文档文本内容
专题01 三角函数的概念与三角恒等变换
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。
【知能解读01】任意角与弧度制
【知能解读02】三角函数的概念
【知能解读03】诱导公式
【知能解读04】三角恒等变换公式
03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。
【重难点突破01】sinα，cosα 齐次式中“切弦互化”的技巧
【重难点突破02】sinα±cosα 与sinαcosα 关系的应用
【重难点突破03】三角函数式的化简要遵循“三看”原则
【重难点突破04】寻找角的关系
【重难点突破05】积化和差与和差化积公式
04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。
【易混易错01】忽略角的度量单位的一致性
【易混易错02】忽略终边相同角的公式中π 的系数的要求，不能分类讨论
【易混易错03】应用三角函数的定义求值时遗漏终边的位置
【易混易错04】应用三角函数的定义求参数时
【易混易错05】忽略参数的取值范围忽略题目隐含范围致错
【易混易错06】不能精确确定角的取值范围导致错解
05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类
【方法技巧01】确定角终边所在象限的方法
【方法技巧02】扇形的弧长与面积应用
【方法技巧03】三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
【方法技巧04】对 sin a，cos a，tan a 的知一求二问题
【方法技巧05】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
【方法技巧06】给值求值问题的求解策略
【方法技巧07】给值求角问题的求解策略
01 任意角与弧度制
1.角的相关概念
（1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
（2）角的表示：如图，射线OA 为始边，射线OB 为终边，点
为角的顶点.“角
”或“
“可简记
为“
”．
（3）角的分类
名称
定义
图形
正角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有做任何旋转形成的角
这样,我们就把角的概念推广到了任意角，
（4）相等的角：设角
由射线OA 绕端点
旋转而成，角
由射线
绕端点
旋转而成。如果它们的
旋转方向相同且旋转量相等，那么就称
．
（5）角的加、减法
①角的加法：设
是任意两个角，把角
的终边旋转角
，这时终边所对应的角是
．
②相反角：把射线OA 绕端点
按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角
的相反角记为
.
③角的减法：像实数减法的＂减去一个数等于加上这个数的相反数＂一样，我们有
．这
样，角的减法可以转化为角的加法．
2.终边相同的角
所有与角
终边相同的角，连同角
在内，可构成一个集合
，即任一与
角
终边相同的角，都可以表示成角
与整数个周角的和．如图，
角、
角和
角都是以
射线OB 为终边的角，它们是终边相同的角．
3.象限角与轴线角
（1）象限角、轴线角的概念：在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半
轴重合，那么，角的终边在第几象限，便称此角为第几象限角。
如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角．
（2）象限角的集合
①第一象限角：
．【
锐角是第一象限角，反之不成立.】
②第二象限角：
．【
钝角是第二象限角,反之不成
立.】
③第三象限角：
．
④第四象限角：
．
（3）轴线角的集合
角
终边的位置
角
的集合
特点
在
轴的非负半轴上
集合中角之间的差都为
360°的整数倍
在
轴的非负半轴上
在
轴的非负半轴上
在
轴的非正半轴上
在
轴上
集合中角之间的差都为
180°的整数倍
在
轴上
在坐标轴上
集合中角之间的差为90°
的整数倍
象限角的注意事项
1．象限角必须具备两个条件： （1）角的顶点与原点重合； （2）角的始边与
轴非负半轴重合．如图
所示，
为第二象限角，
为第一象限角，
不能确定是第几象限角，因为始边没有与
轴的非负半轴重合。
2．象限角只能反映角的终边所在的象限，不能反映角的大小，不能说第二象限角大于第一象限角．
终边在
轴上的角的集合的推导过程
角
的终边在
轴的非负半轴上的角的集合记为
，则
．
角
的终边在
轴的非正半轴上的角的集合记为
，则
.
