
2
400
P
17．如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为菱形，
，
是边长为2 的等边三角形，F
为BC 的中点.
(1)证明：
；
(2)若直线AP 与DF 的夹角的余弦值为
，求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见详解；
(2)
.
【分析】（1）记
的中点为
，利用正三角形的性质结合线面垂直判定定理证明
平面
，然后
可证；
（2）以
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，设
，根据线线角的向量表示
求出点
坐标，然后求出平面PAB 的法向量，利用线面角的向量公式求解可得.
【详解】（1）记
的中点为
，连接
，
因为
为菱形，
，所以
为正三角形，所以
，
由
为正三角形可得
，
因为
是平面
内的两条相交直线，所以
平面
，
因为
平面
，所以
.
（2）由（1）知，
，过点
作
平面
，
以
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
因为
平面
，所以点
在坐标平面
内，设
，
，
则
，
，
所以
，
，
因为直线AP 与DF 的夹角的余弦值为
，所以
，
解得
，因为
，所以
，得
，
所以
，
设平面PAB 的法向量为
，
则
，令
得
，
记直线PC 与平面PAB 所成角为
，则
.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．3 月9 日，在十四届全国人大三次会议举行的记者会上，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，体重
管理年实施的首期三年体重管理行动，目的是“在全社会形成重视体重管好体重，健康饮食积极参与运
､
､
动锻炼等良好的生活方式和习惯.”由于肥胖对人体健康的危害，某健康咨询机构为了了解居民是否有减
肥的想法，随机调查了400 名居民，得到如下
列联表：
有减肥的想法
没有减肥的想法
合计
男性居民
女性居民
合计
180
(1)求
的值，并完成上述列联表；
(2)根据小概率值
的独立性检验，能否认为性别与是否有减肥的想法有关？
(3)以样本估计总体，且以频率估计概率，若从男性居民中随机抽取4 人，记其中“有减肥想法”的人数
为
，求
的期望值.
附：
，其中
.
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)
,表格见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由表，得
，可得
，再填表即可；
（2）根据列联表，求得
值，再与临界值表对照下结论；
（3）先求“有减肥想法”的概率为
，再用二项分布期望公式计算.
【详解】（1）列联表中部分数据补充如下：
有减肥的想
法
没有减肥的想
法
合
计
男性居
民
女性居
民
合计
180
400
由上知，有
，可得
，
完成列联表如下：
有减肥的想
法
没有减肥的想
法
合
计
男性居
民
100
100
200
女性居
民
80
120
200
合计
180
220
400
（2）零假设为
：性别与是否有减肥的想法无关，
由
，
根据小概率值
的独立性检验，推断
不成立，
故能认为性别与是否有减肥的想法有关；
（3）由表格中的数据知，从男性居民中抽取1 人，其“有减肥想法”的概率为
，
的取值可以是0，1，2，3，4，且
，
所以
.
16．如图，在圆台
中，
，梯形
是圆台的一个轴截面，点
在圆台下底面的
圆周上，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)若点
在圆台的上底面的圆周上，且
，求平面
和平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用
是菱形，所以
，再应用面面垂直性质定理得出
平面
，
应用线面垂直判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系设点
，向量法求平面
和平面
的法向量再应用夹
角的余弦公式计算求值.
【详解】（1）连接
，因为
，所以
，
所以
都是等边三角形，
因为
是菱形，所以
，
因为
，所以
，
因为
，圆台下底面与平面
垂直，且交线为
，
在圆台下底面内，所以
平面
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，
，
平面
，
所以
平面
；
（2）
连接
，由
两两垂直，分别以
所在方向为
轴建立空间直角坐标系.
∴由
，
是等边三角形，可得
，
所以
，
设点
，
又由
，可得
，
由
及
平面
，所以平面
的一个法向量为
，
设平面
的法向量为
，
，
∴
，
，
令
，则
，得
.
设平面
与平面
的夹角为
，则
.
因此平面
和平面
夹角的余弦值为
.
17．在前
项和为
的等比数列
中，
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前2025 项的和
；
(3)从集合
中随机取出四个元素
（其中
），记
，
求
的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据等比数列的性质和已知条件，求出等比数列的首项和公比，进而可求出通项公式.
