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3.三角函数、三角恒等变换与解三角形
1.终边相同角的表示
所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合S={ β | β = α + k ·360°
，
k ∈
Z } ，即任一与角α 终边
相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和.
2.几种特殊位置的角的集合
(1)终边在x 轴非负半轴上的角的集合：{ α | α = k ·360°
，
k ∈
Z } .
(2)终边在x 轴非正半轴上的角的集合：{ α | α =180°+
k ·360°
，
k ∈
Z } .
(3)终边在x 轴上的角的集合：{ α | α = k ·180°
，
k ∈
Z } .
(4)终边在y 轴上的角的集合：{ α | α =90°+
k ·180°
，
k ∈
Z } .
(5)终边在坐标轴上的角的集合：{ α | α = k ·90°
，
k ∈
Z } .
3.1 弧度的角
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，弧度单位用符号rad 表示.
4.角度制与弧度制的换算
(1)1°= π
180 rad.
(2)1 rad=(
180
π )°.
5.扇形的弧长和面积
在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|= l
r .
相关公式：(1)l=| α | r .
(2)S=1
2lr=1
2| α | r 2 .
6.任意角的三角函数的定义
(1)设α 是一个任意角，α∈R，它的终边OP 与单位圆交于点P(x，y)，那么：
①把点P 的纵坐标y 叫做α 的正弦函数，记作sin α，即y=sin α.
②把点P 的横坐标x 叫做α 的余弦函数，记作cos α，即x=cos α.
③把点P 的纵坐标与横坐标的比值y
x 叫做α 的正切，记作tan α，即y
x =tan α(x≠0).
(2)设α 是一个任意角，点P(x，y)为α 终边上异于原点O 的任一点，|OP|=√x
2+ y
2，则sin α=
y
|OP| ，cos
α=
x
|OP| ，tan α= y
x (x≠0).
7.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α+cos2α=1⇒sin α=±√1-co s
2α.
(2)商的关系：
sin α
cosα =tan α(α ≠k π + π
2 (k ∈Z )).
8.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
π
2 -α
π
2 +α
正弦
sin α
-sin
α
-sin
α
sin
α
cos
α
cos
α
余弦
cos α
-cos
α
cos
α
-cos
α
sin
α
-sin
α
正切
tan α
tan
α
-tan
α
-tan
α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
9.三种三角函数的图象和性质
正弦函数
y=sin x
余弦函数
y=cos x
正切函数
y=tan x
图象
定义域
R
R
{x|x≠π
2 +
k π ,k ∈Z }
值域
[-1，1]
(有界性)
[-1，1]
(有界性)
R
零点
{ x | x = k π ，
k ∈
Z }
{x|x = π
2 +
k π ,k ∈Z }
{ x | x = k π ，
k ∈
Z }
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
单调递
增区间
[- π
2 +2k π ,
π
2 +2k π]
(k∈Z)
[-π+2
k π ，
2 k π](
k ∈
Z )
(- π
2 +k π ,
π
2 +k π)
( k ∈
Z )
单调递
减区间
[
π
2 +2k π ,
3 π
2 +2k π]
( k ∈
Z )
[2kπ，π+2kπ](k∈Z)
对称性
对称轴
x = π
2 + k π
( k ∈
Z )
x = k π
( k ∈
Z )
对称
中心
( k π ，
0)
( k ∈
Z )
(
π
2 +k π ,0)
( k ∈
Z )
(
k π
2 ,0)
( k ∈
Z )
10.函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0，A>0)的图象
(1)“五点法”作图
设z=ωx+φ，令z=0，π
2 ，π，3 π
2 ，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得.
(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口.
(3)图象变换：将函数y=sin x 的图象变成函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象.
①先平移后伸缩
(ⅰ)将函数y=sin x 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，得到函数y=sin(x+φ)的图象；
(ⅱ)将函数y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标伸长(ω<1)或缩短(ω>1)到原来的1
ω倍(纵坐标不变)，得到函
数y=sin(ωx+φ)的图象；
(ⅲ)将函数y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(A<1)到原来的A 倍(横坐标不变)，得到函
数y=Asin(ωx+φ)的图象.