角
的终边在x 轴上的角的集合记为
,
【真题实战】（2025·江苏苏州·模拟预测）
所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4.角度制、弧度制的概念
（1）角度制：用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．规定1 度的角等于周角的
．
（2）弧度制
定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，弧度记作rad
角α 的弧度数公式
|α|＝(弧长用l 表示)
角度与弧度的换算
;
.
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
角的表示的书写规范
角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，如
，
的写法都是不规范的，应写为
.
5.角度与弧度的互化
（1）角度与弧度的互化
角度化弧度
角度数
弧度数
弧度化角度
（2）一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度
弧度
（3）用弧度表示终边相同的角：用弧度表示与角
终边相同的角的一般形式为
。这
些角所组成的集合为
.在弧度制下，
第一象限角的集合为
；
第二象限角的集合为
；
第三象限角的集合为
；
第四象限角的集合为
．
在弧度制下，轴线角的集合
在
轴的非负半轴上的角的集合为
；
在
轴的非正半轴上的角的集合为
；
在
轴的非负半轴上的角的集合为
；
在
轴的非正半轴上的角的集合为
．
6.扇形的弧长公式和面积公式
设扇形的半径为
，弧长为，圆心角为
（
为其圆心角的弧度数，且
），则
角度制
弧度制
弧长公式
面积公式
对扇形的弧长公式和面积公式的理解
（1）在公式中，已知
中的两个量可以求出另外两个量．
（2）运用弧度制下的公式时要注意前提：
为弧度数。
（3）在运用公式时，还应熟练掌握这两个公式的相关变形：
【真题实战1】（2025·山西·三模）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋
转而旋转．主动轮有20 齿，被动轮有48 齿，主动轮的转速为
（转/分），被动轮的半径为
，则被动轮周上一点每
转过的弧长是
．
【真题实战2】（2025·甘肃白银·二模）已知动点
的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个
边长为4 的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该
阴影区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
弧度制下扇形面积公式的记忆技巧
扇形的面积公式可类比三角形的面积公式记忆，把扇形看成曲边三角形，弧长看成三角形的底，半径
看成三角形的高，面积等于底乘高除以2，即扇形的面积
．
02 三角函数的概念
1.三角函数的概念
（1）利用单位圆定义任意角的三角函数
如图，设
是一个任意角，
，它的终边
与单位圆相交于点
，那么：
把点
的纵坐标
叫做
的正弦函数，记作
，即
；
把点
的横坐标
叫做
的余弦函数，记作
，即
；
把点
的纵坐标与横坐标的比值
叫做
的正切，记作
，即
，以此比值为
函数值的函数称为正切函数．
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数
；余
弦函数
；正切函数
，
．
（1）在三角函数的概念中，应该明确
是一个任意角.（2）要明确
是一个整体，不是
与
的乘积，它是＂正弦函数＂的一个记号，就如
表示自变量为
的函数一样，单独的＂
＂＂
＂＂
＂是没有意义的.（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以
看成是自变量为实数的函数．（4）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和
在终边上
的位置无关，只与角
的终边位置有关，对于确定的角
，其终边的位置也随之确定.
（2）利用角
的终边上任意一点的坐标定义三角函数
①如图，设
是一个任意角，
是它终边上任意一点（不与原点
重合），点
与原点的距离是
，那么：
a.比值
叫做
的正弦函数，记作
，即
；
b.比值
叫做
的余弦函数，记作
，即
；
C.比值
叫做
的正切函数，记作
，即
．
直角三角形中的三角函数
在 Rt Δ ABC 中，C =90
°, A 的对边与斜边的比值叫做 A 的正弦函数，即 sinA = 对边
斜边= BC
AB ; A的邻
直角边与斜边的比值叫做 A的余弦函数，即 cosA = 邻直角边
斜边
= AC
AB ; A的对边与邻直角边的比值叫做
A 的正切函数，即 tanA =
对边
邻直角边= BC
AC ．
②一些特殊角的三角函数值
0
0
1
0
-1
1
0
-1
0
0
1
—
-1
0
—
三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和
在终边上的位置无关，只与角
的终边
位置有关，对于确定的角
，其终边的位置也随之确定.
