专题01 函数的概念与性质
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 函数的定义域的求解
1、求具体函数的定义域的策略
根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使
函数解析式有意义，又要使实际问题有意义．
2、求抽象函数的定义域的策略
（1）若已知函数
的定义域为
，则复合函数
的定义域由不等式
求出；
（3）若已知函数
的定义域为
，则
的定义域为
在
上的值域．
【注意】的形式如何，定义域均是指其中的自变量
的取值集合．
1．（2026·甘肃·一模）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】要使函数
有意义，需使
，解得
或x>0，
即函数的定义域为
.
2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数
的定义域为（ ）
A．(0,+ ∞)
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则需
，解得
且
，
所以函数f ( x)的定义域为
3．（2026·北京大兴·三模）函数
的定义域是______．
【答案】
【解析】函数
有意义，等价于
，解得
且x≠0，
故函数的定义域为
.
4．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数f (x)的定义域是
，则函数
的定义域是
__________．
【答案】
【解析】要使函数有意义，则
，解得
，取交集得
．
题型02 函数解析式的求解
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方
程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．
2、换元法：主要用于解决已知
f g x
的解析式，求函数
f x 的解析式的问题．
（1）先令
g x
t ，注意分析t 的取值范围；（2）反解出x，即用含t 的代数式表示x；（3）将
f g x
中的x 度替换为t 的表示，可求得
f t 的解析式，从而求得
f x ．
3、配凑法：由已知条件
f g x
F x ，可将
F x 改写成关于
g x 的表达式，然后以x 替代
g(x)，便得
f x 的解析式．
4、方程组法：主要解决已知
f x 与
f
x 、
1
f
x
、
1
f
x
……的方程，求
f x 解析式．
例如：若条件是关于
f x 与
f
x 的条件（或者与
1
f
x
）的条件，可把x 代为x （或者把x 代为
x
1
）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出
f x ．
5．（25-26 高三上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
，所以函数
.故选：A
6．（25-26 高三上·甘肃·阶段检测）已知函数f (x)满足
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】以
代x，由
①，得
②，
则①
②，得
，则
．故选：A
7．（25-26 高三下·广东江门·开学考试）已知函数f (x)对任意实数
满足
，且
，则
（ ）
A．2❑√2
B．4 ❑√2
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，可得
，
因为
，所以
，
则
.
8．（25-26 高三上·甘肃武威·阶段检测）根据下列条件，求函数f (x)的解析式.
(1)已知函数f (x)是一次函数，若
，求f (x)的解析式.
(2)已知
，求f (x)的解析式.
【答案】(1)
或
；(2)
【解析】（1）
是一次函数，∴设
（k
）
，∴
∴
或
或
（2）令
则
，
，
题型03 分段函数及其应用
分段函数求值问题的解题思路：
（1）求函数值：当出现
的形式时，应从内到外依次求值．
（2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记
要代入检验．
9．（2026·浙江·一模）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
所以
.故选：D
10．（25-26 高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数
，则
_______.
【答案】
【解析】由
，
当
时，
，
则
，即
，
则
，
即
，则
，
所以当
时，函数f (x)是以3 为周期的函数，
而
，且
，
，
则
.
11．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数
，且
，则
的值为
__________.
【答案】- 3
2
【解析】函数
，当
时，
，
当
时，
，由
，得a>1，则
，解得
，
所以
.
12．（2026·江苏·模拟预测）已知函数
，若
，则a的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，故t >0，故
,
所以
或
,
故
．
题型04 确定函数的单调性/单调区间
判断函数的单调性的四种方法
1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性；
2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判
断单调性；
3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx 的超越函数）判断函数的单调性；
4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性．
13．（25-26 高三上·甘肃兰州·阶段检测）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，解得
，
令
，则
，
∵函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
在定义域内递增，
∴根据复合函数的单调性可知，函数
的单调递增区间是
故选：C
14．（25-26 高三上·江西宜春·期末）已知
，则函数f (x)的单调递增区间为（ ）
A．
B．R
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
，得
，即
，
则函数定义域为R 且
，所以函数f (x)在R 上单调递增.
函数f (x)的单调递增区间为R.故选：B.
15．（25-26 高三上·河北雄安·期中）已知函数
在R上单调递减，则
的单调递增区间
是（ ）
A．
B．
C．(0,+ ∞)
D．
【答案】A
【解析】令
，易知u在
上单调递增，所以
在
上单调递减，
对于
，令
，解得
，
令
，当
时，
随x的增大而减小；
当
时，
随x的增大而增大，
因为
在
上单调递减，所以
的单调递增区间对应
的单调递减区间，
所以
的单调递增区间是
.故选：A.
