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4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
5 大考点汇总
考点01 “知一求二”问题
考点02 sin α，cos α 齐次式的求值问题
考点03 sin α±cos α 与sin αcos α 关系的应用
考点04 诱导公式的应用
考点05 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
题型专练
考点01 “知一求二”问题
1．
，
，则
__________．
【答案】
/
【详解】因
，
，
则
.
2．已知角
为第三象限角，且
，则
_______.
【答案】
【详解】因为角
为第三象限角，且
，
可得
，
所以
.
3．已知
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，
，得，
，
由
，
，得，
，
所以，
，
.
4．已知
，且
，则
（ ）
A．
B．7
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知求得
，然后求得
，最后根据两角差的正切公式即可求解.
【详解】由
，
得
，
所以
，
则
.
5．已知
，
均为锐角，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】已知角
和
，求角
，利用构造角
，求
即可利用两角差的余弦公式进行
计算．
【详解】因为
，且
，则
；
又
，则
；又
，则
，
则
；
因为
代入可得：
，故
．
6．在
中，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【分析】先判断角
的范围，求得
，再根据正弦定理确定
的大小关系，从而判断角
的范围求得
，再用诱导公式结合两角和的余弦公式计算．
【详解】∵
，∴
为锐角，
，
由正弦定理
，得
，
所以
，故
为锐角，
∴
，
．
考点02 sin α，cos α 齐次式的求值问题
7．已知
，则
的值为_______；
【答案】
/
【详解】因为
，所以
.
8．若
，且
为锐角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用弦化切可得出关于
的方程，结合
可解得
的值.
【详解】因为
为锐角，则
，
，
，
，
整理可得
，
即
，解得
或
，
因为
，故
.
9．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】借助同角三角函数基本关系将弦化为切后计算即可得.
【详解】
.
10．已知
是三角形的内角，且
．求：
(1)
；
(2)
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算得解.
【详解】（1）由题可知：
，
．
（2）由题可知：
，
．
11．已知
，
.
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值.
【答案】(1)7
(2)
(3)
【详解】（1）
.
（2）
.
（3）
.
12．已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，解得
，
原式
.
考点03 sin α±cos α 与sin αcos α 关系的应用
13．已知
为锐角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先对已知等式
两边平方，结合同角三角函数基本关系式求出
，再根据α 为锐
角且
确定2α 的取值范围，最后利用同角三角函数的平方关系确定
的符号并计算出结果.
【详解】由
，两边平方得
，
解得
；
因为
为锐角，且
，故
，可得
，因此
，
即
在第二象限，
；
由同角三角函数关系
，得
，
结合
，得
.
14．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
，所以
，即
，
所以
，故
，即
，
可知
，得
，
所以
，解得
，
，
故
．
15．（多选）已知
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由
，两边平方即可判断A 项；利用A 项结论及
可得
，再
利用平方关系即可求出
即可判断B；将
与
的值联立求出
即得
C，D 项．
【详解】
，
，解得
，故A 正确；
，
，
，
，
，故B 错误；
，解得
，
，故C 正确；
，故D 正确．
16．已知
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．0
【答案】D
【详解】因为
，
所以
，
而
，所以
．
17．已知
，
，则下列选项中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将
两边同时平方，整理得
，解得
，D 正确；
因为
且
，则
，
，A 正确；
由
，得
，
，C 正确，B 错误．
18．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
.
考点04 诱导公式的应用
19．（1）已知角
的终边经过点
，求
的值；
（2）化简：
.
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解；
（2）根据三角函数的诱导公式化简即可.
【详解】（1）角
的终边经过点
，
则
，
；
（2）原式
.
20．化简得
___________．
【答案】
【详解】原式
.
21．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意知
．
22．已知角
的终边在直线
上，则
________．
【答案】
【详解】因为角
的终边在直线
上，
所以可取角
终边上的点
，所以
.
所以
．
23．已知角
以
轴的非负半轴为始边，
为终边上一点.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据角α 终边上点的坐标，结合任意角三角函数定义求出
、
，代入目标式计算即
可；
（2）利用三角函数诱导公式化简原式为
，再结合终边上点的坐标求
的值.
【详解】（1）点
到坐标原点的距离
，
根据任意角三角函数的定义：
，
，
代入得
；
（2）利用诱导公式化简原式：
分子部分：
，
，
，
，
因此分子
，
分母部分：
，
，
，
因此分母
，
约分化简得原式
，
根据定义
.
24．已知
(1)化简
；
(2)若
，
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式逐项化简再约分即可；
（2）由
计算得
的值，结合
知
，故结果取负数.
【详解】（1）
.
（2）因为
，所以
，
因此
.
又
，
，即
，
因此
.
考点05 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
25．若
，则
___________
【答案】
【详解】
，
.
26．若
，且
，则
______．
【答案】
【分析】用换元法，设
，化简方程求出
，进而得出
的正余弦值，化简
即可．
【详解】由题意，
，设
，即
，
，
，
即
，
，
，
，得
，则有
，
由
，可知
，
，
，
，
．
27．已知
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题可知，
，则
，
又
，在区间
内，仅有
，
故
，解得：
，则
.
28．（1）已知
，
，求
；
（2）若
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）借助两角差的正切公式计算即可得；
（2）借助诱导公式与同角三角函数基本关系求出
后，借助同角三角函数将目标二次齐次式弦化切代入
计算.
【详解】（1）
；
（2）
，即
，
则
.
29．若
，
，则
的值为______．
【答案】
/
【详解】因为分子：
分母：
，
.
所以原式
.
已知
，两边同时平方可得：
，
所以
.
30．已知
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，且
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过化简函数表达式，结合已知条件得到
的值，再利用二倍角余弦公式计算
；
（2）先求出
的值，根据角的范围确定
的符号并计算其值，再利用正弦和角公式求出
.
【详解】（1）易知
,
由
，得
，
.
（2）由
得
，由
，得
，
,
.
