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专题01 函数的概念与性质
题型1 求函数的定义域
1、求具体函数的定义域的策略
根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使
函数解析式有意义，又要使实际问题有意义．
2、求抽象函数的定义域的策略
（1）若已知函数
的定义域为
，则复合函数
的定义域由不等式
求出；
（3）若已知函数
的定义域为
，则
的定义域为
在
上的值域．
【注意】的形式如何，定义域均是指其中的自变量
的取值集合．
1．（24-25 高三上·北京·月考）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题设
，
∴
，∴
.故选：D
2．（24-25 高三上·安徽六安·月考）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意知道
，解得
，即
.故选：D.
3．（24-25 高三上·甘肃白银·月考）已知函数
的定义域为
，则函数
的定
义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
的定义域为
，
所以
，解得
且
，
所以函数
的定义域是
，故选：B
4．（24-25 高三上·河北承德·月考）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
的定义域为
，
所以函数
的定义域为
，
则对于函数
，需满足
，解得
，
即函数
的定义域为
.故选：D.
题型2 求函数的解析式
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方
程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．
2、换元法：主要用于解决已知
f g x
的解析式，求函数
f x 的解析式的问题．
（1）先令
g x
t ，注意分析t 的取值范围；（2）反解出x，即用含t 的代数式表示x；（3）将
f g x
中的x 度替换为t 的表示，可求得
f t 的解析式，从而求得
f x ．
3、配凑法：由已知条件
f g x
F x ，可将
F x 改写成关于
g x 的表达式，然后以x 替代
g(x)，便得
f x 的解析式．
4、方程组法：主要解决已知
f x 与
f
x 、
1
f
x
、
1
f
x
……的方程，求
f x 解析式．
例如：若条件是关于
f x 与
f
x 的条件（或者与
1
f
x
）的条件，可把x 代为x （或者把x 代为
x
1
）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出
f x ．
5．（24-25 高三下·黑龙江牡丹江·开学考试）已知对任意的
，都有
，
则一次函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
则
，
因为
，即
，
则
，解得
，所以
.故选：C.
6．（24-25 高三上·江西上饶·月考）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
，且
，则
，
可得
，
所以
.故选：B.
7．（24-25 高三上·四川内江·月考）若
，则
的解析式为 ．
【答案】
【解析】令
，则
，因为
，
所以
，故
.
8．（24-25 高三上·辽宁·期末）已知函数
满足
，则
.
【答案】
【解析】由
，①
将
替换成
，可得：
，②
再将①中
替换成：
，可得：
，③
①②相减可得：
，④
③④相加可得：
，
所以
.
题型3 分段函数及其应用
分段函数求值问题的解题思路：
（1）求函数值：当出现
的形式时，应从内到外依次求值．
（2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记
要代入检验．
9．（24-25 高三下·浙江杭州·月考）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．e
【答案】B
【解析】因为函数
，
所以
，
所以
.故选：B.
10．（24-25 高一上·福建莆田·期末）设函数
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【答案】B
【解析】
.故选：B
11．（24-25 高三下·河北沧州·月考）已知
且
，定义在
上的函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
且
，且
，则
，
则
，所以，
，即
，
解得
或
（舍），故选：A.
12．（24-25 高三下·甘肃·模拟预测）已知函数
则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，即
有，
，
因为
，
在区间
上均为单调递增函数，
所以
在区间
上也为单调递增函数，
因为
时，
，
所以
的解为
，
当
时，即
有，
，
因为
，
在区间
上均为单调递减函数，
所以
在区间
上也为单调递减函数，
因为
时，
，
所以
的解为
，
综上，不等式
的解集为
.故选：D
题型4 确定函数的单调性(单调区间)
判断函数的单调性的四种方法
1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性；
2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判
断单调性；
3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx 的超越函数）判断函数的单调性；
4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性．
13．（24-25 高三上·广东普宁·一调）函数
的单调减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，画出函数图象，如图所示：
根据图象知：函数的单调减区间为
.故选：B.
14．（2025·江西·一模）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
且
，得
，即
或
，
所以函数
的定义域为
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
又函数
为增函数，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又函数
为增函数，
所以函数
的单调递增区间为
.故选：B.
15．（24-25 高一上·甘肃白银·期末）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
是减函数，
根据复合函数的单调性，可得
的单调递减区间为
．故选：D.