16．（2026·河北沧州·一模）已知函数
，则函数
的单调递增区间为（ ）
A．
，
B．
，(1,2)，
C．
，
D．
，
，
【答案】B
【解析】
，则当0< x<1或
时，f
' (x)<0，f (x)单调递减区间为
，
当
时，f
' (x)>0，f (x)单调递增，
对
，有
且
，
则
，
又
，故
为偶函数，故只需分析
时的单调性，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
，故
，
在
上单调递减，则
单调递增；
当
时，
，
，故
，
在
上单调递减，
上单调递增，
则当
时，
单调递减，
时，
单调递增；
故当
时，
单调递增区间为
、
，
单调递减区间为
，
由偶函数性质可知，当
时，
单调递增区间为
，
故函数
的单调递增区间为
，
，
.
题型05 已知函数单调性求参数范围
利用单调性求参数的三种情况：
1、直接利用题意条件和单调性代入求参；
2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号；
3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题．
17．（2026·河北张家口·二模）已知
，若函数
在
上单调递增，则
a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
在R上单调递增，
，
所以
，解得
又
在(1,+∞)上单调递增，即 a>1；
函数
在
上单调递增，即
，解得
，
综上，a的取值范围是
.
18．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数
在区间
上单调递增，则
m的可能取值是（ ）
A．
B．-2
C．4
D．- 4
【答案】ABD
【解析】函数
的单调递增区间为
，
依题意，
，则
，解得
，
因此m的可能取值是
，ABD 是，C 不是.
19．（2026·河北·二模）若函数
在区间
上单调递减，则实数b为（ ）
A．
B．
C．
❑√3
3
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
因为函数
在区间
上单调递减，
所以
在
上恒成立，
所以当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
所以
；
当
时，
，
当
时，
，正好是正弦函数的单调递减区间，
所以
符合题意；
综上，
.
20．（25-26 高三下·河北沧州·阶段检测）已知函数
在区间(1,2)存在单调递增区间，则
正数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．(2,+∞)
【答案】D
【解析】由
，解得：0< x<a，所以函数f (x)的定义域为
，
令
，二次函数开口向下，对称轴为
，
由a>0，所以
，
所以函数g(x)在
上单调递增，在
上单调递减，
又
在(0,+ ∞)上单调递增，
所以要使函数f (x)在区间
上存在单调递增区间，
则
且
即
且
，解得a>2，即正数a的取值范围是(2,+ ∞).
题型06 与函数最值/值域有关的问题
求函数最值（值域）的方法
（1）单调性法；（2）图象法；（3）基本不等式法．
【注意】对于较复杂的函数，可通过换元、分离常数法等进行转化，对于无法变形化简的函数，则常利
用导数法判断函数的单调性，从而求出其值域．
21．（2026·湖北·二模）已知函数
，则该函数的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．(-1,+∞)
【答案】B
【解析】
，
令
则
，则原函数的值域等价于函数
的值域，
时，
恒成立，即
单调递增，
当
时，
，
时，
，
所以值域为
.
22．（2026·云南昆明·二模）已知函数
，则f (x)的最大值与最小值之差为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】函数
，
因为
单调递增，所以
；
因为
单调递减，所以
；
所以当x =0时，
；当x =2时，
；
则f (x)的最大值与最小值之差为6-1=5.
23．（2026·湖南·三模）已知函数
且
在
上的值域为
，则a=
（ ）
A．4
B．2
C．1
2
D．
【答案】C
【解析】函数
在
上具有相同的单调性，
所以f ( x)在
上单调，要满足题意，则f ( x)在
上单调递增，
所以
，解得
，故选C.
24．（2026·河北邢台·一模）若函数
有最小值，则k 的取值范围是________．
【答案】
【解析】当x ≤2时，f (x)=(x -1)e
x，
，
时f
'( x)<0，函数f (x)单调递减，且f (x)<0；
0< x ≤2时f
'( x)>0，函数f (x)单调递增，
可得函数f (x)在
上最小值为
，最大值为
.
当
时，
，
若k >0，函数f (x)在(2,+∞)上单调递增，
，
f (x)在
上有最小值，有
，即
；
若
，当x>2时
，f (x)在
上有最小值
；
若k <0，函数f (x)在(2,+∞)上单调递减，x→+∞时
， f (x)在
上没有最小值.
