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2025二轮复习大题规范练（六）
一、基础保分练
1．（2024·陕西安康·模拟预测）近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．
A，B两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下：
A公司 3 2 1
B公司 2 2 2
利润率 ，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变．
(1)比较A，B两公司过去6个月平均每月利润率的大小；
(2)用频率估计概率，且假设A，B两公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个
月A，B两公司至少有一家盈利的概率．
2．（2024·全国·模拟预测）已知F是抛物线E： 的焦点， 是抛物
线E上一点， 与点F不重合，点F关于点M的对称点为P，且 ．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若过点 的直线与抛物线E交于A，B两点，求 的最大值．
3．（2024·广西桂林·模拟预测）如图，几何体 中， 和 均为等边三角
形，平面 平面 ， 为 中点．
(1)证明： 与 不是异面直线；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．4．（2024·四川凉山·三模）如图，点 均在x轴的正半轴上， ， …，
分别是以 ， ，…， （ ）为边长的等边三角形，且顶点
均在函数 的图象上．
(1)求 ， ， 的值，并写出 的通项公式（不用证明）；
(2)求数列 的前n项和 ．
5．（2024·河南濮阳·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，设
满足条件 和 ．
(1)求角 和 ；
(2)求 ．
6．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的图象在(1,f (1))处的切线方程；
(2)若函数 在(1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围.
二、能力增分练
7．（2024·广东佛山·三模）随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安
全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动
“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午
餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
王同学 9天 6天 12天 3天
张老师
6天 6天 6天 12天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望 ；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，
，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情
况下去该餐厅就餐的概率要大，证明： ．
8．（2024·吉林长春·模拟预测）对于椭圆： ，我们称双曲线：
为其伴随双曲线．已知椭圆 （ ），它的离心率是其伴随
双曲线 离心率的 倍．
(1)求椭圆 伴随双曲线 的方程；
(2)点 为 的上焦点，过 的直线 与 上支交于 ， 两点，设 的面积为 ，
（其中 为坐标原点）．若 ，求 ．
9．（2024·福建·模拟预测）如图，在圆锥 中，高 ，底面圆 的直径 ，
是 的中点，点 在圆 上，平面 平面 ．(1)证明： ；
(2)若点 是圆 上动点，求平面 与平面 夹角余弦值的取值范围．
10．（2024·广西河池·模拟预测）已知在正项数列 中， ，点 在双
曲线 上.在数列 中，点 在直线 上，其中 是数列 的前
项和.
(1)求数列 的通项公式并求出其前 项和 ；
(2)求数列 的前 项和 ；
11．（2022·海南·模拟预测）在① ，②
这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.
问题：在 中，内角 所对的边分别为 ， ， ， ，
，且_____________，求 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
12．（2024·河南·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的极值；(2)若 ，当 时， 恒成立，求 的取值范围.
三、拓展培优练
13．（2024·云南大理·模拟预测）某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决
赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为 ，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为 ，乙与丙
比赛时，乙获胜的概率为 .
(1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局
比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比
赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比
赛胜利，比赛结束.假设 ，且每局比赛相互独立.
（ⅰ）求三人总积分为2分的概率；
（ⅱ）求比赛结束时，三人总积分 的分布列与期望
(2)若 ，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的
最优指定策略
14．（2024·广西桂林·模拟预测）已知椭圆C： 过定点 ，过点 的两
条动直线交椭圆于A(x ,y ),B(x ,y )，直线 的倾斜角互补， 为椭圆C的右焦点.
1 1 2 2
(1)设 是椭圆 的动点，过点 作直线 的垂线 为垂足，求 .(2)在 中，记 ，若直线AB的斜率为 ，求 的最大值.
15．（23-24高三下·河北沧州·阶段练习）如图，在直三棱柱 中，△ 为边
长为2的正三角形， 为 中点，点 在棱 上，且 .
(1)当 时，求证 平面 ；
(2)设 为底面 的中心，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值，并求取得
最大值时 的值.