16．（24-25 高三上·天津河北·期末）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是奇函数，递减区间是
B．
是奇函数，递减区间是
C．
是偶函数，递增区间是
D．
是偶函数，递增区间是
【答案】B
【解析】
的定义域为R，且
，
所以函数
为奇函数，
将函数
去掉绝对值得
，
画出函数
的图象，如图，观察图象可知，
在
上单调递减.故选：B
题型5 已知函数单调性求参数范围
利用单调性求参数的三种情况：
1、直接利用题意条件和单调性代入求参；
2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号；
3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题．
17．（2025·山西·二模）若函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
为单调递增函数，不符合题意，
当
时，
均为单调递增函数，故
为单调递增函数，不符合题意，
当
时，
在
单调递增，在
单调递减，
故
在
上单调递减，则
，故选：C
18．（2025·河北·模拟预测）已知函数
在
上单调，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知，
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立.
又由基本不等式可得
，当且仅当
时，取得等号，所以
.
因为函数
在
上单调，
所以
在
上单调，
由复合函数单调性可知
在
上单调，
所以结合二次函数的性质可得：
或
，解得
或
.
综上所述，实数
的取值范围为
.故选：A.
19．（24-25 高三上·福建漳州·月考）已知函数
是
上的减函数，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由于函数
是定义在
上的减函数，
所以，函数
在区间
上为减函数，函数
在区间
上为减函数，
且有
，
即
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.故选：A.
20．（24-25 高三上·江苏南通·开学考试）已知函数
是
上的增函数，则a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，
，
在
中，函数在
上是增函数，
解得
.故选：A
题型6 与函数最值(值域)有关的问题
求函数最值（值域）的方法
（1）单调性法；（2）图象法；（3）基本不等式法．
【注意】对于较复杂的函数，可通过换元、分离常数法等进行转化，对于无法变形化简的函数，则常利
用导数法判断函数的单调性，从而求出其值域．
21．（24-25 高三上·山东济南·月考）已知
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，
而函数
在
上单调递增，
所以当
，即
时，
取得最小值
.故选：D
22．（25-26 高三上·河北衡水·一调）已知
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】设
，
.
所以当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
所以当
时，
的最小值为3，故选：C
23．（2025·云南昆明·模拟预测）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，因为函数
在
上单调递增，
所以
，此时
；
当
时，因为函数
在
上为减函数，在
上为增函数，
故
，即
在
上的值域为
.
综上所述，函数
的值域为
.故选：A.
24．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
的值域为
，则
的值为
（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【答案】A
【解析】当
时，
是单调减函数.
∴
的值域为
；
当
时，
若
，则
，
是单调增函数，
的值域为
，不符合题意，
当
时，令
，得
，令
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
,
由题意知
，即
，解得
，
所以
.故选：A.
题型7 判断函数的奇偶性
1、判断函数奇偶性的要点
（1）函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件；
（2）若定义域关于原点对称，则判断
与
是否具有等量关系，具体运算中，可转化为判断
(奇函数)或
（偶函数)是否成立．
2、在公共定义域内：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，
偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数．
25．（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，
，即
取
时的函数值不互为相反数，A 不是；
对于B，
，即
取
时的函数值不互为相反数，B 不是；
对于C，
是偶函数，且
，即
不恒为0，C 不是；
对于D，函数
的定义域为
，而
，
函数
是奇函数，D 是.故选：D
26．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数
，则下列是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
对于A，
，定义域不关于原点对称，
所以
不是奇函数，故A 错误；
对于B，所以
，则
，
令
，定义域关于原点对称，
，所以B 正确；
对于C，
，定义域不关于原点对称，
所以
不是奇函数，故C 错误；
对于D，所以
，则
，
令
，定义域关于原点对称，
，
所以
不是奇函数，所以D 不正确；故选：B.
27．（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在
单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于A，函数
是奇函数，在
上单调递增，A 是；
对于B，函数
是偶函数，不是奇函数，B 不是；
对于C，函数
是偶函数，不是奇函数，C 不是；
对于D，函数
是偶函数，不是奇函数，D 不是.故选：A
28．（2025·北京东城·模拟预测）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】A：
，且定义域为R，
满足；
B：
，且定义域为
，
在
上
，故在
上
，不符合；
C：
且定义域为R，不符合；
D：
且定义域为
，
当
时，
，当且仅当
时取等号，不符合.故选：A
题型8 函数奇偶性的应用
1、求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；
2、求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出；
3、求参数：利用待定系数法求解，根据
得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等
性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值．
29．（2025·湖北黄冈·三模）已知
为奇函数，则实数
的值是 ．
【答案】4
【解析】因为函数
是奇函数，
，
即
恒成立，
即
恒成立，
所以
恒成立，
整理得
恒成立，
，解得
或
，
当
时，函数
定义域为
，
定义域不关于原点对称，函数不是奇函数，
当
时，
，
由
，可得
或
，
，满足
是奇函数，
所以
.
