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大题保分练 4
1．(2022·洛阳模拟)已知数列{a}的前n项和为S，且4a＝3S＋2.
n n n n
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)设b＝a＋log a，求数列{b}的前n项和T.
n n 2 n n n
解 (1)∵4a＝3S＋2，①
n n
∴当n＝1时，4a＝3a＋2，即a＝2，
1 1 1
当n≥2时，4a ＝3S ＋2.②
n－1 n－1
由①－②得4a－4a ＝3a，即a＝4a ，
n n－1 n n n－1
∴数列{a}是以2为首项，4为公比的等比数列．
n
∴a＝2×4n－1.
n
(2)由(1)知log a＝log (2×4n－1)＝log 22n－1
2 n 2 2
＝2n－1，
∴b＝a＋log a＝2×4n－1＋2n－1，
n n 2 n
∴T＝＋＝＋n2.
n
2．(2022·湖北新高考协作体联考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝135°，BD＝
CD＝.
(1)求sin∠CBD的值；
(2)若△ABD的面积为4，求AD的长．
解 (1)在△BCD中，由正弦定理知，
＝，
所以BD·sin∠CBD＝CD·sin∠BCD，
因为∠BCD＝135°，BD＝CD＝，
所以sin∠CBD＝.
(2)在△BCD中，∠BCD＝135°，则∠CBD为锐角，
因为sin∠CBD＝，
所以cos∠CBD＝，
在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝135°，
则∠CBA＝45°，
所以sin∠ABD＝sin＝，显然∠ABD为锐角，
所以cos∠ABD＝，
因为S ＝AB·BD·sin∠ABD＝4，
△ABD
所以AB＝4，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD＝10，
所以AD＝.
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(4,0)，短轴长为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点T(0,1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AT的中点为P，线段BT的中点为
Q，且|OP|＝|OQ|(O为坐标原点)，求所有满足条件的直线l的方程．
解 (1)由题意知2b＝4，c＝4，
则b＝2，a2＝b2＋c2＝20，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)易知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝kx＋1.
联立
消去y得(1＋5k2)x2＋10kx－15＝0，
则Δ＝400k2＋60>0.
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝－，
1 2
∵|OP|＝|OQ|，
∴2＋2＝2＋2，
即(x－x)(x＋x)
1 2 1 2
＝－k(x－x)[k(x＋x)＋4]．
1 2 1 2
∵x≠x，
1 2
∴x＋x＋k2(x＋x)＋4k＝0，
1 2 1 2
∴－－＋4k＝0，
解得k＝0，k＝，k＝－，
1 2 3
∴满足条件的直线l的方程为y＝1，y＝x＋1和y＝－x＋1.
4．(2022·商丘模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极
点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与x轴、y轴的交点分别为点A和点B，P为曲线C上的任意一点，求△ABP的
面积的最小值．
解 (1)由直线l的参数方程消去参数t，得直线l的普通方程为2x＋3y－6＝0；由ρ2＝得ρ2＋3ρ2sin2θ＝4，
则x2＋4y2＝4，
所以曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.
(2)由(1)可知A(3,0)，B(0,2)，设P(2cos θ，sin θ)，
则点P到直线2x＋3y－6＝0的距离为d＝＝，其中tan φ＝，
当sin(θ＋φ)＝1时，d ＝，
min
又|AB|＝＝，
所以△ABP的面积的最小值为|AB|·d ＝.
min