16．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知正整数列 满足 ， 且有 对任意正
整数 恒成立.
(1)求证: 对任意 ， 均为偶数；
(2)记 ，求证： .
17．（2024·江苏南通·模拟预测）解二元一次方程组是数学学习的必备技能.设有满足条件
的二元一次方程组 .
(1)用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解；
(2)通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中 的系数 所唯一确定的一个数，按照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表 ，由此可以看出
是这个数表中左上到右下对角线上两个数的乘积减去右上到左下对角线上两个
数的乘积的差，称 为该数表的二阶行列式，记为 .当 ≠0时，
二元一次方程组 有唯一一组解.同样的，行列式 称为三阶行列式，
且 = .
（i）用二阶行列式表示方程组 的两个解；
（ii）对于三元一次方程组 ，类比二阶行列式，用三阶行列式推导
使得该三元一次方程组有唯一一组解的条件（结论不得使用行列式表达），并用三阶行列
式表示该方程组的解.
(3)若存在 ，使得 ，求 的取值范围.
18．（24-25高三上·江苏·开学考试）已知函数 ，其中 是自然对数
的底数．
(1)当 时，求 在 上的值域；(2)当 时，讨论 的零点个数；
(3)当 时，从下面①和②两个结论中任选一个进行证明．
① ；② ．
参考答案：
1．(1) 公司过去6个月平均每月的利润率大于B公司过去6个月平均每月的利润率；
(2) .
【详解】（1）A公司过去6个月平均每月的利润率为 ，
B公司过去6个月平均每月的利润率为 ，
因为 ，
所以A公司过去6个月平均每月的利润率大于B公司过去6个月平均每月的利润率．
（2）A公司过去6个月盈利的频率为 ，
B公司过去6个月盈利的频率为 ，
用频率代替概率，可知A，B两公司未来某个月盈利的概率分别为 ．
设A，B两公司盈利分别为事件 ， ，由题知 与 相互独立，
所以所求概率为 ．
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用垂直可求 的坐标，利用对称可得抛物线的方程；
（2）先求出 的坐标，利用数量积得 的表达式，结合二次函数可得最值.
【详解】（1）∵ ，点N与点F不重合，∴ ，∴ ．
∵点F关于点M的对称点为P，∴ ，（中点坐标公式）．
∴ ，得 ，
∴抛物线E的标准方程为 ．
（2）由（1）知F(0,1)，
易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为 ，代入 ，整理得，
，
，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ．
1 1 2 2
∵ ，
∴
，
当 时， 取得最大值，为 ．
3．(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）想证明不是异面直线，就是要证明 这四点共面，根据线面垂直的
判定定理、线面垂直的性质、等腰三角形的性质，结合平面内垂直的性质进行证明即可；（2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）连接 ，由 为等边三角形， 为 中点，
得 ，
又 平面 ，
则 平面 平面 ，于是 ；
而 ， 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，于是
又 平面 ，因此 平面 ，
设平面 与直线 交于点 ，则 ，显然 平面 ，
在平面 内，过直线 外一点A有且仅有一条直线与 垂直，
所以 与 重合，即有 四点共面．
故 与 不是异面直线；
（2）由（1）知，平面 平面 ，在平面 内过点 作 ，
而平面 平面 ，则 平面 ，直线 两两垂直，
以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
由平面 平面 ，平面 平面 平面 平面 ，
而 平面 ，则 ，由 和 均为等边三角形，
得 ，由 ，得 ，
于是 ，
则 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
设直线 与平面 夹角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
4．(1) ， ， ；
(2)
【分析】（1）结合图象，通过计算点 的坐标，依次求出 ，推测出数列
{a }通项,再运用等差数列的定义证明{a }为等差数列，求出其通项；
n n
（2）写出 的表达式并化简，运用裂项相消法求和即得.
【详解】（1）第一个等边三角形顶点坐标 代入 得 ，
将点 坐标代入 ，解得 ，将点 坐标代入 解得 ，故推测： .