30．（2025·山东济南·三模）已知函数
，则
．
【答案】3
【解析】由题意有
，
又
，所以
，
31．（2025·江苏连云港·模拟预测）设
是定义在
上的函数，若
是奇函数，
是偶
函数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由于函数
是奇函数，函数
为偶函数，
所以，
，即
，化简解得
.故选：A.
32．（2025·广东广州·三模）已知奇函数
和偶函数
的定义域均为
，且满足
，
则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵
，∴
.
∵
是定义在
上的奇函数，
是定义在
上的偶函数，
∴
，
，∴
，
∴
，
.
∴
.
故选：D.
题型9 函数的周期性及应用
常见求周期的技巧：（a 是不为0 的常数）
（1）若
f x
a
f x ，则
T
a ； （2）若
f x
a
f x
a ，则
2
T
a ；
（3）若
f x
a
f x ，则
2
T
a ； （4）若
1
f x
a
f x ，则
2
T
a ；
（5）若
1
f x
a
f x ，则
2
T
a
； （6）若
f x
a
f x
b ，则
T
a
b （
a
b
）
33．（2025·陕西延安·模拟预测）定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．
【答案】B
【解析】因
是
上的奇函数，则
，
又由
可得
，则
，
故
，即4 为函数
的一个周期.
因当
时，
，则
，
，
又
，
，
，
，
，
，
则
，
，
则
.故选：B.
34．（24-25 高三下·甘肃白银·月考）已知函数
，
的定义域均为R，
为偶函数，
为
奇函数，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．2025
【答案】A
【解析】因为
为偶函数，所以
①，
因为
，所以
，
，
结合①有
②，
因为
为奇函数，所以
，所以
，
结合②有
，
所以
，所以
，所以
的周期为8，
所以
，
同理，由
，得
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，
则
，则
，
所以
，所以
，所以
的周期为8，
所以
，
由
．得
，所以
．即
，
所以
．故选：A．
35．（2025·甘肃白银·三模）已知对于
，
，
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．0
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
所以
.
由
，得
，
两式相加得
，所以
，
所以
，所以
是以6 为周期的周期函数.
当
时，
，
又
，所以
，所以
，所以
；
当
时，
，所以
，
因为
，
所以
，
所以
.
故选：D.
36．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义域为R 的函数
，其图象关于直线
对称，已知
为
奇函数，且
，则
（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【答案】B
【解析】由
关于
对称，有
，
又
为奇函数，则
即
，
且
即
，
所以
关于点
对称，且
，
则
，作差有
，
为周期函数，且周期为4，因为
，
，则
，
因为
，
，则
，
，
则
，
．故选：B．
题型10 函数的对称性及应用
1、关于线对称：若函数
满足
，则函数
关于直线
对称，特别
地，当a＝b＝0 时，函数
关于y 轴对称，此时函数
是偶函数．
2、关于点对称：若函数
满足
2
2
f
a
x
b
f x ，则函数
关于点(a，b)对称，特别
地，当a＝0，b＝0 时，
，则函数
关于原点对称，此时函数
是奇函数．
37．（2025·四川·三模）已知函数
，则函数
的图象（ ）
A．关于点
对称
B．关于点
对称
C．关于直线
对称
D．关于直线
对称
【答案】A
【解析】因为
，则
为奇函数，
所以
的图象关于原点对称，
函数
的图象可由
的图象先向左平移2 个单位，再向上平移2 个单位得到，
所以函数
的图象关于点
对称．故选：A
38．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数
的图象关于
对称，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
有意义，则
，由
的图象关于点
对称，
得
的定义域关于数2 对称，由
不在
的定义域内，得不在
的定义域内，
则
，即
，此时
，
，
，
因此函数
的图象关于点
对称，符合题意，
所以
.故选：A
39．（2025·山东·模拟预测）函数
与函数
的图象所有交点的横坐标之和为
（ ）
A．
B．ln2
C．0
D．1
【答案】C
【解析】∵
，
∴函数
的图象由
的图象向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位得到的.
根据反比例函数的性质可知
在
和
上单调递减，又
在
上单调递增，
故在同一平面直角坐标系下画出函数
与函数
的图象如下图所示.
由图可知：函数
与函数
的图象共有两个交点，
不妨设两个交点的横坐标分别为
，
，则
，
是方程
的解.
若
是方程
的解，即
.
又
，∴
是方程
的解，
∴
，则
.故选：C.
