2025 年高考数学二轮复习测试卷（上海专用）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的
相应位置直接填写结果。
1．已知集合 ， ，则 ．
【答案】
【解析】因为集合 ， ，
所以 .
故答案为： .
2．已知角 的终边过点 ，则 .
【答案】
【解析】由题意可得 ，
则 .
故答案为： .3．设 ，则 ．
【答案】4
【解析】 ，
，
，
故答案为：4
4．在 中，已知 ，则 的值为 .
【答案】 /0.625
【解析】在 中，由正弦定理得 ，而 ，
因此 ，即 ，所以 .
故答案为：
5．设 ，若存在复数 满足 （ 为虚数单位），则 ．
【答案】0
【解析】设 ,则 ,
所以
所以 ,
即
故答案为：0.
6．已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为 ，则该圆锥的高为 ．
【答案】4
【解析】圆锥的底面半径 ，设其母线长为 ，则 ，解得 ，所以该圆锥的高 .
故答案为：4
7．在 的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．
【答案】
【解析】由于所有项的二项式系数之和为 ，
二项式 展开式的通项公式为 ，
令 ，所以常数项为 .
故答案为：
8．已知等比数列 中， ，则 ．
【答案】 或
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 或 ．
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ．
故答案为： 或 .
9．已知函数 的表达式为 ，则满足 的实数m的最大值为 ．
【答案】
【解析】当 时，有 ，又 定义域为 ，故 为偶函数，又当 时， 单调递增，故对 有 ，
即 ，即有 ，解得 ，
故m的最大值为 .
故答案为： .
10．如图， 是以 为直径的半圆 （不含端点）上一动点， ，且 ．若 ，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
设 ,则 ,作 交OC的延长线于点
由余弦定理
所以 ,即
,因为 ,所以
所以
所以故答案为 ：
11．设 ， ，若对任意 ，都有 成立，则 的取值范围是 .
【答案】4
【解析】由题当 时，对任意 都有 满足题意，
当 时， 恒成立 恒成立，
令 ，则 ，
因为 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ；
当 时， 恒成立 恒成立，
令 ，则 ，
因为 在区间 上恒成立，
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，所以 ，
综上， ，此时 ，所以 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，所以 ，所以对任意 ，都有 成立，所以 .
故答案为：4.
12．已知平面向量 ， 的夹角为 ， 与 的夹角为 ， ， 和 在 上的投影为x，y，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为平面向量 ， 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，
所以 与 的夹角为 ，
所以根据正弦定理可得 ， ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上的投影为 ，
在 上的投影为 ，
所以
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ,所以 的取值范围为 .
故答案为：
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且仅有一
个正确选项，考生应在答题纸相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑。
13．若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 得 ，
是 的必要不充分条件，
，
故选：B．
14．渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定
退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职
工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：
1965年 1965年 1965年 1966年
出生时间 ……
1月-4月 5月-8月 9月-12月 1月-4月
改革后法定退休年
60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 ……
龄
那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（ ）
A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁
【答案】C
【解析】设1965年5月出生的男职工退休年龄为 岁，则1966年5月出生的男职工退休年龄为
岁，
所以公差为 ，设5月出生的男职工退休年龄为 是首项为 ,公差为 的等差数列，1974年5月出生的男职工退休年龄为 .
故1974年5月出生的男职工退休年龄为62岁5个月.
故选：C.
15．假定生男生女是等可能的，设事件 ：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件 家庭中最多有一
个女孩.针对下列两种情形： 家庭中有2个小孩； 家庭中有3个小孩，下面说法正确是（ ）.
A． 中事件 与事件 ①相互独立､ 中的事件 ②与事件 相互独立
B．①中事件 与事件 不相互独立②､ 中的事件 与事件 相互独立
C．①中事件 与事件 相互独立､ ②中的事件 与事件 不相互独立
D．①中事件 与事件 不相互独立②､ 中的事件 与事件 不相互独立
【答案】①B ②
【解析】若家庭中有两个小孩，样本空间为 (男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女) ，共4种情况，
(男,女)，(女,男) (男,男)，(男,女)，(女,男) (男,女)，(女,男) ，
则 ， ， ，事件 与事件 不相互独立，AC错误；
若家庭中有三个小孩，样本空间为 (男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，
(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(女,女,女) ，共8种情况，
(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男) ，
(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男) ， (男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男) ，
， ， ，事件 与事件 相互独立，B正确，D错误.
故选：B
16．设函数 在区间I上有导函数 ，且 在区间I上恒成立，对任意的 ，有
．对于各项均不相同的数列 ， ， ，下列结论正确的是（ ）A．数列 与 均是严格增数列
B．数列 与 均是严格减数列
C．数列 与 中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列
D．数列 与 均既不是严格增数列也不是严格减数列
【答案】C
【解析】依题意，因f'(x)<0在区间I上恒成立，则函数y=f (x)在I上严格递减，
由 ， ，因数列 的各项均不相同，且 ，
若 ，则 ，即 ，即此时数列 严格递增，数列 严格递减；
若 ，则 ，即 ，即此时数列 严格递减，数列 严格递增.
