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2025二轮复习大题规范练（一）
一、基础保分练
1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）记 的内角 所对的边分别为 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 为 边上一点， ，求 .
2．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，
，且 成等比数列.
(1)求 和 ；
(2)若 ，求数列 的前20项和 .
3．（22-23高二下·四川成都·期末）某种产品的价格 （单位：万元/吨）与需求量 （单
位：吨）之间的对应数据如下表所示：
12 11 10 9 8
5 6 8 10 11
(1)已知可用线性回归模型拟合 与 的关系，求 关于 的线性回归方程；
(2)请预测当该产品定价为6万元时需求量能否超过15吨？并说明理由．
参考公式： ， ．
4．（2025·江苏南通·一模）如图，在直三棱柱 中，D，E，F分别为AB，
BC， 的中点．(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求点E到平面 的距离．
5．（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点 ，点 在双曲线上，且其
两条渐近线相互垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点 的直线 与双曲线交于 ， 两点， 的面积为 ，求直线 的方
程.
6．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若函数 有且仅有三个零点，求 的取值范围．
二、能力增分练
7．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数 .
(1)讨论函数 在区间 上的单调性；
(2)证明：函数 在 上有两个零点．
8．（2024·河南新乡·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，且．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
9．（2024·湖北黄冈·一模）设 为数列 的前n项和，满足 .
(1)求证： ；
(2)记 ，求 .
10．（24-25高三上·重庆·开学考试）如图，三棱锥 中， 平面
， 是棱 上一点，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
11．（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为
，离心率为 ，且经过点 .
(1)求 的方程；
(2)过 且不垂直于坐标轴的直线 交 于 两点，点 为 的中点，记 的面
积为 的面积为 ，求 的取值范围.12．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会
在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解
成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联
表：
周平均锻炼时长
合
年龄
周平均锻炼时间少于4小 周平均锻炼时间不少于4小 计
时 时
50岁以下 40 60 100
50岁以上（含
25 75 100
50）
合计 65 135 200
(1)试根据 的 独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？ 精确到
0.001 ；
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人
做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不
少于4小时的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式及数据： ，其中 .
三、拓展培优练
13．（2024·江西·一模）记数列{a }中前 项的最大值为 ，数列{b }称为{a }的“ 数
n n n
列”，由所有 的值组成的集合为 ．
(1)若 ，且 中有3个元素，求 的取值范围；(2)若数列{a }，{b }都只有4项，{b }为{a }的“ 数列”，满足
n n n n
且存在 ，使得 ，求符合条件的数列{b }的个数；
n
(3)若 ，{a }的“ 数列”{b }的前n项和为 ，从 ， ， ，…，
n n
中任取3个，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为 ，求 ．
14．（2024·湖北黄冈·一模）在 中，角 所对的边分别为 .
(1)证明： ；
(2)若 成等比数列.
（i）设 ，求q的取值范围；
（ii）求 的取值范围.
15．（2025·四川巴中·模拟预测）设函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，求a的值；
(2)当 时 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明： ．
16．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面 是矩形，
， ，且平面 平面 ． 分别是 的中点．
．(1)求证： 是直角三角形；
(2)求四棱锥 体积的最大值；
(3)求平面 与平面 的夹角余弦值的范围．
17．（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知抛物线 ，准线 与 轴交于
点 为抛物线 上一点， 交 轴于点 .当 时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)设直线 与抛物线 的另一交点为 （点 在点 之间），过点 且垂直于 轴的
直线交 于点 .是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
18．（2024·山西长治·模拟预测）某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对
100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够
提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点
值代表）；
(2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布 ，其中μ近似为样本
平均数 ，σ近似为样本标准差S.
（ⅰ）利用该正态分布，求 ；
（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽
车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E（Z）；
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，
.
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，
客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动，已知硬币
出现正、反面的概率都 ，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥
控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点
（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停
在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点 的概率为 ，
试证明数列 是等比数列 ，求出数列 的通项公式，并比
较 和 的大小.
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）等价变形已知条件，得到 ，结合余弦定理即可得解.（2）法①：由余弦定理求出 ，结合正弦定理即可求得 ，最后根据
即可得解；法②：由法①得 ，在 中由正弦定理得
，又 ，从而得解 ；法③：由法①得 ，在
直角 中 ，由（1）问知 ，代入建立关于 的方程，解
方程得 ，从而得出 ；法④：由等面积法得
，建立关于 的方程，求得 ，代入 求得 ，最后结
合正弦定理即可得解.
【详解】（1） ，则
，
所以 ，
因为 ，
所以 .
（2）法①：由（1）得， ，因为 ，所以 ，
如图在 中，由余弦定理
，即 ，在 中由正弦定理 ，即 ，所以 ，
因为 ，故 ，
在 中 .