40．（2025·江苏苏州·三模）已知函数
，定义域为R 的函数
满足
，若函数
与
的图象有四个交点，分别为
，
，
，
，则
（ ）
A．0
B．4
C．8
D．12
【答案】D
【解析】由
，得
的图象关于
对称，
函数
，则
，即
的图象也关于
对称，
因此函数
与
图象的交点关于
对称，
不妨设关于点
对称的坐标为
，
，则
，
，
则
，
，同理得：
，
，
即
.故选：D
题型11 利用函数性质比较大小
比较函数值的大小：先将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
41．（24-25 高三上·江苏南通·期末）定义在R 上的奇函数
满足
，且
在
上
单调递增.设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】定义在
上的奇函数
满足
，
则
的图象的对称轴是
，
所以
，则
，
则
，所以
的周期是8，
所以
，
因为
在
上单调递增，
所以
.故选：D.
42．（24-25 高三上·天津·月考）已知函数
是定义在
上的偶函数，且在
上单调递增，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
是定义在
上的偶函数，
所以
，
，
又函数
是在
上单调递增，
所以
，所以
.故选：C.
43．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R 上的函数
，
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，定义域为
，关于原点对称，
且
，所以函数
为奇函数，
所以
，
又
，
任取
，且
，则
，则
，
故
在
上单调递增，
又由对数函数的单调性可得
，
所以
，即
.故选：D
44．（2025·重庆·三模）已知函数
是R 上的偶函数，对任意
且
都有
，若
则
的大小关系是（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．b<c<a
【答案】A
【解析】因函数
是R 上的偶函数，则
的图象关于直线
对称，
因对任意
且
都有
，即函数
在
单调递增.
因
，
，
由
，可得
，
又由对称性可得：
，
故再由单调性，可得
，即
.故选：A.
题型12 利用函数性质解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成
或
的形
式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相
反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．
45．（24-25 高三下·福建福州·模拟预测）设
为偶函数，当
时，
，则使
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【解析】
因为
时，
单调递增，
又因为
为偶函数，故可以做出
的图像如图所示，
由图像可知，若
，则
或
.故选：C
46．（2025·海南·模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，则函数
在
上为增函数，且
，
由于函数
为
上的增函数，故函数
在
上为增函数，且
，
当
时，由
，可得
；由
，可得
；
当
时，由
，可得
；由
，可得
.
接下来解不等式
，
当
时，即当
时，则
可得
或
，可得
；
当
时，即当
时，则
可得
或
，可得
.
综上所述，不等式
的解集为
.故选：C.
47．（2025·河北邢台·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
. 则不等式
在
上的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
是定义在
上的奇函数且
，
所以当
时，
，则
；
当
时，
，则
，
所以
；
函数
的图象可由函数
的图象向左严移1 个单位长度得到，
作出函数
在
上的图象，如图所示，
由图可知不等式
在
上的解集为
．故选：A．
48．（2025·河北石家庄·三模）已知
是定义在
上的奇函数，当
、
且
时，都有
成立，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
可得
，设函数
，
，
则
在
上单调递增，
又因为
为定义在
上的奇函数，
，
所以
为偶函数，
在
上单调递减，
而不等式
，
又因为
，所以
，
所以不等式的解集为
.故选：B
题型13 函数性质的综合应用
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解
题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一个区间的单调性，即实现区间的转换，
再利用单调性解决相关问题．
49．（2025·福建福州·一模）（多选）已知定义在
上的偶函数
和奇函数
满足
，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
是以8 为周期的周期函数
C．
D．
【答案】BC
【解析】对于A，由题意
，
，且
，
又
，即
①，
用
替换
中的
，得
②，
由①+②得
，所以
的图象关于点
对称，故A 错误；
对于B，由
，可得
，即
，
所以
，
所以
是以8 为周期的周期函数，故B 正确；
对于C，由①可得
，则
，
所以
，故C 正确；
对于D，因为
，
为偶函数，所以
，
令
，则有
，
令
，则有
，
令
，则有
，
，
令
，则有
，
所以
，故D 错误.故选：BC.
50．（2024·河北·模拟预测）（多选）已知定义在
上的可导函数
是偶函数，且满足
，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
是
的一个周期
B．
的图象关于点
中心对称
C．
的图象关于
对称
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为
是
上的偶函数，所以
，
又因为
，所以
，即
，
所以
，所以
，
所以函数是周期函数，
为函数的最小正周期，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，所以函数关于点
对称，
又因为函数为偶函数，所以函数关于点
对称，
又因为函数的周期为
，所以函数关于
中心对称，故B 正确；
对于C，因为
，所以
，即
，
所以函数
的图象关于
对称，故C 错误；
对于D，因为
，所以
，即
，
所以
为奇函数，且定义为
，所以
，
又因为
，所以
，所以
，
即
，所以
是周期函数，
为最小正周期，
所以
，故D 正确.故选：ABD.