下面提供证明：
依题意，点 ，（ ）在 上，
可得， ①；
又 在 上，
可得， ②，
由②-①， ，因 ，则得， ，（ ），
即{a }为首项是 ，公差是 的等差数列，故 .
n
（2）由（1）得 ，
故
．
5．(1) ，
(2) ．
【分析】（1）先利用余弦定理求出 ，结合条件利用正弦定理化边为角可得答案；
（2）先根据倍角公式求出 ，再利用两角和的余弦公式可求答案.【详解】（1）由余弦定理得 ．因为 ，所以 ．
由已知条件，应用正弦定理
，
即 ，所以 ．
（2）因为 ，所以 ．又 ，
所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
6．(1)
(2) .
【分析】（1）求出 ，切点为 ，直接写出切线方程；
（2）转化为f'(x)≥0对于x∈(1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围.
【详解】（1）当 时， ， ，
， ， ，
所以 的图象在 处的切线方程为： .
（2） ，
若函数 在(1,+∞)上单调递增，则f'(x)≥0对于x∈(1,+∞)恒成立，
即 对于x∈(1,+∞)恒成立，
令 ，当 时， ，
则函数 在(1,+∞)上单调递增，所以 ，
故 .
7．(1)
(2)分布列见解析，
(3)证明见解析
【分析】（1）运用古典概型求概率即可．
（2）根据已知条件计算简单离散型随机变量的分布列及期望．
（3）运用条件概率及概率加法公式计算可证明结果．
【详解】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，
因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为 ，
所以 ．
（2）由题意知，王同学午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.3，
王同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1，
张老师午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2，
张老师午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.4，
记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为1、2，
所以 ， ，
所以X的分布列为
X 1 2
P 0.1 0.9
所以X的数学期望
（3）证明：由题知 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
即： ，
所以 ，
即 .
8．(1)
(2)
【分析】（1）设椭圆 与其伴随双曲线 的离心率分别为 ， ，依题意可得 ，
，根据离心率公式得到方程，求出 ，即可得解；
（2）设直线 的斜率为 ，A(x ,y )，B(x ,y )，直线 的方程 ，联立直线与双
1 1 2 2
曲线方程，消元、列出韦达定理，求出 ，由 ，求出 ，再由
可得 ，即可得解.
【详解】（1）设椭圆C与其伴随双曲线 的离心率分别为 ， ，
依题意可得 ， ，即 ，
即 ，解得 ，所以椭圆C： ，
则椭圆C伴随双曲线 的方程为 ．
（2）
由（1）可知 ， ，
设直线l的斜率为k， ， ，则直线l的方程 ，
与双曲线 联立并消去y，得 ，
则 ，
所以 ， ，则 ，
又 ，
又 ，解得 或 （舍去），
又 ，
所以，
因为 ，所以 ．
9．(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）在平面 内过 作 ，以 为原点，建立空间直角坐标系，借助
面面垂直求出平面 的法向量，再计算 即可得证.
（2）设出点 的坐标，求出平面 的法向量，再利用面面角的向量求法求出夹角余弦
的函数关系即可求出范围.
【详解】（1）在平面 内过 作 ，而 平面 ，
以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ，设 ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得
，而平面 的法向量为 ，平面 平面 ，则 ，解得 ，
于是 ，而 ，则 ，所以 .
（2）设点 ，显然 ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
由（1）知，平面 的一个法向量 ，设平面 与平面 夹角为 ，
于是 ，
所以平面 与平面 夹角余弦值的取值范围 .
10．(1) ， .
(2)
【分析】（1）由已知有 ，根据等差数列定义写出通项公式和前n项和公式；
（2）由题设 ， ，作差整理得 ，再结合等比数
列求和公式即可求解
【详解】（1）由点 在 上，则 .
数列 是以2为首项，1为公差的等差数列.
所以 ， .
（2）因为点 在直线 上， ①， ②，
两式相减，得 ，则 .由①式，令 得 ，故 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以
11．
【分析】根据向量运算可得 .选择条件①：整理可得 ，利用正弦
定理可得 ，求得 ，利用余弦定理运算求解；选择条件②：整理可得
，利用正弦定理可得 ，求得 ，利用余弦定理运算求解；
【详解】因为 ，可知角A是钝角，
又因为 ，则 ，可得 .