法②：同解法① ，在 中由正弦定理 ，
即 ，所以 ，
又因为 ，即 ，所以 .
法③同上 ，在直角 中 ，所以 ，
由（1）问知 ，所以 ，即
，得 即 ，所以 ，
.
法④如图由（1）知 ，则 ，
因为 ，所以
，即 ，解得 ，所以
，即 ，在 中，由正弦定理 ，即 ，解得 .
2．(1) ， ；
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项的性质可求出 ，再根据等差数列的通
项公式和前 项和公式即可求解；
（2）结合题意，由（1）的结论可得 ，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）设已知数列的公差为 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，
所以 或 ，显然 不为0，所以 ，
所以 ， .
（2）由（1）知 ，又 ，
，
，
所以 .
3．(1)
(2)当该产品定价为6万元时需求量不超过15吨，理由见解析【分析】（1）依次求出 ，代入公式计算即得 ，代
入 可得 ，即得 关于 的线性回归方程；
（2）将 代入回归方程求得需求量 吨，再与15吨比较即得.
【详解】（1）由题意得 ，
．
， ，
， ．
关于 的线性回归方程为 ．
（2）当 时，代入 可得， ．
故当该产品定价为6万元时，需求量不超过15吨．
4．(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）根据题意，由线面平行的判定定理即可证明；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可求解.
【详解】（1）因为 为直三棱柱，所以 ，
又D，E，分别为AB，BC的中点，所以 ，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）
因为 为直三棱柱，且 ，
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，且 ，则 ，
则 ， ，
由 可得 ，即 ，且 ，解得 ，
设 ，则 ，即 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，解得 ，取 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
又 ，即 ，所以点E到平面 的距离 .
5．(1)
(2) 或 ．
【分析】（1）设所求双曲线方程为 ， ，把点 代入，即可得出
答案．
（2）根据题意设直线 的方程为 ，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的
距离公式，弦长公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案．
【详解】（1）因为双曲线 的两条渐近线互相垂直，
所以双曲线 为等轴双曲线，
所以设所求双曲线方程为 ， ，
又双曲线 经过点 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线的方程为 ，即 ．
（2）根据题意可知直线 的斜率存在，又直线 过点 ，
所以直线 的方程为 ，
所以原点 到直线 的距离 ，
联立 ，得 ，
所以 且 ，所以 ，且 ，
所以 ，
所以 的面积为 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以直线 的方程为 或 ．
6．(1)
(2)
【分析】（1）利用求导，导数值大于0来求单调递增区间即可；
（2）利用函数的单调性和取值情况，分析可得 的取值范围.
【详解】（1）由 ，得 ，
令f'(x)>0，得 ，解得 ．
所以 的单调递增区间为(0,2)
（2）令 ，解得 或 ．
当 变化时，f'(x)， 的变化情况如下表所示：0 (0,2) 2
f'(x)
0 0
单调递
单调递减 1 单调递减
增
由函数 有且仅有三个零点，
得方程 有且仅有三个不等的实数根，
所以函数y=f (x)的图象与直线 有且仅有三个交点．
显然，当 时， ；当 时， ．
所以由上表可知， 的极小值为 ， 的极大值为 ，
故 ．
7．(1)在 上单调递增，在 上单调递减
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，再判断导函数值的正负即得.
（2）利用导数，结合零点存在性定理推理论证即可.
【详解】（1）因为函数 的定义域为R， ，所以函数
为偶函数，
又 ，且当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
又函数 为偶函数，所以 在 上单调递减，
综上，函数 在 上单调递增，在 上单调递减．（2）证明:由（1）得， 在 上单调递增，又 ， ，所
以 在 内有且只有一个零点，
当 时，令
则 ，当 时， 恒成立，即 在 上单调递减，
又 ， ，则存在 ，使得 ,
且当 时， ，即 ，则 在 上单调递增，
，故f (x)在 上没有零点,
当 时，有 ，即 ，则 在 上单调递减，
又 ，所以 在 上有且只有一个零点，
综上，函数 在 上有2个零点．
8．(1)
(2) ．
【分析】（1）根据题意，由余弦定理求得 ，结合正弦定理得到 ，
即可求解；
（2）根据题意，由余弦定理得 ，结合基本不等式，求得 ，利
用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）解：因为 ，
由余弦定理可得 ，
由正弦定理可得 ，所以 ，
又因为 ，所以 ．
（2）解：因为 且 ，由余弦定理得 ，即
又因为 ，当且仅当 时，等号成立，
即 ，解得 ，
所以 的面积 ，
即 面积的最大值为 ．
9．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，得到 时，可得 ，两式相减得 ，得到数
列 为等比数列，即可得证；
（2）由（1）求得 ，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为数列 的前n项和，满足 ，
当 时，可得 ，
两式相减得 ，即 ，所以 ，令 ，可得 ，解得 ，
所以数列 构成首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 的图象公式为 .