同一个三角函数值对应的角有无数个，如 sin α = 1
2 ，则 α =2kπ + π
6 或 α =2kπ + 5 π
6
(k ∈Z) ．
【真题实战1】（2025·全国·模拟预测）在
中，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【真题实战2】（2025·北京·三模）已知集合
则集合M 的元素个数为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
2.三角函数的定义域和值域
三角函数
定义域
值域
{α 丨α ≠π
2 + kπ ,k ∈Z}
正弦函数的值域
已知角
的终边上除原点外的任一点
，则
，所以
，即
.
3.三角函数值在各象限内的符号
口诀记忆：上加下减；左减右加；左斜减，又斜加.
【真题实战1】（2025·上海普陀·二模）设
，在平面直角坐标系xOy 中，角
的顶点在坐标原点，始
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
叫做α 的正弦，记作
sin α
叫做α 的余弦，记作cos
α
叫做α 的正切，记作tan
α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线
有向线段MP 为正弦线
有向线段OM 为余弦线
有向线段AT 为正切线
边与
轴的正半轴重合，若角
的终边经过点
，且
，则角
属于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【真题实战2】（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系
中，角
以
为始边，其终边落在第一象
限，则下列三角函数值中一定大于零的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.同角三角函数基本关系式
（1）同角三角函数的基本关系
①平方关系：
②商数关系：
（2）基本关系式的几种变形
①
.
②
.
③
与
的区别
是
的简写，读作＂
的平方＂，而
是
的正弦，两者是不同的，要弄清它们的
区别，并能正确书写.
同角三角函数的基本关系的推导
如图，设点
是角
的终边与单位圆的交点，过
作
轴的垂线，交
轴于
，则
是直角
三角形，而且
．由勾股定理得
，因此，
，即
．显
然，当
的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．根据正切函数的定义，当
时，有
.
（3）同角三角函数的基本关系的常见变形
①
注意正负号.
②
.
对同角三角函数的基本关系的理解
（1）同角三角函数的基本关系中的角都是＂同一个角＂，注意
不一定成立。 ＂同角
＂与角的表示形式无关，定
成立，这里的角是指
．
（2）同角三角函数的基本关系是针对使三角函数有意义的角而言的，
对一切
恒
成立，而
仅对
成立．
【真题实战1】（2025·河北·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【真题实战2】（2025·江西新余·模拟预测）已知
，则
．
03 诱导公式
1.三角函数的诱导公式
公式1
公式2
公式3
公式4
公式5
公式6
对诱导公式的说明
1．正、余弦函数诱导公式中的角
可以是任意角，但正切函数诱导公式中的角
必须使公式中的角的正
切值有意义。
2．在判断三角函数值的符号时，可以把
看成锐角。
3．诱导公式可以根据角的终边的对称性，结合三角函数的定义进行推导或理解．
2．诱导公式的理解与记忆
诱导公式记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．诱导公式可以统一概括为＂
＂的各三角
函数值的化简公式．
（1）＂奇＂＂偶＂是对
中
的倍数
来讲的．
（2）＂变＂与＂不变＂是针对三角函数名称而言的．当
为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当
为偶
数时，函数名不变.
（3）＂象限＂是指
中，将
看成锐角时，
所在的象限，根据＂一全正，
二正弦，三正切，四余弦＂的符号规律确定角
对应三角函数值的符号．
诱导公式的作用
公式一：将任意角转化为
的角求值．
公式二：将
的角转化为锐角求值。
公式三：将负角转化为正角求值。
公式四：将
的角转化为
的角求值．
公式五和公式六：实现正弦与余弦的相互转化．
【真题实战1】（2025·甘肃金昌·三模）已知
，则
.
