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专题01 三角函数概念及公式应用
题型1 终边相同的角
1.判断两个角α 、β终边是否相同的方法：(1)计算α - β，
(2)判断α - β是否等于360°(或2π)的整数倍；若是，则α 、β终边相同；若否则α 、β终边不相同。
2.与角α终边相同的角(连同α)，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
1.(23-24 高一上·山东枣庄·期末)已知集合
钝角，
第二象限角，
小于
的角，则(
)
A．
B．
C．
D．
2.(23-24 高一上·山东菏泽·期末)集合
，
，
，则
集合
中的元素个数为( )
A．
B．
C．
D．
3.(25-26 高一上·全国·课后作业)已知角
的终边在图中阴影部分内，则角
的取值范围是( )
A．
或
B．
或
C．
D．
4.(2025 高三上·海南海口·阶段练习)若角
的终边落在如图所示的阴影部分内(含边界)，则角
的取值
范围是( )
A．
B．
C．
D．
5.(23-24 高一下·河南·阶段练习)如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角
的集合是( )
A．
B．
C．
D．
6.(22-23 高一上·北京朝阳·期末)设集合
，集合
，则
与
的关系为( )
A．
B．
C．
D．
7.(多选)(2025 高一下·湖南长沙·期末)与405°角终边相同的角是( )．
A．
B．
C．
D．
8.(2025 高一上·重庆·阶段练习)在0 到
范围内，与角
终边相同的角是 (用弧度制表示).
题型2 确定角的象限
确定角的象限的方法：先求出在[0,2π )内与α终边相同的角α0，则α的象限就是α0的象限。
1.(2025 高一下·天津·期中)
的终边在第 象限．
2.(2024·江苏苏州·模拟预测)
所在的象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．(2025 高一下·湖北恩施·期末)若
，则
的终边位于平面直角坐标系第几象限( )
A．一
B．二
C．三
D．四
4.(2025 高一下·安徽蚌埠·阶段练习)若角
，则它是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
5．(20-21 高一上·山东济南·期末)“
”是“
是第一象限角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．(2025 高一下·上海·期中)“
为锐角”是“
”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．(2025 高一上·贵州毕节·期末)若
是钝角，则
是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
8.(2025 高一上·宁夏固原·期末)若
是第三象限角，则
是( )
A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角
9.(2025 高二下·湖南郴州·阶段练习)下列说法正确的是( )
A．第一象限角一定是锐角 B．若
是钝角，则
是第一象限角
C．大于
的角一定是钝角 D．若
是锐角，则
是第二象限角
10.(23-24 高一上·山东菏泽·期末)集合
，
，
，则
集合
中的元素个数为( )
A．
B．
C．
D．
11.(23-24 高三下·江西·阶段练习)集合
，集合
，
则
( )
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
12.(多选)(2025 高一下·陕西渭南·期中)已知角
的终边在第四象限，则
的终边可能在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．(多选)(23-24 高一上·广东广州·期末)下列说法正确的是( )
A．
与
的终边相同 B．若
，则
C．若
是第二象限角，则
是第一象限角
D．已知某扇形的半径为2，面积为
，那么此扇形的弧长为
题型3 弧度制
角度制与弧度制的换算
(1)1°＝π
180 rad；(2)1 rad＝( 180
π )
°
≈57.3° =57°18
'.
1.(25-26 高一上·全国·课后作业)把
化成角度是( )
A．
B．
C．
D．
2．(2025·浙江温州·二模)扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于( )
A．1
B．
C．3
D．6
3．(2025·河北衡水·模拟预测)已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为( )
A．
B．
C．
D．
4．(2025 高三上·湖南·阶段练习)如图，圆
的半径为1，劣弧
的长为
，则阴影部分的面积为( )
A．
B．
C．
D．
5．(2025 高三上·湖南·阶段练习)某机器上有相互啮合的大小两个齿轮(如图所示)，大轮有50 个齿，小
轮有15 个齿，小轮每分钟转10 圈，若大轮的半径为
，则大轮每秒转过的弧长是( )
A．
B．
C．
D．
6．(23-24 高三上·江西抚州·阶段练习)蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.
