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专题01 求函数的值域或最值方法总结
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01 知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系
02 考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点
▶基础梳理・自主夯基
考点01 利用函数的性质求函数的值域（最值）
考点02 分式型函数的最值问题
考点03 换元法求最值
▶高阶思维・探究拓展
难点解读01 数形结合求函数的值域
03 素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养
▶考点聚焦・解法深研
题型01 利用函数性质求函数最值
题型02 利用对勾函数求分式型函数的最值
题型03 三角换元求函数的最值
题型04 利用韦达定理求函数的值域
▶重难攻坚・考法深研
重难点01 数形结合求函数最值
04 优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用
知识脑图·核心脉络搭建
考点深研·知能分层突破
考点01 利用函数的性质求函数的值域（最值）
1、函数的单调性直接决定了函数在区间上的增减趋势，从而可以快速找到最大值和最小值；奇偶性则可
以将定义域对称区间的值域问题转化为半区间问题，简化计算。两者结合使用，尤其适用于复合函数或非
基本初等函数。
2、基本步骤
（1）确定函数的定义域，判断其是否具有奇偶性或者对称性
（2）分析函数在定义域或者子区间的单调性（利用基本函数的单调性或者导数来判断）
（3）分别求出各单调区间的值域，合并后得到函数在整个定义域上的值域。
【新题对点练】（2026·广西崇左·一模）函数
的值域为______.