【真题实战2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【真题实战3】（2025·河北邢台·二模）已知
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
04 三角恒等变换公式
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
S(α－β)
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
T(α－β)
tan(α－β)＝；
变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan
β)
T(α＋β)
tan(α＋β)＝；
变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan
β)
在公式T(α±β)中α，β，α±β 都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义．
利用两角差的余弦公式推导诱导公式
2.
.
3.
.
2.二倍角公式
（1）二倍角公式
S2α
sin 2α＝2sin α cos α；
C2α
cos 2α ＝cos2α －sin2α ＝2cos2α －1 ＝1 －
2sin2α；
T2α
tan 2α＝
（2）倍角公式的逆用及变形
①
，
.
②
．
③
．
（3）配方变形
.
（4）因式分解变形
（5）升幂公式
（6）降幂公式
3.辅助角公式
一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b 为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)
或f(α)＝cos(α－φ)
.
常见辅助角结论
①
②
③
④
⑤
⑥
【真题实战1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知
，则
.
【真题实战2】（2025·重庆·模拟预测）式子
化简的结果为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
4.半角公式
（1）半角公式的无理形式
（2）半角正切公式的有理形式
．
【真题实战】（2025·甘肃兰州·模拟预测）若
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5.万能公式
【真题实战】（2025·江西新余·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
6.积化和差与和差化积公式
（1）积化和差公式
积化和差公式的记忆口诀
前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差。
（2）和差化积公式
和差化积公式的记忆口诀
正加正，正在前；余加余，余并肩；正减正，余在前；余减余，负正弦．
应用和差化积与积化和差公式化简的关键点
利用和差化积与积化和差公式化简三角函数式是将同名称的正弦与余弦进行恰当组合，组合时遵循原则：
（1）尽量使两角的和（差）出现特殊角；（2）对于特殊角的三角函数应求出其值．
【真题实战】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设数列
的前n 项和为
，若
，则
.
01 sinα，cosα 齐次式中“切弦互化”的技巧
1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
（1）sin α，cos α 的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；
（2）sin α，cos α 的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．
2、切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．
【典例1】（2025·江苏泰州·模拟预测）若
，则
．
【典例2】（2025·海南海口·模拟预测）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2025·湖南岳阳·三模）已知
，
，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
02 sinα±cosα 与sinαcosα 关系的应用
对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α 这三个式子，知一可求二，
若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α 的范围选取正、负号)，体
现了方程思想的应用．
【典例1】（2025·河北·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2025·四川成都·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2025·山东菏泽·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
03 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
【注意】化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等．
【典例1】（2025·江西·一模）化简
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【典例2】（2025·河北·模拟预测）化简：
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2023·重庆·模拟预测）式子
化简的结果为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
04 寻找角的关系
1.计算与化简题中的角的关系：
对于计算与化简题，我们先要寻找式子中是不是有两个角满足其和或差为特殊角
，
，或者存在 2 倍的关系，然后利用这些关系，并结合诱导公式、和差角公
式、倍角公式以及辅助角公式进行化简，从而解决问题．
2．“已知若干解或若干角的三角函数值，求目标解或目标解的三解函数值”问题中的解的关系：
处理“已知若干角或若干角的三角函数值，求目标角或目标角的三角函数值”之类的问题时，一定要
牢记目标角
是若干个已知角
的线性组合，即
，其中常数
一般只在集合
中取值，这样我们就可以运用诱导公式、和差角公式以及倍角公式进行目标角的值或目标
角的三角函数值的求解．
【典例1】（2025·江西·一模）化简
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【典例2】（24-25 高三下·安徽安庆·阶段练习）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例4】（2025·上海·模拟预测）若
，且
，求
的值.