（2）首先根据（1）求出的数列
求出数列
，然后利用分组求和的方法求
.
（3）首先将
的表达式和不等式化简，然后判断哪些数能够使不等式成立，从而可求得概率值.
【详解】（1）设等比数列
的首项为
，公比为
，因为
，
所以
①.
因为
，所以
，化简得
②.
联立①②解得：
.
所以数列
的通项公式为
.
（2）因为
，所以
.
所以前2025 项和为：
.
（3）由题意知，
.
.
要使得
，即
.
要使不等式成立，则
任何一个都不能大于等于11，
所以需要从1-10 中选4 个数才能满足，
此时，共有
种，
所以概率为
.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，求函数在
处的切线方程.
（2）分析函数
的单调性，求函数
的最小值，根据
可证
.
【详解】（1）因为
，所以
，
则
，则
.
因为
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）
的定义域为
，
令
，得
.
令
，得
，则
在
上单调递减；
令
，得
，则
在
上单调递增.
.
因为
，所以
，即
.
16．甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为
.从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为
，若上一局甲未获胜，则下一
局甲获胜的概率为
.
(1)当
时，求甲第二局获胜的概率.
(2)设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为
.
①求
；
②记这场比赛需要进行的局数为
，求
的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)①
；②分布列见解析，期望为
.
【分析】（1）根据全概率公式即可求解,
（2）①②根据全概率公式即可求解概率，进而根据期望公式求解.
【详解】（1）设
“甲第局获胜”，其中
，依题意得
，
当
时，由全概率公式得
.
，
所以甲第二局获胜的概率为
.
（2）①甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为
，
依题意得
，解得
.
②
的可能取值为2，3.
，
所以
的分布列为
2
3
.
17．如图，在高为6 的直三棱柱
中，底面
的周长为
分别为棱
，
上的动
点.
(1)若
，证明：
平面
.
(2)求
的最小值.
(3)若
，求平面
与底面
夹角的余弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由已知，可得
，利用勾股定理的逆定理可得
，由线面垂直的判定定理即
可证得；
（2）将侧面沿
展开成矩形
，则其对角线
即为所求；
（3）设
的中点分别为
，连接
，以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，利用坐标运算分别求得平面
和底面
的一个法向量，利用公式由
表
示出
，利用二次函数的性质求出
的最大值，即为所求.
【详解】（1）因为底面
的周长为12，且
，所以
，
则
，所以
.
在直三棱柱
中，
底面
，
又
平面
，则
，
又
，
平面
，所以
平面
.
（2）将直三棱柱
的侧面沿
剪开展平成矩形
，如图所示，
其中
，所以
，
所以
的最小值为
.
（3）设
的中点分别为
，连接
，
因为三棱柱
是直三棱柱，则
.
因为
，底面
的周长为
，
所以
，所以
，则
.
以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，
又
，
则
，
，
则
.
设平面
的一个法向量为
，则
，
即
，
取
，得
.
易得底面
的一个法向量为
，
则
，
当
时，
取得最小值，
则
取得最大值，且最大值为
，
所以平面
与底面
夹角的余弦值的最大值为
.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．已知函数
在
处取得极值
.
(1)求
，
；
(2)证明：
时，
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据
，
得到方程组，求出
，检验后得到答案；
（2）作差得到
，构造
，
，求导，得到函数单调性，求出
，得到
.
【详解】（1）
，
故
且
，
解得
，
故
，
，
令
得
，令
得
，
所以
在
处取得极值
，满足要求；
（2）
时，
，
令
，
，
则
，故
在
上单调递减，
则
，
所以
，
，证毕.
16．如图，圆柱
中，
是底面圆
上的一条直径，
，
分别是底面
，
圆周上的一点，
，
，且点
不与
，
两点重合.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若二面角
为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）根据直径所对的角为直角得到
⊥
，由线面垂直得到
⊥
，从而得到线面垂直，
面面垂直；
（2）先得到
为二面角
的平面角，
为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出
平面
的法向量，由线面角的向量公式求出直线
与平面
所成角的正弦值.