如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1 的线段
，作一个
等边三角形
，然后以点B 为圆心，
为半径逆时针画圆弧交线段
的延长线于点D(第一段圆弧)，
再以点C 为圆心，
为半径逆时针画圆弧交线段
的延长线于点E，再以点A 为圆心，
为半径逆时针
画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15 段圆弧时，“蚊香”的长度为( )
A．
B．
C．
D．
7.(2025·河南新乡·模拟预测)如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是
的外接圆的圆弧，另一个是以AB 为直径的圆的一部分圆弧，已知
，
，则该月
牙形即阴影部分面积为( )
A．
B．
C．
D．
8.(2025·广西南宁·模拟预测)某烘焙店制作了一个圆柱形状的蛋糕，顾客要求均分成24 块，店家计划将
蛋糕按左图方式切割．先将蛋糕均分成8 块，再按照右图将每个
角蛋糕近似的均分成三块，从弧
的中
点B 出发，左右对称各切1 刀，已知右图中
，则
的长度约为( )
(其中
，计算结果小数点请保留到
)
A．
B．
C．
D．
9.(2025·甘肃白银·二模)已知动点
的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4 的正
方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面
积为( )
A．
B．
C．
D．
10.(多选)(25-26 高一上·全国·课后作业)下列转化结果正确的是( )
A．
化成弧度是
B．
化成角度是
C．
化成弧度是
D．
化成角度是
11.(多选)(2025 高三上·云南昭通·阶段练习)下列转化结果正确的是( )
A．
化成弧度是
B．
化成弧度是
C．
化成角度是
D．
化成角度是
12．(多选)(2023·吉林·二模)如图，A，B 是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A 在(1，0)处，
质点B 在第一象限，且
.质点A 以
的角速度按顺时针方向运动，质点B 同时以
的
角速度按逆时针方向运动，则( )
A．经过1 后，扇形AOB 的面积为
B．经过2 后，劣弧
的长为
C．经过6 后，质点B 的坐标为
D．经过
后，质点A，B 在单位圆上第一次相遇
13.(2024·全国·模拟预测)将120°化为弧度制为 ．
题型4 扇形的弧长与面积
1.如果半径为r 的圆的圆心角α 所对弧的长为l，那么，角α 的弧度数的绝对值是|α|＝l
r
2.相关公式：(1)扇形的弧长公式：l＝n π r
180
＝|α|r. (2)扇形的面积公式：S＝1
2lr＝n π r
2
360
＝1
2|α|r2.
1.(2025 高一下·辽宁抚顺·期中)已知扇形的半径为6，圆心角为20°，则该扇形的弧长为( )
A．
B．
C．60
D．120
2.(2025 高三下·四川雅安·阶段练习)已知甲同学手表的分针长2cm，把快了12 分钟的该手表校准后，该
手表的分针尖端所走过的弧长为( )
A．
B．
C．
D．
3.(2024 广西来宾模拟)机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边
三角形ABC，再分别以点A，B，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB 长为
1，则莱洛三角形的周长是( )
A．
B．
C．
D．
4.(2024 湖南长沙一模)“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图
是以
为圆心，
为半径的圆弧，
是
的中点，
在
上，
，则
的弧长的近似值
的计算公式：
.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓慢
下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6 米，
该圆弧所对的圆心角为
，则伞的弧长大约为( )
A．5.3 米
B．6.3 米
C．8.3 米
D．11.3 米
5. (2024 山东青·一模)2024 年2 月4 日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举
行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”(图1)就
是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现
要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图2)：
cm，
cm，
cm，若
，
，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为( )
A．
B．
C．
D．
6．(2025·山西·三模)如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．
主动轮有20 齿，被动轮有48 齿，主动轮的转速为
(转/分)，被动轮的半径为
，则被动轮周
上一点每
转过的弧长是
．
7．(2025·甘肃·一模)如图，甲、乙两人在这段弧形路段跑步，该路段的内、外弧线为两个同心圆的
圆
周，内弧半径为
米，路宽为米，两人均从外弧
点处跑入该路段，甲沿内弧切线方向跑至切点
，又沿
内弧
跑至点
处后跑出该路段，乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上
点处，再沿外弧
跑至点
处后
跑出该路段，则在该路段跑动距离更短的是 (填“甲”或“乙”)，两人跑动距离之差的绝对值
约为 米.(结果精确到
米，参考数据：
，
)
题型5 三角函数概念
1.利用单位圆定义三角函数：设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
sin α＝y. cos α＝x. tan α＝y
x (x≠0).
2.利用终边上的点定义三角函数：设α 是一个任意角，它的终边过点P(x，y)，|OP|=r那么：
sin α＝y
r . cos α＝x
r . tan α＝y
x (x≠0).
