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专题01 三角恒等变换
题型01 两角和差公式的应用
1．（2026·内蒙古赤峰·一模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【解题思路】根据两角和与差的正弦公式，联立方程组
的值，结合三角函数的基本关系式，
即可求解.
【解析】由
，可得
，
又由
，可得
，
联立方程组，可得
，
则
.
2．（2026·山西大同·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】根据同角三角函数关系求出
，再根据三角恒等变换即可求出答案.
【解析】因为
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
.
3．（2026·新疆·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
.
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
.
4．（2026·云南·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以
，
得
，所以
，
所以
．
5．（2026·广东广州·一模）（多选）已知
，则下列命题正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】BC
【解题思路】利用和差化积公式与三角函数在区间
内的单调性、取值范围，通过公式变形可逐一验证选项.
【解析】对于A：已知
，则
，根据和角公式：
，故A 错误；
对于B：利用和差化积公式：
，因为
且
，所以
，则
对任意的
成立，故B 正确；
对于C：已知
，
，不妨设
，则
，
因为
，
，
且
，所以
，
又因为余弦函数在
上单调递减，所以
，
两边同乘正数
得：
，
即
，故C 正确；
对于D：因为
，所以原不等式等价于
，两边同时除
以2，得：
当
时：
，两边除以正数
，得
，因为
，所以
，
，此时不等式成立；
当
时：
，两边除以负数
，不等号方向改变，得
，但
的最大值为1，
不可能大于1，此时不等式不成立，故D 错误.
6．（2026·贵州贵阳·模拟预测）（多选）已知
为锐角，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解题思路】选项A：由二倍角公式求解判断；选项B，由二倍角公式求解判断；选项C：由
求解判断；选项D：由
求解判断.
【解析】因为
为锐角，所以
，所以
，
选项A：
，所以选项A 正确；
选项B:
，正确；
选项C：
，因为
，所以
，
因为
，所以
，
，所以选项C 正确；
选项D：因为
，所以
，所以
，D 错误，
故选：ABC.
题型02 二倍角的应用
7．（2026·湖南邵阳·二模）已知
，则
______.
【答案】
/
【解题思路】应用二倍角余弦公式及诱导公式化简已知条件求出
，化简目标式即可得.
【解析】由
，则
，
所以
.
8．（2026·江苏·一模）求值：
___________．
【答案】
【解析】
.
9．（2026·重庆·模拟预测）已知
为锐角，且
，则
______.
【答案】2
【解析】由正切二倍角公式得：
，
整理得：
，
因式分解得
，
解得
或
，
因为
为锐角，
，所以舍去
，故
.
10．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】由三角和差及辅助角公式化简可得
，再结合二倍角公式求值即可．
【解析】
，
则
．
故选：C．
11．（2026·湖北黄冈·一模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】利用诱导公式 ，得：
，
故利用二倍角公式，得：
.
12．（25-26 高三上·山西晋城·月考）（多选）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解题思路】利用两角和的正弦公式可求出
的值，可判断A 选项；利用两角差的正弦公式可判断B 选项；
利用切化弦可判断C 选项；利用二倍角的正弦公式可判断D 选项.
【解析】对于A 选项，因为
，
，
所以
，故A 正确；
对于B 选项，
，故B 正确；
对于C 选项，
，故C 错误；
，故D 正确.
故选：ABD.
题型03 给值求值
13．（2026·四川内江·二模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
又
，所以
.
14．（2026·湖北孝感·二模）已知
、
均为锐角，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】根据同角三角函数关系式求出
，
，再由
和两角和的正切公式
即可求解.
【解析】因为
，
为锐角，所以
，
，
所以
，所以
.
因为
，所以
，
，
因为
，所以
，
则
，
所以
，
，
.
15．（2026·四川成都·二模）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】先利用两角和的正弦公式化简已知条件，求出
，然后结合角的范围求出余弦值，最后根据二倍
角公式求解.