选择条件①：
因为 ，即 ，
化简得 ，即 ，
由正弦定理得 .
由 ，解得 ，
由余弦定理可得 ，所以 .
选择条件②：
因为 ，由正弦定理可得 ，
整理可得 ，即 .由正弦定理得 ，由 ，解得 ，
由余弦定理可得 ，所以 .
12．(1) 的极大值为 , 的极小值为 ．
(2) , ．
【分析】（1）求出函数的导数，进而可得函数单调性，根据导数与极值的关系，即可求得
答案；
（2）将 化为 ，由此令 ，则
，则原问题转化为 在 上单调递增，继而结合导数与函数单
调性的关系，即可求解．
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
则 ，
令f'(x)>0，则 或 ；令f'(x)<0，则 ；
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
故函数 的极大值为 ，
的极小值为 ．
（2）不妨设 ，
因为 对一切 都成立，所以 对一切 都成立，
令 ，则 ，定义域为 ，
则原问题转化为 在 上单调递增；
又 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，需 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
对于 ，图象过定点 ，对称轴为 ，
故要使得 在 上恒成立，
需满足 且 ，
解得 ，
综合可得 ，即 的取值范围为 , ．
【点睛】关键点点睛：由 对一切 都成立，转化为
对一切 都成立，构造 ，将原问题转化
为 在 上单调递增，利用导数求解.
13．(1)（ⅰ） ；（ⅱ）分布列见解析，数学期望为
(2)乙和甲打第一局
【分析】（1）（ⅰ）列举出可能事件，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件
概率的加法公式即可得解；（ⅱ）列举出总积分，根据各个积分计算出概率，再根据期望
公式即可求解；
（2） 设事件 为“第一局乙对丙最终乙获胜”， 为“第一局乙对甲最终乙获胜”，为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，比较 大小即可判断.
【详解】（1）（ⅰ）由题意可知，两场比赛后结束，即甲或乙连续获得两场胜利，有两种
情况， ；
（ⅱ）由题意可知， ，
所以 ，
，
，
所以三人总积分 的分布列为
2 3 4
0.6 0.16 0.24
所以 .
（2）设事件 为“第一局乙对丙最终乙获胜”， 为“第一局乙对甲最终乙获胜”，
为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，其中 包含三种情况，
第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜；
第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜；
第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜，
故 ；
同理可得 ；
；
显然 ，
故 ，，
由于 ，故 ，
所以 ，故乙的最优指定策略是让乙和甲打第一局.
14．(1)
(2)
【分析】（1）先求出椭圆方程，再设动点 ，由距离公式求解；
（2）由（1）的结论及结合正弦定理得 ，又由 得
，进行求解．
【详解】（1）因为点P在椭圆C上，所以 ，解得 ；
所以椭圆C的方程为 ，故 ，
设动点 ，则 ，所以 ，
故 ， ，
所以 ．
（2）不妨设 ， 的外接圆半径为 ，则由正弦定理得 ，
所以 .
如图，过 作直线 的垂线，垂足为 ，
过 作 于点 ，由（1）的结论可得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ，得 ，
则 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时等号，
所以 的最大值为 .
【点睛】关键点点睛：在第2问中，要利用第1问中的 ，结合进行求解．
15．(1)证明见解析
(2)最大值为 ，此时
【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐坐标系，利用向量证明线面垂直即可.（2）求出直线对应的方向向量和平面对应的法向量，将线面角用向量坐标表示进而求最值.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为三棱柱 为直棱柱，且△ 为正三角形，
所以以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系，
根据已知条件得
，
当 时， ， ，
，
，
，即 ，
又 ，而 平面 ， 平面 .