考点02 分式型函数的最值问题
分式函数常见的形式有：
一次分式：y = ax +b
cx +d
二次分式：y = a x
2+bx +c
dx +e
或y =
ax +b
c x
2+dx +e
或y = a x
2+bx +c
d x
2+ex + f
分式函数的值域常通过分离常数、配凑成对勾函数或判别式法来求解。
1、分离常数法:通过恒等变形，将分式函数化为“常数 + 简单分式”的形式，利用反比例函数（或更一
般的有理函数）的性质求值域。对于一次分式y = ax +b
cx +d ，即可以通过分离常数法来处理。
2、配凑成对勾函数
对于二次比一次型y = a x
2+bx +c
dx +e
，可以将式子分离后再配凑成对勾函数的形式，注意定义域问题。
而对于一次比二次型y =
ax +b
c x
2+dx +e ，可以先按照二次比一次型来处理，然后再取倒数。
对于二次比二次型y = a x
2+bx +c
d x
2+ex + f
，则先分离常数。（1）若将二次比二次的函数分离常数后，变成了
“常数+常数/二次”，则直接对分母的二次进行配方，找其最值，从而可以求得分式型函数的最值。
（2）若将二次比二次的函数分离常数后，变成了“常数+一次/二次”，则可以将其中的“一次/二次”的
倒数进行分离配凑成对勾函数求最值。
3、判别式法求解
对于形如y = a x
2+bx +c
d x
2+ex + f
（分子分母至少有一个为二次的）的函数，则可以将其化为关于x的二次方程
(dy -a) x
2+(ey -b) x + fy -c =0
关于方程有实数解，则它的判别式Δ≥0且满足分母不为零的条件，从而得到关于y的不等式，解出y的范
围即为值域。
判别式法求值域，要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无
意义，都应从值域中去掉该值；②定义域是否属于
；③闭区间的边界值也要考查达到该值时的x 是否存
在；④分子、分母必须是既约分式（不可约分）．
【新题对点练】（2026·湖北·二模）已知函数
，则该函数的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点03 换元法求最值
1、观察已知函数，若变量中有互相关联的部分，可化为一致形式，则可引入新元整体代换，等到新的函
数。如二次/一次或一次/二次的函数中，可以将一次化成新元t，有利于化简。又或者带根式的，可将根
式化成新元t。在换元的问题中，一定不要忘了新元的范围。
2、三角换元：函数中若含有❑√a
2- x
2,❑√a
2+ x
2这样的结构，可转化为三角函数asinθ ,acosθ的形式。
【新题对点练】（25-26 高三上湖北省直辖县级单位期中）函数
的最大值是
_______.
难点解读01 数形结合求函数的值域
当函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，
往往会更加简单．
许多函数并非直接给出图像，但可以通过恒等变形转化为具有明确几何意义的表达式
（1）y =
❑√x
2+ px +q或y =
❑√(x -a)
2+( y -b)
2，可以转成两点间的距离
（2）y = f (x)-m
g(x)-n ，其中(f ( x), g( x))满足某种曲线方程（如圆、椭圆、直线）
（3） y =∣x -a∣+∣x -b∣表示数轴上点x到a和b的距离之和
（4）把二次函数与抛物线结合起来
难点破解（25-26 高三全国一轮复习）求函数
的值域．
素养进阶·答题技法突破
题型01 利用函数性质求函数最值
利用函数性质求最值，核心就是单调性定端点（单调则最值在边界），奇偶性减半域（对称区间只需看
一半），有界性直接得（如三角函数、指数函数的值域）。结合定义域，灵活套用即可。
【典例1】（2026河北保定一模）已知函数
在区间
上的值域为
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【典例2】（2026·云南昆明·二模）已知函数
，则
的最大值与最小值之差为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式1】（2026·江西上饶·二模）若函数
的定义域为
，则此函数的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·广东·模拟预测）已知函数
在
上最大值为，且
最小值为，则
_____．
题型02 利用对勾函数求分式型函数的最值
利用对勾函数求分式最值，关键是将分式通过分离常数或换元，化为t + k
t 的形式（k >0），然后根据t
的范围，直接写出最值。
【典例1】（2026·河南开封·模拟预测）设
，则
的最小值为_____________．
【典例2】（2026 高三全国专题练习）函数
的值域是______．
【变式1】（2026 高三全国专题练习）求函数
的值域.
【变式2】（2026 高三全国专题练习）求函数
的值域.
题型03 三角换元求函数的最值
三角换元求最值，适用于含❑√a
2- x
2、❑√a
2+ x
2等结构：设x =asinθ 或x =acosθ，将原函数化为三角
函数，利用其有界性求得最值。
【典例1】（25-26 高三上重庆阶段检测）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（25-26 高三上江苏镇江阶段检测）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26 高三全国一轮复习）函数
的值域为________．
【变式2】（25-26 高三下重庆渝中阶段检测）函数
的值域是_______．
题型04 利用韦达定理求函数的值域
利用韦达定理求值域，通常是将函数转化为关于x的二次方程，通过判别式Δ≥0得到y的不等式，解出
值域。韦达定理可用于检验根的存在性（如和积关系），但核心仍是二次方程有实根的条件。注意定义
域限制（如分母不为零）需单独验证。
【典例1】（25-26 高三全国一轮复习）求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
.
【典例2】（25-26 高三全国一轮复习）已知函数
的值域为
，求
，
的值．
【变式1】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的值域是
，则
______，
______．
【变式2】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的值域是
，求实数m，n
的值．
重难点01 数形结合求函数最值
数形结合求最值，核心是赋予函数几何意义（如斜率、距离、截距），画出图形后利用几何直观找最值
点（如切线、端点、对称点）。关键在于准确转化并注意定义域对应的图形范围。
【典例1】（2025 高三全国竞赛）函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（25-26 高三上广西崇左期末）已知函数
的值域是
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【变式1】（2026安徽合肥模拟预测）已知函数
，则
的最小值为
______．
【变式2】（2025 高三全国竞赛）函数
的最小值为_____.
优题精练·专题实战通关
1．（25-26 高三上河北期末）下列函数中，值域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三全国专题练习）函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．7
D．3
3．（2025 高三全国专题练习）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选）（2026山东枣庄一模）已知函数
，则（ ）
A．
为奇函数
B．
的值域是
C．
有极值
D．存在实数
，
，使得
在
上的值域为
5．（2026 高三全国专题练习）（
1）若函数
在
上的值域是
，则实数a 的值为
______．
（2）函数
的最小值为______．
（3）函数
的最大值为______．
6．（25-26 高三上江苏镇江开学考试）已知函数
，则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025 高三全国专题练习）函数
的值域为______.
8．（2026山西忻州模拟预测）若函数
的最小值为4，则实数
的所有取值
之和为__________.
9．（25-26 高三全国一轮复习）求函数
的值域.
10．（2025 高三全国专题练习）求函数
的最大值和最小值.