3.注意定义中的关系：r =
❑√x
2+ y
2.
1.(2025 内蒙古包头二模)已知角
的终边经过点
，则( )
A．cosɑ= 1
2 B．
C．Sinɑ=-
❑√3
2 D．
2.(2025 高一下·上海宝山·阶段练习)已知角
终边上一点
，若
，则实数
的值为( )
A．1
B．2
C．±1
D．
3.(2025 高二下·浙江·阶段练习)已知角
终边与单位圆交于点
，则( )
A．
B．
C．
D．
4.(2025 高一下·陕西汉中·阶段练习)若角
的顶点是坐标原点
，始边与
轴非负半轴重合，点
在角
的终边上，则
( )
A．
B．
C．
D．
5.(2024 贵州贵阳模拟)已知点
是角
终边上一点，则
( )
A．
B．
C．
D．
6.(2025 高一下·山东潍坊·阶段练习)设
是第二象限角，
为其终边上一点，且
，则
( )
A．
B．
C．
D．
7.(2025 高三上福建龙岩阶段练习)已知角
顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交
于点
，则
( )
A．
B．
C．
D．
8.(2024 河南一模)角α终边落在直线y = x上，则有( )
A．sin α =-
❑√2
2
B．cosα =
❑√2
2
C．sin α +cosα =± ❑√2 D．tan α =±1
9.(2024 北京房山一模)角α终边经过点(3,4)，把角α终边绕原点O 逆时针旋转π
2 得到角β终边，则sin β =(
)
A．- 4
5
B．4
5
C．- 3
5
D．3
5
10.(2025 高一下·四川成都·阶段练习)已知点
在角的终边上，且
，则的值为( )
A．
B．
C．
D．
11.(2025 高一下·河南·阶段练习)若角
的终边经过点(-3,3 ❑√2)，则
( )
A．
B．
C．
D．2
12.(2025 高一下·辽宁朝阳·阶段练习)在平面直角坐标系中，若角
的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正
半轴，终边经过点
，则
( )
A．
B．
C．
D．
13.(2024 浙江金华三模)已知角
的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合.若
为角
终边上
的一点，则
．
题型6 三角函数符号
符号法则：一全二正三切四余；
角的象限决定三角函数的符号。
1．(23-24 高一上·广东深圳·期末)“
”是“ 为第一象限角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．(2022·浙江·模拟预测)已知
，则“
”是“角为第一或第四象限角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要
3．(2024·安徽芜湖·模拟预测)角为第三象限角的充要条件是( )
A．
B．
C．
D．
4．(2024·河南商丘·模拟预测)“
”是“
为第一象限角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．(2024·北京延庆·一模)“
”是“
为第一或第三象限角”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．(23-24 高一上·广东深圳·期末)“
且
”是“ 为第四象限角”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．(23-24 高一上·四川内江·期末)已知
，
，则
的终边在( )
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
8．(23-24 高三上·甘肃白银·阶段练习)“
”是“
为第一象限角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．(23-24 高三上·辽宁朝阳·阶段练习)“
”是“
”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10.(2025·黑龙江·模拟预测)若
且
同时成立，则是( )
A．第四象限角
B．第三象限角
C．第二象限角
D．第一象限角
11．(多选)(23-24 高一上·广东深圳·期末)若角
的终边经过点
，则下列结论正确的是(
)
A．
是钝角
B．
是第二象限角
C．
D．点
在第四象限
题型7 三角函数值线
三角函数线：用单位圆中的有向线段的数量表示三角函数值.
其中：sin α = MP，cosα =OM，tan α = AT；
当角α 的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α 的正弦值和正切值都为0;
当角α 的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α 的余弦值为0,正切值不存
在.
1．(2024·全国·模拟预测)设
，则( )
A．
B．
C．
D．
2．(23-24 高三上·云南保山·期末)已知
，
，
，则( )
A．
B．
C．
D．
3.(2025 高三陕西榆林)在
内，则满足不等式
的取值集合是 .