综上，
的取值范围为
.
题型07 函数奇偶性的判断
1、判断函数奇偶性的要点
（1）函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件；
（2）若定义域关于原点对称，则判断
与
是否具有等量关系，具体运算中，可转化为判断
(奇函数)或
（偶函数)是否成立．
2、在公共定义域内：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，
偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数．
25．（2026·河南开封·二模）（多选）下列函数是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】对于A，函数
的定义域为
且
，
所以函数
是偶函数，故A 符合题意；
对于B，函数
的定义域为
，
因为定义域不关于原点对称，所以函数
不具有奇偶性，故B 不符合题意；
对于C，函数
的定义域为
且
，
所以函数
是奇函数，故C 不符合题意；
对于D，函数
的定义域为
且
，
所以函数
是偶函数，故D 符合题意.
26．（25-26 高三下·河南许昌·期中）定义在R上的函数
，并且满足
，则下列一
定正确的是（ ）
A．f (x)是奇函数
B．f (x)是偶函数
C．g(x)是奇函数
D．g(x)是偶函数
【答案】B
【解析】由函数
为定义在R上的函数，故函数
的定义域也是R，
令
，
则
，即h(x)为偶函数，
所以
也是偶函数，即
，
所以
，即f (x)是偶函数，
对于函数g(x)无法判断函数的奇偶性.故选：B
27．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为
，则下列函数一定为奇函数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】选项A：设
，
由
，可知
是偶函数，不能确定是奇函数，A 错误.
选项B：设
，
由
，可知
是奇函数，B 正确.
选项C：设
，
由
，
可知
是偶函数，不能确定是奇函数，C 错误.
选项D：设
，
由
，
可知
是偶函数，不能确定是奇函数，D 错误.
28．（2026·广西河池·三模）（多选）已知定义在R上的函数f (x)满足
，且
为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f (x)为奇函数
B．函数
为奇函数
C．函数f (x)是偶函数
D．函数
是偶函数
【答案】BCD
【解析】由
为偶函数，得
，即
，
所以f (x)的图象关于直线
对称.
由
及
，得
.
令
，则
，所以
，
又
，所以
，即
.
所以
，因此f (x)是偶函数，故A 错误，C 正确.
由
，得
，
又f (x)是偶函数，所以
，
所以
，故
为奇函数，故B 正确.
由
，得
，又f (x)是偶函数，所以
，
所以
，即
是偶函数，故D 正确.
题型08 函数奇偶性的应用
1、求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；
2、求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出；
3、求参数：利用待定系数法求解，根据
得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等
性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值．
29．（25-26 高三下·河南新乡·阶段检测）已知f (x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，
，
则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，当
时，
，
，
又函数f (x)是定义在R 上的奇函数，所以
.
30．（2025·浙江·三模）已知函数
为奇函数，则
________.
【答案】
【解析】因为函数
为奇函数，
当
时,
，由
可得
，
即
因x是任意非零实数，则
,解得a=-2,b=-1，故
.
31．（2026·湖南·三模）设f (x)是奇函数，且
，则
______．
【答案】
【解析】因为f (x)是奇函数，且
，
所以
，即
.
32．（25-26 高三上·广东深圳·阶段检测）函数
在区间
上的最大值为a，最
小值为b，则
_____．
【答案】
【解析】
令
，定义域关于原点对称，
于是
，故g(x)为奇函数，
所以g(x)在区间
上的最大值与最小值之和为
，
故函数
在区间
上的最大值与最小值之和为
.
所以a+b=2.
题型09 函数周期性及其应用
常见求周期的技巧：（a 是不为0 的常数）
（1）若
f x
a
f x ，则
T
a ； （2）若
f x
a
f x
a ，则
2
T
a ；
（3）若
f x
a
f x ，则
2
T
a ； （4）若
1
f x
a
f x ，则
2
T
a ；
（5）若
1
f x
a
f x ，则
2
T
a
； （6）若
f x
a
f x
b ，则
T
a
b （
a
b
）
33．（2026·安徽安庆·模拟预测）设f (x)是周期为4 的奇函数，当0≤x ≤1时，
，则
______．
【答案】
【解析】因为f (x)是周期为4 的奇函数，所以
，
又当0≤x ≤1时，
，所以
.
所以
.
34．（2026·四川成都·三模）已知奇函数f (x)满足
，当
时，
，则
（ ）
A．0
B．1
C．3
D．5
【答案】B
【解析】因为函数f (x)满足
，
所以
，即f (x)是以4 为周期的函数.