（2）解：由（1）知 ，可得 ，
所以 ，
则
.
10．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据 的面积相等，得到 再由 平面 证得
结合线面垂直的判定定理，即可证得 平面 ；
（2）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量 和平面 的法向
量为 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：因为 ，所以 ，
由 ，即 ，
又因为 ，可得 为 边上的高，所以
因为 平面 且 平面 所以
又因为 且 平面 ，所以 平面 .（2）解：因为 平面 且 ，
以 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为 ，可得 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
故 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用离心率公式以及点在椭圆上即可求解；
（2）解法一：设 ，利用三角形的面积公式，将面积之比表示为点
的纵坐标之比，利用韦达定理可求出 的纵坐标之比的取值范围，从而可求解；解法二：设 ，将面积之比表示为点A,B的纵坐标之比，利用韦达定理可
求出A,B的纵坐标之比的取值范围，即可求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为点 在椭圆上，所以 .
即 ，解得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）
解法一：
由（1）得 ，依题意设 ，
由 消去 ，得 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
设 ，则 ，
，由 得， ，
即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
令 且 ，
则 ，解得 ，且 ，
所以 ，所以 的取值范围为(0,2).
解法二：
由（1）得 ，依题意设 ，
由 消去 ，得 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
所以 ，
设 ，则 ，，
令 且 ，
则 代入 可得，
消去 得： ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，且 ，
所以 ，所以 的取值范围为(0,2).
12．(1)有关联
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据二联表中数据，求解卡方，即可与临界值比较作答，
（2）根据抽样比可得抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有2人，不少于4小时
的有3人，即可利用超几何分布的概率公式求解.
【详解】（1）零假设 ：周平均锻炼时长与年龄无关联.
由 列联表中的数据，可得 ，
.
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于 .
所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异.（2）抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有 人，不少于4小时的有
人，
所以 所有可能的取值为 ，
所以 ， ， ，
所以随机变量 的分布列为：
1 2 3
随机变量 的数学期望
13．(1)
(2)20
(3)
【分析】（1）根据 中有3个元素结合数列单调性定义可得 ， ，从而可得参
数的取值范围.
（2）就 可得{a }中必有 ，就 在数列{a }中的不同位置分类讨论后可得{b }的个数.
n n n
（3）根据特殊角的三角函数结合{b }可得其通项，从而可求 ，
n
【详解】（1）因为 中有3个元素，故{a }不是单调数列，
n
因为 ，
所以 ，当 时， ，当 时，
故当 时{a }为增函数， 时{a }为减数列，
n n
因为 中有3个元素，所以 ， ，即 ， ，
所以 ，解得 ，所以 的取值范围是 ．
（2）若 ，则 ，{b }有1个，
n
①若 且 ，则 ， 有3种可能，{b }有3个，
n
②若 且 ， ，则 ，
若 则 ，若 ， ， 的值可能是4或6，
若 ，则 ， 的值可能是2或4或6，
符合条件的{b }有6个．
n
③若 ， ， 均不为8，则 ， ，
， ， 的值可能分别为：2，2，2；对应的 ， ， 的值可为 ；
， ， 的值可能分别为2，2，4；对应的 ， ， 的值可为 ；
， ， 的值可能分别为2，2，6；对应的 ， ， 的值可为 ，
， ， 的值可能分别为2，4，4；对应的 ， ， 的值可为 ，
， ， 的值可能分别为2，4，6；对应的 ， ， 的值可为 ，
， ， 的值可能分别为2，6，6；对应的 ， ， 的值可为 ，
， ， 的值可能分别为4，4，4；对应的 ， ， 的值可为 ，， ， 的值可能分别为4，4，6；对应的 ， ， 的值可为 ，
， ， 的值可能分别为4，6，6；对应的 ， ， 的值可为 ，
， ， 的值可能分别为6，6，6；对应的 ， ， 的值可为 ，
故此时符合条件的{b }有10个，
n
综上，符合条件的{b }共有 ，综上得符合条件的{b }有20个．
n n
（3）由题意得
所以 ， ， ，
所以 ，能被4整除，
，不能被2整除，
，能被2整除，不能被4整除，
，不能被2整除，
所以 ， ，…， 中能被2整除，但不能被4整除的有n个，
， ， ， ，
．
【点睛】思路点睛：数列新定义问题，应该根据定义得到新数列的形成过程，将该过程与
数列常见性质（如单调性等）结合在一起，另外数列的最值或诸项之间的大小关系往往和
数列的单调性相关.