4.(24-25 高三上·北京朝阳·期末)使不等式
成立的一个的值是 ．
题型8 同角关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：sin α
cosα ＝tan α(α ≠k π + π
2 , k ∈Z )．
变形：(1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α=1±sin 2α，
(2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
(3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(4)sin α＝tan αcos α(α ≠k π + π
2 , k ∈Z )．
1.(2025·云南昭通·模拟预测)“
”是“
”的( )
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2025·广东深圳·二模)若
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
3．(2025·湖南长沙·三模)若
，则
4.(2025·江苏泰州·二模)已知
，且
，则
．
5.(2025·四川达州·模拟预测)已知
，且
，则
.
题型9 弦的齐次式
(1)一次：ksinα +tcosα
msinα +ncosα = ktanα +t
mtanα +n
；
(2)二次：k sin
2α +tsinα cosα + pcos
2α
msin
2α +nsinα cosα +qcos
2α
= k tan
2α +t ∙tan α + p
m tan
2α +ntanα +1
；
(3)1 的代换：
k sin
2α +tsinα cosα + pcos
2α = k sin
2α +tsinα cosα + pcos
2α
1
= k sin
2α +tsinα cosα + pcos
2α
sin
2α +cos
2α
= k tan
2
；
1.(2025·河北张家口·二模)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．
2.(2025·江苏淮安·模拟预测)已知为第四象限角，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
3．(2025·贵州黔南·三模)若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
4.(2025 高三下·江苏常州·阶段练习)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．
5．(2025·广西柳州·模拟预测)已知
，则
( )
A．
B．
C．2
D．
6．(2025·甘肃白银·模拟预测)若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
7．(2025·宁夏银川·三模)利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间的三角函数值，
右表是部分5°的奇数倍锐角的正切值(用字母代替)，则
( )
5
°
15
°
25
°
35
°
m
n
p
q
A．
B．
C．
D．
8．(2025·山东德州·三模)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．
9．(2025·山东济南·三模)已知
，则
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
题型10 正余弦三剑客(sinɑ±cosɑ 与 sinɑ·cosɑ)
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，
所以，在sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α 这三者中：知一求二。其中难点是符号。
1.(2025·河北·模拟预测)已知
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
2.(2025·辽宁辽阳·二模)已知
为第一象限角，且
，则
( )
A．
B．
C．
D．
3．(2025·四川成都·三模)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．
4.(2025·甘肃甘南·模拟预测)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．
5.(2025 高三下·湖南长沙·阶段练习)已知
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
6.(2025·湖南长沙·二模)(多选)已知
，
，则下列各式正确的有( )
A．
B．
C．
D．
7.(多选)(2025 高一上·吉林通化·期末)已知
，
，则下列等式正确的是( )
A．
B．
C．
D．
8.(2025 高一下·内蒙古赤峰·期中)已知
，则
．
9.(2025·四川·三模)赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，
亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形由4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．如
图的“赵爽弦图”中小正方形的面积为49，大正方形的面积为169，直角三角形中较大的锐角为
，则
( )
A．
B．
C．
D．
题型11 诱导公式、和差角公式、二倍角公式
1.和差角公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))；
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))；
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))
tan(α - β)= tan α - tan β
1+ tan α tan β (T(α－β)) (α , β ,α - β ≠π
2 + k π , k ∈Z )
tan(α + β)= tan α + tan β
1- tan α tan β (T(α＋β)) (α , β ,α + β ≠π
2 +k π , k ∈Z )
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan2α = 2tan α
1- tan
2α (α ≠k π + π
2 , 且α ≠k π
2 + π
4 , k ∈Z )．
1.(2025·四川·模拟预测)若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
2.(2025·海南省直辖县级单位·模拟预测)
( )
A．
B．
C．
D．
3.(2025·吉林长春·模拟预测)已知
，则
的值是( )
A．
B．
C．
D．
4.(2025 山东烟台一模)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．2
5.(2025·山东·模拟预测)若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