【解析】因为
，
化简得
，
即
，又
，
，
所以
.
16．（2026·宁夏银川·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】根据诱导公式、两角和差的正弦公式、辅助角公式、二倍角公式化简求值即可.
【解析】因为
，
所以
.
则
.
17．（2026·云南·模拟预测）若
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】将已知等式两侧平方相加，应用差角正弦公式化简得
，从而有
，代入
整理得
，并将
化为求
，即可得.
【解析】由题设
，则
，
所以
，可得
，
由
，则
，故
，
代入
，则
，
所以
，则
，
所以
，
所以
.
18．（2026·湖南岳阳·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【解题思路】由平方关系分别求出
，利用
，由两角差的余弦公式求解.
【解析】因为
，所以
，所以
，
因为
，
，所以
，
又
，所以
，
，
所以
，
所以
，
故选：C.
题型04 给值求角
19．（2025·广东珠海·模拟预测）设
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】根据已知得
，结合角的范围及诱导公式得到
或
，即
可得.
【解析】由题设
，
所以
，
因为
，
，则
，又
，
所以
或
，即
或
（舍），
故
．
故选：D
20．（24-25 高三上·湖北荆州·月考）已知
且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】利用两角差的正弦公式结合
求
，注意确定角的范围，然后得
出结论．
【解析】因为
且
，函数
在
上单调递减，
，
，
又
，
，所以
，
，
，
，
所以
，
又
，
，所以
，结合
，可得
，
所以
，所以
，
故选：A．
21．（25-26 高三上·湖南长沙·期末）设
且
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】先由题设切化弦、结合两角和正弦公式和诱导公式得到
即可分析计算求解.
【解析】由题
，
所以
，
因为
，
，
所以
，
，
，
所以
或
，
解得
或
（舍去）.
故选：A
22．（24-25 高一下·江苏镇江·期末）已知
，
为锐角，
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】由
，
为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解．
【解析】因为
，
为锐角，
，
，
所以
，
，
所以
，
则
，
所以
，
故选：A．
23．（2025 高三·全国·专题练习）若锐角
、
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】将已知等式变形为
，设
，
问题转化为圆
上点
与直线
有公共点，根据直线与圆的位置关
系得出
的不等式，解出
的值，结合
的取值范围可得出
的值，然后将
的值代入题干中的等式，结
合角
的取值范围可求出
的值，即可得解.
【解析】由
，
整理得
．
考虑单位圆模型，我们设
，
则
．
原等式的几何意义为圆
上的点
与直线
有公共点，
可得
，所以
，
整理可得
，
所以
，
由于
为锐角，故
，
将
代入
得
，即
，
因为
，所以
，故
，即
，所以
，
故选：C．
24．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，
，且
，
，
求
，
及
的值.
【答案】
，
，
【解题思路】由题中条件及同角三角函数的平方关系可求得
和
的值，利用两角和与差的余弦
公式即可求解
，
的值，结合角
即可求解
的值.
【解析】因为
，且
，所以
.
因为
，且
，所以
.
所以
，
.
又因为
，
，所以
，所以
，即
.
强化训练
1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在
中，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】利用正弦定理边化角整理可得
，然后结合和差公式、基本不等式即可得解.
【解析】因为
，
所以
，整理得
，
由正弦定理边化角得
，
若
，则
，不满足题意，故
.
又
，
所以
，
整理得
，
则
，
易知，若
，则
，不合题意；
当
时，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最大值为
.
2．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由
，得
，解得
，则“
”是“
”的充分不必要条
件.
3．（2025·广东·三模）函数
的一条对称轴为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】由正弦、余弦二倍角公式，和辅助角公式得到
，再通过整体代换即可求解.
【解析】
，
令
，
，
可得
，
即函数
的对称轴为
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
结合选项只有B 符合，
故选：B
4．（2026·浙江嘉兴·二模）若函数
满足
，且在
有唯一零点，则
的最大值为（ ）
A．
B．3
C．2
D．
【答案】A
【解题思路】利用辅助角公式化简函数
，再利用指定区间上有唯一零点及周期情况列式求解.