14．(1)证明见解析(2)(i) ；(ii)
【分析】（1）利用二倍角公式及同角三角函数的平方关系证明即可；
（2）（i）利用三角形三边关系建立不等式组解不等式即可；（ii）利用第一问及第二问第
一小问的结论，结合正余弦定理、对勾函数的单调性计算即可.
【详解】（1）易知 ，所以
，
则对于 ，即左侧等式成立，
又 ，两侧同时除以 ，
所以 ，即右侧等式成立，证毕；
（2）（i）由题意，设公比为 ，知 ，
根据三角形三边关系知： ，
解之得
（ii）由（1）及正弦定理、余弦定理知：
，由对勾函数的性质知： 在 上单调递减，在 上单调递
增，
所以 ，则 ，
即 的取值范围为 .
15．(1) ；
(2) ；
(3)证明见解析．
【分析】（1）利用导数的几何意义求解；
（2）求出导函数 ，并设 ，求得 ，由于 ，
因此根据 ， 以及 分类讨论 是否恒成立，从而得参数范
围；
（3）由（2）不等式变形得 ，再用 代 后变形及放缩得
，然后令 后相加可证．
【详解】（1） ，由题意曲线 在点 处的切线方程为
，
则 ，解得 ；
（2） ， ，
，令 （ ），则 ，当 ，即 时， ， 即 是 上的增函数，因此
，
是增函数，所以 ，不合题意，舍去；
当 即 时， ， 即 是 上的减函数，所以
，
所以 是 上的减函数，从而 恒成立，
当 即 时， ，
时， ， 在 递增， 时， ， 在
递减，
又 ，所以 时， 恒成立，即 恒成立，此时 在
上递增，因此 ，与题意不合，舍去，
综上 ．
（3）由（2）知 时， ，即 ，从而 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
此不等式中分别令 得
， ， ， ，
将这 个不等式相加得 ．
【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究不等式恒成立问题，难点在于第（3）小题，关键是利用（2）中不等式变形及不等式的性质得出
，然后分别令 后相加得证．
16．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）设平面PAB 平面PCD ，由面面垂直的性质定理以及线面平行的性质定
理即可得PE⊥PF，则△PEF是直角三角形；
（2）求出P到平面ABCD的最大距离即可得四棱锥P―ABCD体积最大值；
（3）利用空间向量法可求平面PEF与平面PBC夹角 余弦值的表达式，再利用换元法以
及导数的知识可得最值.
【详解】（1）设平面 平面PCD ，
由于 ， 平面ADC， 平面ADC，
因此 平面PDC，而 平面APB，平面 平面 ，
因此 ，而 ，因此 ．
而平面 平面PCD，平面 平面 ， 平面 ，
因此 平面PDC，而 平面PDC，因此 .
故△PEF是直角三角形．
（2）由于 ， ，因此P是以EF为直径半圆上的点．
而 ， ， 平面PEF，
因此 平面PEF，而AB 平面ABCD，
因此平面 平面ABCD．
故P到平面ABCD的最大距离为 ，
四棱锥 体积最大为 ．
（3）设EF中点为O，作过O垂直EF的直线m．设平面PEF与平面PBC夹角为 ．
以O为原点，OE，m，过O垂直于平面ABCD的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直
角坐标系 ．
则 ， ， ， ，并设 ．
平面PEF的一个法向量为 ，
， ，
设平面PBC的法向量为 ，因此 ，可取
，不妨设 ，
， ，因此 随 增大而增大
因此 ．
【点睛】方法点睛：涉及最值问题时，若无法利用函数的性质以及基本不等式解决，可以
考虑使用导数进行求解.
17．(1)
(2)存在，
【分析】（1）由于 ，所以四边形 为平行四边形， 得到 代入抛物线方程，解出 即可．
（2） ，即 ．设直线 方程，与抛物线联立方程组，
用韦达定理，得到 .将式子 线段长度全部用坐标表示，消元
后，结合韦达定理的结论，即可求解．
【详解】（1）因为当 时， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 即 所以
将 代入 ，得 ，解得
所以抛物线 的方程为 .
（2）如图，
由题意，得 .设直线 斜率不能为0，
故其方程为 ，则 .
由 ，得 ，
所以 .假设存在实数 ，使得 ，即 .
由题意，知 ，
所以 .
又 ，
所以 ，
即存在实数 ，使得 成立.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
18．(1)300
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）
(3)证明见解析， ，
【分析】（1）根据平均数的求法求得正确答案.
（2）（ⅰ）根据正态分布的对称性求得正确答案.
（ⅱ）根据二项分布的知识求得正确答案.（3）根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得 ，利用差比较法比较 和 的
大小.
【详解】（1） .
（2）（ⅰ） .
（ⅱ））∵Z服从二项分布 ，∴ .
（3）当 时， ，
.
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列，
.
.
累加得：
.
∴
∵ ，∴ .
注：比较 和 的另一个过程： .