6.(2025·江西·一模)化简
( )
A．
B．
C．1
D．
7.(2023·河北·模拟预测)若
，则
( )
A．
B．
C．
D．1
8.(2025·海南海口·模拟预测)若
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
9.(2025·广东惠州·模拟预测)我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成
的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较小的锐角为
，
那么
( )
A．
B．
C．
D．
10.(2024 广东佛山·期中)(多选)下列选项中，值为
的是( )
A．
B．
C．
D．
11．(2025·浙江杭州·模拟预测)(多选)已知
，则下
列结论正确的是( )
A．
B．
C．
D．
12.(2025·湖南长沙·二模)已知角
终边上一点
，则
；
13.(2025 高三全国专题练习)已知
，则
．
14．(2024 山东二模)在平面直角坐标系中，角
的始边与轴非负半轴重合，终边经过点
，则
．
15.(2025·湖南长沙·三模)若
，则
题型12 辅助角公式
辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)( 其中sin φ =
b
❑√a
2+b
2 , cosφ =
a
❑√a
2+b
2 )．
特别的 sin α±cos α＝sin(α ± π
4 )；
sin α±cos α＝2sin(α ± π
3 )；
sin α±cos α＝2sin(α ± π
6 )．
1.(2025·河北保定·二模)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．
2.(2025·江苏宿迁·模拟预测)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．
3.(多选)(24-25 高一下·四川成都·期中)下列计算正确的有( )
A．
B．
C．
D．
4.(2025·四川成都·模拟预测)已知
，则
的值为 ．
题型13 给角求值
从几个方面处理：
(1)能否利用诱导公式化为同一个角(或者减少角的个数)；
(2)如果化为同一个角的式子，则利用同角关系解，或者换元后化为函数利用函数知识解；
(3)如果化为两个角的式子，则利用和差角公式等进行化简；
1.(2025·江西·模拟预测)
的值为( )
A．1
B．2
C．
D．
2.(2025·江苏宿迁·阶段练习)
( )
A．
B．
C．
D．
3．(2025·四川南充·三模)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．
4．(2025·高三上·河北石家庄·期末)
( )
A．
B．
C．
D．
5.(23-24·高一下·安徽芜湖·开学考试)
( )
A．
B．
C．
D．
6.(2025·湖南永州·模拟预测)
的值为( )
A．
B．
C．
D．
7．(2025·四川·模拟预测)(多选)下列各式正确的是( )
A．
B．
C．
D．
8．(2025 ·江苏)
．
题型14 给值求角
给值求角问题的一般步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求角的某一个三角函数值．即根据已知条件，选取合适的三角函数求值．
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．
若角的范围是(0, π
2 )，选正、余弦函数皆可；
若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；
若角的范围是(- π
2 , π
2 )，选正弦函数较好．
(3)结合三角函数值及角的范围写出所求的角．
1.(2025·广东珠海·模拟预测)设
，
，且
，则( )
A．
B．
C．
D．
2．(2024·黑龙江双鸭山·模拟预测)已知
，
，且
，则
的值为( )
A．
B．
C．
D．
3.(2025·黑龙江·二模)已知
，且
为钝角，则
.
5.(2025 江苏扬州·期中)已知
，
，
，
，则
的值为 .
6．(2024·陕西铜川·模拟预测)若
，且
，则
的值为 ．
题型15 给值求值
给值求值问题的一般思路：
(1)确定已知式子中的角与要求式子的角是否有关系：即观察要求式子的角能否用已知角表示．
(2)将要求式子的角化为已知角的式子，
(3)通过三角恒等变换，利用和差角公式、二倍角公式等化简成与已知角的正弦、余弦、正切有关的式
子，(4)最后根据已知的值即可求出．
1.(2025·湖南长沙·模拟预测)已知
，
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
2.(2025·安徽淮北·模拟预测)已知
且
则tanβ=( )
A．3
B．2
C．
D．
3.(2025·河南·三模)已知
，且
，则
( )
A．
B．
C．
D．
4．(2025·甘肃白银·一模)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．
5．(2025·广东广州·三模)已知
都是锐角，
，则
的值为( )
A．
B．
C．
D．
6．(2025·湖南长沙·模拟预测)已知
，
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
7．(2025·安徽蚌埠·三模)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．
8.(2025·内蒙古包头·模拟预测)已知
，则
.
题型16 角的拼凑
(1)α =2∙α
2
；
(2)α =(α + β)- β；α = β -( β -α )；
(3)α = 1
2 [(α + β)+(α - β)]；β = 1
2 [(α + β)-(α - β)]；
(4)( π
4 +α )= π
2 -( π
4 -α )；α = π
4 -( π
4 -α ).
1.(2025·甘肃白银·模拟预测)若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
2.(2025·河北张家口·三模)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．
3.(2025·黑龙江大庆·三模)若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
4．(2025 河北秦皇岛模拟预测)已知
为锐角，若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
5.(2025 山东模拟预测)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．
6.(2025·安徽蚌埠·三模)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．
7.(2025 福建莆田二模)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．
8.(2025·河北·二模)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．
9.(2025 高三下江西开学考试)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．