05 积化和差与和差化积公式
积化和差与和差化积解题策略
1．抓角的关系：分析角的和、差、倍或特殊角（如
），明确转化方向。
2．配公式结构：
①积化和差：乘积转和差，记
系数与符号（同名积和差，异名积差和）；
②和差化积：和差转乘积，拆角为
，记
系数与符号（正余符号对应）。
3．联用 + 验符号：结合诱导、和差角、倍角公式化简，通过角的范围判断三角函数符号，排除矛盾
解．
【典例1】（2025·湖南常德·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．7
C．
D．
【典例2】（2025·江西南昌·二模）已知
、
终边不重合，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数
在区间
的零点个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【典例4】（2025·江西·二模）已知函数
，
是偶函数，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
01 忽略角的度量单位的一致性
角的终边相关集合问题三个核心规律
1 ．单位必统一：角度制、弧度制不可混用，写集合时，角度制用
，弧度制用
，保证单位一致。
2．周期看场景：＂终边重合（射线）＂，周期为
（转一圈重合）；＂终边在直线上（双向
射线）＂，周期为
（转半圈仍在直线）。
3．直线双向性：终边在直线上时，要考虑两个相反方向射线，用含
（弧度）或
（角度）
的形式，覆盖双向情况。
【典例1】与
角终边相同的角的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】终边在直线
上的角的集合为 ．
02 忽略终边相同角的公式中π 的系数的要求，不能分类讨论
处理终边相关集合问题时，需警惕忽略对
分类讨论这一关键易错点.由于终边相同
角公式中
，不同奇偶性或取值会让集合范围呈周期性变化，若不拆分
（偶数）、
（奇数）等情况，易导致范围漏判；同时，未将含
的集合转化为更直观的
平移形式
（清晰体现周期延伸），或化简角度／弧度系数时变形失误，都会使集合关系（包含、交集等）判断
出错.解题时，要通过分类
取值拆分范围、转化周期形式直观对比、精准化简系数明确元素，以此避
开漏解、误判陷阱，准确分析集合包含、交集等关系.
【典例1】已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】已知集合
，则M，P 之间的关系为
（ ）
A．M=P
B．
C．
D．
【典例3】已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
03 应用三角函数的定义求值时遗漏终边的位置
终边落在直线Ax+By=0 上,即要确定终边在哪些象限,需分类讨论,利用三角函数的定
义求值时必须明确终边的条件,清楚其在坐标系中的位置.简言之，遇直线型终边，先定象限、再分类.
【典例1】若角
的终边落在直线
上，则
的值等于（ ）
A．2
B．﹣2
C．﹣2 或2
D．0
04 应用三角函数的定义求参数时忽略参数的取值范围
利用三角函数定义（终边过点
等）求参数时，易犯以下错误：
1．忽略坐标符号关联：终边点
的坐标符号由参数决定，会影响三角函数符号。需依据三角
函数值的符号，判断
、
的符号关系（如
则
），缩小参数范围，避免增根。
2．遗漏解的检验：解方程得到参数值后，要代入原定义式，检验坐标符号是否符合三角函数值的
符号逻辑，以及
的有效性，排除不满足＂终边存在条件＂的增根。
简言之，用定义求值时，先借符号定坐标范围，再验解保结果合理，规避增根与逻辑矛盾。
【典例1】已知角
的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点
，且
，则实数
的值是（ ）
A．－4 和
B．
C．－4
D．1
【典例2】已知角
以坐标原点为顶点，以
轴的非负半轴为始边，终边经过点
，且
，
则实数
的值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
05 忽略题目隐含范围致错
利用
等关系求参数时，易忽略角的象限对三角函数符号的约束，以
及表达式隐含的定义域条件（如分母非零、根号有意义等）。解题需分两步：先通过平方关系列方程
求解，再结合角的象限符号特征、表达式自身限制（如分母
），检验解的合理性，排除不符合条件
的增根。
【典例1】已知
，
，若
为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
06 不能精确确定角的取值范围导致错解
利用三角恒等式（如
等）求解时，易忽略 角的取值范围（象限、
区间）对三角函数符号的约束，导致保留不符合符号规律的解。解题需紧扣角的区间／象限，分析该
范围内三角函数的符号特征（正负、范围），验证解的合理性，排除与符号矛盾的结果。
【典例1】已知
，
，则
的值为（ ）．
A．
B．
C．
或
D．
【典例2】已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
一、确定角α
n (n∈N +)终边所在象限的方法
（1）分类讨论法：利用已知条件写出
的范围（用
表示），由此确定
的范围，在对
进行分类讨
论，从而确定
所在象限。
（2）几何法：先把各象限分为
等份，再从
轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、
三、四……则
原来是第几象限的角，标号为几的区域即角
终边所在的区域。
【典例1】（24-25 高一下·上海·阶段练习）已知
为第三象限角，则
所在的象限是（ ）
A．第一或第三象限
B．第二或第三象限
C．第二或第四象限
D．第三或第四象限
【典例2】（24-25 高一下·江西抚州·阶段练习）已知
是钝角三角形中最大的角，则
是（ ）
A．第一象限角
B．第三象限角
C．第四象限角
D．小于
的正角
【典例3】（23-24 高三上·上海静安·期末）设
是第一象限的角，则
所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第三象限
C．第一象限或第三象限
D．第二象限或第四象限
【典例4】（24-25 高三·河北石家庄·期中）如果角
的终边在第三象限，则
的终边一定不在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