【详解】（1）因为
是底面圆
上的一条直径，
所以
⊥
，
因为
⊥底面圆
，
，
所以
⊥底面圆
，
因为
底面圆
，所以
⊥
，
因为
，
平面
，
所以
⊥平面
，
因为
平面
，所以平面
⊥平面
；
（2）因为
⊥底面圆
，
圆
，
所以
⊥
，
⊥
，
所以
为二面角
的平面角，
故
，又
，所以
为等边三角形，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
，设
，故
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，
解得
，令
，得
，故
，
设直线
与平面
所成角的大小为
，
则
，
直线
与平面
所成角的正弦值为
.
17．已知椭圆
的焦距为
，且过点
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
作两条直线分别交椭圆
于
，
两点，若直线
平分
，求证：直线
的斜率为定
值，并求出这个定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）依题意得到
、
、的方程组，求出
、
即可得解；
（2）依题意直线
、
的斜率存在且不为
，设
，
，直线
的方程为
，联立直线与椭圆方程，求出
，同理可得
，即可求出
、
，即可得解.
【详解】（1）依题意可得
，解得
，
所以椭圆
的标准方程为
；
（2）依题意直线
、
的斜率存在且不为
，
设
，
，直线
的方程为
，
由
，消去
得
，
所以
，因为直线
平分
，
所以直线
、
的斜率互为相反数，
所以设直线
的方程为
，同理可得
，
因为
，
，
所以
，
又
，
所以
，即直线
的斜率为定值
.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．记
的角
的对边分别为
分别以
为边长的三个正三角形的面积依次为
，
，
，已知
．
(1)求角B；
(2)若
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）利用面积公式结合已知条件可得
，再利用余弦定理可得
，
再应用面积公式可得
，从而可求得角
；
（2）利用正弦定理结合已知条件可得
，从而可求解
，再利用余弦定理即可求得
，即可求得周长.
【详解】（1）由题意得
，
则
，即
，
由余弦定理得
，整理得
，
又因为
，所以
，
可得
，因为
，所以
（2）由
可得
，
由正弦定理得：
，则
．
则
，故
，
由余弦定理得
，
所以
，解得
，
所以
的周长为
．
16．已知函数
，其中
.
(1)若曲线
在点
处与
轴相切，求
的值；
(2)若3 是函数
的极小值点，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得
，解方程即可得出答案.
（2）对
求导，分
，
和
，讨论
的单调性，结合极小值的定义即可得出答
案.
【详解】（1）因为
的定义域为
，
所以
，
因为曲线
在点
处与
轴相切，
所以
，所以
，
则
，解得：
.
（2）因为
的定义域为
，
所以
，
当
时，
不是
的解，不合题意；
若
，则
，
令
，可得：
或
，
令
，可得：
，
所以
在
上单调递减，在
，
上单调递增，
所以
在
处取的极小值，所以
；
若
，则
，
令
，可得：
，令
，可得：
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
处取的极小值，所以
，不符合题意；
若
，则
在
上单调递增，无极小值，
综上：
.
17．下图是某校高三学生“运动与健康”评价结果的频率分布直方图，评分在区间
，
上，分别对应为A，B，C，D 四个等级．为了进一步引导学生对运动与
健康的重视，初评获A 等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原
获B 等级的学生有
的概率提升为A 等级；原获C 等级的学生有
的概率提升为B 等级：原获D 等级的学
生有
的概率提升为C 等级．用频率估计概率，假设每名学生复评结果相互独立．
(1)若初评中甲获得C 等级，乙、丙获得D 等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为C 等级的人数为
，求
的分布列和数学期望；
(2)从全体高三学生中任选1 人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是B 等级的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）先判断
的所有可能取值为0，1，2，3，然后利用独立和互斥事件概率公式，结合独立重
复试验概率公式得到分布列，然后根据期望定义计算期望值；（2）利用条件概率公式，全概率公式和贝
叶斯公式计算.
【详解】（1）
的所有可能取值为0，1，2，3，
，
∴
的分布列如下：
0
1
2
3
P
.