②先伸缩后平移
(ⅰ)函数y=sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(ω<1)或缩短(ω>1)到原来的1
ω倍(纵坐标不变)，得到函数
y=sin ωx 的图象；
(ⅱ)将函数y=sin ωx 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|
ω 个单位长度，得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；
(ⅲ)将函数y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(A<1)到原来的A 倍(横坐标不变)，得到函
数y=Asin(ωx+φ)的图象.
11.三角恒等变换
(1)cos(α+β)=cos
α cos
β -sin
α sin
β ，
cos(α-β)=cos
α cos
β +sin
α sin
β ，
sin(α+β)=sin
α cos
β +cos
α sin
β ，
sin(α-β)=sin
α cos
β -cos
α sin
β ，
tan(α+β)= tan α + tan β
1- tan α tan β ，
tan(α-β)= tan α - tan β
1+ tan α tan β .
(2)二倍角公式：
sin 2α=2sin
α cos
α ，
cos 2α=cos
2 α -sin
2 α =2cos2α-1=1-2sin
2 α ，
tan 2α= 2tan α
1-tan
2α .
变形(半角公式)：cosα
2 =±√
1+cosα
2
，sinα
2 =±√
1-cosα
2
，tanα
2 =±√
1-cosα
1+cosα .
(3)降幂公式：sin2α=1-cos2α
2
，cos2α=1+cos2α
2
，tan2α=1-cos2α
1+cos2α .
(4)辅助角公式：
asin x+bcos x=√a
2+b
2sin(x+φ)，其中tan φ=b
a.
(5)和差化积、积化和差公式
和差化积：
口诀：口口之和仍口口，口口之差负赛赛，赛赛之和是赛口，赛赛之差变口赛.
cos θ+cos φ=2cosθ+φ
2
cosθ -φ
2
，
cos θ-cos φ=-2sinθ+φ
2
sinθ -φ
2
，
sin θ+sin φ=2sinθ+φ
2
cosθ -φ
2
，
sin θ-sin φ=2cosθ+φ
2
sinθ -φ
2
.
积化和差：
cos αcos β=1
2[cos(
α + β )+cos(
α - β )] ，
sin αsin β=-1
2[cos(
α + β )-cos(
α - β )] ，
sin αcos β=1
2[sin(
α + β )+sin(
α - β )] ，
cos αsin β=1
2[sin(
α + β )-sin(
α - β )] .
12.正弦定理及其变形
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2R(2R 为△ABC 外接圆的直径).
变形：a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C.
sin A= a
2 R ，sin B= b
2 R ，sin C= c
2 R .
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
13.余弦定理及其推论、变形
a2=b 2 + c 2 -2
bc
cos
A ，b2=a 2 + c 2 -2
ac
cos
B ，
c2=a 2 + b 2 -2
ab
cos
C .
推论：cos A=b
2+c
2-a
2
2bc
，cos B=a
2+c
2-b
2
2ac
，
cos C=a
2+b
2-c
2
2ab
.
变形：b2+c2-a2=2bccos A，
a2+c2-b2=2accos B，
a2+b2-c2=2abcos C.
14.面积公式
S=1
2absin C=1
2bcsin A=1
2acsin B=1
2ah=1
2(a+b+c)r=abc
4 R (r 为△ABC 内切圆半径，R 为△ABC 外接圆半径，h
为BC 上的高).
1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.
2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围.
3.求函数f(x)=Asin(ωx+φ)的单调区间时，要注意A 与ω 的符号，当ω<0 时，需把ω 的符号化为正值后求解.
4.三角函数图象变换中，注意由y=sin ωx 的图象变换得到y=sin(ωx+φ)的图象时，平移量为|
φ
ω|，而不是|φ|.
5.在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.