二、扇形的弧长与面积应用
1.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
2.求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【典例1】（24-25 高三上·湖南·阶段练习）如图，圆
的半径为1，劣弧
的长为
，则阴影部分的面积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2025·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（ ）
A．1
B．
C．3
D．6
【典例3】（2025·河北衡水·模拟预测）已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
1.已知角
的终边上一点
的坐标，求角
的三角函数值
方法：先求出点
到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。
2.已知角
的一个三角函数值和终边上一点
的横坐标或纵坐标，求与角
有关的三角函数值
方法：先求出点
到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出
未知数，从而求解问题。
3.已知角的终边所在的直线方程（
），求角的三角函数值
方法：先设出终边上一点
，求出点
到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意
的符号，对
进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角
的三角函数值。
【典例1】（2025·北京模拟）角
的终边经过的一点
的坐标是
，则“
”的充要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点
是角
终边上的一点，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【典例3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知角
的顶点与坐标原点重合，始边与
轴的非负半轴重合，终
边与直线
位于第三象限的图象重合，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
四、对sin α，cos α，tan α 的知一求二问题
1.知弦求弦：利用诱导公式及平方关系
求解.
2.知弦求切：常通过平方关系，与对称式
建立联系，注意
的灵
活应用.
3.知切求弦：先利用商数关系得出
或
然后利用平方关系求解.
【典例1】（2025·河南信阳·模拟预测）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2025·湖北孝感·三模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2025·辽宁·二模）已知
，则
.
【典例4】（2025·江西·一模）已知
， 则
（ ）
A．
B．
C．
D．
五、利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
――――――→――――――――→――――――――→
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．
【典例1】（2025·广东茂名·模拟预测）已知
，且
，求
的值
为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【典例2】（2024·辽宁·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【典例3】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）已知角
终边上
点坐标为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例4】（20235·陕西模拟）已知角
的终边过点
，则
.
六、给值求值问题的求解策略
1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用;
②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：
);
4
(
2
4
);
(
;
)
(
)]
(
)
[(
2
1
)];
(
)
[(
2
1
;
2
2
等.
【典例1】（2025 高三·湖北模拟）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2025·四川成都·模拟）已知
，
，且
，
，求
，
及
的值.
【典例3】（2025·甘肃白银·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例4】（2025·安徽蚌埠·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例5】（2025·广东广州·三模）已知
都是锐角，
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
七、给值求角问题的求解策略
“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是：
（1）求值：求出所求角的某种三角函数值.
（2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围.
（3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.
【典例1】（2025·江苏镇江·模拟预测）已知
，
为锐角，
，
，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2025·广东珠海·模拟预测）设
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2025·黑龙江·模拟预测）已知
，
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