（2）由（1）知 ， ，
为△ 的中心， ，
设平面 的法向量 ，则，令 ，则
设直线 与平面 所成角为 ，则
令 ，则 ，
此时 ，
(当且仅当 即 时取等号)，
，
即直线 与平面 所成角正弦的最大值为 ，此时 的值为
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）借助题目所给条件可得 ，结合数列前 项和与数列的关
系即可得到 ，再利用累乘法计算即可得数列通项公式，再结合偶数性质即可得
证；
（2）得到数列 后结合放缩法可得 ，再借助等比数列求和公式与错位相减法求和即可得证.
【详解】（1） ，即 ，
则 ，
即有 ，整理得 ，
则有 ， ， ， ，
即 ，
即 ，又 ，则 ，
若 为奇数，则 为偶数，此时 为偶数，
若 为偶数，则 亦为偶数，
故对任意 ， 均为偶数；
（2）由 ，
则 ，
故 ，
故 ，
其中 ，，
则 ，
则 ，
则 ，
则
，
则 ，
即有 .
17．(1)
(2)（i） ；（ii）推导见解析，答案见解析(3)
【分析】（1）利用消元法计算即可求解；
（2）（i）由（1），结合行列式的定义直接得解；（ii）利用类比的思想可得三阶行列式
，进而可表示该方程组的解；
（3）由行列式的定义可得 ，令 （
），则 ，分类讨论t的取值范围，结合对勾函数的性质即可求解.
【详解】（1）该方程组的两个解为 ；
（2）（i）由（1）得 ，
所以该方程组的两个解为 ；
（ii）类比二元一次方程组，将三元一次方程组中 的系数排成一个数表，则可以得到三阶行列式 .
令 ，当 时，该三元一次方程组有唯一一组解，
即得该三元一次方程组有唯一一组解的条件为
，
用三阶行列式表示该方程组的解为
， ， ；
（3） ，
令 ，则 ，
其中 ，
因为 ，所以 ， ，
故 ，
当 时， 无解，不合要求；
当 时， ，
其中 在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时， 取得最小值，最小值为2，故 ；当 时， ，
其中 在 上单调递减，
故当 时， 取得最大值，最大值为-2，故 ，
因为存在 ，使得 ，所以 或 ，
综上所述，m的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：解答第（2）问的关键是利用类比的思想得到三阶行列式，即可解决；
解答第（3）问的关键是利用换元法将原不等式转化为 （ ），结合分
类讨论的思想即可解决.
18．(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导后，结合 可得 在 上恒成立，即可得 的
单调性，即可得其值域；
（2）分 及 进行讨论，当 时，利用函数单调性可得其有唯一零点，当
，结合函数的单调性与零点的存在性定理可得 在 上有且仅有一个
零点，再构造函数结合导数研究单调性后可得 在 上有一个零点；
（3）选①时：设 ，分 及 进行讨论，结合（2）中所
得并利用导数讨论函数单调性后即可得证；选②时：设 ，分
及 进行讨论，再多次求导结合函数的单调性计算即可得证.
【详解】（1）当 时， ， ，∵ ，∴ ，
∴ 在 上单调递减，
又 ， ，
∴ 在 上的值域为 ；
（2） ，令 得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，则 在 上有且仅有1个零点．
当 时，令 ， ，
∴ 在(0,1)上单调递增，
∴ ，即 ，又 ，
∴ 在 上有1个零点，又 ，
令 ，则 ，
∴ 在(0,1)上单调递减，
∴ ，
∴ ，
∴ 在 上有一个零点．
综上所述，
时， 有一个零点，
时， 有2个零点；（3）选择①证明：当 时， ，
设 ，
当 时， ，
又由（2）知 ，∴ ，
当 时， ，
设 ，则 ，
∴ 在 单调递增，∴ ，
∴ ，即 在 单调递增， ，
综上， ，即当 时， ，即 ；
选择②证明：当 时， ，
设 ，
当 时， ，∴ ，
当 时， ，
设 ，则 ，
∴ 在 单调递增，∴ ，
∴ ，即 在 单调递增， ，
综上， ， 即当 时， ，即 .
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的
单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零
点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