由题意知奇函数f (x)的自变量x可取0，所以
.
又因为当
时，
，所以
，解得
，
所以当
时，
，
所以
.
35．（25-26 高三下·江西·阶段检测）已知f ( x)是定义在
上的偶函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．3
D．7
【答案】C
【解析】因为f (x)是定义在R上的偶函数，所以
.又因为
，
所以
，所以
，所以f (x)的周期为4.
因为
时，
，所以
36．（25-26 高三下·江苏泰州·阶段检测）已知定义在R上的奇函数f (x)满足
，当0≤x ≤1时，
，则
（ ）
A．
B．- 1
2
C．1
3
D．1
2
【答案】B
【解析】因为
.
因为
，所以
，即
，
所以
，
所以
，即
.
题型10 函数对称性及其应用
1、关于线对称：若函数
满足
，则函数
关于直线
对称，特别
地，当a＝b＝0 时，函数
关于y 轴对称，此时函数
是偶函数．
2、关于点对称：若函数
满足
2
2
f
a
x
b
f x ，则函数
关于点(a，b)对称，特别
地，当a＝0，b＝0 时，
，则函数
关于原点对称，此时函数
是奇函数．
37．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数
是中心对称图形，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数f (x)的定义域是
，所以
，
所以a=0，所以A 错误；
因为
，所以
，所以B 正确；
，
又
在
上单调递增，
在
上也单调递增，
所以f (x)是增函数，又
，所以
，所以C 错误；
因为
，所以
，
又因为
，所以
，所以D 错误．
38．（2026·河南郑州·模拟预测）函数
的图象关于点
对称，且
，则
______．
【答案】
【解析】已知函数
的图象关于点
对称，
则对任意x有
，则
，
化简得
，
，解得
，
若
，则
，与题设矛盾，舍去；
若
，则
，解得
，
．
39．（2026·安徽合肥·模拟预测）（多选）下列函数中，其图像是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，
，
满足
，图像关于(-1,0)中心对称，故A 满足；
对于B，
是偶函数，关于y轴对称，故B 错误；
对于C，
定义域为
，若存在对称中心，则其横坐标只能为
，
，所以函数图像的对称中心为(-1,0)，故C 满足；
对于D，f (x)定义域为
，若存在对称中心，则其横坐标只能为1，
所以函数图像的对称中心为
，故D 满足．
40．（2026·湖南·模拟预测）（多选）下列函数的图象关于直线
对称的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】
的图象关于直线
对称，A 正确．
令
，则
，所以
的图象关于直线
对称，B 正确．
的图象关于直线x =-2对称，且在
上单调递减，在
上单调递增，故C 错误．
令
，则
，
所以
的图象关于直线
对称，D 正确．
题型11 利用函数的性质比较大小
比较函数值的大小：先将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
41．（2026·湖北·三模）已知函数
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以f (x)为定义在R上的偶函数，
因为
，当
时，即
时，解得
，
所以f (x)在(0,+ ∞)上递增，
，
由
，
，故
.
42．（25-26 高三下·河南·阶段检测）已知函数
，设
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，故f (x)关于直线x =1对称，
求导得
，
当
时，
，故
，即f
' (x)>0，f (x)在(1,+∞)上单调递增；
当
时，即f
' (x)<0，f (x)在
上单调递减，
又
，
，
即
，
，
所以
，
，即
，
根据函数的对称性和单调性可知
，
又
，
，
所以
，所以
.
43．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为
的函数f ( x)满足
，且对任意x1，
，
当
时，都有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得函数f ( x)的图象关于
对称，
根据已知及单调性的定义，知f ( x)在
上为减函数，
所以f ( x)在
上为增函数，
，且
，
．
44．（2026·河南周口·三模）已知函数f ( x)的定义域为
，
，且f (x)在(2,+∞)上
单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，则
，
令
，则
，所以
，
因此函数f ( x)关于点
中心对称，
因为f (x)在(2,+∞)上单调递增，结合f ( x)又关于点
对称，
所以f ( x)在
上也单调递增.
由
，则令t =1，所以
，即
.
因为
，f ( x)在
上单调递增，
所以
，即
.
题型12 利用函数的性质解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成
或
的形
式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相
反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．
45．（2026·湖南·模拟预测）已知函数f (x)是定义在
上的增函数．若
，则x 的取值
范围是（ ）
A．(1,2)
B．
C．(2,+ ∞)
D．
【答案】B
【解析】因为函数f (x)是定义在R上的增函数，
所以
，
所以
，解得1< x<3，即x 的取值范围是
.
