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专题01 函数的概念与性质
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 函数的定义域的求解
1、求具体函数的定义域的策略
根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使
函数解析式有意义，又要使实际问题有意义．
2、求抽象函数的定义域的策略
（1）若已知函数
的定义域为
，则复合函数
的定义域由不等式
求出；
（3）若已知函数
的定义域为
，则
的定义域为
在
上的值域．
【注意】的形式如何，定义域均是指其中的自变量
的取值集合．
1．（2026·甘肃·一模）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数
的定义域为（ ）
A．(0,+ ∞)
B．
C．
D．
3．（2026·北京大兴·三模）函数
的定义域是______．
4．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数f (x)的定义域是
，则函数
的定义域是___．
题型02 函数解析式的求解
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方
程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．
2、换元法：主要用于解决已知
f g x
的解析式，求函数
f x 的解析式的问题．
（1）先令
g x
t ，注意分析t 的取值范围；（2）反解出x，即用含t 的代数式表示x；（3）将
f g x
中的x 度替换为t 的表示，可求得
f t 的解析式，从而求得
f x ．
3、配凑法：由已知条件
f g x
F x ，可将
F x 改写成关于
g x 的表达式，然后以x 替代
g(x)，便得
f x 的解析式．
4、方程组法：主要解决已知
f x 与
f
x 、
1
f
x
、
1
f
x
……的方程，求
f x 解析式．
例如：若条件是关于
f x 与
f
x 的条件（或者与
1
f
x
）的条件，可把x 代为x （或者把x 代为
x
1
）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出
f x ．
5．（25-26 高三上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三上·甘肃·阶段检测）已知函数f (x)满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 高三下·广东江门·开学考试）已知函数f (x)对任意实数
满足
，且
，则
（ ）
A．2❑√2
B．4 ❑√2
C．
D．
8．（25-26 高三上·甘肃武威·阶段检测）根据下列条件，求函数f (x)的解析式.
(1)已知函数f (x)是一次函数，若
，求f (x)的解析式.
(2)已知
，求f (x)的解析式.
题型03 分段函数及其应用
分段函数求值问题的解题思路：
（1）求函数值：当出现
的形式时，应从内到外依次求值．
（2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记
要代入检验．
9．（2026·浙江·一模）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
10．（25-26 高三下·重庆·阶段检测）已知函数
，则
_______.
11．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数
，且
，则
的值为_______.
12．（2026·江苏·模拟预测）已知函数
，若
，则a的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 确定函数的单调性/单调区间
判断函数的单调性的四种方法
1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性；
2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判
断单调性；
3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx 的超越函数）判断函数的单调性；
4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性．
13．（25-26 高三上·甘肃兰州·阶段检测）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（25-26 高三上·江西宜春·期末）已知
，则函数f (x)的单调递增区间为（ ）
A．
B．R
C．
D．
15．（25-26 高三上·河北雄安·期中）已知函数
在R上单调递减，则
的单调递增区间
是（ ）
A．
B．
C．(0,+ ∞)
D．
16．（2026·河北沧州·一模）已知函数
，则函数
的单调递增区间为（ ）
A．
，
B．
，(1,2)，
C．
，
D．
，
，
题型05 已知函数单调性求参数范围
利用单调性求参数的三种情况：
1、直接利用题意条件和单调性代入求参；
2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号；
3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题．
17．（2026·河北张家口·二模）已知
，若函数
在
上单调递增，则
a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数
在区间
上单调递增，则
m的可能取值是（ ）
A．
B．-2
C．4
D．- 4
19．（2026·河北·二模）若函数
在区间
上单调递减，则实数b为（ ）
A．
B．
C．
❑√3
3
D．
20．（25-26 高三下·河北沧州·阶段检测）已知函数
在区间(1,2)存在单调递增区间，则
正数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．(2,+∞)
题型06 与函数最值/值域有关的问题
求函数最值（值域）的方法
（1）单调性法；（2）图象法；（3）基本不等式法．
【注意】对于较复杂的函数，可通过换元、分离常数法等进行转化，对于无法变形化简的函数，则常利
用导数法判断函数的单调性，从而求出其值域．
21．（2026·湖北·二模）已知函数
，则该函数的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．(-1,+∞)
22．（2026·云南昆明·二模）已知函数
，则f (x)的最大值与最小值之差为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
23．（2026·湖南·三模）已知函数
且
在
上的值域为
，则a=
（ ）
A．4
B．2
C．1
2
D．
24．（2026·河北邢台·一模）若函数
有最小值，则k 的取值范围是________．
题型07 函数奇偶性的判断
1、判断函数奇偶性的要点
（1）函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件；
（2）若定义域关于原点对称，则判断
与
是否具有等量关系，具体运算中，可转化为判断
(奇函数)或
（偶函数)是否成立．
2、在公共定义域内：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，
偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数．
25．（2026·河南开封·二模）（多选）下列函数是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（25-26 高三下·河南许昌·期中）定义在R上的函数
，并且满足
，则下列一
定正确的是（ ）
A．f (x)是奇函数
B．f (x)是偶函数
C．g(x)是奇函数
D．g(x)是偶函数
27．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为
，则下列函数一定为奇函数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（2026·广西河池·三模）（多选）已知定义在R上的函数f (x)满足
，且
为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f (x)为奇函数
B．函数
为奇函数
C．函数f (x)是偶函数
D．函数
是偶函数
题型08 函数奇偶性的应用
1、求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；
2、求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出；
3、求参数：利用待定系数法求解，根据
得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等
性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值．
29．（25-26 高三下·河南新乡·阶段检测）已知f (x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，