综上所述，数列 与 中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列.
故选：C.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
17．（14分）
某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数 依次为1、2、3、4、5，现从一批该日用品中随
机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
1 2 3 4 5
(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；
(2)在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为 、 、 ，等级系数为5的2件日用品记
为 、 ，现从 、 、 、 、 这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），
写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
【解析】（1）因为等级系数为4的恰有3件，所以 ；等级系数为5的恰有2件，所以 ；
因为 ，所以 .
故 ， ， .
（2）从 、 、 、 、 这5件日用品中任取两件，所有可能得结果有：
， ， ， ， ， ， ， ， ， 共10种
情况.
这两件日用品的等级系数恰好相等的结果有： ， ， ， ，共4个.
因为每种结果出现的可能性相同，所以这两件日用品的等级系数恰好相等的概率为： .
18．（14分）
在直三棱柱 中， ， ， ，连接 ， 、 分别为 和
的中点．
(1)证明：直线 平面 ；
(2)求二面角 的大小．
【解析】（1）证明：如图所示：连接 ，因为 、 分别为 和 的中点，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以直线 平面 ；
（2）建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为⃗m=(x,y,z)，
则 ，即 ，
令 ，得 ，则 ，
易知平面ABC的一个法向量为： ，
设二面角 的大小为 ，
则 ，
二面角 的大小为 .
19．（14分）
为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心， ，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域
（底边 ）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设 ， ．
(1)当 时，求 的面积；
(2)求三角形区域 面积的最大值．
【解析】（1）设 与 相交于点 ，则 ，
则 ， ，
易知 等于 到 的距离，
所以
（2）过点 作 于点 ，则 ，
而 ，则三角形区域 面积为
，
设 ，因为 ，所以 ，
故 ，而 ，
则 ，故当 时， 取得最大值，
故三角形区域 面积的最大值为
20．（18分）
已知圆 ，双曲线 ，直线 ，其中 ．
(1)当 时，求双曲线 的离心率；
(2)若 与圆 相切，证明： 与双曲线 的左右两支各有一个公共点；
(3)设 与 轴交于点 ，与圆 交于点 、 ，与双曲线 的左右两支分别交于点 、 ，四个点从
左至右依次为 、 、 、 ．当 时，是否存在实数 ，使得 成立？若存在，求
出 的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意， ，所以， ，
因此，双曲线 的离心率 .（2）由直线 与圆 相切，得 ，即 ，
联立 得 ，
即 ，
该一元二次方程的判别式 ，
因此有两个不相等的实数根，
且两根之积为 ，因此两根一正一负，
即 与双曲线 的左右两支各有一个公共点.
（3）设 ，
联立 ，得 ，得 ，
由 可得 .
联立 得 ，得
且分别交于左右两支可得
又 ，又 、 、 、 四个点在同一直线上，
，
，还可得 ，
，即 ，化简后可得: ，
代入后化简可得: ，解得 ，由 ，得 .
经检验，此时 与 两支分别有交点，
为唯一满足条件的实数 .
21．（18分）
函数 的定义域为 ，在 上仅有一个极值点 ，方程 在 上仅有两解，分别为 、
，且 ．若 ，则称函数 在 上的极值点左偏移；若 ，则称函数
在 上的极值点右偏移．
(1)设 ， ，判断函数 在 上的极值点是否左偏移或右偏移？
(2)设 且 ， ， ，求证：函数 在 上的极值点右偏
移；
(3)设 ， ， ，求证：当 时，函数 在 上的极值点左
偏移．
【解析】（1）由 ，得到 ，所以 ，又 ，由 ，得到 ，又当 时， ，当 时，
，
所以 只有一个极值点，且极值点为 ，此时 ，
所以函数 在 上的极值点不偏移.
（2）因为 ， 且 ，
，
由 ，得到 或 ，则 ，
又 ， ，则 有两根，
不妨设为 ，且 ，又 ，所以 ，
又 时， ， 时， ，所以函数 在 上只有一个极值点 ，
且 ，
又 ，
所以 ，故函数 在 上的极值点右偏移.
（3）由题知， ，令 ，得到 ，
当 时， ，当 时， ， 所以 是 的极值点，
且 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
又 ， 时， ， 时， ，，
则 有两个零点，不妨设为 ，且 ，所以 ， ，
令 ，
则 在 恒成立，
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ，
故 ，又 ，
故 ，得到 ，即 ，
所以当 时，函数 在 上的极值点左偏移．