51．（2025·山东·模拟预测）（多选）已知函数
的图象关于原点对称，且
为偶函数，
当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递减
D．当
时，
【答案】ACD
【解析】对于A，因为
，且
为偶函数，故
，
即
，所以
，即
，得
，
则
的周期为4，故16 也是
的周期，故A 正确；
对于B，作出
在
上的大致图象，如图所示，观察可知，
直线
为
图象的一条对称轴，所以
，故B 错误；
对于C，因为
在
上单调递减，所以由周期性，
，故C 正确；
对于D，当
时，
当
时，则
，故
，
此时
，而
，故
，故
；
当
时，则
，故
，
此时
，而
，
故
，故
；
综上，
时
，故D 正确.故选：ACD.
52．（2025·云南昭通·模拟预测）（多选）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
，
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于
，因为
为偶函数，所以
，
即
①，所以
，所以
关于
对称，
则
，故C 正确；
对于
，因为
为偶函数，
，
，
所以
关于
对称，由①求导，和
，
得
，
所以
，所以
关于
对称，
因为其定义域为
，所以
，结合
关于
对称，
从而周期
，所以
，
，故B、D 正确；
若函数
满足题设条件，则函数
（
为常数）也满足题设条件，
所以无法确定
的函数值，故A 错误，故选：BCD．
题型14 抽象函数的性质及其应用
1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出
某处的函数值或某抽象代数式的值．常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令
等特殊值求抽象函数的函数值．
2、判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论；
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系．有时可能要进行多次尝试．
** 错误的表达式 **若给出的是“和型”抽象函数
y
x
f
，判断符号时要变形为：
1
1
1
2
1
2
)
(
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
2
1
2
1
2
)
(
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
；
** 错误的表达式 **若给出的是“积型”抽象函数
xy
f
，判断符号时要变形为：
1
1
2
1
1
2
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
1
2
2
1
2
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
．
53．（24-25 高三上·江苏徐州·期中）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
是增函数
D．
是减函数
【答案】B
【解析】对于A，
，则
，
令
，则
，故
错误；
故
，则
，
对于B，令
，则
，则
，
同理可得
，
令
，则
，故
正确；
对于CD，令
，显然满足在
，
，
，
得
，令
得
，
显然当
时，
，此时
单调递减，故C 错误；
此时
，显然在定义域上单调递增，故D 错误.
故选：B.
54．（2025·福建泉州·模拟预测）（多选）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．方程
无解
C．
D．
【答案】ABC
【解析】对于A，由题意可得
，故A 正确；
对于B，假设存在
使得
，即方程
有解，
则由题意可得
，
则
，令
，
所以方程
无解，故B 正确；
对于CD，由题意可得
，
所以
，
，
所以
，
所以
，
所以当
时，
，
时，
，
满足
，所以对任意
有
，
所以
，
，故C 正确，D 错误.
故选：ABC
55．（24-25 高三上·福建漳州·月考）（多选）已知定义在
上的函数
不恒等于
，且对任
意的
，有
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
的图象关于点
中心对称
D．
是
的一个周期
【答案】ABC
【解析】对于A,根据题意令
，则由
可得
，解得
，即A 正确；
对于B,令
可得
，所以
，
即可得对任意的
满足
，即
是偶函数，所以B 正确；
对于C,令
，则由
可得
，
即
满足
，因此可得
的图象关于点
中心对称，即C 正确；
对于D,由于
是偶函数，所以满足
，即
，
可得
，也即
，所以
是
的一个周期，即D 错误.
故选：ABC
56．（24-25 高三上·山东德州·月考）已知函数
对任意实数
恒有
，且当
时，
，又
．
(1)判断
的奇偶性；
(2)判断
在
上的单调性，并证明你的结论；
(3)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
为奇函数；(2)
在
上的单调递减，证明见解析；(3)
.
【解析】（1）结合题意：由函数
的定义域为
,且
，
取
，则
，即
，
取
，则
，所以
，
所以
为奇函数.
（2）
在R 上的单调递减，证明如下：
任取
，且
，则
，
令
，则
，
因为
为奇函数，所以
，
因为当
时，
，所以
，
即
，所以
在
上的单调递减.
（3）由
，得
，
因为
，所以
，
因为
在
上的单调递减，所以
，
即
时，
恒成立，
等价于对任意
时，
恒成立，
令
，则
，
所以
，所以
，
故实数
的取值范围为
.