46．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在
上的函数f (x)满足
，
，都有
成立，则不等式
的解集为（ ）
A．(1,2)
B．
C．(2,+ ∞)
D．
【答案】A
【解析】由题知函数f (x)在
上单调递增，
当
时，不等式
可化为
，即
，解得
；
当
时，不等式可化为
，即
，此时无解.
综上，不等式
的解集为(1,2).
47．（2026·江苏无锡·三模）已知函数
，其中e是自然对数的底数，若
，
则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】函数f ( x)的定义域为R，关于原点对称，
因为
，
所以f ( x)是R上的偶函数，
因为，当
时，
，
由于
时
，
所以f
'( x)>0，即f ( x)在
上单调递增；
结合偶函数性质，f ( x)在
上单调递减，且满足
因为
，
所以
等价于
，
因为f ( x)在[0,+ ∞)上单调递增，
所以
等价于
，
当
时，不等式化为
，即
，
其判别式
，不等式恒成立，故
；
当
时，不等式化为
，即
，
因式分解得
，解得a≤-1或
.
综上，实数a的取值范围是
48．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数
，则
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的定义域为R，
且满足
，
故f ( x)为偶函数；
当x ≥0时，
，其中
在[0,+ ∞)上单调递增，
在[0,+ ∞)上单调递减，则
在[0,+∞)上单调递增，
因此
在[0,+∞)上单调递增；
由偶函数性质，
等价于
，
结合函数的单调性得
两边均非负，平方后不等号方向不变，
得
，展开整理得
，
即
，解得
，即
的解集为
.
题型13 函数性质的综合应用
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解
题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一个区间的单调性，即实现区间的转换，
再利用单调性解决相关问题．
49．（25-26 高三上·山东泰安·期末）（多选）已知定义在R 上的函数f ( x)满足
，且
为
奇函数，则下列选项正确的是（ ）
A．f ( x)的图象关于直线
对称
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A 项，设点
是y = f ( x)图象上任意一点，
则
，而
，
所以点
也是y = f ( x)图象上的点，
所以f ( x)的图象关于直线
对称，故A 项正确；
对于B 项，因为
为奇函数，
所以
，取x =0，可知
，所以
；
又因为
，所以
，
于是
，故B 项错误；
对于C 项，因为
为奇函数，所以
，
即
，令
，
则
，
，
所以
，
因为f ( x)的值域为
，所以该结论对任意实数都成立，
即
，故C 项正确；
对于D 项，由以上推理知
，
所以
，
所以
；
又因为
，
，
所以
，
，
，
，
，
，
依次构成等差数列，其
首项为-2，公差为
，
所以
，故D 项正确；故选：ACD.
50．（2025·福建福州·一模）（多选）已知定义在R上的偶函数f (x)和奇函数g(x)满足
，
则（ ）
A．f (x)的图象关于点
对称
B．f (x)是以8 为周期的周期函数
C．
D．
【答案】BC
【解析】对于A，由题意
，
，且
，
又
，即
①，
用
替换
中的x，得
②，
由①+②得
，所以f (x)的图象关于点
对称，故A 错误；
对于B，由
，可得
，即
，
所以
，
所以f (x)是以8 为周期的周期函数，故B 正确；
对于C，由①可得
，则
，
所以
，故C 正确；
对于D，因为
，f (x)为偶函数，所以
，
令
，则有
，
令x =10，则有
，
令
，则有
，
，
令
，则有
，
所以
，故D 错误.故选：BC.
51．（2026·湖南长沙·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．f (x)的定义域为
B．f (x)在
单调递减
C．y = f (x)的图像关于直线
对称
D．f (x)有最大值
【答案】ACD
【解析】
，解得
，
即f ( x)的定义域为(0,π)，A 选项正确．
，令
，则
．
二次函数
的图象的对称轴为直线
，
又
的定义域为
的图象关于直线
对称．C 选项正确．
由复合函数单调性法则知，f ( x)在(0,π
2 )上单调递增，在
上单调递减，B 选项错误．
当
时，有最大值，
，D 选项正确．
52．（2026·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知函数f (x)是定义域为R 的偶函数且
，
，
且满足
，则（ ）
A．f (x)是周期函数
B．直线
是f (x)图象的一条对称轴
C．
D．
【答案】ABD
【解析】选项A：由
，将x替换为
得
，故f ( x)是周期为4
的周期函数，A 正确；
选项B：因为f ( x)是偶函数，故
，又周期为4，所以
，
即
，故直线
是f ( x)的对称轴，B 正确；
选项C：由偶函数得
，又
，且
，故
，
解得
，故
，C 错误；
选项D：计算得
，周期为4，
故
.