，
则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（2025·浙江·三模）已知函数
为奇函数，则
________.
31．（2026·湖南·三模）设f (x)是奇函数，且
，则
______．
32．（25-26 高三上·广东深圳·阶段检测）函数
在区间
上的最大值为a，最
小值为b，则
_____．
题型09 函数周期性及其应用
常见求周期的技巧：（a 是不为0 的常数）
（1）若
f x
a
f x ，则
T
a ； （2）若
f x
a
f x
a ，则
2
T
a ；
（3）若
f x
a
f x ，则
2
T
a ； （4）若
1
f x
a
f x ，则
2
T
a ；
（5）若
1
f x
a
f x ，则
2
T
a
； （6）若
f x
a
f x
b ，则
T
a
b （
a
b
）
33．（2026·安徽安庆·模拟预测）设f (x)是周期为4 的奇函数，当0≤x ≤1时，
，则
______．
34．（2026·四川成都·三模）已知奇函数f (x)满足
，当
时，
，则
（ ）
A．0
B．1
C．3
D．5
35．（25-26 高三下·江西·阶段检测）已知f ( x)是定义在
上的偶函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．3
D．7
36．（25-26 高三下·江苏泰州·阶段检测）已知定义在R上的奇函数f (x)满足
，当0≤x ≤1时，
，则
（ ）
A．
B．- 1
2
C．1
3
D．1
2
题型10 函数对称性及其应用
1、关于线对称：若函数
满足
，则函数
关于直线
对称，特别
地，当a＝b＝0 时，函数
关于y 轴对称，此时函数
是偶函数．
2、关于点对称：若函数
满足
2
2
f
a
x
b
f x ，则函数
关于点(a，b)对称，特别
地，当a＝0，b＝0 时，
，则函数
关于原点对称，此时函数
是奇函数．
37．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数
是中心对称图形，则（ ）
A．
B．
C．
D．
38．（2026·河南郑州·模拟预测）函数
的图象关于点
对称，且
，则
______．
39．（2026·安徽合肥·模拟预测）（多选）下列函数中，其图像是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
40．（2026·湖南·模拟预测）（多选）下列函数的图象关于直线
对称的有（ ）
A．
B．
C．
D．
题型11 利用函数的性质比较大小
比较函数值的大小：先将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
41．（2026·湖北·三模）已知函数
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
42．（25-26 高三下·河南·阶段检测）已知函数
，设
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
43．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为
的函数f ( x)满足
，且对任意x1，
，
当
时，都有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
44．（2026·河南周口·三模）已知函数f ( x)的定义域为
，
，且f (x)在(2,+∞)上
单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型12 利用函数的性质解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成
或
的形
式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相
反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．
45．（2026·湖南·模拟预测）已知函数f (x)是定义在
上的增函数．若
，则x 的取值
范围是（ ）
A．(1,2)
B．
C．(2,+ ∞)
D．
46．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在
上的函数f (x)满足
，
，都有
成立，则不等式
的解集为（ ）
A．(1,2)
B．
C．(2,+ ∞)
D．
47．（2026·江苏无锡·三模）已知函数
，其中e是自然对数的底数，若
，
则实数a的取值范围是__________.
48．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数
，则
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型13 函数性质的综合应用
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解
题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一个区间的单调性，即实现区间的转换，
再利用单调性解决相关问题．
49．（25-26 高三上·山东泰安·期末）（多选）已知定义在R 上的函数f ( x)满足
，且
为
奇函数，则下列选项正确的是（ ）
A．f ( x)的图象关于直线
对称
B．
C．
D．
50．（2025·福建福州·一模）（多选）已知定义在R上的偶函数f (x)和奇函数g(x)满足
，
则（ ）
A．f (x)的图象关于点
对称
B．f (x)是以8 为周期的周期函数
C．
D．
51．（2026·湖南长沙·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．f (x)的定义域为
B．f (x)在
单调递减
C．y = f (x)的图像关于直线
对称
D．f (x)有最大值
52．（2026·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知函数f (x)是定义域为R 的偶函数且
，
，
且满足
，则（ ）
A．f (x)是周期函数
B．直线
是f (x)图象的一条对称轴
C．
D．
题型14 抽象函数的性质及其应用
1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出
某处的函数值或某抽象代数式的值．常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令
等特殊值求抽象函数的函数值．
2、判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论；
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系．有时可能要进行多次尝试．
** 错误的表达式 **若给出的是“和型”抽象函数
y
x
f
，判断符号时要变形为：
1
1
1
2
1
2
)
(
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
2
1
2
1
2
)
(
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
；
** 错误的表达式 **若给出的是“积型”抽象函数
xy
f
，判断符号时要变形为：
1
1
2
1
1
2
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
1
2
2
1
2
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
．
53．（25-26 高三上·山东日照·期末）已知函数f (x)的定义域为
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．f (x)是奇函数
C．
D．
54．（25-26 高三上·江苏无锡·期末）（多选）函数y = f (x)在R 上的图象是一条连续不断的曲线，
，
，则（ ）
A．
B．
C．f (x)是奇函数
D．f (x)零点个数大于1
55．（25-26 高三上·河南南阳·期末）（多选）定义域为
的函数f (x)满足：①
，
②f (x)的图象过点(1,1)，则（ ）
A．
B．f (x)为偶函数
C．f (x)的图象关于点
中心对称
D．
56．（2026·湖南·三模）（多选）定义在R 上的函数f ( x)，g( x)满足：
，
，若g( x)为偶函数，且
，g( x)恒大于0，则下列选项正确的是
（ ）
A．f ( x)为奇函数
B．
C．
D．若
，则