（2）记
“该学生复评晋级”，
“该学生初评是B”，
“该学生初评是C”，
“该学生
初评是D”，
则
，且
两两互斥，
根据题意得：
，
，
由全概率公式可得：
所以
.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．如图，在三棱锥
和
中，
和
均是以
为斜边的等腰直角三角形，平面
平面
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【分析】（1）取
的中点为
，连接
，利用面面垂直的性质得到
平面
，结合已知可
得
，进而结合已知可得
，可证结论；
（2）方法一：连接
，可得
两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面
与平面
的
法向量，利用向量法可求二面角
的正弦值；
方法二：连接
，设
，可证
为正三角形.，取
的中点为
，连接
，
与
的夹角
为二面角
的平面角，求解即可；
方法三：设二面角
为
，二面角
为
，则
，取
的中点为
，连接
，设
，可得
即为二面角
的平面角，求解即可.
【详解】（1）取
的中点为
，连接
，
则由
是以
为斜边的等腰直角三角形可知
，
平面
平面
，平面
平面
平面
，
所以有
平面
，
由已知
平面
，可得
，
出
是以
为斜边的等腰直角三角形亦可知
，
又
，所以
，
从而可得四边形
为平行四边形，因此有
，
又
平面
平面
，所以
平面
.
（2）（方法一）连接
，由
是以
为斜边的等腰直角三角形可知
，
由（1）知
平面
，知
两两垂直，以
为正交基底
，建立如图所示的空间直角坐标系
.
设
，则
，
于是
.
设平面
的一个法向量为
，则
由
，得
，令
，得
；
设平面
的一个法向量为
，则
由
，得
，令
，得
.
于是
，
设二面角
为
，则
即二面角
的正弦值为
.
（方法二）连接
，设
，由
和
均是以
为斜边的等腰直角三角形可得
1.
，由（1）知
平面
，所以
为直角三角形，从而
，
故
，即
为正三角形.
取
的中点为
，连接
，则
，又
，
平面
平面
，平面
平面
，
所以
与
的夹角为二面角
的平面角，
由（1）亦知
，于是
与
的夹解为二面角
的平面角，
即为
的补角，从而二面角
的正弦值就等于
.
连接
，在
中，
，
即二面角
的正弦值为
.
（方法三）因为
平面
平面
，所以平面
平面
，
设二面角
为
二面角
为
，则
，
取
的中点为
，连接
，
设
，由
和
均是以
为斜边的等腰直角三角形可得
，
由（1）知
平面
，所以
为直角三角形，从而
，
故
，即
为正三角形，从而
，
在
中，
，所以
，
平面
平面
，平面
平面
，
所以
即为二面角
的平面角，
在
中，
，
从而
，
即二面角
的正弦值为
.
16．如图，在
中，
，点
在边
上，且
，且
．
(1)记
，求
的取值范围；
(2)若
的面积为
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等面积法、正弦定理、二倍角公式得出
，再根据
，利用余弦函数
的性质求解；
（2）利用余弦定理得到
以及三角形面积公式，得到
，进一步得到
，再利用辅助角公式结合三角函数的值域即可求解．
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
因为
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
，所以
；
（2）由余弦定理得
，
因为
，所以
，因为
，所以
，
所以
，
令
，则
，
所以
（其中
），
所以当
时，
取得最小值
的最小值为8．
的最小值为
17．已知椭圆
以双曲线
的实轴为长轴，且过点
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线
与双曲线
交于
两点，与椭圆
交于
两点，直线
平分线
段
平分线段
.
（i）求
的值；
（ii）求直线
与椭圆
的交点构成的四边形面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）根据题意可设椭圆
的标准方程为
，代入点的坐标求得
即可；
（2）(i)利用点差法求解；（ii）根据（i）的结论，将面积表示出来，利用基本不等式求得面积最大值，
进而得到其取值范围.
【详解】（1）由
，可得其顶点为
，
则可设椭圆
的标准方程为
，
把点
代入，得到
，
所以椭圆
的标准方程为
；
（2）(i)设
.
则
，即
，
所以
，同理可得
，
所以
.
(ii)
直线
和
与椭圆
的交点分别为两组对
称点（关于原点对称），构成一个平行四边形（原点是对角线交点，对角线互相平分）
由①知，
，所以
.
如图设交椭圆于
，
交椭圆于
，
.
联立
，解得
，同理得
.
所以四边形面积
，
又
，当
或
时等号成立，
所以：
，
所以
，
因此，面积范围为：
.