题型14 抽象函数的性质及其应用
1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出
某处的函数值或某抽象代数式的值．常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令
等特殊值求抽象函数的函数值．
2、判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论；
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系．有时可能要进行多次尝试．
** 错误的表达式 **若给出的是“和型”抽象函数
y
x
f
，判断符号时要变形为：
1
1
1
2
1
2
)
(
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
2
1
2
1
2
)
(
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
；
** 错误的表达式 **若给出的是“积型”抽象函数
xy
f
，判断符号时要变形为：
1
1
2
1
1
2
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
1
2
2
1
2
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
．
53．（25-26 高三上·山东日照·期末）已知函数f (x)的定义域为
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．f (x)是奇函数
C．
D．
【答案】ACD
【解析】A：令x =1，y =0，可得
，解得
，
所以
，故A 正确；
B：由题可得函数f (x)的定义域为
，令x =0，则得
，
即
，所以f (x)为偶函数，故B 错误；
C：令y =1，即
，即
①，
将
替换x可得
②，
+②得
，则
，
所以
，故C 正确；
D：令
，则
，因
，所以
；
由
，所以当x =1时，
，
当
时，
，当x =3时，
，
令
，y =1，则
，解得
，所以
，
所以在一个周期内
，
因
，所以
，故D 正确．
故选：ACD．
54．（25-26 高三上·江苏无锡·期末）（多选）函数y = f (x)在R 上的图象是一条连续不断的曲线，
，
，则（ ）
A．
B．
C．f (x)是奇函数
D．f (x)零点个数大于1
【答案】ACD
【解析】对于A 项，令
，由已知可得，
，解得
.
令
，由已知可得，
，
解得
.故A 正确；
对于B 项，令
，代入已知条件可得，
.
又
，所以有
.故B 错误；
对于C 项，令
，代入已知条件可得，
.
因为
，
所以有
，
所以，f (x)是奇函数.故C 正确；
对于D 项，令
，代入已知有f (0)=0.
.
令
，由
可得，
.
令x = 1
e ，
，由
可得，
.
因为函数y = f (x)在R上的图象是一条连续不断的曲线，且
，根据零点存在定理，可知在
，使得
.
根据函数为奇函数，可知
.
所以，函数f (x)至少存在三个零点.故D 正确.故选：ACD.
55．（25-26 高三上·河南南阳·期末）（多选）定义域为
的函数f (x)满足：①
，
②f (x)的图象过点(1,1)，则（ ）
A．
B．f (x)为偶函数
C．f (x)的图象关于点
中心对称
D．
【答案】AC
【解析】因为
，
对于A，令x =1，y =0，则
，
又因为f (x)的图象过点(1,1)，所以
，所以
，解得f (0)=0，故A 正确；
对于B，令
，则
，由A 可知f (0)=0，所以
，
所以
，故f (x)为奇函数，故B 错误；
对于C，令
，则
，
即f (x)的图象关于点
中心对称，故C 正确；
对于D，由于
且f (x)为奇函数，则有
，
即
，所以
，
故D 错误.故选：AC.
56．（2026·湖南·三模）（多选）定义在R 上的函数f ( x)，g( x)满足：
，
，若g( x)为偶函数，且
，g( x)恒大于0，则下列选项正确的是
（ ）
A．f ( x)为奇函数
B．
C．
D．若
，则
【答案】ABD
【解析】法一：令
，得
，因为
且不为0，则f (0)=0．
令
，得
，
故
，则f ( x)为奇函数．故A 正确；
令x =0，得
，因为f (0)=0，则
．
令
，得
，故B 正确；
用“- y”代替“y”，得
，
而
，两式相乘得
，
所以
，
若
，则
，显然不成立，故C 错误；
令
，
，
，相加得
，
用“2x”代替“x”得
，
继续操作得
，
令n=10，x =1，得
，
由
，联立得
，故D 正确．
法二：取
，
符合题意，
则
且定义域为R，此时f ( x)为奇函数，A 正确；
，B 正确；
，
而
，不恒相等，C 错误；
若
，则
，
，D 正确．
