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2025二轮复习大题规范练（八）
一、基础保分练
1．（22-23高二下·河南·期中）已知函数 在点 处的切线方程为
．
(1)求实数 和 的值；
(2)求 在 上的最大值（其中e是自然对数的底数）．
2．（2024·广西南宁·一模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 周长的最大值．
3．（2024·河北保定·二模）已知数列{a }的前n项和为 ，且 .
n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)若数列{b }满足 ，求{b }的前 项和 .
n n
4．（2024·浙江·二模）如图，在四棱锥 中，四边形ABCD是边长为2的正方形，
平面 平面ABCD， ，点E是线段AD的中点， .
(1)证明： //平面BDM；
(2)求平面AMB与平面BDM的夹角.5．（23-24高三上·上海静安·期末）已知双曲线 ： ，点 的坐标为 ．
(1)设直线 过点 ，斜率为 ，它与双曲线 交于 、 两点，求线段 的长；
(2)设点 在双曲线 上， 是点 关于 轴的对称点．记 ，求 的取值范围．
6．（2024·全国·模拟预测）第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰
雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率
分布直方图如图所示，其中满意度评分在 的游客人数为18．
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)从抽取的50名游客中满意度评分在 及 的游客中用分层抽样的方法抽取5
人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在 的概率．
二、能力增分练
7．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)当 时，求 的单调区间和极值；
(3)若对任意 ，有 恒成立，求 的取值范围．
8．（2023·广东广州·一模）记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 .已知.
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 的面积.
9．（2024·湖北·二模）已知各项均不为0的数列 的前 项和为 ，且
．
(1)求 的通项公式；
(2)若对于任意 成立，求实数 的取值范围．
10．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥 为底面 的中心．
(1)若 ，求 绕 旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的大小．
11．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线 ： 的左右焦点为 ， ，其右
准线为 ，点 到直线 的距离为 ，过点 的动直线交双曲线 于 ， 两点，当直线
与 轴垂直时， ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线 与直线 的交点为 ，证明：直线 过定点．12．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地
区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围学业成绩
优秀 5 44 42 3 1
不优秀 134 147 137 40 27
(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
(3)是否有 的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有
关？
三、
（附： 其中 ， ．）
拓展培优练
13．（2023·山东济南·三模）已知函数 .
(1)讨论 的极值点个数；
(2)若 有两个极值点 ，直线 过点 .
（i）证明： ；
（ii）证明： .
14．（23-24高二下·重庆·阶段练习）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解
的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离
之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均小于 时，使
得 的点 即为费马点；当 有一个内角大于或等于
时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 的内角 所
对的边分别为 ，且
(1)求 ；(2)若 ，设点 为 的费马点，求 ；
(3)设点 为 的费马点， ，求实数 的最小值．
15．（2024·江苏南通·二模）已知数列 的前n项和为 ， ， .
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和；
(3)是否存在正整数p，q（ ），使得 ， ， 成等差数列？若存在，求p，q；
若不存在，说明理由.
16．（2023·安徽安庆·模拟预测）如图，平行六面体 中，点P在对角线
上， ，平面 平面 ．
(1)求证：O，P， 三点共线；
(2)若四边形 是边长为2的菱形， ， ，求二面角
大小的余弦值．
17．（2024·上海·高考真题）已知双曲线 左右顶点分别为 ，过点
的直线 交双曲线 于 两点.
(1)若离心率 时，求 的值．(2)若 为等腰三角形时，且点 在第一象限，求点 的坐标．
(3)连接 并延长，交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范围．
18．（2024·广东广州·一模）某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个
团队由 位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某
成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力
去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯
关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，
该团队接力闯关活动结束.已知 团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为 和 ，
且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.
(1)若 ，用 表示 团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求 的均值；
(2)记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，
求.