【解析】函数
，
由
得，
是函数
图象的一条对称轴，
则
，
，解得
，
；
当
时，
，
由函数
在
有唯一零点，得
，解得
，
所以当
时，
取得最大值
．
5．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】由诱导公式可得
，再结合条件利用二倍角公式求结论.
【解析】因为
，
.
6．（2015·四川成都·一模）若
，且
，
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【解题思路】由题设条件分别求出
和
的值，再利用拆角变换与和角公式计算即得.
【解析】因
则
.又
，则
，
可得
.
又
则
由
，可得
由
.
因
则
.
故选：A.
7．（25-26 高二上·安徽淮南·开学考试）（多选）已知
，
为锐角，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解题思路】由
，
为锐角，求出
的范围，根据
，
，由同角三角关系式分
别求得
，
，
，再依据二倍角正弦公式，两角差的正弦公式，两角和的正切公式及同角三角函
数关系式分别求各选项对应的三角函数值，即可选出正确选项.
【解析】因为
，
为锐角，所以
，
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
，
因为
，所以
，
选项A：
，所以选项A 正确；
选项B：
，所以选项
B 正确；
选项CD：因为
，所以
，所以
；
，所以C 正确，D 错误.
故选：ABC.
8．（2026·广东佛山·二模）已知
，且
是第一象限角，则
___________．
【答案】
/
【解析】由
，得
，又
是第一象限角，解得
，
所以
.
9．（2026·广西·模拟预测）已知
，则
______.
【答案】
【解题思路】根据两角差的正弦公式和辅助角公式化简已知得
，再利用诱导公式求值.
【解析】根据题意，
，
所以
，
所以
.
10．（2026·广西河池·二模）
___________．
【答案】
/
【解析】
，
又
，
所以
，
所以
．
11．（25-26 高三下·江苏南通·开学考试）已知
的面积为1，
，
，则
_______．
【答案】
【解题思路】首先利用同角三角函数的基本关系式求出
的正弦和余弦值，再利用诱导公式求出
，
最后利用正弦定理及三角形的面积公式求出三角形的外接圆半径，即可求解.
【解析】
，
，
，
.
，
，
，
.
，
设
的外接圆半径为
，则由正弦定理得，
，
，
，
即
，化简得，
.
.
12．（2026·陕西榆林·一模）函数
的最大值为_______．
【答案】
【解题思路】由辅助角公式结合三角函数的图像性质即可求解.
【解析】
，
其中
，故
的最大值为
．
13．（2026·四川成都·二模）已知
，
，则
__________
【答案】
/
【解题思路】对已知的两个式子左右两边平方，相加后利用同角三角函数基本关系，再结合两角差的正弦定理的
逆用，代入即可求解.
【解析】由题知
①，
②，
得
，
即
，
所以
，所以
.
14．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知
，则
________
【答案】
【解题思路】通过换元将已知角与目标角关联，利用诱导公式把
转化为
，再用二倍角公式代入
已知值计算.
【解析】令
，则
，且
；
代入目标表达式：
；
利用诱导公式
，得：
；
用二倍角公式
，代入
，则
.
故答案为：
15．（2026·浙江·模拟预测）已知
，则
__________.
【答案】
/
【解题思路】用降幂公式将半角转化为整角，化简题干等式；通过移项推导得到
与
的倍数关系；代入
解出
，最后结合二倍角公式即可得解.
【解析】因为
，又
，
所以
整理得
，所以
，
又
，所以
，解得
，
因此
.
故答案为：
.
16．（2026·陕西西安·一模）已知
，则
___________.
【答案】
【解题思路】先化简
，把
当成一个整体，然后用二倍角公式展开
，最后
代入计算.
【解析】因为
，
所以
即
故答案为：
